Juillet 2003 Solution

SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune

.‫ﺷﻌﺎﻋﮭﺎ‬

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬ 2 r  1 ‫ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻔﻠﻜﺔ و‬1,0,1  S : x  1  y 2  z  1  1  0 (1 2

. S  ‫ ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ‬P   d , P  

1 2  2

 1  r (2 1 4  4 P ‫ ﻣﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‬P ‫ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ‬ ‫ ھﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬H  S  ‫ و‬P  ‫ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس‬H a, b, c  (3 a  1  t b  2t   . t  IR /  : ‫ وﻣﻨﮫ‬،  ‫ ﻣﻮﺟﮭﺔ ل‬P  ‫ اﻟﻤﻨﻈﻤﯿﺔ ﻋﻠﻰ‬n 1,2,2 ‫إذن‬ c  1  2t a  2b  2c  2  0 1  4 2 1 H  , ,   t   1  t  2 2t  2 1  2t  2  0 ‫إذن‬ 3  3 3 3

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ (1

e1 1 I   1 ln x dx   ln x dx  1 x e x 1

1

e

1  1  1  I   ln 2 x    ln 2 x   ln x   ln' x ln x  x  2 1 2 1

. I  1 ‫إذن‬

‫و‬

e

a  2 2t b at  a  b . b  2 ‫ و‬a  2    a  -‫( أ‬2 1 t 1 t a  b  0 1  t 3 2t . J  dt  dx  2t dt ‫ و‬x  t 2  2  t  2  x -‫ب‬ 2 1 t 3 2 3 3 .J   2 : -‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل أ‬ dt  2t  ln 1  t 2  2  2 ln  2 1 t 4

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

pA 

C 4 1  p A   5 5 C 3 4 3 6

 "1‫ﻛﺮات ﻻ ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬3 ‫"ﺳﺤﺐ‬: ‫ ھﻮ‬A ‫ اﻟﺤﺪث‬-‫( أ‬1

-1‫ و ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬1 ‫ أو ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬-2‫وﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬1‫"ﻛﺮﺗﺎن ﺗﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ‬: ‫ ھﻮ‬S ‫ اﻟﺤﺪث‬-‫ب‬ : ‫ " إذن‬0 ‫ و ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬-2 ‫ و ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬2‫ أو ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬0 ‫و ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬

pS  

C 22 C11  C11C11C11  C 21C11C11 1  5 C 63

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SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune 1 . p  C 43   5

3

 1  16 ‫ إذن‬، ‫ ﺛﻼث ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ‬S ‫ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﺤﻘﻖ‬p ‫( ﻧﺴﻤﻲ‬2 1     5  625

. 4  i   15  8i 2

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬1

(  ‫ )اﻟﺠﺬرﯾﻦ اﻟﻤﺮﺑﻌﯿﻦ ل‬d  4  i     2  3i   201  i   15  8i -‫ب‬  2  3i  4  i  2  3i  4  i . z"   1  2i ‫ و‬z '   3  i ‫إذن‬ 2 2 ca   c  a  1  4i  1  4i  4  i  .  1,      i ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬2 ba  2 ba 4i 17 AC c  a . A ‫ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﺳﮫ‬ABC    1 -‫ب‬ AB b  a  ca . A ‫ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ‬ABC   AB, AC   arg    2    2 ba 2

: ‫ﻣﺴﺄﻟﺔ‬

: ‫اﻟﺠﺰء اﻷول‬

 2 2 . lim f x    ‫ إذن‬f x   x1    ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻜﻞ‬1 x   x x  f x  f 0  f x  f 0  x  2 x 2 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻜﻞ‬2 lim      1 x 0 x x x x . 0  ‫ ﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ‬f ، ‫إذن‬ . x  1 ‫ ھﻲ إﺷﺎرة‬f ' x ‫ إذن إﺷﺎرة‬f ' x   1 

1 x



x 1 x

: ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻜﻞ‬3 : ‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﯿﺮات‬

:‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﺤﻘﻘﺔ‬. 1  U 0  2  2 : n  0 ‫( ﻣﻦ أﺟﻞ‬1 f 1  f U n   f 2  ‫ ﻓﺈن‬1,2‫ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f ‫ ﺑﻤﺎ أن‬. 1  U n  2 ‫ﻧﻔﺘﺮض أن‬ ( 4  2 2  2 ) 1  U n 1  2 ‫ و ﻣﻨﮫ‬1  U n 1  4  2 2 ‫إذن‬ . IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬1  U n  2 : ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

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SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune

. IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ﻟﻜﻞ‬ U 1  U 0 ‫إذن‬

U n 1  U n

U1  4  2 2 ‫ و‬U 0  2

: ‫( ﻧﺒﯿﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن‬2 :

n  0 ‫ﻣﻦ أﺟﻞ‬

U n  2  U n 1  f U n 1   f U n  ‫ ﻓﺈن‬1,2‫ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f ‫ ﺑﻤﺎ أن‬U n 1  U n ‫ﻧﻔﺘﺮض أن‬ . ‫ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬U n ‫ أي أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ‬، IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n 1  U n : ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ . ‫ ﻓﮭﻲ إذن ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬1‫ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ و ﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد‬U n ‫( اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ‬3





، ‫ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬U n  ‫ و‬f I   1,4  2 2  I ‫ و‬I ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬f ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬. I  1,2 ‫ﻧﻀﻊ‬ . l 1



‫ أي‬l  2 l  2  l ‫ وھﺬا ﯾﻌﻨﻲ أن‬f l   l ‫ ﺗﺤﻘﻖ‬l ‫إذن ﻧﮭﺎﯾﺘﮭﺎ‬ . lim g x     x  





: ‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

lim f x    -‫( أ‬1

x  

g x  ln x  2 x  2 x  2 x  2  lim .  0 -‫ب‬ x   x x x2 x 2 ln x  2 x  2 x2 x 2 . lim  0 ‫ و‬lim  1 : ‫ﻷن‬ x   x   x x2 x 2 .   ‫ ﯾﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎه ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ ﺑﺠﻮار‬C  f ' x  . x  0, , g ' x   ‫( ﻟﺪﯾﻨﺎ‬2 f x  .( IR  ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬f x   0 ) f ' x  ‫ ھﻲ إﺷﺎرة‬g' x ‫إذن إﺷﺎرة‬ lim

x  





: ‫ ھﻮ‬g' x ‫و ﻣﻨﮫ ﺟﺪول إﺷﺎرة‬

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SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune :‫( اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬3

. h1,  0, ‫ ﻧﺤﻮ‬1,‫ ﻓﮭﻲ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬، 1,‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬h -‫( أ‬4 x  0,, y  1, y  h 1 x   x  hy  : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬- -‫ب‬ : ‫إذن‬ x e  y  2 y  2  x  ln y  2 y  2

ex 1 

 y  1 



2

ex 1 1 

1 





y 

 y  1  0‫ و‬e

x

1  0

2

ex 1  y 

0, ‫ﻣﻦ‬

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

x ‫ ﻟﻜﻞ‬h 1 x   1  e x  1

 2

: ‫و ﻣﻨﮫ‬