Kartu Soal

BAB II PEMBAHASAN EKSPANSI LAPLACE DARI PENERAPAN DETERMINAN Untuk menghitung determinan matriks dapat kita lakukan dengan berbagai cara salah satunya adalah dengan menggunakan metode Ekspansi Laplace atau yang biasa disebut sebagai Ekspansi Kofaktor. Metode ini tidak hanya digunakan untuk menghitung determinan matriks 2 x 2 atau 3 x 3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4 x 4, 5 x 5 dan seterusnya. Definisi : Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. Bilangan (-1)i + jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

Contoh : Misalkan 3 1 𝐴 = [2 5 1 4

−4 6] 8

Minor entri a11 adalah 3 1 𝑀11 = |2 5 1 4

−4 5 6 |=| 4 8

6 | = 16 8

Kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1 + 1 M11 = M11 = 16 Demikian juga, minor entri a32 adalah 3 1 𝑀32 = |2 5 1 4

−4 3 6 |=| 2 8

−4 | = 26 6

Kofaktor a32 adalah C32 = (-1)3 + 2 M32 = M32 = – 26

2

Kofaktor dan minor elemen aij hanya berbeda dalam tandanya, yakni, Cij = ± Mij. Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda (+) atau tanda (–) merupakan kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke i dan kolom ke j dari susunan + − + − [⋮

− + − + ⋮

+ − + − ⋮

− + − + ⋮

+ − + − ⋮

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ]

Misalnya, C11 = M11, C21 = – M21, C12 = – M12, C22 = M22, dan seterusnya. Tinjaulah matriks 3 x 3 umum 𝑎11 𝑎 𝐴 = [ 21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33

det(𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 – 𝑎13 𝑎22 𝑎31 – 𝑎12 𝑎21 𝑎33 – 𝑎11 𝑎23 𝑎32 dapat kita tuliskan kembali menjadi det(𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32 ) + 𝑎21 (𝑎13 𝑎32 − 𝑎12 𝑎33 ) + 𝑎31 (𝑎12 𝑎23 – 𝑎13 𝑎22 ) Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tidak lain adalah kofaktor-kofaktor C11, C21 dan C31, maka kita peroleh det(𝐴) = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎21 𝐶21 + 𝑎31 𝐶31 Persamaan di atas memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kalinya. Metode menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A. Sebagaimana persamaan det(𝐴) = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎21 𝐶21 + 𝑎31 𝐶31 , maka akan mungkin kita mendapatkan rumus-rumus det(𝐴) = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + 𝑎13 𝐶13 = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎21 𝐶21 + 𝑎31 𝐶31 = 𝑎21 𝐶21 + 𝑎22 𝐶22 + 𝑎23 𝐶23 = 𝑎12 𝐶12 + 𝑎22 𝐶22 + 𝑎32 𝐶31 = 𝑎31 𝐶31 + 𝑎32 𝐶32 + 𝑎33 𝐶33 = 𝑎13 𝐶13 + 𝑎23 𝐶23 + 𝑎33 𝐶33

3

Dalam setiap persamaan semua entri dan kofaktor berasal dari baris atau kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor det(A). Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 3 x 3 membentuk kasus khusus dari teorema umum berikut: Teorema Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n Maka, ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j det(𝐴) = 𝑎1𝑗 𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐶2𝑗 + 𝑎3𝑗 𝐶3𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐶𝑛𝑗 dan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i det(𝐴) = 𝑎𝑖1 𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐶𝑖2 + 𝑎𝑖3 𝐶𝑖3 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛

