Julio Cesar Actividad 015-integral

Preparatoria Práctica de ejercicios

Nombre: Julio César Pomposo González. Matrícula: 2542767 Nombre del curso: Nombre del profesor: Calculo Integral Módulo: Aplicaciones

del

Integral.. Fecha:30 de julio de 2006 Bibliografía:

Georgina Castillo de Hoyos Cálculo Actividad: La Integral Definida Equipo: No aplica

↖Purcell, Edwin J., Varberg, Dale, y Rigdon, Steven. E. Cálculo Diferencial e Integral. México: Pearson, 2007.ISBN: 9702609895. Capítulo 5: La Integral ↖Stewart, James. Cálculo Diferencial e Integral. México: Thompson, 2007. ↖Franchini García, Carlos. “Introducción y conceptos generales”. Modelado por medio de ecuaciones diferenciales. Instituto Tecnológico de Puebla. 30 de junio 2007.

Ejercicios: Resuelve los siguientes problemas utilizando Ecuaciones Diferenciales. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) La siguiente tabla muestra una lista de diferentes Ecuaciones Diferenciales, clasifícalas según su orden y linealidad. Utiliza el ejemplo como referencia para clasificar y justificar tus respuestas. Ecuación Diferencial Ejemplo: 2

 d 2x   2  + 4 xy 2 = 2 x  dy  a) 3 xy ′′ + 4 x 2 = 2 xy dy xy = x 2 b) 5 x + dx 2 dy +1 = x c) y dx dy 3 d 2 y d) y + 2 = x+2 dx dx 2 e) ( y ′′) x + 4 = y

Orden Segundo orden, debido a que la derivada de orden mayor es segunda derivada

Linealidad No lineal, debido a que la función y su segunda derivada estan elevadas al cuadrado

Preparatoria Práctica de ejercicios 2

d3y  f) 8 x + 3 =  3  y  dx  1) Encuentra la solución general de la Ecuación Diferencial dada utilizando separación de variables. Utiliza la condición que se indica para encontrar la solución particular.

a)

dy = 6 xy ; y = 2 en x = 1 dx

b)

dy = x + 2 ; y = 3 en x = 2 dx

c)

dv = t ; v = 1 en t = 4 dt

d)

du t = ; u = 1 en t = 2 dt u

e)

dy = x + 1 ; y = 1 en x = 3 dx

f)

dy = e x +1 ; y = 1 en x = 0 dx

g)

dy 4 x = ; y = 0 en x = 1 dx e y

h)

dy senx = ; y = 0 en x = π/2 dx cos y

i)

dy = −9 x 2 y 2 ; y = 1 en x = 0 dx

j)

dy 2 = ( 2 x + 1) ; y = 3 en x = 0 dx

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2) Resuelve los siguientes problemas. Primero plantea el problema como una Ecuación Diferencial y resuelve para encontrar la solución particular empleando la condición(es) inicial(es) dada.

a) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/seg. v(0) = 12 , si la posición inicial es de 1.75 m s (0) = 1.75 y la aceleración es la de la gravedad (-9.8 m/seg2). Encuentra la ecuación de velocidad y posición, utiliza las condiciones iniciales.

b) Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una

aceleración de 4 m/seg2. Encuentra las ecuaciones para su velocidad y posición, considera que v (1) = 4m / seg y s (0) = 2m

c) Una piedra se deja caer de lo alto de la Torre Sears en Chicago, si la altura del edificio es de 442 metros, ¿Cuál será su velocidad al tocar el piso? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al piso? (Recuerda modelar el problema y su solución utilizando Ecuaciones Diferenciales).

d) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/seg. , v(0) = 80 si la posición inicial es de 2 pies, s (0) = 2 y la aceleración es la de la gravedad (-32 pies/seg2). Encuentra la altura máxima qué alcanza la pelota.

3) Investiga en libros de la biblioteca, sitios de Internet y biblioteca digital sobre las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Busca un mínimo de 4 aplicaciones en diferentes ramas del conocimiento (física, química, biología, administración, ingeniería, etc.). Describe cada uno de las aplicaciones y la ecuación diferencial que se utiliza en la aplicación. No olvides incluir las referencias (mínimo 2) de donde obtuviste la información. Procedimiento: Resuelve los siguientes problemas utilizando Ecuaciones Diferenciales. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 2) La siguiente tabla muestra una lista de diferentes Ecuaciones Diferenciales, clasifícalas según su orden y linealidad. Utiliza el ejemplo como referencia para clasificar y justificar tus respuestas.

