Kelas A28 - Materi Kuliah Vektor

VEKTOR Vektor (“vector”, English) adalah besaran-besaran fisis yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction). Vektor mengikuti kaidah penjumlahan tertentu. Hasil penjumlahan vektor- vektor disebut resultan (“resultant”, English). Contoh-contoh vektor: perpindahan (displacement), kecepatan (velocity), percepatan (acceleration), gaya (force), medan listrik (electric field), medan magnet (magnetic field), dan sebagainya. 1.A PENJUMLAHAN VEKTOR, METODE GEOMETRIS Vektor dinyatakan dengan gambar anak panah. Panjang anak panah mewakili besar (magnitude) vektor yang digambarkan dengan skala. Misalnya, gaya 10 N digambarkan dengan anak panah yang panjangnya 5 cm, artinya 1 cm sama dengan 5 N. Sedangkan ujung mata anak panah menggambarkan arah (direction) vektor. Di dalam buku-buku teks, simbol vektor menggunakan huruf yang dicetak tebal, misalnya: a. Sedangkan dalam tulisan tangan, untuk mudahnya, vektor disimbolkan dengan huruf yang diberi anak panah di atasnya, misalnya: a. Namun ada pula buku teks lain yang menuliskan simbol vektor dengan huruf yang diberi garis mendatar di atasnya, misalnya: ā. Perhatikan Gambar 1.1 berikut

Gambar 1.1 Dua vektor yang akan diju mlahkan.

Untuk menjumlahkan kedua tersebut secara geometris, perhatikan langkah- langkah berikut a+b= r

(1-1)

Gambar 1.2 Langkah-langkah men ju mlah kan dua vektor secara geometris.

Penjumlahan vektor mengikuti hukum yang juga berlaku pada penjumlahan bilangan biasa atau besaran skalar, yaitu a + b = b + a → (hukum komutatif)

(1-2)

d + (e + f) = (d + e) + f → (hukum asosiatif)

(1-3)

Kedua hukum ini bermakna bahwa penjumlahan vektor tidak mempedulikan urutan penjumlahan maupun mana kelompok vektor yang dijumlahkan terlebih dahulu (pada persoalan penjumlahan lebih dari dua vektor). Operasi pengurangan vektor dapat dipandang sebagai operasi penjumlahan biasa namun dengan membalik arah vektor yang mengurangi a – b = a + (- b)

(1-4)

catatan: -b artinya arah vektor b dibalik. 1.B PENGURAIAN DAN PENJUMLAHAN VEKTOR, METODE ANALITIK Sebelum menjumlahkan vektor-vektor secara analitik, terlebih dahulu kita harus mampu menguraikan komponen-komponen dari suatu vektor. Bayangkan vektor berada dalam sebuah koordinat tegak lurus (kartesian). Titik pusat koordinat (0,0) berimpit pada pangkal vektor.

Gambar 1.3 Contoh-contoh penguraian vektor menjad i ko mponennya dalam koordinat kartesian.

Dengan demikian, dimanapun posisi vektor digeser-geser, asalkan sudut terhadap sumbu koordinat dapat dijaga tetap, komponennya pun tidak akan berubah. Komponen ax dan ay dalam Gambar 1.3 dapat diperoleh dari 𝑎𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 dan 𝑎𝑦 = 𝑎 sin 𝜃 (1-5) dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor a dengan sumbu x positif yang diukur berlawanan arah dengan jarum jam dari sumbu ini. Dari Gambar 1.3 juga diperoleh 𝑎=

𝑎𝑥 2 + 𝑎 𝑦 2 (1-6a)

dan 𝜃 = tan−1

𝑎𝑦 𝑎𝑥 (1-6b)

Vektor Dalam Ruang Dalam sistem koordinat siku-siku tiga dimensi biasanya digunakan lambang khusus i, j, dan k untuk menyatakan vektor satuan dalam arah sumbu x, y, dan z positif. Perhatikan Gambar 1.4 berikut

Gambar 1.4 Vektor satuan i, j, dan k untuk menentukan arah sumbu x, y, dan z.

Sumbu-sumbu kerangka acuan didefinisikan menurut „kaidah tangan kanan‟, rotasi (putaran) dari i ke j menyebabkan „sekrup kanan‟ bergerak ke arah k positif.

Gambar 1.5 Contoh penguraian komponen-ko mponen vektor dalam ruang tiga dimensi.

