Kalkulus Ii.pdf

BAB I INTEGRAL TAK TENTU Kompetensi Umum: Mahasiswa terampil menentukan integral tak tentu dari suatu fungsi tertentu dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari serta dapat menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana. Kompetensi Khusus: Mahasiswa dapat: a)menentukan anti turunan suatu fungsi tertentu. b)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan aturan pangkat. c)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan rumus pokok integral fungsi trigonometri d)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan aturan pangkat yang diperumum e)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan teknik subsitusi dengan variabel baru f)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan teknik subsitusi tanpa variabel baru g)menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana

Pendahuluan Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai invers pendiferensialan, sehingga integral tak tentu didefinisikan sebagai anti diferensial. Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari anti turunan.

1.1 Anti Turunan Andaikan dari bentuk F’(x)=f(x) atau dF(x)= f(x) dx akan ditentukan fungsi F. Fungsi F yang demikian kita namakan anti turunan atau fungsi primitif dari f . Definisi 1.1: (Anti Turunan) Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F dinamakan anti turunan atau fungsi primitif dari f pada I , jika dipenuhi F′(x) = f(x) pada I. Contoh Andaikan F (x) = x2

maka F′(x) = 2x di R

Sehingga anti turunan dari f(x) = 2x adalah F(x) = x2 . Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, perhatikan bahwa fungsi G dan H berikut juga anti turunan dari f. G(x) = x2 + 3 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab G′(x) = 2x = f(x) H(x) = x2 – 5 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab H′(x) = 2x = f(x) Jadi fungsi f(x) = 2x mempunyai banyak anti turunan atau fungsi primitif. Perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain terletak pada konstanta nya saja. Kenyataan ini berlaku untuk semua fungsi, hal ini dijamin oleh teorema “Jika F′(x) = G′(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian hingga F (x) = G(x) + C “

Teorema tersebut sudah anda pelajari di Kalkulus I (Kalkulus Diferensial). Adanya perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain hanya pada konstantanya maka terdapat bentuk anti turunan yang paling umum (merupakan keluarga fungsi) yang dinamakan anti diferensial. Definisi 1.2: (Anti Diferensial) Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari anti turunan. Jika F′ (x) = f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari f(x) pada I adalah y = F(x) + C dengan C konstanta sembarang. Contoh 1. Untuk F (x) = x3 – 1 diperoleh F′(x) = 3x2 = f(x) di R maka anti diferensial dari f(x) = 3x2 di R adalah y = x3 – 1 + C atau y = x3 + C 2. Untuk F (x) = sin x diperoleh F′(x) = cos x = f(x) di R maka anti diferensial dari f(x) = cos x di R adalah y = sin x + C

1.2 Intergal Tak Tentu Proses menentukan anti diferensial adalah kebalikan dari proses menentukan diferensial, yaitu dari F′(x) = f(x) diperoleh dF(x) = f(x) dx dengan f diketahui. dan F akan ditentukan. Proses ini disebut integral tak tentu, istilah tak tentu berarti memuat konstanta riil sembarang. Leibniz memperkenalkan cara penulisan simbol operasi anti diferensial dengan ∫ ... dx .

Definisi 1.3: (Integral Tak Tentu) Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I dan fungsi F adalah suatu anti turunan dari fungsi

f

pada I.

Proses menentukan anti

diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu dari f pada I, disajikan dengan lambang

∫ f ( x)dx = F ( x) + c dengan C konsanta sebarang dan dibaca “integral tak tentu dari f dengan peubah x” atau “integral tak tentu dari f terhadap peubah x” secara singkat “integral f terhadap x”. Catatan

∫ adalah lambang integral ... dx 2lambang ∫ adalah operator integral 1lambang

3f(x) adalah fungsi yang diintegralkan dinamakan integran 4istilah tak tentu berarti mengandung konstanta sembarang 5pekerjaan menghitung integral adalah mengintegralkan Perhatikan! i. Hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.

F ′( x) = f ( x) ⇓

dF ( x) = f ( x) ⇔ dF ( x) = f ( x) ⇔ ∫ dF ( x) = ∫ f ( x)dx = F ( x) + C dx turunan

diferensial

anti diferensial (integral tak tentu)

ii. Turunan dari suatu integral tak tentu adalah integran,

d [ ∫ f ( x)dx] = d [ F ( x) + C ] = F ′( x) = f ( x) dx dx

Contoh

d ( x 3 + 1) = 3x 2 ⇔ d ( x 3 + 1) = 3x 2 dx ⇔ ∫ d ( x 3 + 1) = ∫ 3x 2 dx = x 3 + C dx 1. d [ ∫ cos xdx] = cos x dx 2.

1.3 Rumus-rumus Integral Tak Tentu Teorema 1.1: (Aturan Pangkat) Jika n adalah bilangan rasional sembarang kecuali –1, maka

n ∫ x dx =

x n+1 +C n +1

Bukti:

d [ d f ( x)dx ] = [ F ( x) + C ] = F ' ( x) = f ( x) ∫ dx Karena dx , maka bukti teorema  (n + 1) x n d  x n+1 + C = + 0 = xn dx  n + 1 n +1  

tersebut sebagai berikut Contoh 0

x0 + 1 + C = x+C 0 +1

∫

dx = ∫ 1 dx − ∫ x

∫

8 x8 + 1 1 x dx = + C = x9 + C 8 +1 9

∫

1 dt = t2

∫t

−2

dx =



t −2 + 1 1 dt = + C =− +C − 2 +1 t

Dapat kita pahami bahwa x adalah variabel boneka artinya bahwa jika untuk setiap kemunculan x diganti dengan variabel lain misalnya t, u, v dsb, nilai integral tak tentu tersebut tidak berubah.

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du = ∫ f (v)dv. Contoh

∫(x

2

)

(

)

(

)

− 3 dx = ∫ t 2 − 3 dt = ∫ u 2 − 3 du.

...dsb

...dsb

Teorema 1.2: (Integral Fungsi Trigonometri)

∫ sin x dx ii. ∫ cos x dx iii . ∫ sec 2 x dx i..

= − cos x + C

iv. ∫ csc 2 x dx

=

sin x + C

v.

=

tan x + C

vi.

∫ tan x sec x dx ∫ cot x csc x dx

= − cot x + C =

sec x + C

= − csc x + C

Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca. Bukti: Karena

d (− cos x + C ) = −(− sin x) = sin x maka dx

Teorema 1.3: (Kelinieran

∫ ...dx

∫ sin x dx = − cos x + C

)

Andaikan fungsi f dan g mempunyai integral tak tentu dan andaikan k suatu konstanta, maka i. ii. iii.

∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx

ii dan iii dapat diperluas untuk sejumlah berhingga fungsi

Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca. Bukti:

Karena

[

]

d d k ∫ f ( x)dx = k dx dx

[∫ f ( x)dx] = kf ( x) maka ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

Contoh 1.

∫ ( x + sin x) dx

2.

∫

=

∫ x dx

+

∫ sin x dx

1  =  x 2 + C1  + ( − cos x + C 2 ) 2  1 = x 2 − cos x + ( C1 + C 2 ) 2 1 = x 2 − cos x + C 2 3 ( x −5 x + 6) dx = ∫ x 3dx − 5∫ x dx + 6∫ dx

(

1  1  =  x 4 + C1  − 5 x 2 + C 2  + 6 x + C3 4  2  1 5 2 = x4 − x + 6 x + C1 + 5C 2 + 6C3 4 2 1 5 2 = x4 − x + 6x + C 4 2

(

)

)

Teorema 1. 4: (Aturan Rantai untuk Anti Pendiferensialan) Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dengan daerah nilainya adalah selang I, dan andaikan f adalah fungsi yang didefinisikan pada selang I serta F adalah anti turunan dari f pada I, maka

∫ f ( g ( x)) g ′( x) dx

= F ( g ( x)) + C

Bukti: Menurut aturan rantai turunan suatu fungsi diperoleh d [ F ( g ( x)) + C ] = F ' ( g ( x)). g ' ( x) = f ( g ( x)). g ' ( x) dx

Oleh karenanya, berdasar definisi integral tak tentu berlaku

∫ f ( g ( x)) g ′( x) dx

= F ( g ( x)) + C

Contoh

∫ cos( 2 x ) . 2 dx

1.

↑ ↑ g ( x) g' ( x)

∫ 2 sin(t

2.

