Kelas A28 - Materi Kuliah Gerak 1d

ONE-DIMENTIONAL MOTION (GERAK SATU DIMENSI) Mechanics (Mekanika) adalah cabang ilmu Fisika yang mempelajari tentang gerak, terdiri dari Kinematics (Kinematika) yang mempelajari gerak benda tanpa meninjau penyebabnya dan Dynamics (Dinamika) yang mempelajari gerak benda, gaya-gaya yang menyebabkannya, serta sifat-sifat benda yang bergerak itu sendiri. 2.A KINEMATIKA PARTIKEL Dalam mempelajari gerak benda ada beberapa asumsi yang digunakan, yaitu 1. Benda dianggap sebagai partikel tunggal, secara matematis partikel didefinisikan sebagai titik atau benda bervolume nol. 2. Gerak yang dialami partikel tidak mengandung rotasi dan vibrasi. Beberapa istilah dasar yang akan digunakan dalam membahas gerak partikel adalah: 1. displacement (pergeseran), vektor 2. distance (jarak), skalar 3. velocity (kecepatan), vektor 4. speed (kelajuan), skalar 5. acceleration (percepatan), vektor 6. average (rata-rata) 7. instantaneous (sesaat) 2.B AVERAGE VELOCITY (KECEPATAN RATA-RATA) Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini

Gambar 2.1 Part ikel yang bergerak dari A ke B yang mengalami pergeseran ∆𝑟 dalam waktu Δt.

Sebuah partikel (digambarkan sebagai titik hitam) mula- mula berada di A saat t 1 kemudian bergerak ke B saat t 2 . Vektor posisi di A adalah 𝑟1 sedangkan di B adalah 𝑟2 sehingga vektor pergeseran yang menyatakan perubahan posisi partikel dapat dituliskan sebagai ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 sedangkan selang waktu yang ditempuhnya untuk bergeser adalah ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1

Kecepatan rata-rata (average velocity) didefinisikan sebagai laju/rasio (rate) perubahan posisi terhadap waktu, secara matematis dinyatakan sebagai v=

∆r pergeseran (vektor) = ∆𝑡 selang waktu (skalar) (2-1)

Perhatikan huruf v dan r yang dicetak tebal menandakan besaran vektor sebagai ganti tanda anak panah di atas, sedangkan garis datar di atas huruf v menandakan harga rata-rata. Sebagai vektor, kecepatan mengandung besar (magnitude) dan arah (direction). Besarnya v yaitu v = ∆r ∆𝑡 atau jarak dibagi waktu dinyatakan dalam satuan jarak per satuan waktu, misalnya meter/sekon (m/s). Kecepatan rata-rata yang didefinisikan dalam Pers. (2-1) sama sekali tidak memberikan informasi terperinci tentang gerak partikel itu sendiri karena hanya mengukur kondisi awal dan kondisi akhir. Selain itu ada hal unik yang perlu diperhatikan pada vektor pergeseran Δ r. Jika partikel berpindah posisi ke berbagai tempat, lalu kemudian akhirnya kembali ke titik awal, maka pergeserannya adalah nol dan kecepatan rata-ratanya menjadi nol. Perhatikan pula bahwa perubahan kecepatan dapat terjadi tidak hanya karena perubahan besar atau nilai kecepatan saja, tetapi juga perubahan arah, mengingat kecepatan adalah besaran vektor. Gambar 2.1 mengambil bentuk gerak dua dimensi sebagai contoh umum yang teknik analisisnya dapat dengan mudah disederhanakan menjadi gerak satu dimensi ataupun diperluas menjadi gerak tiga dimensi yang lebih rumit. 2.C INSTANTANEOUS VELOCITY (KECEPATAN SESAAT)

y Δr” v

Δr‟

B”,t2”

A,t1 B’,t2' Δr r2” r1

B,t2

r2' r2

O

x

Gambar 2.2 Memperkecil pergeseran dan selang waktu.

