Juin 2008 Solution
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Juin 2008 Solution as PDF for free.
More details
- Words: 2,650
- Pages: 6
)KŠ‚„Kj†R)’RcXT)‡„t)Kc„K‚R)’KV„J
))a[†„J)r„J)ÉK[T†¤J)\[nT
))KŠ‚„j†R)UKX„‚T„J)‡„u„J)’Rul
2008)Kc„K‚R„„)’aKu„J)‘ca„J
))ÉKhhhhhh[„J)ahhhhh†[†))))C))))bKTj¦J
))
))UJiJicR)kaKj„J)a†[†)’„‰MT„J)’KV„J
))C)…¦J)Éhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhc†T„J
)
JG JJG JJG
(
ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب ﻹﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ O , i , j , kاﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) A ( 0, −1,1و ) B (1, −1,0 واﻟﻔﻠﻜﺔ ) (Sاﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ : 2
.1ﻟﺪیﻨﺎ :
إذن )
x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 2 = 0
.
. x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 2 = 0 ⇔ ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 3 2
2
(Sﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ) Ω (1,0, 2وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ . R = 3وﻟﺪیﻨﺎ ، 02 + ( −1) + 12 − 2 × 0 − 4 ×1 + 2 = 0 :إذن ) . A ∈ ( S 2
⎟⎞ JJJJG ⎛⎜ 0 ⎞⎟ JJJJJG ⎛⎜1 −1 −1 JG 0 1 JG 0 1 JJG JG JG JJG = OA ∧ OB i− j+ .2ﻟﺪیﻨﺎ OB ⎜ −1⎟ :و ⎟ ، OA ⎜ −1وﻣﻨﻪ ﻓﺈن k = i + j + k : −1 −1 1 0 1 0 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ JJJG
JJJJG
JJJJG JJJJG وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن . OA ∧ OB (1,1,1) : JJJJG JJJJG .3ﻟﺪیﻨﺎ OA ∧ OB (1,1,1) :ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) . (OABإذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (OABﺕﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ
x + y + z +d = 0
،وﺑﻤﺎ أن ) ، O ∈ (OABﻓﺈن
ﻟﻨﺤﺴﺐ ﻣﺴﺎﻗﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ Aﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) : (OAB
x + y +z =0
3 = 3=R 3
=
هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دیﻜﺎرﺕﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) . (OAB
1+ 0 + 2 12 + 12 + 12
(
)
= ) . d Ω, (OAB
وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (OABﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) (Sﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ Aﻋﻠﻰ اﻋﺘﺒﺎر أن ) A ∈ ( Sو ) . A ∈ (OAB ))C)hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhKV„J)Éc†T„J
.1ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ^
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ . z 2 − 6z + 34 = 0 :ﻣﻤﻴﺰ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻮ . ∆ = ( −3) − 1× 34 = 9 − 34 = −25 = ( 5i ) : 2
وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺡﻠﻴﻦ ﻋﻘﺪیﻴﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ هﻤﺎ :
−b ′ + i −∆′ − ( −3) + 5i = = 3 + 5i 1 a
وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺡﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ :
= z1
} = {3 − 5i , 3 + 5i
)
−b ′ − i −∆′ − ( −3) − 5i = = 3 − 5i 1 a
و
JJG JJG
2
= z2
.S
(
.2ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ ، O ,e1 ,e 2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cاﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ JG a = 3 + 5iو b = 3 − 5iو . c = 7 + 3iﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) M ′ ( z ′ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ) M ( zﺑﺎﻻزاﺡﺔ Tذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uاﻟﺘﻲ ﻟﺤﻘﻬﺎ . 4 − 2i أ -ﻟﺪیﻨﺎ :
JG
)(
JG
JJJJJJG
M ′ = T ( M ) ⇔ MM ′ = u ⇔ z ′ = z + aff u ⇔ z ′ = z + 4 − 2i
وﺑﻤﺎ أن ، a + 4 − 2i = 3 + 5i + 4 − 2i = 7 + 3i = c :ﻓﺈن C = T ( A ) :أي Cهﻲ ﺻﻮرة Aﺑﺎﻻزاﺡﺔ . T ب -ﻟﺪیﻨﺎ :
) b − c 3 − 5i − 7 − 3i −4 − 8i 2i ( −4 + 2i = = = = 2i a − c 3 + 5i − 7 − 3i −4 + 2i −4 + 2i
b −c ⎤⎡ π ﺝـ -ﻟﺪیﻨﺎ = 2i = ⎢ 2, ⎥ : a −c ⎦⎣ 2
.إذن :
⎞ ⎛ b −c ⎤⎦ ⎟ ⎣⎡ 2π ⎠ ⎝ a −c
⎜ ≡ arg
⎦⎤ ⎡⎣ 2π
CB b − c = وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ABCﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاویﺔ ﻓﻲ Cوﻟﺪیﻨﺎ = 2 : CA a − c 1
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
.