Bukti: Kita buktikan bahwa untuk setiap kolom ke-j, 𝑀𝑛,𝑗 adalah linear, funggsi alternasi dengan 𝐷𝑛,𝑗 (𝐼𝑛 ) = 1. Jawabannya diperoleh dari teorema sebelumnya. Pada pembuktian ini kita harus menggunakan fakta bahwa fungsi determinan (n-1) x (n-1) adalah (n-1) linear dan alternasi. Asumsi pertama bahwa A’ telah diperoleh dari A dengan mengalikan baris ke-s dari (𝑎𝑖𝑗 ) dengan k. Kemudian 𝐴′𝑠,𝑗 = 𝐴𝑠,𝑗 , dan untuk 𝑖 ≠ 𝑠 kita mempunyai det 𝐴𝑖,𝑘 = 𝑘. 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑖,𝑗 ketika determian adalah (n-1) linear. Pembuktian defenisi dari 𝑀𝑛,𝑗 , kita peroleh: 𝐷𝑛,𝑗 (𝐴′ ) = ∑𝑛𝑖=1,𝑖≠𝑠(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 det( 𝐴′𝑖,𝑗 ) + 𝑘𝑎𝑠𝑗 (−1)𝑠+𝑗 𝑎𝑖𝑗 det( 𝐴′𝑠,𝑗 ) = ∑𝑛𝑖=1,𝑖≠𝑠 𝑘(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 det( 𝐴𝑖,𝑗 ) + 𝑘𝑎𝑠𝑗 (−1)𝑠+𝑗 𝑎𝑖𝑗 det( 𝐴𝑠,𝑗 ) = 𝑘 ∑𝑛𝑖=1,𝑖≠𝑠(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 det( 𝐴′𝑖,𝑗 ) = 𝑘𝐷𝑛,𝑗 (𝐴) Kemudian, kita asumsikan bahwa A, B, C adalah pengecualian identik untuk baris ke-k, dimana baris ke-k dari C adalah jumlah dari baris ke-k A dan B. Asumsikan C = (𝑐𝑖𝑗 ), baris ke-k dari A adalah 𝑎𝑘,𝑗 dan baris ke-k dari B adalah 𝑏𝑘,𝑗 . Observasi bahwa pada kasus ini 𝐴𝑘,𝑗 =𝐵𝑘,𝑗 = 𝐶𝑘,𝑗 . 𝐷𝑛,𝑗 (𝐶) = ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 det( 𝐶𝑖,𝑗 ) = ∑𝑛𝑖=1,𝑖≠𝑘 𝑐𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 det( 𝐶𝑖,𝑗 ) + (𝑎𝑘𝑗 + 𝑏𝑘𝑗 )(−1)𝑘+𝑗 det( 𝐶𝑖,𝑗 )

4

= ∑𝑛𝑖=1,𝑖≠𝑘 𝑐𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 (det( 𝐴𝑖,𝑗 ) + det( 𝐵𝑖,𝑗 )) + (𝑎𝑘𝑗 + 𝑏𝑘𝑗 )(−1)𝑘+𝑗 det( 𝐶𝑘𝑗 ) = ∑𝑛𝑖=1, 𝑐𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 (det( 𝐴𝑖,𝑗 ) + ∑𝑛𝑖=1, 𝑐𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 (det( 𝐵𝑖,𝑗 ) = 𝐷𝑛,𝑗 (𝐴) + 𝐷𝑛,𝑗 (𝐵) , terbukti bahwa 𝐷𝑛,𝑗 (𝐶) linear untuk membuktikan bahwa 𝐷𝑛,𝑗 alternating. Misalkan bahwa baris ke-s dari A = 𝑎𝑖𝑗 adalah sama. Itu membuktikan bahwa matriks 𝐴𝑠,𝑗 dapat ditransformasi ke dalam matriks 𝐴𝑡,𝑗 . Jika s < t, maka kita ganti baris ke (t-1) dengan baris ke (t-2), dan sampai baris ke (s+2) dengan baris ke (s+1). 𝐷𝑛,𝑗 (𝐴) = ∑𝑛𝑖=1,𝑖≠𝑠,𝑡 𝑎𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 det( 𝐴𝑠,𝑗 )+) 𝑎𝑠𝑗 (−1)𝑖+𝑗 det( 𝐴𝑠,𝑗 +𝑎𝑡𝑗 (−1)𝑖+𝑗 det( 𝐴𝑡,𝑗 ) =0 Contoh: 

3 1 0 Misalkan 𝐴 = [−2 −4 3 ]. Hitunglah det(𝐴) dengan menggunakan ekspansi kofaktor 5 4 −2 sepanjang baris pertama.

