Juillet 2005 Solution

SAID BOUZAWIT -

lycée Abdelali Benchakroune

: ‫أﺳﺌﻠﺔ‬

. r2  2 ‫و‬ r1  3    25 ، r  r  6  0 : ‫( اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﯿﺰة ھﻲ‬1 .  ,   IR 2 ‫ﺣﯿﺚ‬ y   e 3 x   e 2 x ‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ ھﻲ‬ 7        . Z   2,   1  i   2, ‫ و‬1  i 3  2,  (2  12  4     3  Sinx  u ' x    u x   ln 1  Cos x  ‫( ﻧﻀﻊ‬3 1  Cos x  vx   Sinx   v' x   Cos x  2

 2 0







Cos x . ln 1  Cos x  dx  Sinx . ln 1  Cos x 02   2 0

Sin 2 x  dx 1  Cos x  



 0   2 1  Cos x  dx  x  Sinx 02  0

‫إذن‬

 1 2

n  1  .  wn     ‫ و اﻷﺧﺮى ھﻨﺪﺳﯿﺔ‬v n  n ‫ إﺣﺪاھﻤﺎ ﺣﺴﺎﺑﯿﺔ‬،‫ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ‬u n : ‫(ﻣﻼﺣﻈﺔ‬4   3    2

3

1 1 1 1 S n  1  2  3  ...  n         ...    3 3 3 3 n

1 1 1   nn  1 1    nn  1 1  3  3    1 2 3 2 1 3

n

‫ﻟﺪﯾﻨﺎ إذن‬

n

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬ .‫ ﯾﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة‬S  ‫ و‬P   d , P  

11

 2  r (1 2 P  ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬H ‫( ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ‬2  .  ‫ ﻣﻮﺟﮭﺔ ل‬P ‫ اﻟﻤﻨﻈﻤﯿﺔ ﻋﻠﻰ‬n 1,0,1 ‫ إذن‬، P  ‫ واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ‬ ‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‬ ‫ﻟﯿﻜﻦ‬ x  1  t y  0  1 t  t 1  0   :‫ ﻣﺜﻠﻮث إﺣﺪاﺛﯿﺎﺗﮭﺎ ھﻮ ﺣﻞ اﻟﻨﻈﻤﺔ‬، P ‫ و‬  ‫ ھﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬H z   t   x  z  1  0 . H 0,0,1 ‫ و ﻣﻨﮫ‬t  1 ‫إذن‬

‫‪SAID BOUZAWIT -‬‬

‫‪lycée Abdelali Benchakroune‬‬ ‫ﺷﻌﺎع اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ ‪. R  r 2  d 2  2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪:‬‬

‫‪. 1  i   2i (1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ (2‬ﻧﺤﺴﺐ اﻟﻤﻤﯿﺰ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ‪ '  1  2i   3  6i   2i  1  i  :‬‬ ‫‪ z1  3i‬و ‪. z 2  2  i‬‬ ‫إذن‬ ‫‪2‬‬

‫‪ (3‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪z  3i  z  2  i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪. AM  BM‬‬

‫‪‬‬

‫إذن‪ D ‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ھﻲ واﺳﻂ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪. AB ‬‬

‫ﻃﺮﯾﻘﺔ ﺗﺤﻠﯿﻠﯿﺔ‪ :‬ﻧﻀﻊ ‪ . z  x  iy‬إذن ‪z  3i  z  2  i  x  y  3  x  2   y  1‬‬ ‫‪ x  y 1  0‬‬ ‫إذن‪ D ‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ھﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ‪D : x  y  1  0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ A‬اﻟﺤﺪث ‪" :‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء" ‪ ،‬إذن‬ ‫‪6‬‬

‫‪. pA ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪ 2 1‬‬ ‫‪. pB   C     ‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ B‬اﻟﺤﺪث ‪ ":‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء ﻣﺮﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ"‪،‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪ 3 3‬‬ ‫‪ (3‬أ‪ -‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ C‬اﻟﺤﺪث ‪":‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ" ‪،‬إذن ‪ ": C‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻛﺮة ﺳﻮداء"‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ p C   ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪pC   1   ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫)اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ ﻛﺮة ﺳﻮداء ھﻮ (‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬

‫ب‪ -‬ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

‫‪ p  0.999‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   0.001  1     0.999‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪log   log 10 3 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ n. log 3  3 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 6.25 ‬‬ ‫‪log 3‬‬

