Jozveh Dars Static

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪1‬‬ ‫ﻓﺼﻞ اول‪:‬‬ ‫اﺻﻮل اﻳﺴﺘﺎﻳﻲ‬ ‫اﻟﻒ( ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‪:‬ﻋﻠﻤﻲ را ﮔﻮﻳﻨﺪ ﻛﻪ اﺟﺴﺎم را در وﺿﻌﻴﺘﻬﺎي ﺳﻜﻮن وﻳﺎﺣﺮﻛﺖ ﺗﺤﺖ ﺗﺎﺛﻴﺮﻧﻴﺮوﻫﺎي وارده ﺑﺮرﺳﻲ وﺗﺤﻠﻴﻞ‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺪ‪.‬‬ ‫ﻋﻠﻢ ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﺑﻪ ﺳﻪ ﻗﺴﻤﺖ زﻳﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻴﺸﻮد‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ اﺟﺴﺎم ﺻﻠﺐ)ﺟﺎﻣﺪ(‪:‬‬

‫اﻟﻒ(اﻳﺴﺘﺎﻳﻲ)اﺳﺘﺎﺗﻴﻚ(‪:‬اﺟﺴﺎم ﺳﺎﻛﻦ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻲ ﻗﺮار ﻣﻲ ﮔﻴﺮد‪.‬‬ ‫ب(ﭘﻮﻳﺎﺋﻲ)دﻳﻨﺎﻣﻴﻚ(‪:‬اﺟﺴﺎم ﻣﺘﺤﺮك ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻲ ﻗﺮار ﻣﻲ ﮔﻴﺮد‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ اﺟﺴﺎم ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺷﻜﻞ ﭘﺬﻳﺮ‬ ‫‪ .3‬ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﺷﺎره ﻫﺎ)ﺳﻴﺎﻻت(‬ ‫ب(ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﭘﺎﻳﻪ‪:‬‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﻨﻴﺎدي ﻛﻪ درﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮده ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪﻋﺒﺎرﺗﻨﺪاز‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻓﻀﺎ‪:‬ﻣﻜﺎن ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﻘﺎﻃﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ درآن ﻣﻴﺪان ﺳﻪ ﺑﻌﺪي ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮده ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ .2‬زﻣﺎن‪:‬ﻋﻼوه ﺑﺮﻣﻜﺎن ﻳﻚ ﺟﺴﻢ وﻗﻮع ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﻧﻴﺰﻣﻮردﻧﻈﺮاﺳﺖ ﻛﻪ واﺣﺪآن ﺛﺎﻧﻴﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﺷﺒﻜﻪ ﻣﺮﺟﻊ‪:‬ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻧﻘﺎط درﻓﻀﺎﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﺮﺟﻊ وﺑﺎﻓﻮاﺻﻞ وزواﻳﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﻧﻴﺮو‪:‬ﺗﺎﺛﻴﺮﻳﻚ ﺟﺴﻢ روي ﻳﻚ ﺟﺴﻢ دﻳﮕﺮراﻧﻴﺮوﮔﻮﻳﻨﺪ‪.‬ﻧﻴﺮوﺑﺎﻧﻘﻄﻪ اﺛﺮﺑﺰرﮔﻲ وﺟﻬﺖ ﻫﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﻣﺎده‪:‬ﻣﺎده ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ ازﺟﺴﻤﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻓﻀﺎﮔﻴﺮﺑﺎﺷﺪ‪.‬ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﻣﺎده اي ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﺑﺴﺘﻪ ﻣﺤﺼﻮرﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .6‬ﻣﺎﻧﺪ)ﻟﺨﺘﻲ(‪:‬ﺧﺎﺻﻴﺘﻲ ازﻣﺎده اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻤﺎﻳﻞ دارددرﺑﺮاﺑﺮﺗﻐﻴﻴﺮدرﺣﺮﻛﺖ اﻳﺠﺎدﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻧﻤﺎﻳﺪ‪.‬‬ ‫‪ .7‬ﺟﺮم‪:‬ﻣﻌﻴﺎري ﻛﻤﻲ ازﻣﺎﻧﺪ)ﻳﺎﻟﺨﺘﻲ(اﺳﺖ‪.‬ﺟﺮم ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺧﺎﺻﻴﺘﻲ ازﻫﺮﺟﺴﻢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﻮاره ﺑﺎﺟﺎذﺑﻪ ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ آن‬ ‫ﺟﺴﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﺟﺴﺎم دﻳﮕﺮﻫﻤﺮاه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .8‬ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ‪:‬ﺟﺴﻤﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ذراﺗﺶ ﻫﻴﭻ ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﻧﺴﺒﻲ ﻣﻮﺟﻮدﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ج(ﻛﻤﻴﺖ ﻫﺎي ﻋﺪدي وﺑﺮداري‪:‬‬ ‫ﻛﻤﻴﺖ ﻫﺎي ﻛﻪ دراﺳﺘﺎﺗﻴﻚ ﺑﻜﺎرﻣﻲ آﻳﺪﺑﺮدوﻧﻮﻋﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻛﻤﻴﺖ ﻫﺎي ﻋﺪدي‬