Pemecahan. −4 3 −2 3 −2 −4 det(𝐴) = 3 | | + (−1) | |+ 0| | 4 −2 5 −2 5 4 = 3(−4) + (−1)(−11) + 0(−12) = −1 

3 1 0 Misalkan 𝐴 = [−2 −4 3 ]. Hitunglah det(𝐴) dengan menggunakan ekspansi kofaktor 5 4 −2 sepanjang kolom pertama.

Pemecahan. −4 3 1 det(𝐴) = 3 | | − (−2) | 4 −2 4

0 1 0 |+ 5| | −2 −4 3

= 3(−4) − (−2)(−2) + 5(3) = −1

5

Definisi 2. Jika matriks A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks 𝐶11 𝐶 [ 21 ⋮ 𝐶𝑛1

𝐶12 𝐶22 ⋮ 𝐶𝑛2

⋯ 𝐶1𝑛 ⋯ 𝐶2𝑛 ] ⋮ ⋯ 𝐶𝑛𝑛

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A). Contoh: 2 1 𝐴 = (1 2 4 2

2 3) 1

Penyelesaian: 𝐶11 = (

2 3 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀11 = (−1)1+1 det(𝐶11 ) = 1. (2 − 6) = −4 2 1

𝐶12 = (

1 3 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀12 = (−1)1+2 det(𝐶12 ) = (−1). (1 − 12) = 11 4 1

𝐶13 = (

1 2 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀13 = (−1)1+3 det(𝐶13 ) = 1. (2 − 8) = −6 4 2 1 2

2 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀21 = (−1)2+1 det(𝐶21 ) = (−1). (1 − 4) = 3 1

2 4

2 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀22 = (−1)2+2 det(𝐶22 ) = 1. (2 − 8) = −6 1

2 4

1 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀23 = (−1)2+3 det(𝐶23 ) = (−1). (4 − 4) = 0 2

1 2

2 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀31 = (−1)3+1 det(𝐶31 ) = 1. (4 − 3) = 1 3

2 1

2 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀32 = (−1)3+2 det(𝐶32 ) = (−1). (6 − 2) = −4 3

2 1

1 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑀33 = (−1)3+3 det(𝐶33 ) = 1. (4 − 1) = 3 2

𝐶21 = ( 𝐶22 = ( 𝐶23 = ( 𝐶31 = ( 𝐶32 = ( 𝐶33 = (

Sehingga matriks kofaktornya: 𝐶11 (𝐶21 𝐶31

𝐶12 𝐶22 𝐶32

𝐶13 −4 11 −6 𝐶23 ) = ( 3 −6 0 ) 𝐶33 1 −4 3

6

−4 11 −6 𝑡 −4 3 1 Jadi 𝑎𝑑𝑗 (𝐴) = ( 3 −6 0 ) = ( 11 −6 −4) 1 −4 3 −6 0 3

Teorema 2 setiap invers matrik A, A-1 = det ( A )-1 adj (A). Bukti: Hitung A (det (A)-1. Adj (A)) = det (A)-1. A. adj (A). karena baris ke-i dari A adalah (ai1 ai2 ….. ain) dan kolom ke- j dari adj (A). (jangan lupa transpose dari definisi) adalah: (−1)𝑗+1 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 (𝑗  1)) (−1)𝑗+2 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 (𝑗  2)) .. ((−1)

𝑗+𝑛

. 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 (𝑗  n)))

Kita lihat dari definisi perkalian matriks entri- ij dari A. adj (A) adalah: 𝑛

∑ 𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘 det(𝐴(𝑗  k)) 𝑘=1

Ketika i = j, ini justru Dn,j (A) = det (A). Ketika i ≠ j , ini sama dengan Dn,I (A*), dimana A* adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengganti baris ke-j dengan baris ke-i nya. (dengan catatan entri pada baris j dari A tidak berefek pada matriks A (j  k)). Sehingga A* mempinyai dua baris yang identik, Dn,j (A*) = det (A*) = 0. Selanjutnya A. adj (A) = det (A) In, dan berdasarkan teorema ini. Untuk contoh, matriks 2 0 𝐴 = (1 1 4 0