2

= sin ( 2 x ) + C f (t ) = cos(t )

+ 1). t dt = ∫ sin(t 2 + 1). 2t dt = − cos(t 2 + 1) + C ↑ ↑ g ( x) g'(x)

f (t ) = sin (t )

Teorema berikut merupakan keadaan khusus dari teorema 1.4. Teorema 1. 5: (Aturan Pangkat yang Diperumum) Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan n bilangan rasional yang bukan –1, maka

[ g ( x )] n ∫ [ g ( x)] g ′( x) dx =

n+1

n +1

+C

Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Contoh 1.

) ∫(

2.

2 ∫ ( x − 3x + 7)(2 x − 3)dx =

6 2 5 1 x −1 (2 x) dx =  x 2 − 1 + C  6 ↑ ↑ g(x) g'(x) n=5

↑ g(x)

↑ g'(x)

2 1 2  x − 3 x + 7  + C  2

n =1

Teknik Subsitusi Dengan Variabel Baru Jika pada teorema 1.4 dan 1.5 di atas, dimisalkan g(x) = u maka d[g(x)] = du sehingga g′(x) dx = du Dari teorema 1.4 diperoleh

∫ f ( g ( x)) g ′( x) dx

=

∫ f (u )

du = F (u ) + C = F ( g ( x)) + C

Dari teorema 1.5 diperoleh n ∫ [ g ( x)] g ′( x) dx

=

n ∫ u du =

un [ g ( x )] n + C +C = n +1 n +1

Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi dengan variabel baru Contoh 1. Hitung

∫ sin ( 3x ). 3 dx

Penyelesaian : misal 3 x = u ⇒ d (3 x) = du ⇒ 3dx = du Jadi

∫ sin ( 3x ). 3 dx = ∫ sin u. du = − cos u + C

2. Hitung

∫ 2 tan( 2 x ) sec( 2 x )

dx

Penyelesaian : Pandang sebagai misal 2 x = u ⇒ d (2 x) = du ⇒ 2dx = du Jadi

∫ 2 tan( 2 x ) sec( 2 x )

∫ tan( 2 x ) sec( 2 x ). 2 dx

dx = ∫ tan ( 2 x ) sec( 2 x ). 2 dx = ∫ tan u sec u. du = sec u + C = sec( 2 x ) + C

3. Hitung

) ∫(

2 5 x −1 .(2 x ) dx

Penyelesaian : x2 −1 = u ⇒ d ( x 2 − 1) = du ⇒ 2 xdx = du 2 5 Jadi ∫ x −1 ( 2 x) dx = misal

( )

∫u

5 du

1 = u6 + C 6 =

1  2 6  x − 1 + C  6

4. Hitung

∫ (2 x − 3)( x

2 − 3x + 7) 3 dx

Penyelesaian : Pandang sebagai ∫ ( x 2 − 3 x + 7) 3 (2 x − 3)dx misal x 2 − 3 x + 7 = u ⇒ d ( x 2 − 3 x + 7) = du ( x 2 − 3)dx = du Jadi ∫ (2 x − 3)( x 2 − 3x + 7) 3 dx = ⇒

∫ (x

2 − 3 x + 7) 3 ( 2 x − 3)dx

= ∫ u 3 du =

1 4 u +C 4

=

4 1 2  x − 3x + 7  + C  4

Teknik Subsitusi Tanpa Variabel Baru Karena g′(x) dx = d[g(x)] maka dari teorema 1. 4 dapat diperoleh

∫ f ( g ( x)) g ′( x) dx

=

∫ f ( g ( x))

d ( g ( x)) = F ( g ( x)) + C

dan dari teorema 1.5 diperoleh

∫ [ g ( x )]

n g ′( x ) dx =

n ∫ [ g ( x)] d ( g ( x)) ↑ sama ↑

=

[ g ( x )] n n +1

+C

Pada ruas kanan kita pikirkan g(x) sebagai u Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi variabel baru Contoh 1. Hitung

∫ sec ( 3x ). 3 dx 2

Penyelesaian : Karena 3dx = d (3 x) maka

2.

∫ sec ( 3x ). 3 dx = ∫ sec ( 3x ). d (3x) = tan( 3x ) + C 2

2

) ∫(

( )

=

3.

(

)

2 5 2 5 x −1 (2 x) dx = ∫ x −1 d x 2 −1

∫ ( 3x + 7)

4

1  2 6  x − 1 + C  6

1 ( 3x + 7 ) 4 d ( 3x + 7 ) ∫ 3 1 1 5 = . ( 3x + 7) + C 3 5 1 5 = ( 3x + 7 ) + C 15

dx =

karena 2 xdx = d ( x 2 − 1) karena

karena

n u n +1 u du = +C ∫ n +1

1 dx = d ( 3x +1) 3

Latihan 1.1 Hitunglah dengan berbagai cara yang telah anda pelajari di atas

1.

∫ ( 5 x + 4) dx

3.

∫ (x

5.

5 − 2 x 3 + 4) dx

x3 − x2 + 8 dx x2

∫

3  x 2 + 1 dx x ∫  

19.

2 ∫ ( 2 x + 1)  x + x − 9 

21.

∫ cos 2 x dx ∫ cos x. cos ( sin x ) dx

25.

1

∫ x2

27.

∫

29.

∫

1+

sin

t t



1 dx 3x

dt

sin x 3

1 + cos x

dx

∫ (3x + ∫

2 1 − ) dx x x2

x 2 + 4x − 6 x

dx

8.

17.

23.

4

∫ (3sin x + 2 cos x) dx 10. ∫ ( x − 2 ) 3 dx 12. ∫ (1 − 3 x 2 ) 9 (−6 x)dx 14. ∫ (2 x + 5) 7 dx 16. ∫ (8 − 4 x) 2 dx

7.



1 

∫ 1 − 2 x dx

6.

∫ (3x − sin x) dx 9. ∫ ( x + 1) 2 dx 11. ∫ ( x 2 + 1) 5 (2 x ) dx 13. ∫ ( 2 x − 1) 2 dx 15. ∫ 3 x − 7 dx



2.

3

dx

2 x 3 + 1 dx

18.

∫x

20.

2 ∫ ( x − 1)  x − 2 x + 3

22. 24.



∫ sin ( 5 x + 4) dx 2 ∫ sin 3t cos 3t dt ∫3

3y dy 2 2y − 4

28.

∫

1 1 cos x 2 4 dx 1 sin x 4

30.

∫ x x dx

26.



5

dx

1.4 Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam bahasan ini, kita akan menggunakan integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan masalah yang melibatkan

persamaan diferensial. Tetapi di sini kita akan membatasi perhatian kita pada persamaan diferensial sederhana yaitu persamaan diferensial yang hanya mengandung turunan tunggal dari fungsi yang tidak diketahui dengan peubahpeubah yang dapat dipisahkan. Kita ingat kembali hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu. dy = F ' ( x) = f ( x) Andaikan fungsi y= F(x) dengan dx maka kita peroleh hubungan dy = f ( x ) ⇔ dy = f ( x) dx ⇔ y = ∫ dy = dx

∫ f ( x) dx = F ( x) + C

\

dy = f ( x) atau dy = f ( x)dx Jika pada bentuk dx , f(x) diketahui dan y akan dicari maka

bentuk tersebut dinamakan persamaan diferensial disingkat PD. Persamaan diferensial (PD) adalah sembarang persamaan dengan hal yang tidak diketahui berupa fungsi dan yang melibatkan turunan atau diferensial fungsi yang tidak diketahui tersebut. Misal, .

dy 3 = ( x + 1) dx

d2y +y=0 dx 2

.

d2y dy +2 − xy = 0 2 dx dx

dsb

Menyelesaikan PD adalah mencari fungsi yang tidak diketahui tersebut. Prosedur yang kita gunakan untuk mencari penyelesaian PD sederhana sebagai berikut Pertama, ubah PD menjadi f ( y )dy = f ( x)dx dengan memisahkan variabel x dan y. Kedua, integralkan kedua ruas dan sederhanakan sehingga diperoleh fungsi y = F ( x ) + C . Fungsi ini merupakan jawab (pemecahan) umum PD.

Ketiga, untuk menentukan jawab khusus PD.carilah nilai C berdasarkan syarat PD selanjutnya subsitusikan nilai C ke jawab umum PD.

