Kefalaio A3

3.1. Η έννοια της συνάρτησης

1.

Είναι η παρακάτω σχέση είναι συναρτήση; Οι προσερχόμενοι σε κάποιο Γυμναστήριο αφήνουν για λόγους ασφαλείας τα χρήματά τους στον υπεύθυνο. Υπάρχει συνάρτηση ανάμεσα στα ονοματεπώνυμα των μελών και τα χρήματά τους; Δικαιολογείστε την απάντηση σας. (Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν μέλη με το ίδιο ονοματεπώνυμο)

2.

Μπορείς να βρεις δύο σχέσεις, από την καθημερινή σου ζωή, που να είναι συναρτήσεις και δύο που να μην είναι;

3.2. Η γραφική παράσταση συνάρτησης

1.

Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει μία διαδρομή. Η απόσταση x (σε km) που διανύει σε σχέση με το χρόνο t (σε h) δίνεται από τον τύπο x=

1 2 ⋅t . 2

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Χρόνος t

0

1

1,5

1,6

Απόσταση x

1,7

2

… …

γ) Να παραστήσετε στο σύστημα αξόνων τα παραπάνω σημεία.

δ) Να βρείτε και άλλα σημεία που ικανοποιούν αυτή τη σχέση. ε) Από την γραφική παράσταση να βρείτε πόση απόσταση θα έχει διανύσει μετά από 3,5 ώρες και να το επαληθεύσετε από τον τύπο. στ) Μετά από πόση ώρα έχει διανύσει 5,3 km; Να κάνετε επαλήθευση από την γραφική παράσταση.

ζ) Ο Νίκος είπε: «το σημείο (

1 ,1) ανήκει στη γραφική παράσταση». Συμφωνείς; 2

η) Πως μπορούμε να καταλάβουμε από μία γραφική παράσταση ότι μία σχέση είναι συνάρτηση;

2.

Σε ένα μετεωρολογικό σταθμό, σε κάθε χρονική στιγμή t, αντιστοιχεί μια ορισμένη τιμή της θερμοκρασίας θ της ατμόσφαιρας. Αυτό σημαίνει ότι η θερμοκρασία εκφράζεται ως συνάρτηση του χρόνου. Ένας θερμογράφος καταγράφει σε μια χαρτοταινία τη θερμοκρασία σε κάθε χρονική στιγμή. Έτσι σε ένα 24/ωρο μας έδωσε την παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. α) Να βρεθεί ποια ώρα είχαμε τη μέγιστη και ποια την ελάχιστη τιμή της θερμοκρασίας και ποιες ήταν αυτές. β) Να βρεθεί ποια χρονικά διαστήματα η θερμοκρασία ήταν πάνω από το μηδέν και ποια κάτω από το μηδέν. γ) Να βρεθεί ποια χρονικά διαστήματα η θερμοκρασία αυξανόταν και ποια ελαττωνόταν. δ) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. t θ

3

8

20 10

-6

3.

Μπορείς να κάνεις μία καμπύλη που να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης και μία που να μην είναι;

4.

Δίνονται τα παρακάτω σημεία: (0,0) (-3,-3)

(1,2)

(1,1)

(1,3) (

1 1 , ) 2 2

(5,10) (-2,-4)

(2,2)

(3,7)

(2,4)

(4,9)

(3,6)

Α. α) Επιλέξτε σημεία των οποίων οι συντεταγμένες συνδέονται με μία συγκεκριμένη σχέση και πείτε ποια είναι η σχέση αυτή; γ) Να αναπαραστήσετε γραφικά τα σημεία αυτά. δ) Υπάρχουν άλλα σημεία του επιπέδου των οποίων οι συντεταγμένες να συνδέονται με την ίδια σχέση; ε) Είναι η σχέση αυτή συνάρτηση;

Β. Απαντήστε στα ίδια ερωτήματα επιλέγοντας σημεία που συνδέονται με διαφορετική σχέση; Γ. Ο Μανώλης ισχυρίζεται ότι: «έχω βρει σημεία που συνδέονται με μία συγκεκριμένη σχέση. Τα (1,2) (1,1) (1,3) έχουν όλα τετμημένη 1 και τεταγμένη έναν αριθμό». Είναι η παραπάνω σχέση συνάρτηση;

3.3. Η συνάρτηση y=αx 1.

Δίνονται οι παρακάτω πίνακες τιμών. κ

2

-4

4,8

6

7,2

λ

0,5

-1

1,2

1,5

1,8

x

2

5

-3

1,5

-1

z

4

25

9

2,25

1

α) Να εξετάσετε αν τα ποσά στους παραπάνω πίνακες είναι ανάλογα. β) Να γράψετε το λ ως συνάρτηση του κ και το z ως συνάρτηση του x.