Tinjau kembali Pers. (2-1). Dalam pengukuran, kita dapat memilih pergeseran dan selang waktu yang „lebar‟ ataupun „sempit‟. Namun, semakin „lebar‟ pergeseran dan selang waktu yang dipilih, semakin samar pula informasi kecepatan yang kita dapatkan. Sebaliknya, dengan semakin memperkecil pergeseran dan selang waktu, diharapkan semakin terperinci informasi kecepatan yang didapatkan. Pada gambar 2.2, titik-titik B, B’, dan B” memperlihatkan keadaan yang berbeda-beda saat t 2 , t2 ’, dan t 2 ” yang masing- masing dinyatakan oleh vektor posisi r, r‟, dan r”. Vektor pergeseran Δr, Δr‟, dan

Δr” arahnya berbeda dan semakin pendek, demikian pula dengan selang waktunya Δt (= t 2 – t 1 ), Δt‟ (= t 2 ‟ – t 1 ), dan Δt” (= t 2 ” – t 1 ) menjadi semakin kecil. Sehingga kecepatan rata-rata di masing- masing titik akan berbeda besar dan arahnya pula. Dengan membuat B semakin mendekat ke titik A, perbandingan antara pergeseran dan selang waktu mendekati harga limit tertentu. Meski pergeseran dan selang waktu sangat kecil, mendekati nol, namun hasil perbandingannya belum tentu kecil. Harga limit Δr/Δt dengan Δt yang menuju nol inilah yang disebut sebagai kecepatan sesaat (instantaneous velocity) partikel di titik A pada saat t, yang secara matematis dituliskan sebagai ∆r ∆𝑡→0 ∆𝑡

v = lim

Dalam Kalkulus, harga limit menuju nol tersebut disebut turunan (derivative) r terhadap t ∆r 𝑑r = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡

v = lim

(2-2)

Besar kecepatan sesaat disebut sebagai kelajuan (speed) dan diartikan sebagai harga mutlak dari v, yaitu 𝑣= v =

𝑑r 𝑑𝑡 (2-3)

Perhatikan perbedaan notasi v, dicetak tebal yang berarti vektor kecepatan sesaat, dengan v, dicetak miring yang berarti kelajuan atau besar dari vektor kecepatan sesaat. Tanda mutlak pada Pers. (2-3) berarti kelajuan selalu berharga positif. Gerak Satu Dimensi/Gerak Lurus Sejauh ini, persamaan-persamaan dituliskan untuk sistem koordinat tiga dimensi. Pada aplikasinya kita hanya butuh sedikit penyesuaian bergantung koordinat yang dianalisis. Sebagai contoh, untuk partikel yang bergerak pada arah horizontal (sepanjang sumbu x), kita tinggal menuliskan ∆𝑥 𝑑𝑥 = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡

𝑣𝑥 = lim

(2-4a)

sedangkan untuk gerak partikel pada arah vertikal (sepanjang sumbu y) ∆𝑦 𝑑𝑦 = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡

𝑣𝑦 = lim

(2-4b) Gerak satu dimensi pada arah vertikal akan dibahas tersendiri nanti. Perhatikan, pada kedua persamaan gerak satu dimensi tersebut besaran vektor digantikan oleh besaran skalar yang bersesuaian dengan sumbu koordinatnya. Dengan kata lain, dalam analisis gerak satu dimensi kita cukup menggunakan besaran skalarnya saja. Namun harus tetap diingat bahwa pada dasarnya besaran tersebut adalah vektor.

2.D ACCELERATION (PERCEPATAN) Percepatan (acceleration) sebuah partikel didefinisikan sebagai laju/rasio (rate) perubahan kecepatan terhadap waktu. Percepatan muncul karena selama geraknya partikel dapat mengalami perubahan kecepatan baik besar maupun arahnya. Perhatikan Gambar 2.3 berikut ini

Gambar 2.3 Contoh partikel yang bergerak dengan kecepatan yang berubah .

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan yang berubah. Di titik A kecepatannya v1 , dimana vektor kecepatannya menyinggung lintasan partikel di titik A, dalam waktu t 1 . Sedangkan di titik B kecepatannya v2 , vektor kecepatannya juga menyinggung lintasan partikel di titik B, dalam waktu t 2 . Gambar segitiga di kanan adalah diagram vektor perubahan kecepatannya Δv = v2 – v1 . Seperti halnya kecepatan, percepatan adalah besaran vektor yang juga ditentukan oleh besar dan arahnya. Pe rcepatan rata-rata dinyatakan sebagai a=

v 2 − v1 ∆v = 𝑡2 − 𝑡1 ∆𝑡

(2-5)

