Kebebasan Linier.docx

KEBEBASAN LINIER  Definsi Kebebasan Linier Definisi : Jika S = {𝑣1, 𝑣2,

… ,

𝑣𝑟 } adalah suatu himpunan vektor-vektor

tak-kosong, maka persamaan vektor 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑣2 + … + 𝑘𝑟 𝑣𝑟 = 0 Mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu 𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0, … , 𝑘𝑟 = 0 Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linier. Jika ada enyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linier.

Dalam kita menyelesaikan persamaan vektor 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑣2 + … + 𝑘𝑟 𝑣𝑟 = 0, nantinya kita akan menghadapi sebuah Sistem Persamaan Linier. Untuk menentukan

apakah

Sistem

Persamaan

Linier

hanya

dipenuhi

oleh

𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0, … , 𝑘𝑟 = 0, kita bisa menggunakan beberapa cara. Jika, matriks koefisiennya merupakan matriks persegi atau matriks n×n, maka kita dapat memanfaatkan nilai determinannya. Jika determinan dari matriks tersebut tidak nol,

maka

SPL

tersebut

hanya

mempunyai

solusi

trivial

𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0, … , 𝑘𝑟 = 0 yang dapat dikatakan bebas secara linier. Sebaliknya, jika determinannya bernilai nol maka SPL tersebut dikatakan tak-bebas secara linier. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan sebuah matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persamaan tersebut, misalnya dengan menggunakan eliminasi Gauss. Jika solusi dari 𝑘1 , 𝑘2 , . . ., 𝑘𝑟 sama dengan nol atau 𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0, … , 𝑘𝑟 = 0, maka dapat dikatakan bebas secara linier. Sebaliknya, jika solusi dari 𝑘1 , 𝑘2 , . . ., 𝑘𝑟 tidak sama dengan nol, maka dikatakan tak-bebas secara linier.

Contoh 1 : Jika 𝑣1 = (2, −1, 0, 3), 𝑣2 = (1, 2, 5, −1) dan 𝑣3 = (7, −1, 5, 8), maka himpunan vektor-vektor S = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } tak bebas secara linier, karena 3𝑣1 + 𝑣2 − 𝑣3 = 0. Contoh 2 : Tentukan apakah vektor-vektor dibawah ini 𝑣1 = (1, −2, 3),

𝑣2 = (5, 6, −1),

𝑣3 = (3, 2, 1)

Membentuk suatu himpunan yang tak bebas secara linier atau himpunan yang bebas secara linier. Penyelesaian: Dalam bentuk komponen, persamaan vektor 𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑣2 + … + 𝑘𝑟 𝑣𝑟 = 0 menjadi 𝑘1 (1, −2, 3) + 𝑘2 (5, 6, −1) + 𝑘3 (3, 2, 1) = (0, 0, 0) atau secara ekuivalen (𝑘1 + 5𝑘2 + 3𝑘3 , −2𝑘1 + 6𝑘2 + 2𝑘3 , 3𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 ) = (0, 0, 0) Dengan menyamakan komponen-komponen yang berkepadanan kita akan mendapatkan : 𝑘1 + 5𝑘2 + 3𝑘3 = 0 −2𝑘1 + 6𝑘2 + 2𝑘3 = 0 3𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 = 0 Jadi, 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝑑𝑎𝑛 𝒗𝟑 membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linier jika system ini mempunyai suatu penyelesaian yang tak-trivial, atau suatu himpunan yang bebas secara linier jia system ini henya mempunyai penyelesaian trivial. Dengan menyelesaikan system ini kita akan mendapatkan 𝑘1 = −12𝑡

𝑘2 = −12𝑡

𝑘3 = 𝑡

Jadi, system tersebut mempunyai penyelesaian tak trivial dan 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝑑𝑎𝑛 𝒗𝟑 , membentuk suatu himpunan yang tek-bebas secara linier. Atau, kita bisa menunjukkan keberadaan penyelesaian tak-trivial tanpa menyesuaikan sistemnya dengan menunjukkan bahwa matriks koefisiennya mempunyai determinan nol dan akibatnya tidak dapat dibalik.

Istilah “tak-bebas secara linier” menyatakan bahwa vektor-vektor tersebut “tergantung” satu sama lain dalam satu hal. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa pada kenyataannya inilah faktanya. Teorema 5.3.1. Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut : (a) Tak-bebas secara linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektorvektor lainnya dalam S. (b) Bebas secara linier jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam S.

Contoh 3 : Pada contoh 1 kita lihat bahwa vektor-vektor v1 = (2, -1, 0, 3),

v2 = (1, 2, 5, -1), dan v3 = (7, -1, 5, 8)

membentuk suatu himpunan yang tak bebas secara linear. Dari teorema 5.3.1 kita dapatkan bahwa paling tidak salah satu dari vektor-vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua vektor lainnya. Dalam contoh ini setiap vektor dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari dua vektor lainnya karena dari persamaan 3v1 + v2 – v3 = 0 (lihat contoh 1) kita dapatkan bahwa : 1

1

v1 = -3 v2 + -3 v3,

v2 = -3v1 + v3, dan

v3 = 3v1 + v2

Teorema 5.3.2 (a) Suatu himpunan vektor terhingga yang berisi vektor nol tak bebas secara linier. (b) Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara linier jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya. Bukti (a). Untuk setiap vektor 𝑣1, 𝑣2,

… ,

𝑣𝑟 , himpunan S = {𝑣1, 𝑣2,

tak-bebas secara linier karena persamaan

… ,

𝑣𝑟 , 0}

0𝑣1 + 0𝑣2 + … + 0𝑣𝑟 + 1(0) = 0 menyatakan 0 sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dengan koefisien-koefisien yang tidak semuanya nol. Contoh 4 : Fungsi 𝑓1 = 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑓2 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 membentuk suatu himpunan vektorvektor yang bebas secara linier dalam F(͚−∞, ∞), karena fungsi yang satu bukanlah penggandaan konstata dari fungsi lainnya.

CONTOH SOAL! Contoh Soal Sistem Persamaan Bebas Linier 1.

Penyelesaian :

Contoh Soal Sistem Persamaan Tak Bebas Linier 1.

Penyelesaian :

DAFTAR PUSTAKA 1. Anton, Howard. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linier Jilid 1. Batam: Interaksara. 2. Sibarori, Yuliant. 2002. Buku Ajar Aljabar Linier. Bandung: Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. 3. https://www.kimiamath.com/bebas-linier-dan-bergantung-linier/