π
2
≡
.إذن BC = 2AC :
JJJG JJJG
) (CA ,CB JJJG JJJG
) (CA ,CB .
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
)))C)Whhhhhhhhhhhhhhhhhhhh„KV„J)Éc†T„J
))
یﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ﺳﺖ آﺮات ﺡﻤﺮاء وﺙﻼث آﺮات ﺧﻀﺮاء ) ﻻ یﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ ( .1ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ وﻓﻲ א ) اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ ﻏﻴﺮ ﻣﻬﻢ ( ﺙﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق .ﺕﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ :א:
RRV
أ -اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺕﻴﻦ ﺡﻤﺮاویﻦ وآﺮة ﺧﻀﺮاء ب -ﻃﺮیﻘﺔ : 1
15 × 3 + 6 × 3 + 1 16 = 84 21 ﻃﺮیﻘﺔ : 2
ﻧﻀﻊ اﻟﺤﺪث
:A
RRV
+ C 33
RV V
أو
C 2C 1 + C 61C 32 . 6 3 C 93
اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺧﻀﺮاء واﺡﺪة ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث A
هﻮ : 3 6 3 9
أو
VVV
هﻮ :
.
:Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺙﻼث آﺮات ﺡﻤﺮاء RRR -
C 20 64 16 = = 1− = C 84 84 21
ﻟﺪیﻨﺎ :
=
.C
C 62 ×C 31 15 × 3 15 = = . 84 28 C 93
هﻮ :
اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺧﻀﺮاء واﺡﺪة ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
p n
. -
) (
. p ( A ) = 1− p A = 1 −
.2ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ) اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ ﻣﻬﻢ واﻟﺘﻜﺮار ﻏﻴﺮ وارد ( ﺙﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق. ﺕﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ :אא: اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺙﻼث آﺮات ﺡﻤﺮاء هﻮ :
A63 120 5 = = A93 504 21
A np
.
.
))C)vhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhRJc„J)Éc†T„J ))C)…¦J)•iX„J
ﻟﺘﻜﻦ gاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ⎤⎦ 0, +ﺑﻤﺎ یﻠﻲ g ( x ) = x − 2ln x : .1أ -ﻟﻴﻜﻦ ⎣⎡ ∞ ، x ∈ ⎤⎦ 0, +ﻟﺪیﻨﺎ :
x −2 ب -ﻧﻌﻠﻢ أن : x و ﻟ ﺪ ی ﻨﺎ :
g
2
2 x −2 = x x
g ′ ( x ) = ( x − 2ln x )′ = 1 −
= ) ∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : g ′ ( x
x ∈ ⎤⎦ 0,2⎤⎦ ⇒ x ≤ 2 ⇒ x − 2 ≤ 0
و
.إذن إﺷﺎرة
) g ′( x
.
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ⎤⎦ 0, +هﻲ إﺷﺎرة
x ∈ ⎡⎣ 2, +∞ ⎡⎣ ⇒ x ≥ 2 ⇒ x − 2 ≥ 0
ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤ ⎤⎦ 0,2وﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞. ⎡⎣ 2, +
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
.
x −2
.
.إذن :
ﺧﻼﺻ ﺔ :
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
e > 2 ⇒ 1 > ln 2 ⇒ 1 − ln 2 > 0
.2ﺑﻤﺎ أن :
(
)
(
)
،ﻓﺈن . g ( 2 ) = 2 1 − ln 2 > 0 :
وﻟﺪیﻨﺎ g ( 2 ) = 2 1 − ln 2 :ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻮیﺔ ﻣﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ gﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ⎤⎦ 0, +ﻋﻨﺪ اﻟﻌﺪد ∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : g ( x ) ≥ g ( 2 ) > 0
2
.وﻣﻨﻪ ﻓﺈ ن:
))C)KV„J)•iX„J 2 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ⎤⎦ 0, +ﺑﻤﺎ یﻠﻲ f ( x ) = x − ( ln x ) :
.1ﻟﺪیﻨﺎ = −∞ :
2
)
(
، lim f ( x ) = lim x − ln xﻷن : x →0 x >0
x →0 x >0
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (Cیﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدیﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = 0 .2أ -ﻧﻀﻊ . t = x :إذن :
→x t ∞+ ∞→+
∞= −
2
. lim ln x x →0 x >0
.
ln t .وﺡﻴﺚ أن = 0 t 2
.