Contoh dy = 5x 2 + 1 dx Penyelesaian : dy = 5 x 2 + 1 ⇔ dy =  x 2 + 1dx   dx ⇔ ∫ dy = ∫  x 2 + 1dx   1 ⇔ y = x3 + x + C 3 1 Jadi jawab PD tersebut adalah y = x 3 + x + C (disebut jawab umum) 3

1. Selesaikan

dy x = untuk y = 3 di x = 2 dx 2 y Penyelesaian : dy x 1 = ⇔ y dy = x dx dx 2 y 2 1 ⇔ ∫ y dy = ∫ 2 xdx 1 2 1 2 ⇔ y + C1 = x + C2 2 4 1 2 ⇔ y2 = x + C ← jawab umum PD 2

2. Selesaikan

Selanjutnya subsitusikan syarat y = 3 di x = 2 dalam jawab umum PD diperoleh 1 3 2 = .2 2 + C ⇒ C = 7 2 1 2 Subsitusikan C = 7 dalam jawab umum PD diperoleh y 2 = x +7 2 1 2 Jadi jawab khusus PD tersebut adalah y 2 = x +7 2

3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1,2) dan koefisien arah garis singgung pada sembarang titik setengah kuadrat ordinatnya. Penyelesaian : Model matematika yang sesuai untuk masalah itu adalah dy 1 2 = y dengan syarat y = 2 untuk x = 1 dx 2 dy 1 2 dy 1 Selesaikan PD tersebut, = y ⇔ = dx dx 2 y2 2 ⇔∫

dy 1 = ∫ dx 2 y2

⇔ −

1 y

=

1 x+C 2

2 ...........................(*) x + 2C Subsitusikan y = 2 untuk x = 1 dalam (*) diperoleh C = −1 2 2 Jadi persamaan kurva yang ditanyakan adalah y = − atau y = x−2 2− x Jawab umum PD adalah

y=−

4. Sebuah bola dijatuhkan tegak lurus ke permukaan tanah yang dianggap datar dari suatu gedung yang tingginya 169 m. Setelah berapa detik bola itu mencapai tanah dan tentukan lajunya pada saat itu bila percepatan grafitasi ditempat itu 9,8 m/detik 2 . Penyelesaian : Bila s menyatakan jarak yang ditempuh, v menyatakan laju, dan a percepatan maka ds dv d 2 s dan a = = dt dt dt 2 Sehingga model matematika dari masalah tersebut adalah dv = a = 9,8 dengan syarat awal v(0) = 0 dan s(0) = 0 dt v=

Dari

dv = 9,8 diperoleh dv = 9,8 dt ⇒ ∫ dv = ∫ 9,8 dt ⇒ v = 9,8 t + C dt Subsitusikan v(0) = 0 diperoleh C = 0 sehinga v = 9,8 t ds = v = 9,8 t ⇒ ds = 9,8 t dt ⇒ ∫ ds = ∫ 9,8 t dt ⇒ s = 4,9 t 2 + C dt Subsitusikan s (0) = 0 diperoleh C = 0 sehinga s = 4,9 t 2

Dari

Latihan 1.2 Untuk nomor 1 s.d 10 carilah fungsi yang memenuhi dy = ( x − 7) 3 dx dy 3. =x y dx dy x 2 +1 5. = dx x2

dy = x( x 2 − 5) 4 dx dy 4. = 3xy 2 dx

1.

7.

9..

2.

; y = 1 di x = 1

dy − x 1+ x 2 = 0 ; y = −3 di x = 0 dx

6.

dy 1 = ; y = −1 di x = 1 dx x 2 y +1

8.

dy − x 3 y 2 = 0 ; y = 1 di x = 2 dx

d2y dy = 2 − 6 x ; y = 1 di x = 0 , dan =3 dx dx 2

d3y dy d2y = 0 ; y = 5 di x = 0 , = 0, dan = −8 3 2 dx dx dx 2 d y 3x dy 11. = ; grafik fungsi melalui titik (4,4) dan = 3. 8 dx dx 2 d2y 12. = 1 + 2 x − 3 x 2 ; grafik fungsi melalui titik asal dan titik (1,1) 2 dx dy 2 x = 2 13. Jika y = 3 untuk x = 3 dan dx y carilah nilai y untuk x = 1 10.

14. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x,y) = 0 yang melalui titik (2,-1) dan koefisien arah garis singgung grafik fungsi disembarang titik ditentukan

dengan persamaan

y' = −

x , y≠0 4y

15. Jika grafik fungsi y = f (x) melalui titik (9,4) dan koefisien arah grafik fungsi tersebut di sembarang titik adalah y ' = 3 x . Tentukan persamaan fungsi tersebut! 16.

Di suatu titik (x,y) pada grafik fungsi f diketahui f ’’’(x) = 2. Jika pada daerah definisinya grafik fungsi f hanya mempunyai tepat satu titik belok di (1,3) dan garis singgung di titik beloknya sejajar dengan garis y = –2x maka tentukan persamaan fungsi f.

17. Kira-kira dengan kecepatan berapa seorang penyelam memasuki air setelah melompat dari tebing sungai setinggi 30 meter. (Gunakan percepatan grafitasi ditempat itu 9,8 m/det2) 18. Percepatan yang disebabkan oleh grafitasi suatu tempat adalah 9,8 m/det2. Sebuah peluru ditembakkan lurus ke atas dari permukaan tanah tempat itu yang dianggap datar dengan kecepatan 50 m/det. Setelah berapa detik peluru mencapai titik tertinggi dan berapa jarak titik tertinggi tersebut dari tanah? 19.

Suatu titik meteri bergerak dari keadaan diam dengan percepatan pada setiap t ditentukan dengan persamaan a(t) = t(4 – t) m/det2 . Tentukan kecepatan titik materi itu sebagai fungsi dari t. Setelah berapa detik titik materi itu berhenti dan bergerak lagi. Tentukan persamaan gerak titik materi itu.

20.

Seorang kolektor benda-benda seni membeli sebuah lukisan dari seorang seniman seharga $1000, yang nilainya sekarang bertambah sejalan dengan

berjalannya waktu sesuai dengan rumus

dv = 5t t + 10t + 50 dt dengan v adalah

nilai dolar yang diharapkan dari lukisan sesudah t tahun pembelian. Jika rumus ini berlaku untuk 6 tahun kemudian, berapa nilai harapan dari lukisan itu empat tahun dari waktu pembelian?

1.5 Penggunaan Integral Tentu Integral tentu khususnya integral tunggal dapat digunakan dalam meng-hitung luas daerah bidang rata, volume benda putar, panjang kurva, luas permukaan benda putar, usaha yang dilakukan oleh gaya tertentu, gaya pada cairan, momen dan pusat massa.

A. Luas Daerah Bidang Rata Untuk menghitung luas daerah bidang rata menggunakan integral diperlukan prosedur sbb: • Gambar daerah bersangkutan • Potong menjadi jalur-jalur • Hampiri luas suatu jalur dengan luas persegi panjang • Jumlahkan luas hampiran tersebut • Ambilah limit dari jumlah itu dan nyatakan dalam integral Hitung Integralnya = luas daerah.

•

y=f(x) y

y=f(x)

y

y D

y=g(x)

D a a

b

b

x

x

a

b

x

D Gambar 1.

Gambar 2.

Gambar 3.

