Kefalaio A2

2.1 Η εξίσωση αx+β=0

1.

Ένας μαθητής ξεκινάει το πρωί από το σπίτι του (Σ) και πηγαίνει στο γυμνάσιό του (Γ). Κατόπιν κατευθύνεται στο φροντιστήριο (Φ) για τα αγγλικά του και τελικά επιστρέφει ξανά στο σπίτι του. Η διαδρομή ΓΦ είναι 3km μεγαλύτερη από την ΓΣ και η διαδρομή ΦΣ είναι 2km μικρότερη από την ΓΦ. Βρείτε πόσο απέχουν τα Α, Γ, Φ μεταξύ τους αν γνωρίζετε ότι η συνολική απόσταση που διάνυσε ο μαθητής ήταν : i) 19 km. ii) διπλάσια της 1ης διαδρομής αυξημένη κατά 7. iii) τριπλάσια της 1ης διαδρομής. iv) τριπλάσια της 2ης διαδρομής μειωμένη κατά 5.

Σ Γ

Φ 2.

Σε ένα café μία παρέα φίλων πηγαίνει και παίρνουν 4 αναψυκτικά και 7 καφέδες. Ζήτησαν τον λογαριασμό και η σερβιτόρα τους είπε ότι: «είναι σύνολο 33,10». α) Μπορείτε να βρείτε πόσο κάνει το αναψυκτικό και πόσο ο καφές; β) Κάποιος από την παρέα θυμόταν ότι το αναψυκτικό είναι 0,80 ευρώ φθηνότερα από τον καφέ. Με αυτό το δεδομένο, μπορείτε να βρείτε πόσο κάνει το αναψυκτικό και πόσο ο καφές;

Καναδικός Μαθηματικός Διαγωνισμός Ένα Επιβατικό αυτοκίνητο ξεκινάει με επιβάτες το δρομολόγιο του. Στη πρώτη στάση, το

1 των επιβατών του αποβιβάζεται και 8 επιβάτες επιβιβάζονται. Στη 3

δεύτερη στάση , το

1 των επιβατών αποβιβάζεται και 2 επιβάτες επιβιβάζονται. 2

Στο αυτοκίνητο είναι πλέον οι μισοί επιβάτες από εκείνους που ξεκίνησαν το δρομολόγιο. Πόσοι επιβάτες ξεκίνησαν ; 2.2 Εξισώσεις 2ου βαθμού

1.

Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου με εμβαδόν 108 m2 . Αν το μήκος του είναι 3 m μεγαλύτερο από το πλάτος του, να βρείτε πόσα μέτρα συρματόπλεγμα χρειάζονται για την περίφραξή του.

2.

Να βρεθεί ένας αριθμός του οποίου το 9-πλάσιο είναι κατά 14 μεγαλύτερο από το τετράγωνό του.

2 3. Αν μία ρίζα της εξίσωσης xαx + 4 − 0=

είναι το 2, τότε να βρείτε την άλλη

ρίζα.

4. Δίνετε η εξίσωση

x2 + 6x − 4 = 3x2 − 2x + 14. Εξετάστε αν το 1 είναι ρίζα της

εξίσωσης.

5.

α) Να βρείτε 3 εξισώσεις 2ου βαθμού, έτσι ώστε: -

η πρώτη να έχει δύο ρίζες

-

η δεύτερη να έχει μία (διπλή) ρίζα

-

η τρίτη να είναι αδύνατη β) Μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο που θα σας δίνει εξισώσεις και από τα τρία είδη;

6.

2.4 Κλασματικές εξισώσεις

1.

α) Να λυθεί η εξίσωση

x+2 2 1 − 2 = και στην συνέχεια να επαληθεύσετε x − 2 x − 2x x

τις λύσεις που βρήκατε. β) Να βρείτε έναν γενικό τρόπο σύμφωνα με τον οποίο θα λύνετε κλασματικές εξισώσεις.

2.

Να εξετάσετε αν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις: x2 − 9 = 5 και x2 − 9 = 5(x − 3) x−3

3.

Να βρεθούν δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα 10, ενώ το άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι

5 . 8

4. Ένας μαθητής κατά την επίλυση της εξίσωσης

−5 x = έκανε τον x −5 5 −x

παρακάτω συλλογισμό: «Θα κάνω χιαστί και έτσι θα έχω -5(5-x)=x(x-5). Μετά θα απλοποιήσω τις παρενθέσεις και θα προκύψει μία εξίσωση 2ου βαθμού την οποία μπορώ να λύσω με Διακρίνουσα.» Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την σκέψη του μαθητή. Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 5.