، limﻓﺈن :
∞t →+
⎟⎞ ) (
⎛ ⎞ ln t 2 = t lim × =0 ⎜ ⎟ ∞→+ ⎠⎟ t ⎝ ⎟ ⎠
2 ⎛ ln t 2 ) ln x ( ⎞ ⎛ ln x ⎜ lim lim lim = = ⎜ ⎟ ∞x →+ ∞x →+ ⎜ ∞t →+ x ⎠ ⎝ x ⎜ t 2
⎝
⎞ ⎛ ( ln x )2 ب -ﻟﺪیﻨﺎ ⎟ = +∞ : f ( x ) = lim x − ( ln x ) = lim x ⎜1 − ، xlimﻷن = 0 : ∞→+ ∞x →+ ⎜ ∞x →+ ⎟ x ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ( ln x )2 ) f (x وﻟﺪیﻨﺎ ⎟ = 1 : . lim = lim ⎜1 − x →+∞ x ⎜ ∞x →+ ⎟ x ⎝ ⎠
2
2
2 lim f ( x ) − x = xlim ﺝـ -ﻟﺪیﻨﺎ x − ( ln x ) − x = lim − ( ln x ) = −∞ : ∞x →+ ∞→+ ∞x →+
2
)
(Cیﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﺑﺠﻮار ∞ +اﺕﺠﺎهﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ :
y =x
⎡⎣
.إذن
⎤⎦
وﺡﺴﺐ إﺷﺎرة
x
x
x
ب -ﺝﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ
f
∞x →+
،وﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
(Cیﻮﺝﺪ ﺕﺤﺖ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( .
)′ = 1 − 2ln ′ ( x ) ln x
) g ( xﻓﻲ اﻟﺠﺰء اﻷول ،ﻟﺪیﻨﺎ ∈ ⎦⎤ 0, +∞ ⎣⎡ : f ′ ( x ) > 0 :
x
. lim
.
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )
د -ﻟﺪیﻨﺎ ∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : f ( x ) − x = − ( ln x ) ≤ 0 : ) g (x 2ln x x − 2ln x .3أ -ﻟﻴﻜﻦ ∞ ، x ∈ 0, +ﻟﺪیﻨﺎ : = 1− = = 2
) ( ln x
. ∀xإذن
f
2
) ′ ( x ) = ( x − ( ln x
.f
ﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ ⎡⎣ ∞. ⎦⎤ 0, +
:
ﺝـ -ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (Cﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 1هﻲ . y = f ′ (1)( x − 1) + f (1) ⇔ y = x : .4ﻟﺪیﻨﺎ :
3
f
ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺕﺰایﺪیﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎡⎣ ∞ . ⎦⎤ 0, +إذن:
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
f
ﺕﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ
−1
f
ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Jﺡﻴﺚ :
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
⎤ ⎡ \ = ⎣⎡ ∞ J = f ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ = ⎥ lim f ( x ) , lim f ( x ) ⎢ = ⎤⎦ −∞, +ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ، I = ⎤⎦ 0, +وﺑﻤﺎ أن ، 0 ∈ Jﻓﺈن 0 ∞x →+ → ⎥ xx ⎢ ⎦ >0 ⎣ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﺕﻘﺒﻞ ﺡﻼ وﺡﻴﺪا αﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞. I = ⎤⎦ 0, +
)
(
2 ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ 1 1 1−e = f ⎜ ⎟ = − 1و ) f ⎜ ⎟ = − ( ln 2 ) > 0ﻷﻧﻪ ﺡﺴﺐ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت وﺑﻤﺎ أن < 0 : e 2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝e ⎠ e
<
2
1 1 ﻓﺈﻧﻪ ﺡﺴﺐ ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ ،ﻟﺪیﻨﺎ < α < : e 2 .5إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) : (C I (e ,e −1) . α ≈ 0,4948664145ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (C
)
(
.( ln 2
.
.6أ -ﻟﺪیﻨﺎ ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : H ′ ( x ) = ( x ln x − x )′ = x ′ ln x + xln ′x − 1 = ln x : هﻲ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ln : x 6 ln xﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ، ⎤⎦ 0, +وﻟﺪیﻨﺎ :
. ∀xإذن :
≈ 2,7
.