Perhatikan Gambar 1.5, vektor 𝑂𝑃 didefinisikan oleh komponen-komponen: a sepanjang OX b sepanjang OY c sepanjang OZ sehingga 𝑂𝑃 = 𝑎i + 𝑏j + 𝑐k (1-7) dan serta

𝑂𝐿2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑂𝑃 2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2

maka 𝑟 = 𝑂𝑃 =

𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 (1-8)

Cosinus Arah Arah suatu vektor dalam ruang tiga dimensi ditentukan oleh sudut yang dibentuk oleh vektor tersebut dengan ketiga sumbu kerangka acuan. Perhatikan Gambar 1.6 berikut

Gambar 1.6 Contoh penguraian cosinus arah pada suatu vektor.

Misalkan 𝑂𝑃 = 𝑎i + 𝑏j + 𝑐k maka cos 𝛼 =

𝑎 𝑟

𝑏 cos 𝛽 = 𝑟 𝑐 cos 𝛾 = 𝑟

(1-9a)

(1-9b) (1-9c)

1.C PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR (SCALAR/DOT PRODUCT) Sesuai dengan namanya, perkalian skalar antara dua vektor memberikan hasil berupa besaran skalar. Pada dasarnya, operasi ini adalah proyeksi suatu vektor pada vektor yang lain. Jika kedua vektor diketahui besarnya dan sudut antara keduanya

Gambar 1.7 Perkalian tit ik antara dua vektor.

𝐴 . 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃 (1-10a) Dari Pers. (1-10a) tersebut dapat disimpulkan bahwa perkalian titik antara dua vektor yang saling tegak lurus akan menghasilkan nol karena cos 90° = 0. Jika kedua vektor diketahui vektor satuannya Misalkan kedua vektor pada Gambar 1.7 dinyatakan dalam vektor satuan sebagai berikut 𝐴 = 𝑎𝑥 i + 𝑎 𝑦 j + 𝑎𝑧 k dan 𝐵 = 𝑏𝑥 i + 𝑏𝑦 j + 𝑏𝑧 k

maka 𝐴 . 𝐵 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧 (1-10b) Atau dengan kata lain, kita tinggal mengalikan koefisien-koefisien vektor satuan pada sumbu yang bersesuaian dan menjumlahkan seluruh hasilnya. 1.D PERKALIAN VEKTOR ANTARA DUA VEKTOR (VECTOR/CROSS PRODUCT) Harus diingat, bahwa perkalian vektor antara dua vektor, atau disebut juga perkalian silang, akan memberikan hasil berupa vektor baru yang memiliki besar dan arah pula. Jika kedua vektor diketahui besarnya dan sudut antara keduanya Kembali mengacu kepada Gambar 1.7, besar vektor hasil perkalian silang dinyatakan sebagai 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 sin 𝜃 (1-11a) Untuk menentukan arahnya kita gunakan „kaidah tangan kanan‟ dengan memutar „sekrup kanan‟ dari 𝐴 ke 𝐵 . Dengan demikian, 𝐴 × 𝐵 dan 𝐵 × 𝐴 akan menghasilkan vektor baru yang besarnya sama namun arahnya berlawanan, lihat Gambar 1.8.

Gambar 1.8 Menentukan arah vektor hasil perkalian silang.

Pada perkalian silang, jika kedua vektor saling sejajar satu sama lain maka hasilnya sama dengan nol, karena sin 0° = 0. Jika kedua vektor diketahui vektor satuannya Hasil perkalian silang jika kedua vektor diketahui vektor satuannya dapat diperoleh dari persamaan sebagai berikut 𝐴 × 𝐵 = 𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦 i − 𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 j + 𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 k (1-11b) atau kita bisa menggunakan pola operasi determinan untuk mendapatkan Pers. (1-11b)

1.E SUDUT ANTARA DUA VEKTOR Perhatikan kembali sub bahasan cosinus arah sebelumnya. Untuk mendapatkan sudut antara dua vektor kita gunakan persamaan berikut cos 𝜃 = cos 𝛼1 cos 𝛼2 + cos 𝛽1 cos 𝛽2 + cos 𝛾1 cos 𝛾2 (1-12) dimana θ = sudut antara kedua vektor indeks 1 = vektor pertama indeks 2 = vektor kedua

Referensi: Halliday & Resnick, Fisika, jilid 1, edisi ketiga K.A. Stroud, Matematika untuk Teknik, edisi keempat NOVRIAN EKA SANDHI http://nesandhi.wordpress.com [email protected] This material is for education use only. You are free to copy and redistribute.