2.

Η Ελένη πηγαίνει στην Τράπεζα να καταθέσει τα χρήματά της και βλέπει πολύ κόσμο

να περιμένει. Παίρνει το «χαρτάκι» με το νούμερο της να είναι 102, ενώ εκείνη τη στιγμή εξυπηρετείται ο πελάτης με τον αριθμό 35. Η Ελένη έχει και άλλες δουλειές να κάνει. Σκέψου έναν τρόπο να της πεις σε πόση ώρα περίπου θα πρέπει να γυρίσει στην Τράπεζα για να καταθέσει τα χρήματά της. (Ας δεχτούμε ότι κάθε πελάτης θέλει τον ίδιο χρόνο για να εξυπηρετηθεί)

3.4. Η συνάρτηση y=αx+β 1.

Δύο γραφεία ενοικιάζουν αυτοκίνητα. Το πρώτο παίρνει για δικαιώματα ενοικίασης 30 ευρώ και 2 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο. Το δεύτερο παίρνει 10 ευρώ και 6 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο ενοικίασης. α) Να βρεθούν οι συναρτήσεις που μας δίνουν το ποσό που πρέπει να πληρώσουμε σε κάθε γραφείο για τα x χιλιόμετρα. β) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα αξόνων. γ) Ποιο από τα δύο γραφεία συμφέρει περισσότερο;

2.

Το μήκος s ενός σταλακτίτη σε mm εκφράζεται ως συνάρτηση του χρόνου t σε έτη και είναι s=963+0,8t Το ύψος h ενός σταλαγμίτη που βρίσκεται απέναντί του σε mm, εκφράζεται επίσης ως συνάρτηση του χρόνου t σε έτη και είναι h=747+0,7t.

Η απόστασή τους μετρήθηκε το 1952 και βρέθηκε ίση με 2133mm. α) Να εκφράσετε την απόστασή τους ως συνάρτηση του χρόνου. β) Ποιο έτος θα συναντηθούν;

3.

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας του σχήματος. β) Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση και την εξίσωση της ευθείας να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα x

-0,6

y

4.

1,2 0

1

0 -2

α) Με χρήση του προγράμματος graph να βρείτε ποιος είναι ο ρόλος του α και ποιος ο ρόλος του β στην γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx+β. β) Με τη βοήθεια του πίνακα τιμών, της γραφικής παράστασης και του τύπου αιτιολογήστε την απάντησή σας στο (α)

5.

α) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=3x-1 , y=-2x+4 στο ίδιο σύστημα αξόνων. β) Μπορείτε να μαντέψετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=-2x-1 , y=3x+0,3, χωρίς να κάνετε πίνακα τιμών; γ) Από τις γραφικές παραστάσεις πείτε ποια από τις προηγούμενες τέσσερις συναρτήσεις παίρνει τη μικρότερη τιμή όταν x=-2; δ) Να επαληθεύσετε την απάντηση στο γ) χρησιμοποιώντας τους τύπους των συναρτήσεων.

6.

Υπάρχει τιμή του λ για την οποία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+4 και y=(3λ+7)x-8 να είναι παράλληλες;

3.5. Η συνάρτηση y=

1.

α - Η υπερβολή x

Τα ποσά x, y είναι αντιστρόφως ανάλογα. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. x y

2

-1 1,5

3 -2

-2,4 -1,2

0 6

-4

… …

β) Να αναπαραστήσετε γραφικά τα σημεία αυτά. γ) Μπορείτε να βρείτε άλλα σημεία του επιπέδου των οποίων οι συντεταγμένες να συνδέονται με την ίδια σχέση; δ) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x.

2.

Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής του σχήματος.

3.

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τη σχέση που υπάρχει μεταξύ της απόστασης x από το έδαφος και της πυκνότητας οξυγόνου y στον αέρα. x y

100 10

200 5

400 2,5

800 1,25

α) Να βρείτε έναν τρόπο να υπολογίζετε την πυκνότητα του οξυγόνου όταν γνωρίζουμε το υψόμετρο. β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. γ) Ποια η πυκνότητα του οξυγόνου στα 1500 m; δ) Ο άνθρωπος μπορεί να αναπνεύσει αρκεί η πυκνότητα του οξυγόνου να είναι μεγαλύτερη από 0,2. Να βρείτε μέχρι ποιος υψόμετρο μπορεί να αναπνεύσει ο άνθρωπος.