.e
H : x 6 x ln x − x
∫1 ln ( x ) dx = ⎡⎣H ( x )⎤⎦1 = H (e ) − H (1) = 0 − ( −1) = 1 e
e
ب -ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺝﺰاء ،ﻟﺪیﻨﺎ : e
dx = ∫ H ′ ( x ) ln ( x ) dx = ⎡⎣ H ( x ) ln ( x )⎤⎦ − ∫ H ( x ) ln ′ ( x ) dx 1 1 1 e x ln x − x ∫ = H (e ) ln (e ) − H (1) ln (1) − dx 1 x e e = − ∫ ( ln ( x ) − 1) dx = − ∫ ln ( x ) dx + (e − 1) = e − 2 e
e
1
4
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
2
) ∫1 ln ( x e
1
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
ﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال أﻋﻼﻩ -ﺝـ -ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (Cواﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ∆ واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ
) ( )( x ) )dx = ∫ ( ln x ) dx = e − 2 ≈ 0,7 (u .a. 2
e
1
x =1و x = e
f ( x ) − x dx = ∫ ( x − f e
1
e
هﻲ :
∫= A
1
))C)W„KV„J)•iX„J
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ `∈(u n )n .1ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺝﻊ أن : 9
اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ یﻠﻲ :
`∈ n
∀n ∈ ` : 1 ≤ u n ≤ 2
ﻣﻦ أﺝﻞ n = 0
.
،ﻟﺪیﻨﺎ ، u 0 = 2 :إذن . 1 ≤ u 0 ≤ 2 :
9ﻟﻴﻜﻦ ` ∈ . n ﻧﻔﺘﺮض أن . 1 ≤ u n ≤ 2 : ﻟﻨﺒﻴﻦ أن : 1 ≤ u n +1 ≤ 2 : ﻧﻌﻠﻢ أن
f
ﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ . ⎤⎦ 0, +إذن : ﻷن :
9وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن :
⎧⎪ u 0 = 2 ⎨ ; ) ⎪⎩u n +1 = f (u n
∀n ∈ ` : 1 ≤ u n ≤ 2
.2ﻟﻴﻜﻦ ` ∈ . nﻟﺪیﻨﺎ ≤ 0 :
2
)
1 ≤ u n ≤ 2 ⇒ f (1) ≤ f (u n ) ≤ f ( 2 ) ⇒ 1 ≤ u n +1 ≤ 2
f ( 2 ) − 2 = − ( ln 2 ) ≤ 0 ⇒ f ( 2 ) ≤ 2 2
.
.
(
) . u n +1 − u n = f (u n ) − u n = − ln (u nإذن (u n )n∈` :ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ.
.3ﺑﻤﺎ أن `∈ (u n )nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ وﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ، 1ﻓﺈﻧﻬﺎ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ .وﻟﺪیﻨﺎ : 9
f
داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤ . ⎡⎣1,2
9
f
داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺕﺰایﺪیﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤ . ⎡⎣1,2إذن :
9
⎦⎤u 0 = 2 ∈ ⎡⎣1,2
.
(u n )n∈` 9ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻧﻬﺎیﺘﻬﺎ ﺡﺴﺐ ﻣﺼﺎدیﻖ اﻟﺘﻘﺎرب ،ﻟﺪیﻨﺎ : وﻟﺪیﻨﺎ :
⎦⎤( ⎡⎣1,2⎤⎦ ) = ⎡⎣f (1) , f ( 2)⎤⎦ ⊂ ⎡⎣1, 2
f
،ﻷن . f ( 2 ) ≤ 2 :
l
.
f (l ) = l
و
⎦⎤l ∈ ⎡⎣1,2
.
f ( l ) = l ⇔ l − ( ln ( l ) ) = l ⇔ ln ( l ) = 0 ⇔ l = 1 2
.وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن :
lim u =1 n →+∞ n
.