Arah percepatan sama dengan arah Δv dan besarnya adalah ∆v ∆𝑡 yang dinyatakan dalam satuan kecepatan dibagi oleh satuan waktu, misalnya meter per sekon per sekon atau meter per sekon kuadrat (m/s2 ). Karena percepatan bisa berubah-ubah besar dan arahnya, maka perlu didefinisikan percepatan partikel di suatu saat sembarang yang disebut sebagai percepatan sesaat, yaitu ∆v 𝑑v = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡

a = lim

(2-6)

Dengan demikian, percepatan partikel pada saat t adalah harga limit Δv/Δt untuk Δv dan Δt yang menuju nol. Arah dari percepatan sesaat a adalah arah limit dari perubahan vektor kecepatan Δv. Besar percepatan sesaat a adalah a = 𝑑v/𝑑𝑡 . Perhatikan bahwa hubungan a dan v pada Pers. (2-6) sama dengan hubungan r dan v pada Pers. (2-2).

Ditinjau dari besarnya percepatan (a), terdapat tiga kemungkinan gerak satu dimensi/lurus yang dapat dialami oleh partikel, yaitu: 1. Gerak Lurus Beraturan/GLB (One-Dimentional Motion with Constant Velocity), dengan percepatan nol. 2. Gerak Lurus Berubah Beraturan/GLBB (One-Dimentional Motion with Constant Acceleration), dengan percepatan konstan. 3. gerak lurus dengan percepatan berubah, untuk sementara pembahasan dibatasi pada percepatan sebagai fungsi waktu. 2.E GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN/GLBB (ONE-DIMENTIONAL MOTION WITH CONSTANT ACCELERATION) Pada sub pembahasan ini, kita membatasi pada dua hal, yaitu: gerak partikel satu dimensi pada arah horizontal (sumbu x) dan percepatannya ax = konstan. Percepatan konstan bermakna bahwa dalam sembarang selang waktu percepatan rata-ratanya selalu sama dengan percepatan sesaat ax. Misalkan diambil kondisi pengamatan sebagai syarat batas pada saat mula- mula, t 1 = 0 dan t2 adalah sembarang waktu t. Misalkan pula v x0 adalah kecepatan saat t = 0 dan v x adalah kecepatan pada sembarang saat t. (Perhatikan, notasi-notasi yang digunakan menunjukkan bahwa percepatan dan kecepatan hanya diambil adalah besaran skalarnya saja.) Kemudian kita analisis Pers. (2-5) dengan aljabar biasa 𝑎𝑥 = atau

∆𝑣𝑥 𝑣𝑥 − 𝑣𝑥 0 = ∆𝑡 𝑡−0

𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 0 + 𝑎𝑥 𝑡 (2-7) Sebagai bandingan, kita gunakan Kalkulus untuk menganalisis Pers. (2-6) 𝑎𝑥 = 𝑥 𝑥0

𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑡

𝑑𝑣𝑥 =

0

𝑎𝑥 𝑑𝑡

maka 𝑣𝑥 − 𝑣𝑥 0 = 𝑎𝑥 𝑡 − 0 atau

𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 0 + 𝑎𝑥 𝑡

yang memberikan hasil serupa dengan Pers. (2-7). Perhatikan bahwa Pers. (2-7) menunjukkan kecepatan sebagai fungsi waktu, yang berarti kecepatan partikel v x pada setiap saat t adalah jumlah dari harganya pada saat mula- mula (t = 0), yaitu v x0 , dengan perubahan kecepatan selama selang waktu t, yaitu axt. Gambar 2.4 memperlihatkan kecepatan v x naik secara seragam (uniform) menurut Pers. (2-7) yang juga nampak kemiringan (slope/gradient) kurvanya konstan dan setiap saat berharga sama dengan ax (= dv x/dt). Pada kondisi percepatan konstan (GLBB), kecepatan rata-ratanya sama dengan setengah dari jumlah kecepatan awal dan akhir selang waktu yang diamati, atau 𝑣𝑥 =

1 𝑣 + 𝑣𝑥 2 𝑥0 (2-8)

Selanjutnya, jika posisi partikel pada t = 0 adalah x 0 , maka untuk mendapatkan posisi partikel pada sembarang waktu t kita gunakan Pers. (2-4a) 𝑣𝑥 = subtitusi Pers. (2-7) dan dengan sedikit Kalkulus 𝑥