‫إذن ‪ ،‬اﻟﻌﺪد اﻷدﻧﻰ ﻣﻦ اﻟﺴﺤﺒﺎت ھﻮ ‪.7‬‬

SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune

: ‫ﻣﺴﺄﻟﺔ‬ . lim f x     lim   2

2

x x   ‫ و‬lim f x     lim  0  -‫( أ‬1   0 0 2 x 2 x

'

 x    2 2 x 2 2 x  f ' x      2 x x2  x  2  x  x 2 x

2a  x  D f ‫ و‬f 2a  x   2b  f x 



:‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,2 ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬-‫ب‬ :‫ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﯿﺮات‬-‫ج‬

C f ‫ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬Aa, b : ‫ ﺗﺬﻛﯿﺮ‬-‫( أ‬2

2  x  Df  0  2  x  2  0  x  2

: f 2  x    f x  ‫ﻧﺒﯿﻦ أن‬

2 x f 2  x   ln    f x  ‫و‬  x  . D  : y  2 x  2 : ‫ إذن‬، f ' 1  2 ‫ و‬y  f ' 1x  1 f 1 : ‫ ھﻲ‬D  ‫ ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬-‫ب‬ 7 3 7 3 .     ln 7   0.19  0 ‫ و‬    ln 3  0.4  0 -‫( أ‬3 4 2 4 2 3 7 3 7 ‫ إذن ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻮﺳﯿﻄﯿﺔ‬،   .    0 ‫ )ﻓﺮق داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ( و‬ ,  ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ اﻟﺪاﻟﺔ‬-‫ب‬ 2 4 2 4 3 7 . f     ‫ أي‬    0 ‫ ﺣﯿﺚ‬ ,  ‫ ﻣﻦ‬ ‫ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﺪد‬ 2 4 . I  ,   ‫ )اﻟﻤﻨﺼﻒ اﻷول( ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬y  x ‫ ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬C f  ‫ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬: ‫اﻟﺘﺄوﯾﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ‬

.‫ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬A1,1 ‫إذن‬

. f 1 ‫ إذن ﻓﮭﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ‬0,2 ‫ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f -‫( أ‬3 . x  IR , y  0,2 y  f 1 x   x  f y  ‫ و‬IR ‫ ﻧﺤﻮ‬0,2 ‫ ﺗﻔﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬f -‫( ب‬4  y    x  ln 2  y   y  ex  2 y x  2e  ye x  y  y

2e x 1 ex x  IR,

2e x f x   : ‫إذن‬ 1 ex 1

SAID BOUZAWIT -

lycée Abdelali Benchakroune





0







ex ex 1 ex x  dx  ln 1  e   0 1 ex 1 ex 1 ex   ln 1  e  ln 2

: ‫(اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬5

 '

‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬6

 ‫ ﯾﻌﻨﻲ‬f     ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ :  ‫ ﺑﺪﻻﻟﺔ‬e  ‫ﻧﺤﺴﺐ‬  2   ‫ﯾﻌﻨﻲ‬  e 2  2 ‫إذن‬ 1  e  2   ex . dx   ln 2    : ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ 0 1 ex .‫ و ﻣﺤﻮري اﻟﻤﻌﻠﻢ‬C f 1 ‫ و‬C f  ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﯿﯿﻦ‬S ‫ ﻟﺘﻜﻦ‬-‫ب‬ ln

 





(‫ )ﺑﻮﺣﺪة ﻗﯿﺎس اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت‬S  2  f 0

1

x  x dx

: ‫إذن‬

 ex  4 dx  2 0 x dx 0 1 ex  4 ln 2     2 



.S   f :‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء‬

0 



1

1



x dx  1 f x dx 

f x dx ‫ ﻧﺤﺴﺐ‬.  f

. u ' x  

2 x2  x  . vx   x





1

1

0

: ‫ﻃﺮﯾﻘﺔ ﺛﺎﻧﯿﺔ‬

x dx  2 ln2    : ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

 u x   ln



x 2 x v' x   1

‫ﻧﻀﻊ‬



   x  2 f x dx   x ln dx   1 2 x   2  x  1

: ‫إذن‬

SAID BOUZAWIT -

( ln

lycée Abdelali Benchakroune

     2    f     ‫ )ﻷن‬  ln    2 ln 2  x 1    2 ln 2    2  2     .(‫ )ﺑﻮﺣﺪة ﻗﯿﺎس اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت‬S  4 ln 2     2 : ‫و ﻣﻨﮫ‬