))“hhhhhhhhhhhhhhhhhhŠTJ
ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (Cواﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ x = 1و x = e
ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل Maple 7
;> f:=x->x-(ln(x))^2 f := x → x − ln( x ) 2
;))> A:=Int(abs('f'(x)-x),x=1..exp(1))=int(abs(f(x)-x),x=1..exp(1 e
⌠ =A : ⎮ −f( x ) + x dx = e − 2 ⌡1
;)> A:=evalf(rhs(A),20
A := .7182818284590452354 5
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
ﺕﻤﺜﻴﻞ اﻟﺤﺪود اﻟﺴﺘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ `∈ (u n )nﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل : Archimède II
6
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
))a[†„J)r„J)ÉK[T†¤J)\[nT
))KŠ‚„j†R)UKX„‚T„J)‡„u„J)’Rul
2008)Kc„K‚R„„)’aKu„J)‘ca„J
))ÉKhhhhhh[„J)ahhhhh†[†))))C))))bKTj¦J
))
))UJiJicR)kaKj„J)a†[†)’„‰MT„J)’KV„J
))C)…¦J)Éhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhc†T„J
)
JG JJG JJG
(
ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب ﻹﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ O , i , j , kاﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) A ( 0, −1,1و ) B (1, −1,0 واﻟﻔﻠﻜﺔ ) (Sاﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ : 2
.1ﻟﺪیﻨﺎ :
إذن )
x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 2 = 0
.
. x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 2 = 0 ⇔ ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 3 2
2
(Sﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ) Ω (1,0, 2وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ . R = 3وﻟﺪیﻨﺎ ، 02 + ( −1) + 12 − 2 × 0 − 4 ×1 + 2 = 0 :إذن ) . A ∈ ( S 2
⎟⎞ JJJJG ⎛⎜ 0 ⎞⎟ JJJJJG ⎛⎜1 −1 −1 JG 0 1 JG 0 1 JJG JG JG JJG = OA ∧ OB i− j+ .2ﻟﺪیﻨﺎ OB ⎜ −1⎟ :و ⎟ ، OA ⎜ −1وﻣﻨﻪ ﻓﺈن k = i + j + k : −1 −1 1 0 1 0 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ JJJG
JJJJG
JJJJG JJJJG وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن . OA ∧ OB (1,1,1) : JJJJG JJJJG .3ﻟﺪیﻨﺎ OA ∧ OB (1,1,1) :ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) . (OABإذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (OABﺕﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ
x + y + z +d = 0
،وﺑﻤﺎ أن ) ، O ∈ (OABﻓﺈن
ﻟﻨﺤﺴﺐ ﻣﺴﺎﻗﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ Aﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) : (OAB
x + y +z =0
3 = 3=R 3
=
هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دیﻜﺎرﺕﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) . (OAB
1+ 0 + 2 12 + 12 + 12
(
)
= ) . d Ω, (OAB
وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (OABﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) (Sﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ Aﻋﻠﻰ اﻋﺘﺒﺎر أن ) A ∈ ( Sو ) . A ∈ (OAB ))C)hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhKV„J)Éc†T„J
.1ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ^
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ . z 2 − 6z + 34 = 0 :ﻣﻤﻴﺰ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻮ . ∆ = ( −3) − 1× 34 = 9 − 34 = −25 = ( 5i ) : 2
وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺡﻠﻴﻦ ﻋﻘﺪیﻴﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ هﻤﺎ :
−b ′ + i −∆′ − ( −3) + 5i = = 3 + 5i 1 a
وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺡﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ :
= z1
} = {3 − 5i , 3 + 5i
)
−b ′ − i −∆′ − ( −3) − 5i = = 3 − 5i 1 a
و
JJG JJG
2
= z2
.S
(
.2ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ ، O ,e1 ,e 2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cاﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ JG a = 3 + 5iو b = 3 − 5iو . c = 7 + 3iﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) M ′ ( z ′ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ) M ( zﺑﺎﻻزاﺡﺔ Tذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uاﻟﺘﻲ ﻟﺤﻘﻬﺎ . 4 − 2i أ -ﻟﺪیﻨﺎ :
JG
)(
JG
JJJJJJG
M ′ = T ( M ) ⇔ MM ′ = u ⇔ z ′ = z + aff u ⇔ z ′ = z + 4 − 2i
وﺑﻤﺎ أن ، a + 4 − 2i = 3 + 5i + 4 − 2i = 7 + 3i = c :ﻓﺈن C = T ( A ) :أي Cهﻲ ﺻﻮرة Aﺑﺎﻻزاﺡﺔ . T ب -ﻟﺪیﻨﺎ :
) b − c 3 − 5i − 7 − 3i −4 − 8i 2i ( −4 + 2i = = = = 2i a − c 3 + 5i − 7 − 3i −4 + 2i −4 + 2i
b −c ⎤⎡ π ﺝـ -ﻟﺪیﻨﺎ = 2i = ⎢ 2, ⎥ : a −c ⎦⎣ 2
.إذن :
⎞ ⎛ b −c ⎤⎦ ⎟ ⎣⎡ 2π ⎠ ⎝ a −c
⎜ ≡ arg
⎦⎤ ⎡⎣ 2π
CB b − c = وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ABCﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاویﺔ ﻓﻲ Cوﻟﺪیﻨﺎ = 2 : CA a − c 1
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
.