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Ecuación Diferencial Ejemplo: 2

 d 2x   2  + 4 xy 2 = 2 x  dy  a) 3 xy ′′ + 4 x 2 = 2 xy

dy xy = x 2 dx dy 2 +1 = x c) y dx b) 5 x +

d)

dy 3 d 2 y y + 2 = x+2 dx dx

e) ( y ′′) 2 x + 4 = y

2

d3y  f) 8 x + 3 =  3  y  dx 

Orden Segundo orden, debido a que la derivada de orden mayor es segunda derivada Segundo orden.

Linealidad No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado Lineal

1º

Lineal

1º

No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado

Segundo orden, debido a que la derivada de orden mayor es segunda derivada Segundo orden, debido a que la derivada de orden mayor es segunda derivada 3er

4) Encuentra la solución general de la Ecuación Diferencial dada utilizando separación de variables. Utiliza la condición que se indica para encontrar la solución particular.

a)

dy = 6 xy ; y = 2 en x = 1 dx

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b)

dy = x + 2 ; y = 3 en x = 2z dx

c)

dv = t ; v = 1 en t = 4 dt

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d)

du t = ; u = 1 en t = 2 dt u

e)

dy = x + 1 ; y = 1 en x = 3 dx

f)

dy = e x +1 ; y = 1 en x = 0 dx

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g)

dy 4 x = ; y = 0 en x = 1 dx e y

h)

dy senx = ; y = 0 en x = π/2 dx cos y

i)

dy = −9 x 2 y 2 ; y = 1 en x = 0 dx

j)

dy 2 = ( 2 x + 1) ; y = 3 en x = 0 dx

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5) Resuelve los siguientes problemas. Primero plantea el problema como una Ecuación Diferencial y resuelve para encontrar la solución particular empleando la condición(es) inicial(es) dada.

e) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/seg. v(0) = 12 , si la posición inicial es de 1.75 m s (0) = 1.75 y la aceleración es la de la gravedad (-9.8 m/seg2). Encuentra la ecuación de velocidad y posición, utiliza las condiciones iniciales.

dv ffffffff g dt dv  g dt v  gt  C ` a V0g 0  C C V o V V 0  gt V  12  gt ds fffffff  V V 0  gt dt b

c

ds Z V o  gt dt 1 s V 0 t  fffgt 2  C 2 1 S  S 0  V 0 t  fffgt 2 2 1 S  1.75  12 t  fffgt 2 2

f) Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una

aceleración de 4 m/seg2. Encuentra las ecuaciones para su velocidad y posición, considera que v (1) = 4m / seg y s (0) = 2m

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g) Una piedra se deja caer de lo alto de la Torre Sears en Chicago, si la altura del edificio es de 442 metros, ¿Cuál será su velocidad al tocar el piso? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al piso? (Recuerda modelar el problema y su solución utilizando Ecuaciones Diferenciales).

h) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/seg. , v(0) = 80 si la posición inicial es de 2 pies, s (0) = 2 y la aceleración es la de la gravedad (-32 pies/seg2). Encuentra la altura máxima qué alcanza la pelota.

6) Investiga en libros de la biblioteca, sitios de Internet y biblioteca digital sobre las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Busca un mínimo de 4 aplicaciones en diferentes ramas del conocimiento (física, química, biología, administración, ingeniería, etc.). Describe cada uno de las aplicaciones y la ecuación diferencial que se utiliza en la aplicación. No olvides incluir las referencias (mínimo 2) de donde obtuviste la información. Una ecuación diferencial te puede explicar la razón de cambio de un fenómeno, por ejemplo el desplazamiento con respecto al tiempo, que viene siendo la velocidad, para explicar esto se plantea una ecuación diferencial de primer orden La segunda derivada, o ecuación diferencial de segundo orden corresponde a la aceleración, pues es la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo Si esto lo conviertes en un sistema, por ejemplo un peso sostenido en un resorte, tienes la ecuación de la constante K de la Ley de Hooke que se une con la de la fuerza de gravedad (aceleración por masa) y así logras resolver un sistema con una