1. Daerah di atas sumbu-x Perhatikan gambar 1 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dengan f(x) ≥ 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai b L( D) = ∫ f ( x) dx a

2. Daerah di bawah sumbu-x. Perhatikan gambar 2 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x) dengan f(x) ≤ 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai b L( D) = − ∫ f ( x) dx a

3. Daerah antara dua kurva Perhatikan gambar 3. Daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), kurva y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai b L( D ) = ∫ a

[ f ( x) − g ( x)] dx

Bahan diskusi 1. Bagaimana bentuk integral yang menyatakan luas suatu daerah yang terletak di kanan sumbuy, di kiri sumbu-y, dan antara dua kurva, jika kurva pembatasannya dinyatakan sebagai x =

f(y) dan garis-garis pembatasnya y = c, y = d, dan sb y. 2. Tunjukan luas daerah: persegi panjang, segitiga,

trapesium, lingkaran dengan

menggunakan integral tunggal. 3. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva dan garis-garis sebagai berikut: a. y = x 2 − 2 x − 3, x = 2, sb - x dan sb - y b. y = sin x, x = − π, x = π, dan sumbu - x c. y = x 3 − x 2 − 6 x dan sumbu - x

d. y = x 2 , y = x + 2 e. x = 6y − y 2 , x = 0 f. y =

x , y = − x + 6, dan sumbu - x

B. Volume Benda Putar Benda putar adalah benda pejal yang didapat dari hasil pemutaran daerah datar terhadap suatu garis tertentu (sumbu putar). Dasar perhitungan menggunakan rumus volume tabung 1. Metode Cakram Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), garis x = a, x = b, dan sb-x dibawah, diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sb-x akan diperoleh lempengan berupa cakram. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal ∆xi dan volume ∆Vi . → ∆xi ←

y=f(x)

a

f(xi)

xi

b

sb x

h

Rumus dasar:

r = f (x ) h = ∆x i dan i V = π r 2 h dengan

Volume lempengan ke-i

= ∆V ≈ π i

[ f ( xi )] 2 ∆xi

Jika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh

b 2 π ∫ [ f ( x)] dx = a

V

←

sumbu

putar sumbu x

2. Metode Cincin Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) di bawah diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sumbu-x akan diperoleh lempengan berupa cincin. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal ∆xi dan volume ∆Vi . → ∆xi ← y=f(x) r1

y=g(x) r2 sbx a

b h

Rumus dasar

(

2 2 V = π r 2 h − π r 2 h = π r1 − r2 1 2

[

)

h

]

2 2 = ∆V ≈ π f ( xi ) − g ( xi ) ∆x i i

Volume lempengan ke-i

Jika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh

[

]

b 2 2 π ∫ f ( x) − g ( x) dx V= a , sumbu putar sb x

3. Metode Kulit Tabung

Dalam ini lebih mudah

berbagai persoalan metode digunakan.

r1 r2

h

h K=2π r

Rumus dasar V = π r 2h − π r 2h 1 2

(

)(

(

∆r = r1 – r2

)

2 2 = π r1 − r2 h

) ( r1 + r2 ) h ( r − r ) 1 2

= π r1 + r2 r1 − r2 h = 2π

2 = 2π x rerata jari - jari x tinggi x tebal

[

]

[ ]

∆V ≈ 2π x f ( xi ) ∆x sehingga ∆V ≈ 2π x f ( x) ∆x i i i y

y

y=f(x) ∆xi f(xi) a

b

a

xi

Sehingga volume benda putar Bahan diskusi

b = 2π ∫ x [ f ( x)] dx a ,

sumbu putar sb y

b

I. Tuliskan integral yang menyatakan volume benda putar yang terjadi kemudian hitunglah, jika daerah D dibatasi kurva-kurva dan atau garis-garis yang persama-annya diberikan dan diputar mengelilingi sumbu putar yang diketahui di bawah ini. 1. y = 2x , x = 3 , sumbu x 4. y = x2 + 1, x = 2, sumbu y 2. y = 2x , x = 3 , sumbu y

5. y = x + 1 , x = 2 , x = 5 , sumbu y

3. y = x2 + 1, x = 2, sumbu x

6. y =

r 2 − x 2 , y = 0, x = 0, sumbu x

II. Apakah vormula yang kita bahas di atas mampu untuk menjawab persoalan berikut? Tentukan volume benda yang alasnya adalah suatu daerah rata pada kuadran yang dibatasi x2 y = 1− 4 , sumbu x dan sumbu y dan andaikan penampang-penampang yang tegak oleh lurus sumbu x berbentuk persegi. Jika tidak, bagaimana kita menghitungnya?

Latihan: Soal-soal 6.2 dan 6.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

C. Panjang Kurva pada Bidang (Kurva Rata) Definisi: Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva tersebut ditentukan oleh persamaan-persamaan x = f (t ), y = g (t ) , a ≤ t ≤ b , dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f’ dan g’ kontinu pada [a,b] sedangkan f’(t) dan g’(t) tidak bersama-sama nol pada (a,b) Andaikan terhadap sebuah kurva mulus dengan persamaan parameter x = f (t ), y = g (t ) , a ≤ t ≤ b

kita buat partisi pada selang [a,b] menjadi n selang bagian dengan titik-titik a=t0
y

Qi

Qi

∆Si

Qn

∆wi

Q i-1 Q i-1

∆yi

∆xi

x

Kemudian kita aproksimasi kurva itu dengan segi banyak, kita hitung panjangnya dan ditarik limitnya dengan norma partisi mendekati nol. Khususnya kita aproksimasi ∆w = i =

∆Si dengan ∆wi jadi ∆Si ≈ ∆wi

( ∆xi ) 2 + ( ∆yi ) 2

[ f (ti ) − f (ti −1 )] 2 +[ g (ti ) − g (ti −1 )] 2

Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan,

[

yakni adanya t i ∈ ti −1,ti sehingga

]

f (t i ) − f (t i −1 ) = f ' (t i )∆t i g (t i ) − g (t i −1 ) = g ' (t i )∆t i

  

dengan

∆t = t − t i i i −1

Dengan demikian ∆w = i n ∑ ∆wi i =1

[ f '(t i )∆ti ]2 +[ g '(t i )∆ti ]2 = [ f '(t i )]2 +[ g '(t i )]2 2 2 n = ∑ [ f ' (t i )] + [ g ' (t i )] ∆ti i =1

∆t

i

Jadi, jika kurvanya x = f (t ), y = g (t ) , a ≤ t ≤ b maka panjang kurva adalah b L= ∫ a b =∫ a

[ f '(t )] 2 +[ g '(t)] 2 dt  dx     dt 

2

 dy  +   dt 

2 dt

Jika kurvanya y = f ( x), a ≤ x ≤ b maka panjang kurva adalah 2 b  dy  L = ∫ 1+  dx  dx  a

Jika kurvanya x = f ( y), c ≤ y ≤ d maka panjang kurva adalah 2 b  dx  L = ∫ 1+   dy  dy  a

Latihan: Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

Diferensial Panjang Busur Andaikan f sebuah fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a,b], kita defiisikan x 2 s( x) = ∫ 1+ [ f ' (u )] du a s(x) melalui maka s(x) adalah panjang busur y = f(u)

antara titik (a,f(a)) dan (x,f(x)).

. (x,f(x) . (a,f(a))

ds

a

x

b

sb-x

dy

dx

2 x 2 dy  ds  2 s( x) = ∫ 1+ [ f ' (u )] du = 1+ [ f ' ( x)] = 1+    dx  a Dari diperoleh dx

 dy  1+    dx 

ds =

atau

2 dx

Sehingga kita dapatkan rumus ds berikut (tergantung persamaan kurvanya): 2

ds =

 dy  1+    dx 

ds =

 dx  1+    dy 

ds =

 dx     dt 

2

dx

← untuk kurva y = f ( x)

dy

← untuk kurva x = f ( y )

2

 dy  +   dt 

2 dt ← untuk kurva x = f (t ), y = g (t )

Latihan: Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

D. Luas Permukaan Benda Putar

Apabila suatu kurva yang terletak pada suatu bidang diputar mengelilingi suatu garis pada bidang tersebut maka akan diperoleh suatu permukaan benda putar. Rumus dasar

l

rumus luas kerucut terpancung

 r1 + r2   2  

A = 2π 

r1

r2

l

1. Pemutaran mengelilingi sumbu x Andaikan pada sebuah kurva mulus di kuadran I atau ke II dengan x = f (t ), y = g (t ) , a ≤ t ≤ b persamaan parameter Kita buat partisi [a,b] dengan titik-titik a=t0
sb x sb x

Apabila kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka bagian ini akan

2π y ∆s

i i membentuk kerucut terpancung yang luasnya Sehingga luas permukaan hasil pemutaran kurva tersebut adalah n ∑ 2π P →0 i =1

A = lim

∗∗

yi ∆si = ∫ 2π y ds ∗

Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung pada persamaan kurvanya) Untuk kurva y = f ( x), a ≤ x ≤ b b b A = 2π ∫ f ( x) ds = 2π ∫ f x

()

a

1+

( )

a

dy 2 dx dx

Untuk kurva x = f (t ), y = g (t ) , a ≤ t ≤ b b b A = 2π ∫ g (t ) ds = 2π ∫ g (t ) a a

( ) ( )

dx 2 dy 2 + dt dt dt

b. Pemutaran mengelilingi sumbu y Analog dengan pemutaran mengelilingi sumbu x, diperoleh: ∗∗ n A = lim ∑ 2π xi ∆s = ∫ 2π x ds i P →0 i =1 ∗

Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung persamaan kurvanya) berikut: Untuk kurva x = f ( y ), c ≤ y ≤ d d d A = 2π ∫ f ( y ) ds = 2π ∫ f y c c

( )

1+

()

dx 2 dy dy

Untuk kurva x = f (t ), y = g (t ) , a ≤ t ≤ b b b A = 2π ∫ f (t ) ds = 2π ∫ f (t ) a

a

( ) ( )

dx 2 dy 2 + dt dt dt

Latihan: Soal-soal 6.5. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

E. Usaha/Kerja Dalam Fisika, apabila suatu benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dan ada gaya F yang konstan yang menggerakkan benda itu dengan arah searah gerak benda, maka Usaha/kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah W= F . d Andaikan benda bergerak sepanjang sb x dari x=a sampai x=b dan ada gaya yang menggerakan benda itu F(x) dengan metode: patisikan [a,b], aproksimasi, dan integralkan di peroleh b W = ∫ F ( x) dx a

ΔW ≈ F ( x)Δx

Contoh: 1. Apabila panjang pegas alami 10 inci dan diperlukan gaya 3 pon untuk menarik dan menahannya sejauh 2 inci, tentukan usaha yang diperlukan untuk menarik pegas itu sejauh 15 inci dari keadaan alami? Jawab: Dasarnya Hukum Hoke: gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x adalah F(x) = kx, dengan k konstanta pegas. Karena diketahui diperlukan gaya 3 pon untuk menarik dan menahannya sejauh 2 inci, maka 3 = k.2 ⇔ k= 3/2, sehinga F(x) = 3/2 x Jika pegas dalam keadaan alami 10 inci identik dengan x=0 maka panjang pegas 15 inci identik dengan x=5. 5

Jadi usaha yang dilakukan

3 W = ∫ x dx = 18,75 inci - pon 2 0

2. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memompa air sampai

mencapai tepi tangki, tangki ini panjangnya 50 kaki dan ujungujungnya berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari 10 kaki; tinggi air dalam tangki 7 kaki. Pada lempengan besarnya Gaya = beratnya = kepadatan air x volume = δ x 2r. l . ∆y

y

-y

r

r

x

-10

= δ . 2 x . 50 . ∆y

∆y

(

)

2 2 = δ . 2 10 − y . 50 . ∆y

Lempengan ini harus diangkat sejauh (– y), sehingga W = 2.50δ

∫(

−3

−10

)

10 2 − y 2 ( − y ) dy ; dengan δ = 62,4

pon tiap kaki kubik

Latihan: Soal-soal 6.6. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

F. Gaya Cairan Dasar hukum Blaise Pascal: tekanan (=gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besar dari arah manapun. Jadi tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama besarnya, tidak peduli apakah permukaan datar, tegak atau miring. Jika sebuah tangki dengan alas berbentuk persegi panjang dengan luas A berisi cairan (fluida) dengan kepadatan δ setinggi h, maka gaya yang bekerja pada dasar tangki adalah F = δ h A Contoh: Andaikan tangki yang penampangnya seperti pada gambar, diisi dengan air ( δ =62,4 pon tiap kaki kubik) dengan kedalaman 5 kaki. Hitunglah gaya total yang bekeja pada tepi tersebut! Gaya yang bekerja pada kedalaman 5-y ⇒ ∆F ≈ δ h A = δ (5 − y ) x∆y Dengan x diperoleh dari persamaan y = 3x – 24

10 kaki

letakan pada system

y=3x-24 6

6 kaki

Cairan

5 kaki

5-y y

8 kaki 0

8

x

10

5

Jadi

 y + 24  F = δ ∫ ( 5 − y) dy  3  0

Latihan: Soal-soal 6.7. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

G. Momen dan Pusat Massa Hasil kali massa dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang menghasilkan putaran pada titik tersebut. Syarat agar massa pada suatu garis berimbang pada suatu titik di garis itu adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol. m Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu x sistem yang terdiri atas n massa: m1, m2, …,mn yang berjarak masing-masing di x1, x2, …,xn M= x.m pada sumbu x adalah n

M = x1 m1 + x2 m2 + x3 m3 +…+ xn mn= Ilustrasi m1 x1

m2 x2 0

m3 x3

m4 x4

mi xi

∑xm i

i

1

mn xn

dimanakah koordinat titik seimbang? Misal koordinat titik seimbangnya adalah x , karena syarat seimbangan momen

system terhadap titik x adalah nol maka (x1 – x )m1 + (x2 – x )m2 + … +(xi – x )mn +…+ (xn – x )mn = 0 x1 m1 + x2 m2 + … +xi mn +…+ xn mn= x m1 + x m2 + … + x mn +…+ x mn

Sehingga

n ∑ xi mi M i=1 x= = n m ∑m i=1 i

1. Distribusi Massa Yang Kontinu Pada Suatu Garis Misal sepotong kawat dengan kepadatan yang berlainan (massa tiap satuan panjang). Kita akan mengetahui kedudukan titik beratnya. Kita letakkan kawat itu pada system koordinat, andaikan kepadatan di x adalah δ (x) menggunakan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh ∆m ≈δ( x)∆x dan ∆M ≈ xδ( x) ∆x b m =∫ δ( x) dx a

sehingga

dan

b M =∫ xδ( x) dx a

b ∫ xδ( x) dx a x= b ∫ δ( x) dx a

2. Distribusi Massa Pada Bidang Andaikan n massa titik m1, m2, …,mi, …, mn yang terletak pada titik (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), …,(xi,yi),…., (xn,yn) pada bidang xoy. Maka

Jumlah momen terhadap sumbu y n M y = ∑ xi mi i =1

Jumlah momen terhadap sumbu x n M x = ∑ yi mi i=1

Koordinat titik berat sistem adalah ( x, y ) dengan n n yi mi ∑ xi mi ∑ M M y i =1 x i = 1 x= = n y= = n m m ∑m ∑m i=1 i i =1 i

Andaikan sepotong lamina homogen yang dibatasi oleh x=a, x=b, y=f(x) dan y=g(x), dengan f(x) ≤ g(x) pada [a,b] y

y=f(x)

. f ( x) + g ( x) 2

a

0

x

b

y=g(x)

sb x

Dengan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh ∆m ≈ δ [ f ( x) − g ( x)]∆x ∆M

y

≈ xδ [ f ( x) − g ( x)]∆x

∆M

x

≈ yδ [ f ( x) − g ( x)]∆x

b m = δ ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a b M = δ ∫ x [ f ( x) − g ( x)] dx y a b M = δ ∫ y [ f ( x) − g ( x)] dx x a

( )

Jadi koordinat titik beratnya x, y dengan b b δ ∫ x [ f ( x) − g ( x)] dx ∫ x [ f ( x) − g ( x)] dx M y x= = a = a b b m δ ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a a b b δ ∫ y [ f ( x) − g ( x)] dx ∫ y [ f ( x) − g ( x)] dx M y= x = a = a b b m δ ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a a

Latihan: Soal-soal 6.8. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

FUNGSI TRANSENDEN

1. Fungsi Logaritma Natural (Asli) Sepengatuhan anda saat belajar kalkulus diferensial dalam mata kuliah

1 Kalkulus I, apakah anda menemukan fungsi yang memiliki turunan x ?

d  x 3  dx  3 

  d  x 2  dx  2   

= x2 = x1

d [ x] = x0 dx d [..?..] = x −1 dx d  − 1 −x  = x −2 dx   d − 1 x − 2  = x −3  dx  2  Situasi di atas memicu munculnya fungsi baru yang memenuhi

d [ ] ..?.. dx

= x −1

.