π
2
≡
.إذن BC = 2AC :
JJJG JJJG
) (CA ,CB JJJG JJJG
) (CA ,CB .
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
)))C)Whhhhhhhhhhhhhhhhhhhh„KV„J)Éc†T„J
))
یﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ﺳﺖ آﺮات ﺡﻤﺮاء وﺙﻼث آﺮات ﺧﻀﺮاء ) ﻻ یﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ ( .1ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ وﻓﻲ א ) اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ ﻏﻴﺮ ﻣﻬﻢ ( ﺙﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق .ﺕﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ :א:
RRV
أ -اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺕﻴﻦ ﺡﻤﺮاویﻦ وآﺮة ﺧﻀﺮاء ب -ﻃﺮیﻘﺔ : 1
15 × 3 + 6 × 3 + 1 16 = 84 21 ﻃﺮیﻘﺔ : 2
ﻧﻀﻊ اﻟﺤﺪث
:A
RRV
+ C 33
RV V
أو
C 2C 1 + C 61C 32 . 6 3 C 93
اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺧﻀﺮاء واﺡﺪة ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث A
هﻮ : 3 6 3 9
أو
VVV
هﻮ :
.
:Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺙﻼث آﺮات ﺡﻤﺮاء RRR -
C 20 64 16 = = 1− = C 84 84 21
ﻟﺪیﻨﺎ :
=
.C
C 62 ×C 31 15 × 3 15 = = . 84 28 C 93
هﻮ :
اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺧﻀﺮاء واﺡﺪة ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
p n
. -
) (
. p ( A ) = 1− p A = 1 −
.2ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ) اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ ﻣﻬﻢ واﻟﺘﻜﺮار ﻏﻴﺮ وارد ( ﺙﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق. ﺕﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ :אא: اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺙﻼث آﺮات ﺡﻤﺮاء هﻮ :
A63 120 5 = = A93 504 21
A np
.
.
))C)vhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhRJc„J)Éc†T„J ))C)…¦J)•iX„J
ﻟﺘﻜﻦ gاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ⎤⎦ 0, +ﺑﻤﺎ یﻠﻲ g ( x ) = x − 2ln x : .1أ -ﻟﻴﻜﻦ ⎣⎡ ∞ ، x ∈ ⎤⎦ 0, +ﻟﺪیﻨﺎ :
x −2 ب -ﻧﻌﻠﻢ أن : x و ﻟ ﺪ ی ﻨﺎ :
g
2
2 x −2 = x x
g ′ ( x ) = ( x − 2ln x )′ = 1 −
= ) ∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : g ′ ( x
x ∈ ⎤⎦ 0,2⎤⎦ ⇒ x ≤ 2 ⇒ x − 2 ≤ 0
و
.إذن إﺷﺎرة
) g ′( x
.
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ⎤⎦ 0, +هﻲ إﺷﺎرة
x ∈ ⎡⎣ 2, +∞ ⎡⎣ ⇒ x ≥ 2 ⇒ x − 2 ≥ 0
ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤ ⎤⎦ 0,2وﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞. ⎡⎣ 2, +
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
.
x −2
.
.إذن :
ﺧﻼﺻ ﺔ :
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
e > 2 ⇒ 1 > ln 2 ⇒ 1 − ln 2 > 0
.2ﺑﻤﺎ أن :
(
)
(
)
،ﻓﺈن . g ( 2 ) = 2 1 − ln 2 > 0 :
وﻟﺪیﻨﺎ g ( 2 ) = 2 1 − ln 2 :ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻮیﺔ ﻣﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ gﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ⎤⎦ 0, +ﻋﻨﺪ اﻟﻌﺪد ∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : g ( x ) ≥ g ( 2 ) > 0
2
.وﻣﻨﻪ ﻓﺈ ن:
))C)KV„J)•iX„J 2 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ⎤⎦ 0, +ﺑﻤﺎ یﻠﻲ f ( x ) = x − ( ln x ) :
.1ﻟﺪیﻨﺎ = −∞ :
2
)
(
، lim f ( x ) = lim x − ln xﻷن : x →0 x >0
x →0 x >0
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (Cیﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدیﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = 0 .2أ -ﻧﻀﻊ . t = x :إذن :
→x t ∞+ ∞→+
∞= −
2
. lim ln x x →0 x >0
.
ln t .وﺡﻴﺚ أن = 0 t 2
.