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Resultados: Resuelve los siguientes problemas utilizando Ecuaciones Diferenciales. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 3) La siguiente tabla muestra una lista de diferentes Ecuaciones Diferenciales, clasifícalas según su orden y linealidad. Utiliza el ejemplo como referencia para clasificar y justificar tus respuestas. Ecuación Diferencial Ejemplo: 2

 d 2x   2  + 4 xy 2 = 2 x  dy  a) 3 xy ′′ + 4 x 2 = 2 xy

dy xy = x 2 dx dy 2 +1 = x c) y dx b) 5 x +

d)

dy 3 d 2 y y + 2 = x+2 dx dx

e) ( y ′′) 2 x + 4 = y

2

d3y  f) 8 x + 3 =  3  y  dx 

Orden Segundo orden, debido a que la derivada de orden mayor es segunda derivada Segundo orden.

Linealidad No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado Lineal

1º

Lineal

1º

No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado No lineal, debido a que la función y su segunda derivada están elevadas al cuadrado

Segundo orden, debido a que la derivada de orden mayor es segunda derivada Segundo orden, debido a que la derivada de orden mayor es segunda derivada 3er

7) Encuentra la solución general de la Ecuación Diferencial dada utilizando separación de variables. Utiliza la condición que se indica para encontrar la solución particular.

a)

dy = 6 xy ; y = 2 en x = 1 dx

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b)

dy = x + 2 ; y = 3 en x = 2 dx

c)

dv = t ; v = 1 en t = 4 dt

d)

du t = ; u = 1 en t = 2 dt u

e)

dy = x + 1 ; y = 1 en x = 3 dx

f)

dy = e x +1 ; y = 1 en x = 0 dx

g)

dy 4 x = ; y = 0 en x = 1 dx e y

h)

dy senx = ; y = 0 en x = π/2 dx cos y

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i)

dy = −9 x 2 y 2 ; y = 1 en x = 0 dx

j)

dy 2 = ( 2 x + 1) ; y = 3 en x = 0 dx

8) Resuelve los siguientes problemas. Primero plantea el problema como una Ecuación Diferencial y resuelve para encontrar la solución particular empleando la condición(es) inicial(es) dada.

i) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/seg. v(0) = 12 , si la posición inicial es de 1.75 m s (0) = 1.75 y la aceleración es la de la gravedad (-9.8 m/seg2). Encuentra la ecuación de velocidad y posición, utiliza las condiciones iniciales.

j) Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una

aceleración de 4 m/seg2. Encuentra las ecuaciones para su velocidad y posición, considera que v (1) = 4m / seg y s (0) = 2m

k) Una piedra se deja caer de lo alto de la Torre Sears en Chicago, si la altura del edificio es de 442 metros, ¿Cuál será su velocidad al tocar el piso? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al piso? (Recuerda modelar el problema y su solución utilizando Ecuaciones Diferenciales).

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l) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/seg. , v(0) = 80 si la posición inicial es de 2 pies, s (0) = 2 y la aceleración es la de la gravedad (-32 pies/seg2). Encuentra la altura máxima qué alcanza la pelota.

9) Investiga en libros de la biblioteca, sitios de Internet y biblioteca digital sobre las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Busca un mínimo de 4 aplicaciones en diferentes ramas del conocimiento (física, química, biología, administración, ingeniería, etc.). Describe cada uno de las aplicaciones y la ecuación diferencial que se utiliza en la aplicación. No olvides incluir las referencias (mínimo 2) de donde obtuviste la información. Una ecuación diferencial te puede explicar la razón de cambio de un fenómeno, por ejemplo el desplazamiento con respecto al tiempo, que viene siendo la velocidad, para explicar esto se plantea una ecuación diferencial de primer orden La segunda derivada, o ecuación diferencial de segundo orden corresponde a la aceleración, pues es la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo Si esto lo conviertes en un sistema, por ejemplo un peso sostenido en un resorte, tienes la ecuación de la constante K de la Ley de Hooke que se une con la de la fuerza de gravedad (aceleración por masa) y así logras resolver un sistema con una