Να δημιουργήσετε ένα πρόβλημα που να οδηγεί σε κλασματική εξίσωση και στην συνέχεια να την λύσετε.

2.5 Ανισότητες

Ψάχνοντας για πακέτα σύνδεσης κινητής τηλεφωνίας που παρέχουν απεριόριστα μηνύματα βρήκες τις παρακάτω δύο προσφορές:

Προσφορά* Απεριόριστα μηνύματα με πάγιο 9€ το μήνα**

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 10’

Χρέωση 9€ 3€ 12€

Προσφορά* Απεριόριστα μηνύματα με πάγιο 12,4€ το μήνα**

Μηνύματα Πάγιο(με ΦΠΑ) Χρόνος ομιλίας Σύνολο

(Απεριόριστα) 20’

Χρέωση 12,4€ 4€ 16,4€

*

*

Σταθερή χρέωση ανά λεπτό ομιλίας

**

Η προσφορά ισχύει για ένα χρόνο

Σταθερή χρέωση ανά λεπτό ομιλίας

**

Η προσφορά ισχύει για ένα χρόνο

1. Μπορείς να ελέγξεις ποια σύνδεση σε συμφέρει περισσότερο;

2. Ο Νίκος έχει σύνδεση στην CosmoMila. Ο Κώστας έχει σύνδεση στην

ParlaPhone. Οι δύο φίλοι έχουν μια διαφωνία.

Νίκος: «Νομίζω ότι υπάρχει περίπτωση να μιλήσουμε τον ίδιο χρόνο και να έχουμε την ίδια χρέωση.» Κώστας: «Δεν συμφωνώ! Δεν υπάρχει περίπτωση να μιλήσουμε το ίδιο και να πληρώσουμε το ίδιο.»

Ποιος από τους δύο φίλους έχει δίκιο; Πώς θα πείσεις τον άλλον ότι δεν έχει δίκιο; 1. Ένας μαθητής έχει στο πορτοφόλι του λιγότερα από 6 ευρώ. Πόσα θα έχει αν η μητέρα του 3πλασιάσει το ποσό, αλλά του πάρει τα 5,5 ευρώ;

2. Οι μαθητές μιας τάξης της Γ Γυμνασίου προγραμμάτιζαν μία μονοήμερη εκδρομή. Για το λόγο αυτό ζήτησαν προσφορές από δύο πρακτορεία. «O σίφουνας»: 75 ευρώ για τον οδηγό και 2 ευρώ για κάθε km. «O χλίδας»: 30 ευρώ για τον οδηγό και 5 ευρώ για κάθε km. Αν ήσασταν στο 5μελές της τάξης ποιο από τα δύο θα επιλέγατε;

3. Δύο συμμαθητές είχαν τον παρακάτω διάλογο, στην προσπάθειά τους κατανοήσουν τις ιδιότητες των ανισοτήτων: Μάνος: «Αν έχουμε δύο ανισότητες μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη!» Ειρήνη: «Λες να ισχύει; Τότε θα μπορούμε και να τις αφαιρέσουμε κατά μέλη» Μάνος: «Λογικά ναι. Και να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε κατά μέλη μπορούμε» Τι θα λέγατε εσείς στους δύο συμμαθητές σχετικά με τον διάλογό τους; Πως θα επιχειρηματολογούσα την απάντησή σας;

Γρίφος - Τρία καπέλα (****) Τρεις λογικολόγοι κάθονται σε μία σειρά, έτσι ώστε ο τελευταίος να βλέπει τους δύο μπροστινούς του, ο μεσαίος τον πρώτο και ο πρώτος κανέναν. Ένας κριτής φοράει στον καθένα τους από ένα άσπρο ή ένα κόκκινο καπέλο. Τους λέει πως τουλάχιστον ένα καπέλο είναι κόκκινο, αλλά κανείς τους δεν μπορεί να δει το καπέλο που φοράει. Κερδίζει όποιος βρει το χρώμα του καπέλου του, ξεκινώντας από τον τρίτο στη σειρά. Αυτός δηλώνει πως δεν ξέρει τι χρώμα καπέλο φοράει. Έρχεται η σειρά του δεύτερου, ο οποίος λέει το ίδιο. Όταν έρχεται η σειρά του πρώτου, παρόλο που δεν βλέπει κανέναν τους, δηλώνει με ικανοποίηση πως ξέρει τι χρώμα καπέλο φοράει. Πως το βρήκε και τι χρώμα είναι αυτό;