Definisi Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefinisikan dengan

x1 ln x = ∫ dt , x > 0 1t

Perhatikan! • Daerah definisi dan nilai fungsi ini adalah

x1 ln x = ∫ dt < 0 1t • Untuk 0 < x < 1 ,

D f = ( 0, ∞ ) dan R f = R

1

1 ln1 = ∫ dt = 0 1t • Untuk x = 1 , x1 ln x = ∫ dt > 0 x > 1 1t • Untuk ,

Turunan Fungsi Logaritma Asli Teorema : dy 1 = ,x >0 dx x d [ ln u ] = 1 . du 2. Jika u = f ( x ) > 0, maka dx u dx

1. Jika y = ln x maka

dy d d x 1  1 = [ ln x ] =  ∫ dt  = , x > 0 dx dx dx 1 t  x Bukti: 1. Gunakan aturan rantau untuk membuktikan yang ke 2. Contoh:

1. Tentukan turunan pertama dari f ( x) = ln( x 2 + x − 6) df ( x) 1 2x + 1 = 2 .(2 x + 1) = 2 dx x + x−6 x + x−6 ini berlaku pada daerah definisi fungsi ini yaitu Jawab :

pada x 2 + x − 6 > 0 ⇒ ( x + 3)( x − 2) > 0 ⇒ (−∞ ,−3)  (2, ∞)

2. Tentukan turunan pertama dari f ( x ) = ln x ln(− x), x < 0 Jawab : f ( x) = ln x =   ln x , x > 0 1  1 .( − 1 ) = ,x <0 df ( x )  − x 1 x maka = = , x≠0 1 dx x  ,x >0  x

Integral Fungsi Logaritma Asli Berdasarkan contoh 2 di atas, kita peroleh

1

∫ x dx = ln x + C , x ≠ 0

dan

1

∫ u du = ln u + C , u ≠ 0

Contoh:

Tentukan

3 ∫ 2 x − 4dx

1 du. Sehingga 2 3 1 1 3 1 dx = 3 . du = ∫ 2x − 4 ∫u 2 ∫ du 2 u 3 3 = ln u + C = ln 2 x − 4 + C 2 2 3 1 atau ∫ dx = 3 ∫ dx 2x − 4 2x − 4 1 1 = 3. ∫ d (2 x − 4) 2 2x − 4 3 = ln 2 x − 4 + C 2

Jawab : Misal 2 x − 4 = u ⇒ dx =

Sifat Logaritma Asli Teorema Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan r bilangan rasional, maka

i. ln 1 = 0 ii. ln ab = ln a + ln b a iii. ln = ln a − ln b b iv. ln a r = r ln a Bukti: 1

1 Dari definisi diperoleh ln 1 = ∫ dt = 0 1t

T.i. T. ii. Karena untuk x > 0 berlaku

d [ ln ax] = 1 .a = 1 dan d [ ln x] = 1 dx ax x dx x maka

ln ax = ln x + C

untuk x = 1 diperoleh C = ln a sehingga ln ax = ln x + ln a dan jika kita subsitusikan x = b kita peroleh ln ab = ln a + ln b

T. iii. Jika pada T.ii kita subsitusikan

a=

1 kita peroleh ln ab = ln 1 = 0 b

1 1 1 padahal ln .b = ln + ln b maka ln = − ln b b b b a 1 1 sehingga ln = ln a. = ln a + ln = ln a − ln b b b b

T. iv. Karena untuk x > 0 berlaku

[ ]

d 1 r d [ r ln x] = r ln x r = r .rx r −1 = dan dx x dx x x ln x r = r ln x + C

maka

r untuk x = 1 diperoleh C = ln 1= 0 sehingga ln x = r ln x

Contoh 1:

Tentukan

5

x

∫

2

x −1

2

dx

Jawab : Misal x2 − 1 = u 1 xdx = du 2

Sehingga

5

∫

2

atau

5

∫

2

x=2→u =3 x = 5 → u = 24

1 24 1 1 24 [ ] dx = du = ln u ∫ 3 2 3 u 2 x2 − 1 1 ( ln 24 − ln 3 ) = 1 ln 24 = 1 ln 8 = 2 2 3 2 x

(

) [

1 5 1 1 2 dx = d x − 1 = ln x 2 − 1 ∫ 2 2 2 2 x −1 2 x −1 1 ( ln 24 − ln 3 ) = 1 ln 24 = 1 ln 8 = 2 2 3 2 x

Contoh 2:

y = ln 3 Tentukan turunan dari

x+5 3x 2

]

5 2

Jawab: Karena

y = ln 3

Maka

x+5 3x 2

=

1 [ ln( x + 5) − ln 3 − 2 ln x] 3

dy 1  1 2 x + 10 =  −0−  = − dx 3  x + 5 x 3 x( x + 5)

Grafik Fungsi Logaritma Natural Perhatikan fungsi y = ln x dengan

D f = ( 0, ∞ ) dan R f = R

, grafik fungsi ini

melalui titik (1,0). Turunan pertama dan keduanya adalah

dy 1 d2y 1 = > 0 dan = − <0 dx x dx 2 x2 Sehingga grafik fungsi naik dan cekung kebawah pada daerah definisinya.

limit ln x = ∞ dan limit ln x = −∞

Kemudian x → ∞

x →0 +

jadi sumbu y merupakan asymtot tegak. Y

0 1

X

Latihan: Soal-soal 7.1. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

2. Fungsi Invers Kita akan mengulas secara umum pembalikan atau penginversan suatu fungsi. Kita ingat bahwa ciri suatu fungsi mempunyai balikan atau invers, apabila fungsi itu merupakan fungsi satu-kesatu, yaitu

x1 ≠ x2 ⇔ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Sifat yang mudah adalah Teorema Apabila f monoton murni pada daerah definisinya, maka f mempunyai invers.

−1 Selanjutnya apabila f adalah invers dari fungsi f , maka sebaliknya f juga

−1 −1 merupakan infers dari fungsi f .Jadi antara f dan f saling menginvers dan −1 −1 −1 berlaku ( f o f )(x)= f (f(x)) = x dan f( f (y)) = y

Jadi untuk membuktikan bahwa suatu fungsi mempunyai invers, tunjukkan bahwa fungsi tersebut monoton murni atau berlaku −1 −1 −1 ( f o f )(x)= f (f(x)) = x dan f( f (y)) = y

Cara untuk menentukan invers fungsi y = f(x) sebagai berikut: Langkah 1. Nyatakan x dalam y dari persamaan y = f(x) −1 f Langkah 2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai x = (y) −1 Langkah 3. Gantikan y dengan x dan x dengan y dari bentuk x = f (y) −1 Perhatikan bahwa dengan menentukan x = f (y) dari y = f(x) berarti

menentukan pasangan titik (x,y) yang sama atau identik, hanya menukar variabel x dengan variabel y sebagai varibel bebas. Penukaran ini mengakibatkan pencerminan grafik fungsi pada garis y = x. Jadi grafik fungsi invers dan grafik fungsi asalnya simetris terhadap garis y = x.

Contoh: Jika fungsi f didefinisikan sebagai

f ( x) =

x x + 1 . Tentukan rumus

fungsi invers, garfik fungsi dan grafik fungsi inversnya.

Turunan Fungsi Invers Teorema. (Turunan Fungsi Invers) Apabila f mempunyai turunan dan monoton murni pada selang I. Jika

f ′( x) ≠ 0 pada suatu x ∈ I , maka f −1 mempunyai turunan di titik y = f (x ) pada daerah hasil f dan berlaku dx 1 = 1 −1 ′ dy dy f ( y) = f ′( x) atau dx

( )

−1 ′ ( ) (7) dari f Contoh: Tentukan turunan dari

y = f ( x) = x3 − 1

Latihan: Soal-soal 7.2. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

3.

Fungsi Eksponen Asli

Dari sifat kekontinuan fungsi logaritma natural kita dapat definisikan bilangan e (bilangan ini pertama kali digunakan oleh Leonhard Euler) sebagai berikut: Definisi 1. Bilangan e adalah bilangan real positif yang merupakan jawab tunggal dari persamaan ln x = 1 (atau memenuhi ln e = 1). Nilai hampirannya ialah 2,718281828459... x x 2. e adalah bilangan real yang memenuhi ln e = x 3. Fungsi eksponen asli adalah suatu fungsi yang didefinsikan

y = f ( x) = e x , x ∈ R Dari definisi di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi eksponen asli adalah invers dari fungsi logaritma asli. Teorema x Fungsi y = e , x ∈ R adalah invers dari fungsi y = ln x , x > 0

Akibatnya:

y = e x , x ∈ R ⇔ x = ln y , y > 0

Grafik Fungsi Eksponen Asli y=ex

y=x

Y y= ln x 1 0 1

X

Bentuk Limit Dari Bilangan e Teorema

i. e = limit (1 + h ) h →0

1

 1 iii. e = limit 1 +  n n → +∞

h

 1 ii. e = limit 1 +  n n → −∞ 

n

 1 iv. e = limit 1 −  n n → +∞

n

n

Bukti: i. Misal f ( x) = ln x maka

f ′( x) =

1 1 dan f ′(1) = = 1 x 1 sehingga

1 f (1 + h) − f (1) ln (1 + h ) = limit = limit ln(1 + h ) h h h h →0 h →0 h→0 1 kita peroleh ln e = ln limit(1 + h ) h .  h→0  Karena fungsi f ( x) = ln x merupakan fungsi satu - kesatu, maka

ln e = 1 = f ′(1) = limit

e = limit (1 + h ) h →0

1

h

1 =n h Selanjutnya silahkan anda buktikan ii, iii, dan iv dengan menggantikan dari bentuk i.