4.

α) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=

2 3 , y= − x x

στο ίδιο σύστημα αξόνων. β) Μπορείτε να μαντέψετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y= −

2 3 , y= , x x

χωρίς να κάνετε πίνακα τιμών; γ) Από τις γραφικές παραστάσεις πείτε ποια από τις προηγούμενες τέσσερις συναρτήσεις παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή όταν x=6; δ) Να επαληθεύσετε την απάντηση στο γ) χρησιμοποιώντας τους τύπους των συναρτήσεων

Ψάχνοντας για πακέτα σύνδεσης κινητής τηλεφωνίας που παρέχουν απεριόριστα μηνύματα βρήκες τις παρακάτω δύο προσφορές:

Προσφορά* Απεριόριστα μηνύματα με πάγιο 9€ το μήνα**

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 10’

Χρέωση 9€ 3€ 12€

Προσφορά* Απεριόριστα μηνύματα με πάγιο 12,4€ το μήνα**

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 20’

*

*

Σταθερή χρέωση ανά λεπτό ομιλίας

**

Η προσφορά ισχύει για ένα χρόνο

Σταθερή χρέωση ανά λεπτό ομιλίας

**

Η προσφορά ισχύει για ένα χρόνο

1. Μπορείς να καταλάβεις με μια ματιά ποια σύνδεση σε συμφέρει περισσότερο;

2. Ζήτησες τη συμβουλή κάποιου φίλου σου και σου είπε ότι οι διαφημίσεις συνήθως είναι παραπλανητικές. Σε συμβούλεψε να θυμηθείς πόσο χρόνο μιλούσες με το κινητό σου τους προηγούμενους μήνες και να υπολογίσεις τον λογαριασμό για καθεμία προσφορά ξεχωριστά.

Χρέωση 12,4€ 4€ 16,4€

Συμπλήρωσε τους παρακάτω πίνακες:

Χρόνος ομιλίας Χρέωση χρόνου ομιλίας Πάγιο Σύνολο

Χρόνος ομιλίας Χρέωση χρόνου ομιλίας Πάγιο Σύνολο

Τι παρατηρείς;

10’ 3€ 9€ 12€

20’

30’

40’

50’

60’

30’

40’

50’

60’

9€

20’ 4€ 12,4€ 16,5€

12,4€

3. Κάπου άκουσες ότι μερικές φορές γίνεται λάθος στον λογαρισμό των κινητών τηλεφωνιών. Αποφάσισες ότι πρέπει να βρεις έναν τρόπο να υπολογίζεις τη χρέωση με βάση το πόσα λεπτά μίλησες κάθε μήνα. Έτσι θα είσαι σίγουρος ότι ο λογαρισμός είναι σωστός.

Με όσα δεδομένα έχεις μέχρι τώρα, μπορείς να βρεις έναν τρόπο να υπολογίζεις τη χρέωση για όσα λεπτά έχεις μιλήσει;

4. Δύο λογαριασμοί από κάθε εταιρεία δεν αναγράφουν την χρέωση. Βοήθησε τις εταιρείες να συμπληρώσουν τους λογαριασμούς.

α) Λογαριασμός περιόδου 1/11/2008-30/11/2008

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 27’

Χρέωση 9€

Λογαριασμός περιόδου 1/11/2008-30/11/2008

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 27’

Χρέωση 12,4€

β) Λογαριασμός περιόδου 1/11/2008-30/11/2008

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 43’

Χρέωση 9€

Λογαριασμός περιόδου 1/11/2008-30/11/2008

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 43’

Χρέωση 12,4€

5. Ο Νίκος έχει σύνδεση στην CosmoMila. Ο Κώστας έχει σύνδεση στην

ParlaPhone. Οι δύο φίλοι έχουν μια διαφωνία.

Νίκος: «Νομίζω ότι υπάρχει περίπτωση να μιλήσουμε τον ίδιο χρόνο και να έχουμε την ίδια χρέωση.» Κώστας; «Δεν συμφωνώ! Δεν υπάρχει περίπτωση να μιλήσουμε το ίδιο και να πληρώσουμε το ίδιο.»

Ποιος από τους δύο φίλους έχει δίκιο; Πώς θα πείσεις τον άλλον ότι δεν έχει δίκιο;

6. Τελικά, ποια σύνδεση σε συμφέρει περισσότερο; Αιτιολόγησε την απάντησή σου.

7. Προσπάθησε να λύσεις το πρόβλημα γραφικά.