، limﻓﺈن :
∞t →+
⎟⎞ ) (
⎛ ⎞ ln t 2 = t lim × =0 ⎜ ⎟ ∞→+ ⎠⎟ t ⎝ ⎟ ⎠
2 ⎛ ln t 2 ) ln x ( ⎞ ⎛ ln x ⎜ lim lim lim = = ⎜ ⎟ ∞x →+ ∞x →+ ⎜ ∞t →+ x ⎠ ⎝ x ⎜ t 2
⎝
⎞ ⎛ ( ln x )2 ب -ﻟﺪیﻨﺎ ⎟ = +∞ : f ( x ) = lim x − ( ln x ) = lim x ⎜1 − ، xlimﻷن = 0 : ∞→+ ∞x →+ ⎜ ∞x →+ ⎟ x ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ( ln x )2 ) f (x وﻟﺪیﻨﺎ ⎟ = 1 : . lim = lim ⎜1 − x →+∞ x ⎜ ∞x →+ ⎟ x ⎝ ⎠
2
2
2 lim f ( x ) − x = xlim ﺝـ -ﻟﺪیﻨﺎ x − ( ln x ) − x = lim − ( ln x ) = −∞ : ∞x →+ ∞→+ ∞x →+
2
)
(Cیﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﺑﺠﻮار ∞ +اﺕﺠﺎهﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ :
y =x
⎡⎣
.إذن
⎤⎦
وﺡﺴﺐ إﺷﺎرة
x
x
x
ب -ﺝﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ
f
∞x →+
،وﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ،ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
(Cیﻮﺝﺪ ﺕﺤﺖ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( .
)′ = 1 − 2ln ′ ( x ) ln x
) g ( xﻓﻲ اﻟﺠﺰء اﻷول ،ﻟﺪیﻨﺎ ∈ ⎦⎤ 0, +∞ ⎣⎡ : f ′ ( x ) > 0 :
x
. lim
.
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )
د -ﻟﺪیﻨﺎ ∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : f ( x ) − x = − ( ln x ) ≤ 0 : ) g (x 2ln x x − 2ln x .3أ -ﻟﻴﻜﻦ ∞ ، x ∈ 0, +ﻟﺪیﻨﺎ : = 1− = = 2
) ( ln x
. ∀xإذن
f
2
) ′ ( x ) = ( x − ( ln x
.f
ﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ ⎡⎣ ∞. ⎦⎤ 0, +
:
ﺝـ -ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (Cﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 1هﻲ . y = f ′ (1)( x − 1) + f (1) ⇔ y = x : .4ﻟﺪیﻨﺎ :
3
f
ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺕﺰایﺪیﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎡⎣ ∞ . ⎦⎤ 0, +إذن:
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
f
ﺕﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ
−1
f
ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل Jﺡﻴﺚ :
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
⎤ ⎡ \ = ⎣⎡ ∞ J = f ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ = ⎥ lim f ( x ) , lim f ( x ) ⎢ = ⎤⎦ −∞, +ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ، I = ⎤⎦ 0, +وﺑﻤﺎ أن ، 0 ∈ Jﻓﺈن 0 ∞x →+ → ⎥ xx ⎢ ⎦ >0 ⎣ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﺕﻘﺒﻞ ﺡﻼ وﺡﻴﺪا αﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞. I = ⎤⎦ 0, +
)
(
2 ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ 1 1 1−e = f ⎜ ⎟ = − 1و ) f ⎜ ⎟ = − ( ln 2 ) > 0ﻷﻧﻪ ﺡﺴﺐ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت وﺑﻤﺎ أن < 0 : e 2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝e ⎠ e
<
2
1 1 ﻓﺈﻧﻪ ﺡﺴﺐ ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ ،ﻟﺪیﻨﺎ < α < : e 2 .5إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) : (C I (e ,e −1) . α ≈ 0,4948664145ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (C
)
(
.( ln 2
.
.6أ -ﻟﺪیﻨﺎ ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : H ′ ( x ) = ( x ln x − x )′ = x ′ ln x + xln ′x − 1 = ln x : هﻲ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ln : x 6 ln xﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ ، ⎤⎦ 0, +وﻟﺪیﻨﺎ :
. ∀xإذن :
≈ 2,7
.