0 3) 1

Dengan menghitung adj dari A adalah: 1 11 −4 𝑡 1 0 0 (𝐴) 𝐴𝑑𝑗 = (0 2 0 ) = ( 11 2 −6) 0 −6 2 −4 0 2 Sehingga det (A) = 2, berdasarkan teorema 2.3.7 −1

𝐴

1 1 0 0 = ( 11 2 −6) 2 −4 0 2

7

Teorema 3 (Aturan Cramer) Seandainya A = (aij) adalah sebuah invers matriks, 𝑋̅ adalah kolom dari n variabel, dan B adalah kolom dari n konstanta. Kita notasikan dengan A (j) matriks n x n yang diperoleh dari A, dengan mengganti kolom ke-j dari A oleh B. maka persamaannya 𝐴𝑋̅ = 𝐵 dengan solusi: 𝑋𝑖 =

det(𝐴(𝑖)) det(𝐴)

Bukti: Sistem persamaan 𝐴𝑋̅ = 𝐵 dengan solusi 𝑋̅ = 𝐴−1 𝐵 = det(𝐴)−1 𝑎𝑑𝑗(𝐴)𝐵. sehingga cukup menunjukkan entri baris ke-i pada kolom matriks adj (A)B menjadi det (A(i)). Baris ke-i dari adj (A) adalah: ((−1)𝑖+1 det(𝐴(1 𝑖))

(−1)𝑖+2 det(𝐴(2 𝑖)) … .. (−1)𝑖+𝑛 det(𝐴(𝑛 𝑖)))

Ini berarti bahwa entri i pada adj (A)B adalah: 𝑛

𝑛

∑(−1)𝑖+𝑘 det(𝐴(𝑘 𝑖 ))𝑏𝑘 = ∑(−1)𝑖+𝑘 𝑏𝑘 det(𝐴(𝑘 𝑖 )) 𝑘=1

𝑘=1

Tetapi ini justru 𝐷𝑖𝑛 (𝐴(𝑖)), sama dengan det(𝐴(𝑖)). Berdasarkan teorema 2.3.5 Contoh: 1. Tentukan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 persamaan berikut: 3𝑥1 + 2𝑥2 = 7 4𝑥1 + 𝑥2 = 1 Penyelesaian: (

det(𝐴 ) 7 3 2 𝑥1 ) ( ) = ( ) → 𝑥1 = det(𝐴)1 1 4 1 𝑥2

𝑥2 =

3 2 det(𝐴) = ‖ ‖ = 3 − 8 = −5 4 1 7 2 det(𝐴1 ) = ‖ ‖= 7−2= 5 1 1 3 7 det(𝐴2 ) = ‖ ‖ = 3 − 28 = −25 4 1 5

Jadi x1 = −5 = −1 , dan x2 =

−25 −5

=5

8

det(𝐴2 ) det(𝐴)

(terbukti)

Contoh 2: Tentukan persamaan matriks dengan menggunakan aturan Cramer. 1 2 𝑋 5 ( )( ) = ( ) 3 4 𝑌 6 Maka solusinya adalah: 5 6 𝑋= 1 𝑑𝑒𝑡 ( 3 𝑑𝑒𝑡 (

8

2 ) 4 2 ) 4

Sehingga diperoleh 𝑋 = −2 = −4 dan 𝑌 =

51 3 𝑌= 1 det ( 3 𝑑𝑒𝑡 (

−9 −2

9

=2

9

5 ) 6 2 ) 4

Determinan dan volume Determinan dari sebuah matriks n x n mempunyai interpretasi geometri yang penting. Biarkan A menjadi matrik n x n, dan misalkan kolom A diberikan oleh vektor 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 𝜖𝑅 𝑛 . Yang sejajar direntangkan oleh 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 didefinisikan sebagai himpunan semua linier berganda di kombinasi 𝑟1 𝑣1 + 𝑟2 𝑣2 + ⋯ , +𝑟𝑛 𝑣𝑛 dimana 0 ≤ 𝑟𝑖 ≤ 1 untuk setiap i. Ketika n = 3, yang sejajar direntang oleh tiga vektor bebas linear pada 𝑅 3 adalah wilayah padat digambarkan pada halaman berikutnya

10