𝑡

𝑑𝑥 = 𝑥0

𝑑𝑥 𝑑𝑡

0

𝑣𝑥 0 + 𝑎𝑥 𝑡 𝑑𝑡

1 𝑥 − 𝑥 0 = 𝑣𝑥 0 𝑡 + 𝑎𝑡 2 2

maka diperoleh

1 𝑥 = 𝑥 0 + 𝑣𝑥 0 𝑡 + 𝑎𝑡 2 2 (2-9)

Seperti halnya kecepatan sebagai fungsi waktu, Pers. (2-9) ini menunjukkan bahwa posisi partikel juga sebagai fungsi waktu dengan suku t 2 yang berarti bentuk kurva grafik posisi versus (x vs. t) waktu adalah parabolik (kuadratik) seperti pada Gambar 2.5.

Gambar 2.4 Plot grafik vx vs. t untuk gerak partikel dengan percepatan konstan (GLBB).

Gambar 2.5 Plot grafik x vs. t untuk gerak partikel dengan percepatan konstan (GLBB).

Perhatikan, dengan mengintegralkan percepatan kita bisa mendapatkan kecepatan, Pers. (2-7). Kemudian dengan mengintegralkan kecepatan kita mendapatkan posisi, Pers. (2-9). Maka, sebaliknya dengan mendiferensialkan posisi, akan didapatkan kecepatan, dan dengan mendiferensialkan kecepatan akan didapatkan percepatan. Jika telah memahami teknik yang digunakan dalam analisis GLBB ini, maka dengan mudah kita menganalisis untuk kasus GLB yang lebih sederhana maupun gerak lurus dengan percepatan sebagai fungsi waktu yang lebih kompleks. 2.F GERAK LURUS BERATURAN/GLB (MOTION WITH CONSTANT VELOCITY) GLB yang merupakan gerak partikel dengan kecepatan konstan adalah bentuk gerak yang paling sederhana. Perhatikan kembali pasal 2.D tentang percepatan sebelumnya, “…Percepatan muncul karena selama geraknya partikel dapat mengalami perubahan kecepatan baik besar maupun arahnya…” Jika kita membuat pertanyaan dari pernyataan itu, “Bagaimana jika selama geraknya partikel tidak mengalami perubahan besar maupun arah kecepatan?” Maka dapat dengan mudah dijawab, tentu tidak akan muncul percepatan. Asumsi yang digunakan untuk GLBB lebih dipersempit lagi, yaitu gerak partikel satu dimensi pada arah horizontal (sumbu x) dengan kecepatan konstan pada sembarang waktu t. Maka v x = vx0 , sehingga Pers. (2-5) menjadi 𝑎𝑥 =

𝑣𝑥 − 𝑣𝑥 0 𝑣𝑥 − 𝑣𝑥 = =0 𝑡−0 𝑡

Kita bisa pula melakukan cross-check menggunakan Pers. (2-7) dengan mensubtitusikan ax = 0 untuk memperoleh v x = v x0 . Jelaslah bahwa pada GLB percepatannya adalah nol. Posisi partikel pada sembarang waktu t dapat diperoleh dari Pers. (2-9) juga dengan mensubtitusikan ax = 0 𝑥 = 𝑥 0 + 𝑣𝑥 𝑡 (2-10) atau bisa pula dengan mengintegralkan Pers. (2-4a) 𝑣𝑥 = 𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑡

𝑑𝑥 = 0

0

𝑣𝑥 𝑑𝑡

𝑥 = 𝑥 0 + 𝑣𝑥 𝑡

Intinya adalah, kita tidak perlu menghafalkan semua rumus GLB dan GLBB secara terpisah. Pahami saja konsep atau ide besarnya, lalu turunkan sendiri rumus-rumus yang diperlukan berdasarkan kondisi-kondisi batas sesuai kasusnya. Kita bisa berbekal Pers. (2-7) dan (2-9) untuk GLBB dan kemudian menghilangkan suku ax dan sedikit penyesuaian untuk kasus GLB. Secara mudah kita dapat menggambarkan grafik x vs. t dan v x vs. t untuk kasus GLBB pola dasarnya adalah seperti pada Gambar 2.6 berikut ini