.e
H : x 6 x ln x − x
∫1 ln ( x ) dx = ⎡⎣H ( x )⎤⎦1 = H (e ) − H (1) = 0 − ( −1) = 1 e
e
ب -ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺝﺰاء ،ﻟﺪیﻨﺎ : e
dx = ∫ H ′ ( x ) ln ( x ) dx = ⎡⎣ H ( x ) ln ( x )⎤⎦ − ∫ H ( x ) ln ′ ( x ) dx 1 1 1 e x ln x − x ∫ = H (e ) ln (e ) − H (1) ln (1) − dx 1 x e e = − ∫ ( ln ( x ) − 1) dx = − ∫ ln ( x ) dx + (e − 1) = e − 2 e
e
1
4
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
2
) ∫1 ln ( x e
1
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
ﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال أﻋﻼﻩ -ﺝـ -ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (Cواﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ∆ واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ
) ( )( x ) )dx = ∫ ( ln x ) dx = e − 2 ≈ 0,7 (u .a. 2
e
1
x =1و x = e
f ( x ) − x dx = ∫ ( x − f e
1
e
هﻲ :
∫= A
1
))C)W„KV„J)•iX„J
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ `∈(u n )n .1ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺝﻊ أن : 9
اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ یﻠﻲ :
`∈ n
∀n ∈ ` : 1 ≤ u n ≤ 2
ﻣﻦ أﺝﻞ n = 0
.
،ﻟﺪیﻨﺎ ، u 0 = 2 :إذن . 1 ≤ u 0 ≤ 2 :
9ﻟﻴﻜﻦ ` ∈ . n ﻧﻔﺘﺮض أن . 1 ≤ u n ≤ 2 : ﻟﻨﺒﻴﻦ أن : 1 ≤ u n +1 ≤ 2 : ﻧﻌﻠﻢ أن
f
ﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞ . ⎤⎦ 0, +إذن : ﻷن :
9وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن :
⎧⎪ u 0 = 2 ⎨ ; ) ⎪⎩u n +1 = f (u n
∀n ∈ ` : 1 ≤ u n ≤ 2
.2ﻟﻴﻜﻦ ` ∈ . nﻟﺪیﻨﺎ ≤ 0 :
2
)
1 ≤ u n ≤ 2 ⇒ f (1) ≤ f (u n ) ≤ f ( 2 ) ⇒ 1 ≤ u n +1 ≤ 2
f ( 2 ) − 2 = − ( ln 2 ) ≤ 0 ⇒ f ( 2 ) ≤ 2 2
.
.
(
) . u n +1 − u n = f (u n ) − u n = − ln (u nإذن (u n )n∈` :ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ.
.3ﺑﻤﺎ أن `∈ (u n )nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ وﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ، 1ﻓﺈﻧﻬﺎ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ .وﻟﺪیﻨﺎ : 9
f
داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤ . ⎡⎣1,2
9
f
داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺕﺰایﺪیﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤ . ⎡⎣1,2إذن :
9
⎦⎤u 0 = 2 ∈ ⎡⎣1,2
.
(u n )n∈` 9ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻧﻬﺎیﺘﻬﺎ ﺡﺴﺐ ﻣﺼﺎدیﻖ اﻟﺘﻘﺎرب ،ﻟﺪیﻨﺎ : وﻟﺪیﻨﺎ :
⎦⎤( ⎡⎣1,2⎤⎦ ) = ⎡⎣f (1) , f ( 2)⎤⎦ ⊂ ⎡⎣1, 2
f
،ﻷن . f ( 2 ) ≤ 2 :
l
.
f (l ) = l
و
⎦⎤l ∈ ⎡⎣1,2
.
f ( l ) = l ⇔ l − ( ln ( l ) ) = l ⇔ ln ( l ) = 0 ⇔ l = 1 2
.وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن :
lim u =1 n →+∞ n
.
))“hhhhhhhhhhhhhhhhhhŠTJ
ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (Cواﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ x = 1و x = e
ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل Maple 7
;> f:=x->x-(ln(x))^2 f := x → x − ln( x ) 2
;))> A:=Int(abs('f'(x)-x),x=1..exp(1))=int(abs(f(x)-x),x=1..exp(1 e
⌠ =A : ⎮ −f( x ) + x dx = e − 2 ⌡1
;)> A:=evalf(rhs(A),20
A := .7182818284590452354 5
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
ﺕﻤﺜﻴﻞ اﻟﺤﺪود اﻟﺴﺘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ `∈ (u n )nﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل : Archimède II
6
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ
Related Documents
Juin 2008 Solution
December 2019 15
Juin 2004 Solution
December 2019 17
Juin 2003 Solution
December 2019 15
Juin 2006 Solution
December 2019 13
Juin 2007 Solution
December 2019 17