Kalkulusi_aisyah_6_2018new.pdf

KALKULUS I Pertemuan VI

Oleh: AISYAH FITRI YUNIASIH, S.ST, SE, M.Si.

PUSTAKA  Anton,

Howard, “Calculus with Analytic Geometry”, John Wiley & Sons, New York, 1988  Spiegel, Murray R, “Advanced Calculus”, Schaum’s Outline Series, Singapore, 1981  Purcell, Edwin J. “Kalkulus dan Geometri Analitis”, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2006  Swokowski, Earl W,” Calculus with Analytic Geometry”, PWS, Boston, 1983.

MATERI PEMBELAJARAN

Turunan Aturan Rantai

Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Logaritma Turunan Fungsi Eksponensial Turunan Ordo yang Lebih Tinggi

Turunan Fungsi Implisit

ATURAN RANTAI

ATURAN RANTAI 



Misalkan y = f(u) dan u = g(x), f (u) terturunkan di u = g (x) dan g (x) terturunkan di x, maka fungsi komposit (f o g) (x) terturunkan di x dan (f o g)’(x) = f‘(g(x)) g’(x) Aturan Rantai dalam Notasi Leibniz Misalkan y = f(u) dan u = g(x), maka 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥

ATURAN RANTAI

ILUSTRASI ATURAN RANTAI (KOMPOSISI 2 FUNGSI)

ATURAN RANTAI

ILUSTRASI ATURAN RANTAI (KOMPOSISI > 2 FUNGSI)

LATIHAN 1 1.Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut: a. 𝑓 𝑥 = (𝑥 2 − 3𝑥)8 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 10 2. Diketahui 𝑦 = 4𝑢2 + 6𝑢 − 4 dengan 𝑢 = 𝑥 + 2. 𝑑𝑦 Carilah ! b.

𝑑𝑥

3. Diketahui 𝑦 = sin 𝑢 dengan 𝑢 = 𝑣 𝑑𝑦 2𝑥 − 1. Carilah ! 𝑑𝑥

1

2

dan 𝑣 =

TURUNAN FUNGSI TRANSENDEN

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI  Jika

f(x) = sin x, maka f‘(x) = cos x  Jika f(x) = cos x, maka f‘(x) = –sin x  Jika f(x) = tan x, maka f‘(x) = sec2 x  Jika f(x) = cot x, maka f‘(x) = –cosec2 x  Jika f(x) = sec x, maka f‘(x) = sec x tan x  Jika f(x) = cosec x, maka f‘(x) = –cosec x cot x

LATIHAN 2 1.Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut: a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 cos 𝑥 sin 𝑥 1+cos 𝑥

b.

𝑓 𝑥 =

c.

𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑥 2 sin x

d.

𝑓 𝑥 =

e.

𝑓 𝑥 = sin 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 3 + 5

f.

𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥+sin 𝑥 𝑥 2 +1 2

2. Jika 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 dengan 𝐷𝑓 = 𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤

TURUNAN FUNGSI TRANSENDEN

TURUNAN FUNGSI LOGARITMA 1 𝑥

 Jika

𝑓(𝑥) = ln 𝑥→𝑓′(𝑥) =

 Jika

𝑓(𝑥) = 𝑎log 𝑥 →𝑓′(𝑥) =

1 𝑥𝑙𝑛 𝑎

LATIHAN 3 1.Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut: a. 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 2 +1) b. 𝑓 𝑥 = ln( 𝑥 + 3) c. d.

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑓 𝑥 =

𝑥 2 sin 𝑥 1+𝑥

𝑥2 log 2 ( ) 2

TURUNAN FUNGSI TRANSENDEN

TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL  Jika

𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 →𝑓′(𝑥) = 𝑎 𝑥 ln 𝑎  Jika 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 →𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥

LATIHAN 4 1.Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut: a. 𝑓 𝑥 = 𝑒 5−7𝑥 b. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 cos 𝑥 c.

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥

2 𝑙𝑛𝑥

LATIHAN 5 Carilah turunan pertama dari 3

𝑥 2 7𝑥−14 (1+𝑥 2 )4 2 sin 𝑥

1.

𝑦=

2.

𝑦 = (𝑥 + 1)

TURUNAN ORDO YANG LEBIH TINGGI  Jika

fungsi f dapat diturunkan, turunannya 𝑓 ′ .  Jika fungsi f’ dapat diturunkan, turunannya merupakan turunan kedua dari fungsi f, ditulis 𝑓 atau 𝑦′′ atau ′′

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

 Jika

fungsi f’’ dapat diturunkan, turunannya merupakan turunan ketiga dari fungsi f, ditulis

𝑓 ′′′

atau 𝑦′′′ atau

 dan

seterusnya.

𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3

LATIHAN 6 1. Carilah turunan ketiga dari a. 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 6𝑥 b. 𝑦 = (3 − 5𝑥)5 c. 𝑦 = 𝑡𝑠𝑖𝑛(𝜋 𝑡) d. 𝑦 = sin(𝑥 3 ) e.

𝑦=

3𝑥 1−𝑥

2. Carilah rumus umum untuk turunan ke-n dari 1/x

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT  Persamaan

𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 dapat ditulis sebagai 𝑦 = 𝑓(𝑥) yang unik maupun tidak unik.  Adakalanya dalam menuliskan ulang persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 , penulisan x dan y tidak dapat dipisahkan.  𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x.  Contoh: 1. x2y = 1 2. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

LATIHAN 7 1. Tentukan turunan y terhadap x dari fungsi-fungsi berikut menggunakan turunan implisit a. 𝑦 2 − 𝑥 2 = 1 b. 𝑥𝑦 2 = 𝑥 − 8 c. 𝑥𝑦 + sin 𝑥𝑦 = 1 d.

𝑥 𝑦 + 1 = 𝑥𝑦+1

2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 2. Carilah persamaan garis singgung 𝑥 3 𝑦 + 𝑦 3 𝑥 = 30 di titik (1,3). e.

Aisyah Fitri Yuniasih, S.ST, SE, M. Si [email protected]