Sifat-sifat Eksponen Asli Teorema Andaikan a dan b bilangan rasional, maka

i.

a b

e .e = e

a +b

e a .e b = e

ii.

ln  e a .eb  



ea eb

= e a −b

( )b = eab

iii. e a

a b  = e ln e + ln e  = e a + b     .

Bukti i: Selanjutnya untuk ii dan iii silahkan anda buktikan sendiri.

Turunan Fungsi Eksponen Asli Teorema

1. Jika y = e x maka

dy = ex dx

2. Jika y = eu , dengan u = f ( x ) maka

dy du = eu . dx dx

x Bukti: Karena y = e , x ∈ R ⇔ x = ln y , y > 0

dx 1 dy = ⇒ = y = ex dx maka dy y Dengan aturan rantai, buktikan yang ke 2. Contoh:

Tentukan turunan pertama dan kedua dari f ( x) = e x

2 +3

df ( x ) d 2 f ( x) x 2 +3 x 2 +3 2 x 2 +3 Jawab : = 2 xe dan = 2 e + 4 x e 2 dx dx

Integral Fungsi Eksponen Asli Dari sifat turunan fungsi eksponen kita peroleh x x ∫ e dx = e + C

u u ∫ e du = e + C

dan

Contoh: x ∫ xe

1. Tentukan Jawab :

x ∫ xe 2

2. Hitung ∫ e 0

2 −5

2 −5

(e x + x )

dx

dx =

(

)

1 x 2 −5 2 1 x 2 −5 e d x − 5 = e +C ∫ 2 2

2

2

2

2  x dx = ∫ e .e dx = ∫ e de = ee  = ee − e  0 0 0 ex

x

ex

x

Latihan: Soal-soal 7.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

4. Fungsi Eksponen Umum dan Logaritma Umum Fungsi eksponen umum ialah fungsi eksponen dengan bilangan dasar a > b 0. Dari relasi b = ln a , a > 0 ⇔ a = e , b ∈ R

( ) x = e x ln a ,

x ln a ln a , a > 0 sehingga a = e kita peroleh a = e

a>0

Definisi Fungsi eksponen dengan bilangan dasar a > 0 dan peubah bebas x didefinisikan sebagai

f ( x) = a x = e x ln a

Daerah definisinya adalah

Df = R

dan daerah nilainya

R f = ( 0,+∞)

Sifat-sifat Eksponen Umum Teorema Andaikan a > 0 , b > 0 , x dan y bilangan real, maka

i. ii iii

a x .a y = a x + y

ax a

y

=a

iv.

( ab ) x = a x b x

v.

ax a   = x b b

x

x− y

(a x ) y = a xy

Akan dibuktikan untuk iii dan v, yang lain buktikan sendiri.

( ) y = (e x ln a ) y = e yx ln a = eln a xy = a xy

x Bukti: iii. a

x

a

x ln   e x ln a a x a x ( ln a − ln b ) b  v.   = e =e = x ln b = y b e b

Diferensial dan Integral Fungsi Eksponen umum Teorema

i. ii. iii.

dy = a x ln a dx dy du y = a u , u = f ( x) ⇒ = a u . ln a. dx dx

y = ax ⇒

∫

ax a dx = +C , a ≠1 ln a x

atau

∫

au a du = + C, a ≠ 1 ln a u

Bukti:

f ( x) = a x ⇒ ln f ( x) = ln a x = x ln a 1 df ( x ) ⇒ . = ln a f ( x ) dx df ( x) ⇒ = a x ln a dx df ( x) 1 iii. = a x ln a ⇒ df ( x) = a x dx , a ≠ 1 dx ln a 1 ⇒ ∫ a x dx = ∫ df ( x), a ≠ 1 ln a i.

ax ⇒ ∫ a dx = + C, a ≠ 1 ln a x

Contoh:

dy = 3 x ln 3 dx df ( x) 2. f ( x) = 2sin x ⇒ = 2sin x ( ln 2 )( cos x ) = ( ln 2 )( cos x ) 2sin x dx

1. y = 3 x

⇒

(

x Grafik Fungsi f ( x) = a , a > 0

)

(

)

0
Y

a rel="nofollow">1

1 X

Fungsi Logaritma Umum ialah fungsi logaritma dengan bilangan pokok (bilangan dasar) a > 0 dan a ≠ 1. Definisi Jika a > 0 dan a ≠ 1 , maka fungsi logaritma dengan bilangan pokok a, ditulis

f ( x) =

a

log x didefinisikan sebagai invers fungsi

y = ax,a > 0 . a Akibatnya: y = log x ⇔

x = ay , a > 0 , a ≠1

Perhatikan hubungan berikut,

x = a y ⇔ ln x = y ln a ⇔ y =

ln x atau ln a e

Jika kita ganti a dengan e kita peroleh

Teorema

a

log x =

log x =

ln x ln a

ln x = ln x ln e

i.

ii.

Jika

y=

Jika

y=

Bukti i:

y=

a

a

log x

a

maka

log u , u = f ( x)

log x =

dy 1 = dx x ln a maka

dy 1 du = . dx u ln a dx

ln x dy 1 ⇒ = ln a dx x ln a

Selanjutnya silahkan anda buktikan teorema ii.

a Grafik Fungsi f ( x) = log x

Y

0
a rel="nofollow">1

1

X

5. Penggunaan Fungsi Logaritma dan Eksponen a. Pendiferensialan Logaritma Dalam kasus tertentu metode ini sangat efektif.

y= Contoh 1: Tentukan turunan dari

x+7 ( x − 4)3 2 x + 1

Jawab: Karena

ln y = ln

x+7 1 1 ( ) ( ) = ln x + 7 − ln x − 4 − ln ( 2 x + 1) 3 ( x − 4)3 2 x + 1 2 d ( ln y ) 1 dy 1 1 2 = = − − dx y dx 2( x + 7 ) x − 4 3(2 x + 1)  1  dy 1 2 = y − −  dx  2( x + 7 ) x − 4 3(2 x + 1)   1  dy x+7 1 2 = − − dx ( x − 4)3 2 x + 1  2( x + 7 ) x − 4 3(2 x + 1) 

⇔ ⇔ Maka

Latihan: Gunakan pendiferensialan logaritma untuk 1. Menentukan turunan dari

y = uvw, dengan u = f ( x ), v = g ( x), dan w = h( x )

Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama

(

)3

2 2 2 dari y = x − 1 ( 5 x + 2) x + 1 g ( x) [ ] y = f ( x ) , x ∈ { x g ( x ) > 0} 2. Carilah rumus turunan pertama dari

Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama cos x sin x x ( ) a ). y = x , b ). y = x , c ). y = sin x dari

0 0 ∞ b. Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu 0 , ∞ , dan 1

Untuk menghitung limit bentuk ini, tulislah limitnya sebagai L kemudian ambilah logaritma natural dari kedua ruasnya, gunakan sifat kekontinuan fungsi logaritma dan selesaikan limitnya dengan teorema L’hospital. 0 Bentuk 0

Bentuk ini muncul dari

limit [ f ( x)] g ( x ) dengan limit f ( x ) = limit g ( x) = 0 x→a

x→a

x→a

x → a dapat diganti limit sepihak atau x → +∞ atau x → −∞ limit x x

Contoh:

