Juillet 2004 Solution

SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune

:‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬ . U n 1 

3 n

U  0 ‫ وﻣﻨﮫ‬U n3  0 ‫ إذن‬U n  0 ‫ ﻧﻔﺘﺮض أن‬. U 0  1  0 : n  0 ‫ ﻣﻦ أﺟﻞ‬-‫( أ‬1 2 1Un . IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n  0 ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬  U n2 U n  1  0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬ 1  U n2 . ‫ ﻓﮭﻲ إذن ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬، 0‫ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ و ﻣﺼﻐﻮرة ب‬U n  -‫ج‬

. ‫ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬U n  ‫ إذن‬U n 1  U n 





U n3 U n3 . IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n 1 U 0  ‫ إذن‬3U n2  1  3U n2 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬2 2 2 3U n  1 3U n 1  U  U n 1 n  3  U  1 U  n 1 3 n  2  n  1 : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬ IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n    ‫ ﻧﻀﺮب ﻃﺮﻓﺎ ﺑﻄﺮف )ﻛﻞ اﻷﻃﺮاف ﻣﻮﺟﺒﺔ( ﻧﺠﺪ‬ 3   1 U 2  U 1 3  1  U 1  3 U 0 1  U n ‫أي‬ 3

3 n

n

1 1 . lim U n  0 ‫ إذن‬U n  0 ‫ و ﻟﺪﯾﻨﺎ‬lim   0   1   1 3 3

. d , P  

0 1 3

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

-‫( أ‬1  2 2 ‫ وﻣﻨﮫ‬r  2 ‫ إذن‬، P  ‫ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬S , r  -‫ب‬

S  : x 2  y  12  z  12  2 S  : x 2  y 2  z 2  2 y  2 z  0   AB  AC   i  k

: ‫إذن ﻣﻌﺪﻟﺔ دﯾﻜﺎرﺗﯿﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ھﻲ‬

 AB 1,1,1 ‫ و‬AC 0,1,0  -‫( أ‬2  . ‫ ﻏﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﺔ‬C‫ و‬B‫و‬A ‫ إذن اﻟﻨﻘﻂ‬AB  AC  0

ABC :  x  z  d  0 ‫ إذن‬، ABC  ‫ ﻣﻨﻈﻤﯿﺔ ﻋﻠﻰ‬AB  AC ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ . ABC : x  z  3  0 ‫ و ﻣﻨﮫ‬d  3 ‫ إذن‬B0,3,3 ABC 

29

-‫ب‬

SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune . ABC  ‫ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬S ‫ إذن اﻟﻔﻠﻜﺔ‬d , ABC  

0 1 3 2

 2  r ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬3

C  ABC  ‫ و ﻟﺪﯾﻨﺎ‬C  S  ‫ إذن‬C  2  C 1,0,1 -‫ب‬ . ABC ‫ و‬S  ‫ ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس‬C : ‫إذن‬

:‫اﻟﻨﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ . z"  z1 ‫ و‬z '  z 2 ‫ أي‬Rez"  0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ إذن‬. z" 

1 1 1 1  i ‫ و‬z '    i   '  1 -‫( أ‬1 2 2 2 2  2 3   2  . z2   ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬ ,  ‫ و‬z1   ,  2 4 2 4     as 1 i as   . ‫إذن‬ ‫( أ – ﻟﺪﯾﻨﺎ‬2  i  1,  b  s 1 i bs  2 SA a  s . S ‫ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﺳﮫ‬SAB ‫إذن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬   1 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬ SB b  s as  . S ‫ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ‬SAB ‫ ﯾﻌﻨﻲ أن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ SA, SB   arg   2  ‫و‬   bs 2

OS  OA  OB ‫ وﻣﻨﮫ‬aff S   aff A aff B  ‫ ﯾﻌﻨﻲ‬s  a  b ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ج‬ S ‫ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ و ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﺳﮫ‬SAB ‫ و ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬، ‫ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬OASB ‫إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ‬ .‫ ﻣﺮﺑﻊ‬OASB ‫ﻓﺈن‬

pB  

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬ 1 (1 pA 

4 ‫و‬ 6 3 1 1  1 3   2 C C  1 8 11 pE1         3 2 4     -‫( أ‬2  3 7   3 C 7  7 21 21

1 3 1 . pA  E1   pA. p A E1     ‫و‬ 3 7 7

2 C 32 2 . pE 2    2  ‫و‬ 3 C 7 21 pA  E1  p E1 A  ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬ pE1  3 . p E1 A  ‫إذن‬ 11

:‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺨﺎﻣﺲ‬ 2 . IR ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬x  2 x  2  x  2 x  1  1  x  1  1 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬1 2 . lim f x    ‫ و‬lim f x    . D f  IR ‫ إذن‬IR ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬x  1  1  0 -‫ب‬   . IR ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬f 2  x   f x  ‫ إذن‬f 2  x   4  4 x  x 2  4  2 x  2  x 2  2 x  2 ‫( ﻟﺪﯾﻨﺎ‬2   x  IR f 2a  x   f x  O, i , j ‫ ﻓﻲ م م م‬C  ‫ ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬x  a ‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬:‫اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج‬ . C  ‫ ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬x  1 ‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬: ‫إذن‬ 2

2

30

SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune ، x  1 ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬M ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ‬M ' x' , y ' ‫ و ﻟﺘﻜﻦ‬y  f x   M x, y  C  ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

: ‫أو‬

 x  x' 1  x'  2  x  ‫ وھﺬا ﯾﻜﺎﻓﺊ‬ 2 : ‫إ ذن‬ y '  f x' ‫ ﻓﺈن‬f 2  x   f x  ‫ و ﺑﻤﺎ أن‬.   y'  y  y '  y . x  1 ‫ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬C  ‫ و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬M ' C  ‫إذن‬

.

  2 2   2 2  x  1,‫ وﺑﻤﺎ أن‬. f x   ln  x 2 1   2   ln x 2  ln1   2  -‫( أ‬3  x x    x x    2 2   2 2  f x   ln  x 2 1   2   2 ln x  ln1   2  ‫ إذن‬ln x 2  2 ln x ‫ﻓﺈن‬ x x x x     

 2 2  ln1   2  f x  ln x 0 ln x x x  (  lim 2    0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬  0 ‫ و‬lim  0 ) lim x   x    x x x  x .   ‫ ﯾﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎه ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ ﺑﺠﻮار‬C  ‫إذن‬

f ' x  

. x  IR

. x  IR f " x  





x

2

2 x 2  2 x  2  4x  1

2

x  1  1 2

2



 2x  2 ' 2x  1  -‫( أ‬4 x  2x  2 x  12  1 -‫ب‬ 2



2 x2  x 

x  1  1 2

2

-‫أ‬

: ‫ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‬f " x ‫ ﻧﻠﺨﺺ إﺷﺎرة‬-‫ب‬

B2, ln2 ‫ و‬A0, ln2 ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻟﮫ ﻧﻘﻄﺘﻲ اﻧﻌﻄﺎف‬

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(5

SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune

‫( اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬6

. h1,  0, ‫ ﻧﺤﻮ‬1,‫ ﻓﮭﻲ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬، 1,‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬h -‫( أ‬7 x  0,, y  1, y  h 1 x   x  hy  : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬ ( x  0  ex 1  0 )





y  1   e x  1  e x  y  1  1  x  ln y  1  1 ‫إذن‬ 2

2

x  0, h 1 x   1  e x  1 ‫ إذن‬. y  1  e x  1 ‫ ﻓﺈن‬y  1  0 ‫و ﺑﻤﺎ أن‬









. dt  dx ‫ و‬f t   ln t 2  1  t  x  1 ‫ إذن‬f x   ln x  1  1 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬8 2





.  f x dx   ln 1  t 2 dt ‫و ﻣﻨﮫ‬ : ‫إذن‬

vt   t ‫ و‬u ' t  

 



1

0

0

1





‫ ﻓﻨﺠﺪ‬v' t   1 ‫ و‬u t   ln 1  t 2 ‫ ﻧﻀﻊ‬-‫ب‬

2t 1 t2

 

  

0 2t 2 t2 dt  ln 2  2 1 1 1  t 2 dt 1 1 1  t 2 0 0 t2 1  t2 1 0     . dt  1  dt  t  arctg t  1  ‫إذن‬  1 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ج‬  1 2 2 2  1 1  t 1 4 1 t 1 t 1 t2 ‫ وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻠﺬﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬C ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬A ‫ ﻟﺘﻜﻦ‬-‫د‬ 0    .‫ ﺑﻮﺣﺪة ﻗﯿﺎس اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬A   f x dx  ln 2   21    ln 2   2  ‫ إذن‬، x  0 ‫ و‬x  1 1 4 2  0

ln 1  t 2 dt  t ln 1  t 2

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0

0