Gambar 2.6 Grafik x vs. t dan v x vs. t untuk GLB. Perhatikan, pada kasus GLBB jika ingin memplot grafik ax vs. t maka kita akan mendapatkan kurva yang mirip dengan Gambar 2.6(b). 2.G GERAK LURUS DENGAN PERCEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU Gerak partikel yang mengalami percepatan sebagai fungsi waktu masih tergolong mudah untuk dianalisis. Kita tinggal menggunakan Kalkulus diferensial – integral seperti halnya pada kasus GLBB. Karena gerak partikel dibatasi pada arah horizontal (sumbu x) besaran-besaran vektor (a, v, dan x) dapat disederhanakan dengan menganalisis skalarnya saja. Ingatlah prinsip: 1. dengan mengintegralkan percepatan akan didapatkan kecepatan 𝑣𝑥 =

𝑎𝑥 𝑑𝑡

2. dengan mengintegralkan kecepatan akan didapatkan posisi 𝑥=

𝑣𝑥 𝑑𝑡

sebaliknya: 1. dengan mendiferensialkan posisi akan didapatkan kecepatan 𝑑𝑥 𝑣𝑥 = 𝑑𝑡 2. dengan mendiferensialkan kecepatan akan didapatkan percepatan 𝑑𝑣 𝑎𝑥 = 𝑥 𝑑𝑡 Tinggal memasukkan kondisi-kondisi batas dengan cermat sesuai persoalan yang diberikan. 2.F GERAK LURUS PADA ARAH VERTIKAL Gerak yang dialami benda pada arah vertikal (sumbu y) tentu sangat dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi yang secara natural selalu ada. Meski bervariasi di berbagai lokasi di permukaan bumi karena perbedaan ketinggian, percepatan gravitasi bumi g dianggap (hampir) konstan. Di berbagai literatur besarnya percepatan gravitasi bumi adalah 9,8 m/s 2 , namun kadang-kadang (terutama di tingkatan SMP/SMA) digunakan nilai 10 m/s2 dalam berbagai contoh soal untuk sekedar memudahkan perhitungan. Dengan menganggap tidak ada pengaruh terhadap partikel yang bergerak vertikal selain gravitasi dan karena percepatan gravitasi bumi g dianggap konstan, maka gerak lurus pada arah vertikal dapat

dipandang sebagai GLBB. Arah vertikal ke atas diambil sebagai sumbu y positif, sehingga percepatan gravitasi g yang mengarah ke pusat bumi (sumbu y negatif) bertanda negatif (Pilihan ini bebas. Bisa saja dipilih positif ke arah bawah). Persamaan-persamaan GLBB dapat diterapkan dengan mengubah x menjadi y, posisi awal sebagai titik asal y0 = 0, maka diperoleh 𝑣𝑦 = 𝑣𝑦0 − 𝑔𝑡 1 𝑦 = 𝑣𝑦0 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2

(2-11)

(2-12) Untuk gerak jatuh bebas: 1. istilah „jatuh bebas‟ mengacu kepada keadaan fisis dimana jatuhnya partikel hanya dipengaruhi oleh gravitasi semata (gesekan dengan udara dapat diabaikan) 2. partikel dijatuhkan secara bebas, bukan dilemparkan, maka kecepatan awal v y0 = 0 3. jangan bingung dengan hasil perhitungan kecepatan yang menghasilkan harga v y negatif karena maksudnya adalah partikel yang jatuh bergerak mengarah ke pusat bumi (sumbu y negatif) 4. jangan bingung pula dengan hasil perhitungan jarak yang menghasilkan harga y negatif, misalnya – 10 meter, karena maksudnya adalah posisi partikel tersebut sekarang ada pada jarak 10 meter dari titik awal ia mulai dijatuhkan (atas) Untuk gerak ke atas: 1. kecepatannya berkurang seiring dengan ketinggian yang bertambah, di titik puncak (ketinggian maksimum) kecepatannya v y = 0, gunakan fakta ini sebagai parameter persamaan gerak untuk menjawab persoalan 2. partikel yang dilemparkan ke atas kemudian jatuh bebas, di titik ketinggian yang sama besar kecepatan v y adalah sama dengan tanda +/- yang berbeda, saat bergerak ke atas v y positif sedangkan saat jatuh v y negatif

Referensi: Halliday & Resnick, Fisika, jilid 1, edisi ketiga http://www.physicsclassroom.com/Class/1DKin/ NOVRIAN EKA SANDHI http://nesandhi.wordpress.com [email protected] This material is for education use only. You are free to copy and redistribute.