Kefalaio A2

2.1 Η εξίσωση αx+β=0

1.

Ένας μαθητής ξεκινάει το πρωί από το σπίτι του(Σ) και πηγαίνει στο γυμνάσιό του(Γ). Κατόπιν κατευθύνεται στο φροντιστήριο (Φ) για τα αγγλικά του και τελικά επιστρέφει ξανά στο σπίτι του. Η διαδρομή ΓΦ είναι 3km μεγαλύτερη από την ΓΣ και η διαδρομή ΦΣ είναι 2km μικρότερη από την ΓΦ. Βρείτε πόσο απέχουν τα Α, Γ, Φ μεταξύ τους αν γνωρίζετε ότι η συνολική απόσταση που διάνυσε ο μαθητής ήταν : i) 19 km. ii) διπλάσια της 1ης διαδρομής αυξημένη κατά 7. iii) τριπλάσια της 1ης διαδρομής. iv) τριπλάσια της 2ης διαδρομής μειωμένη κατά 5.

Σ Γ

Φ

2.

Ο Πέτρος και ο Τάκης αμείβονται με την ώρα. Ο Πέτρος κερδίζει 2 ευρώ την ώρα περισσότερα από τον Τάκη. Όταν ο Πέτρος εργάζεται 7 ώρες και ο Τάκης 5 ώρες, ο Τάκης κερδίζει 26 ευρώ λιγότερα από τον Πέτρο. Ποιο είναι το ωρομίσθιο καθενός;

3.

Σε ένα café μία παρέα φίλων πηγαίνει και παίρνουν 4 αναψυκτικά και 7 καφέδες. Ζήτησαν τον λογαριασμό και η σερβιτόρα τους είπε ότι: «είναι σύνολο 33,10». α) Μπορείτε να βρείτε πόσο κάνει το αναψυκτικό και πόσο ο καφές; β) Κάποιος από την παρέα θυμόταν ότι το αναψυκτικό είναι 0,80 ευρώ φθηνότερα από τον καφέ. Με αυτό το δεδομένο, μπορείτε να βρείτε πόσο κάνει το αναψυκτικό και πόσο ο καφές;

Ψάχνοντας για πακέτα σύνδεσης κινητής τηλεφωνίας που παρέχουν απεριόριστα μηνύματα βρήκες τις παρακάτω δύο προσφορές:

Προσφορά* Απεριόριστα μηνύματα με πάγιο 9€ το μήνα**

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 10’

Χρέωση 9€ 3€ 12€

Προσφορά* Απεριόριστα μηνύματα με πάγιο 12,4€ το μήνα**

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 20’

Χρέωση 12,4€ 4€ 16,4€

*

*

Σταθερή χρέωση ανά λεπτό ομιλίας

**

Η προσφορά ισχύει για ένα χρόνο

Σταθερή χρέωση ανά λεπτό ομιλίας

**

Η προσφορά ισχύει για ένα χρόνο

1. Μπορείς να ελέγξεις ποια σύνδεση σε συμφέρει περισσότερο;

2. Κάπου άκουσες ότι μερικές φορές γίνεται λάθος στον λογαριασμό των

κινητών τηλεφωνιών. Αποφάσισες ότι πρέπει να βρεις έναν τρόπο να υπολογίζεις τη χρέωση με βάση το πόσα λεπτά μίλησες κάθε μήνα. Έτσι θα είσαι σίγουρος ότι ο λογαριασμός είναι σωστός.

Με όσα δεδομένα έχεις μέχρι τώρα, μπορείς να βρεις έναν τρόπο να υπολογίζεις τη χρέωση για όσα λεπτά έχεις μιλήσει;

3. Ο Νίκος έχει σύνδεση στην CosmoMila. Ο Κώστας έχει σύνδεση στην

ParlaPhone. Οι δύο φίλοι έχουν μια διαφωνία.

Νίκος: «Νομίζω ότι υπάρχει περίπτωση να μιλήσουμε τον ίδιο χρόνο και να έχουμε την ίδια χρέωση.» Κώστας: «Δεν συμφωνώ! Δεν υπάρχει περίπτωση να μιλήσουμε το ίδιο και να πληρώσουμε το ίδιο.»