+ Hitunglah x → 0

L = limit x x x →0+

Jawab: Andaikan

maka

ln L = ln limit x x = limit ln x x x →0 +

= limit

x →0+

x →0+

ln x 1x = limit = limit (− x) = 0 2 1 + − 1 x x →0 x →0 + x limit x x = 1

0 + Jadi L = e = 1 atau x → 0 0 Bentuk ∞

Bentuk ini muncul dari

limit [ f ( x)] g ( x ) dengan limit f ( x) = ± ∞ dan limit g ( x) = 0 x→a

x →a

x→a

x → a dapat diganti limit sepihak atau x → +∞ atau x → −∞ Contoh:

limit (1 + x )1 ln x

Hitunglah x → +∞

Jawab: Andaikan

L = limit (1 + x )1 ln x x → +∞

maka

ln L = ln limit (1 + x )1 ln x = limit ln (1 + x )1 ln x x → +∞

x → +∞

ln(1 + x ) x 1 = limit = limit = 1 x → +∞ ln x x → +∞ 1 + x x → +∞ 1

= limit

limit (1 + x )1 ln x = e

1

Jadi L = e = e atau x → +∞

∞

Bentuk 1

Bentuk ini muncul dari

limit [ f ( x)] g ( x ) dengan limit f ( x) = 1 dan limit g ( x) = +∞ x→a

x →a

x→a

x → a dapat diganti limit sepihak atau x → +∞ atau x → −∞ limit (1 − x ) csc x

Contoh:

+ Hitunglah x → 0

L = limit (1 − x ) csc x x →0+

Jawab: Andaikan

maka

ln L = ln limit (1 − x ) csc x = limit ln(1 − x ) csc x x →0 +

= limit

x →0+

ln(1 − x ) − 1 (1 − x ) 1 = limit = − = −1 sin x cos x 1 x →0+

limit (1 − x ) csc x = e −1

+ Jadi x → 0

x →0 +

5. Fungsi Invers Trigonometri Karena fungsi trigonometri pada daerah definisinya (himpunan bilangan real) bukan merupakan fungsi satu-kesatu maka fungsi trigonometri tersebut tidak mempunyai invers, tetapi dengan membatasi daerah definisi fungsi trigonometri kita dapat mendefinisikan fungsi invers untuk semua fungsi trigonometri.

Definisi

π π ≤y≤ 2 2

y = sin − 1 x

⇔

x = sin y dengan −

ii. y = cos − 1 x

⇔

iii. y = tan − 1 x

⇔

x = cos y dengan 0 ≤ y ≤ π π π x = tan y dengan − < y < 2 2

iv. y = cot − 1 x

⇔

x = cot y dengan 0 < y < π

v. y = sec− 1 x

⇔

x = sec y dengan 0 ≤ y ≤ π , y ≠

vi. y = csc− 1 x

⇔

x = csc y dengan −

i.

Turunan Fungsi Invers Trigonometri Teorema

π 2

π π < y < ,y ≠0 2 2

dy 1 = , −1 < x < 1 2 dx 1− x dy −1 ii. Jika y = cos −1 x maka = , −1 < x < 1 2 dx 1− x i. Jika

y = sin −1 x

maka

dy 1 = dx 1 + x 2 dy −1 iv. Jika y = cot −1 maka = dx 1 + x 2 dy 1 v. Jika y = sec −1 x maka = , x >1 dx x x 2 − 1 iii. Jika y = tan −1 x maka

vi. Jika y = csc −1 x maka

dy −1 = , x >1 dx x x 2 − 1

Bukti: Akan dibuktikan teorema ii dan iii, yang lain silahkan buktikan anda buktikan.

i. y = sin −1 x ⇒

x = sin y dx ⇒ = cos y dy dy 1 1 1 ⇒ = = = dx cos y cos(sin -1 x) 1 − x2

1

sin −1 x 1 − x2

x

1 + x2 tan −1 x 1

x

ii. y = tan −1 x ⇒

x = tan y

dx = sec 2 y dy dy 1 1 1 ⇒ = = = dx sec 2 y sec 2 (tan -1 x) 1 + x 2

⇒

Contoh:

Integral Fungsi Invers Trigonometri Dari rumus turunan fungsi invers trigonometri kita peroleh rumus integral berikut. Silahkan Anda buktikan! Teorema

1

i.

∫

ii.

∫

iii.

∫

iv.

∫

1 − x2 1 1 + x2 1

dx = sin −1 x + C

atau = − cos −1 x + C

dx = tan −1 x + C

atau = − cot −1 x + C

dx = sec −1 x + C

atau = − csc −1 x + C

x x2 − 1 1

dx = sin −1

x +C ,a > 0 a

a2 − x2 1 1 −1 x v. ∫ 2 dx = tan +C,a ≠ 0 a a a + x2 x 1 1 vi. ∫ dx = sec −1 + C , a > 0 a a x x2 − a2

Perhatikan!

∫

1 a2 + x2

dx =

1 ∫ a

x  x 1 d   = tan −1 + C , a ≠ 0 a a a

1  x 1+   a

2

Contoh:

1

dx = sin −1

x +C 3

1.

∫

2.

1 −1 x dx = sec +C ∫ 2 4 4 x x − 16

9 − x2 1

6. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya 2

2

Bentuk parameter hiperbol satuan x − y = 1 dapat ditampilkan sebagai fungsi sinus dan cosinus hiperbolik. Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai x −x kombinasi dari fungsi y = e dan y = e

Definisi i.

f ( x) = sinh x =

(

1 x e − e− x 2

)

sinh e x − e − x iii. f ( x) = tanh x = = cosh e x + e − x 1 2 v. f ( x ) = sech x = = x cosh e + e − x

ii. f ( x) = cosh x =

(

1 x e + e− x 2

)

cosh e x + e − x iv. f ( x) = coth x = = sinh e x − e − x 1 2 iv. f ( x) = csch x = = x sinh e − e − x

Untuk sinh, cosh, tanh, dan coth terdefinisi pada R, sedangkan untuk sech dan csch terdefinisi pada R − { 0} .

2 2 Keterkaitan Fungsi hiperbolik dengan hiperbol x − y = 1 Y

Y sinh t

1 sin t

-1

(x,y)

(x,y) t cos t

t 1

X

-1

1

cosh t

X

x2 + y 2 = 1

x2 − y 2 = 1

 x = cos t ; t parameter  y = sin t 

 x = cosh t ; t parameter  y = sinh t 

Sifat-sifat Fungsi Hiperbolik Sifat fungsi hiperbolik mirip dengan fungsi trigonometri. Teorema ini dibuktikan dengan menggunakan definisi dan sifat eksponen, silahkan Anda

buktikan! Teorema

1. sinh( − x ) = − sinh x

7. tanh x = 1

2. cosh(− x) = cosh x

8. cosh x + sinh x = e x 9. cosh x − sinh x = e − x

3. tanh(− x) = − tanh x

coth x

5. sech(− x ) = sech x

10. cosh 2 x − sinh 2 x = 1 11. 1 − tanh 2 x = sech 2 x

6. csch(− x ) = −csch x

12. coth 2 x − 1 = csch 2 x

4. coth(− x) = − coth x

sinh( x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y sinh( x − y ) = sinh x cosh y − cosh x sinh y cosh( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y cosh( x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y sinh 2 x = 2 sinh x cosh x 18. cosh 2 x = cosh 2 x + sinh 2 x = 2 cosh 2 x − 1 = 1 + sinh 2 x 2 tanh x 19. tanh 2 x = 1 + tanh 2 x 13. 14. 15. 16. 17.

Turunan Fungsi Hiperbolik Dengan menggunakan turunan fungsi eksponen dan sifat fungsi hiperbolik, kita peroleh rumus turunan berikut. Silahkan anda buktikan!

Teorema

d [ sinh x] = coshx dx d [ cosh x] = sinh x 2. dx d [ tanh x] = sech2 x 3. dx

d [ coth x] = − csch2 x dx d [ sech x] = − sech x tanh x 5. dx d [ csch x] = − csch x coth x 6. dx

1.

4.

Grafik fungsi hiperbolik y = cosh x

Y y = sinh x

y = tanh x X

Integral Fungsi Hiperbolik Berdasarkan turunan fungsi hiperbolik, kita peroleh rumus integralnya. Teorema

1. ∫ coshx dx = sinh x + C 2. ∫ sinh x dx = cosh x + C

4. ∫ csch2 x dx = − cothx + C 5. ∫ sech x tanh x dx = − sech x + C

3. ∫ sech2 x dx = tanh x + C

6. ∫ csch x coth x dx = − csch x + C

TEKNIK INTEGRASI 1. PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSITUSI 2. INTEGRAL TRIGONOMETRI 3. SUBSITUSI YANG MERASIONALKAN

4. PENGINTEGRALAN PARSIAL 5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL

1 tan x 2 6. TEKNIK SUBSITUSI