Kalculus I -v1.ppt

KALCULUS I ALL 101 BEKASI, 2014 Minggu 15.00

KALKULUS I Materi: • Fungsi 1 variabel, limit, kekontinuan, turunan, aplikasi turunan, aturan L’hospital, nilai ekstrim, menggambar grafik. • Integral tak tentu, teknik pengintegralan, subsitusi, merasionalkan integral, integral parsial, integral fungsi rasional. • Integral tertentu, integral tak wajar, aplikasi integral tertentu. • Luas daerah, volume benda putar, panjang kurva, luas permukaan, massa dan pusat massa. Daftar pustaka: • Koko,M, “Kalkulus” Edisi ke-1, PT Erlangga, Jakarta, 2002 • Stewart, J, “Kalkulus”, Edisi ke-4, PT Erlangga, Jakarta, 2001 • Purcell & Vallberg, “Calculus with Analytic Geometric” 8th Edition,PHI, New Jersey, 2000. • Ayres, F,” Diferensial dan Integral Kalkulus” Edisi ke-2, PT Erlangga, Jakarta, 1998.

1.Pengertian Kalkulus: • Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga • Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

1.Pengertian Kalkulus: • Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Contoh cabang kalkulus yang lain adalah kalkulus proposisional, kalkulus variasi, kalkulus lambda, dan kalkulus proses. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.[1]

1.Pengertian Fungsi Satu Variabel: • Single-variable calculus adalah salah satu topik bahasan matematika yang memiliki fungsi yang besarannya hanya tergantung pada satu variabel saja. • Contoh: – f(x) = 2.x agar mudah diingat biasanya ditulis y = 2x – f(x) =4.x2 + 3.x biasanya ditulis y=4x2 + 3x

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus • • • •

Limit dan kecil tak terhingga Turunan atau diferensial Integral Teorema diferensial dan integral

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Limit: • Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. • Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangandx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. • Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". • Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.[18]

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Limit: Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konseplimit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Definisi limit: Dikatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Persamaan Limit: • Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan persamaannya, dengan :

• jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupa untuk setiap x:

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Turunan/deferensial: • Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. • Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.[1] • Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Turunan/deferensial:

Apabila z = x + h, h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika zmendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Turunan/deferensial: Perhatikan: pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.[1]

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Turunan/deferensial:

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi

pada titik (3,9):

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Notasi Diferensial: Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial. Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi : • notasi Leibniz, • notasi Lagrange, • notasi Newton, dan Latorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Reed, Iris [1] • notasi Euler. B.; Biggers, Sherry (2007), Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Notasi Diferensial: Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:[15]

atau

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Notasi Diferensial: Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Notasi Diferensial: Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Notasi Diferensial: Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

atau

.

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

:

2.Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus Notasi Diferensial:

TURUNAN Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

TURUNAN Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dariperpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.

Turunan Parsial • Turunan parsial •

•

Dalam matematika, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konstan). Ini dibedakan dengan turunan total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Turunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai

• •

Lambang turunan parsial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi

huruf ð)

turunan total d (dan dari

The total derivative (full derivative) of a function , of several variables, e.g., Consider multiplying both sides of the equation by the differential :

,

,

,

etc., with respect to one of its input variables, e.g.,

,

is different from its partial