Ποιος από τους δύο φίλους έχει δίκιο; Πώς θα πείσεις τον άλλον ότι δεν έχει δίκιο;

4. Τελικά, ποια σύνδεση σε συμφέρει περισσότερο; Αιτιολόγησε την απάντησή σου.

2.2 Εξισώσεις 2ου βαθμού

1.

Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου με εμβαδόν 108 m2 . Αν το μήκος του είναι 3 m μεγαλύτερο από το πλάτος του, να βρείτε πόσα μέτρα συρματόπλεγμα χρειάζονται για την περίφραξή του.

2.

Να βρεθεί ένας αριθμός του οποίου το 9-πλάσιο είναι κατά 14 μεγαλύτερο από το τετράγωνό του.

3.

Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) (x-3) ⋅ (2x-1) = 0 ii) (x-3) - (2x-1) = 0

iii) (x+5) ⋅ (2x-1)=15 4.

Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις με δύο τρόπους i) x2 + 5x = 0 ii) 2x2 − 16x = 0 iii) 4x2 + 7 = 0 iv) x2 − 7x + 12 = 0 v) x2 − x + 100 = 0 vi) 2x2 − 24x = 22 vii) x2 + 6x + 9 = 0

2 5. Αν μία ρίζα της εξίσωσης xαx + 4 − 0=

είναι το 2, τότε να βρείτε την άλλη

ρίζα.

6. Δίνετε η εξίσωση

x2 + 6x − 4 = 3x2 − 2x + 14. Εξετάστε αν το 1 είναι ρίζα της

εξίσωσης. 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2x(4x − 3) − 5(3x − 2) = 0 ii) x2 − 1 + x(x − 1) = x2

iii) (x − 3)2 + (x + 4)2 − (x − 5)2 = 17x + 24 iv) (x2 − 3x)(3x2 − 5x + 2) = 0

8.

9.

α) Να βρείτε 3 εξισώσεις 2ου βαθμού, έτσι ώστε: -

η πρώτη να έχει δύο ρίζες

-

η δεύτερη να έχει μία (διπλή) ρίζα

-

η τρίτη να είναι αδύνατη β) Μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο που θα σας δίνει εξισώσεις και από τα τρία είδη;

10.

2.5 Ανισότητες 1. Να τοποθετήσετε το σύμβολο της ανισότητας(>,<): i)

8…4

8-4…0

ii)

6…2

6-2…0

iii)

7…-2

7-(-2)…0

iv) -4…5 v)

-4-5…0

-10…-6

-10-(-6)…0

Συμπερασματικά: αν α>β

τότε

αν α<β

α-β…0

τότε

α-β…0

2.α) Να διατάξετε τους αριθμούς 0, 6, -3, 4, -5 από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. β) Ομοίως για τους αριθμούς που προκύπτουν αν σε καθέναν από τους παραπάνω •

προσθέσετε τον αριθμό 4.

•

αφαιρέσετε τον αριθμό 2.

•

πολλαπλασιάσετε τον αριθμό 5.

•

πολλαπλασιάσετε τον αριθμό -1.

Συμπερασματικά: αν α>β τότε

α+γ…β+γ

και

α-γ…β-γ

αν α>β και γ>0 τότε αγ…βγ αν α>β και γ<0 τότε αγ…βγ 3. Για τον αριθμό x ισχύει ότι x>3. Τι συμπεραίνουμε για τον αριθμό 3x-4 και τι για τον αριθμό -2x+8; 4. Ποιες ιδιότητες της διάταξης πρέπει να εφαρμόσουμε στην ανισότητα α>-5 για να αποδείξουμε τις ανισότητες 4α-3>-23

1 και - α+7<8 ; 5

5. Αν ένας μαθητής έχει στο πορτοφόλι του λιγότερα από 6 ευρώ τότε πόσα θα έχει αν η μητέρα του 3πλασιάσει το ποσό και του πάρει και 5,5 ευρώ;