‫‪ .2‬ﻛﻤﻴﺖ ﻫﺎي ﺑﺮداري‬

‫ﻛﻤﻴﺖ ﻫﺎي ﻋﺪدي آﻧﻬﺎﻳﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪﻛﻪ ﻓﻘﻂ ﻣﻘﺪاردارﻧﺪ‪.‬ﻣﺎﻧﻨﺪ‪:‬زﻣﺎن‪.‬ﺟﺮم و‪......‬‬‫ﻛﻤﻴﺖ ﻫﺎي ﺑﺮداري ﻋﻼوه ﺑﺮﻣﻘﺪارداراي اﻣﺘﺪادﻧﻴﺰﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬ﻣﺎﻧﻨﺪ‪:‬ﻧﻴﺮو‬‫ﻗﺎﻧﻮن ﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع ﺑﺮاي ﺟﻤﻊ ﺑﺮدارﻫﺎ‪:‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪2‬‬ ‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮري ﻛﻪ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪه درﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻳﻚ ذره دوﻧﻴﺮوﺗﺎﺛﻴﺮﻛﻨﺪﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎ ﺑﺮدارﺑﺎﺷﻨﺪﻣﻲ ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ‬ ‫ازﻗﺎﻧﻮن ﺟﻤﻊ ﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع ﺑﺮداري ﻳﻚ ﻧﻴﺮوﺑﻪ ﻧﺎم ﺑﺮآﻳﻨﺪﻗﺮارداد ﻛﻪ ازرﺳﻢ ﻗﻄﺮﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪﻛﻪ‬ ‫درﺑﺨﺸﻬﺎي ﺑﻌﺪﺑﻪ ﺗﻔﺼﻴﻞ ذﻛﺮﺧﻮاﻫﺪﺷﺪ‪.‬‬ ‫اﺻﻞ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ اﻧﺘﻘﺎل‪:‬‬ ‫اﮔﺮﻧﻴﺮوﻳﻲ داردﺑﺮﻧﻘﻄﻪ ﻣﻌﻤﻮﻟﻲ ازﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ راﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻧﻴﺮوي دﻳﮕﺮي ﻛﻪ اوﻟﻲ ازﻟﺤﺎظ ﻣﻘﺪاروﺟﻬﺖ ﺑﺮاﺑﺮوﻟﻲ ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫اﺛﺮآن ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻛﻨﻴﻢ وﺿﻌﻴﺖ ﺗﻌﺎدل ﻳﺎﺣﺮﻛﺖ ﺟﺴﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﻤﻲ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪F‬‬

‫ﻧﺤﻮه ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻳﻚ ﻛﻤﻴﺖ ﺑﺮداري‪:‬‬

‫‪F −F = 0‬‬

‫‪−F‬‬

‫ﻳﻚ ﻛﻤﻴﺖ ﺑﺮداري‪ v‬ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﭘﺎره ﺧﻂ ﻛﻪ داراي راﺳﺘﺎي ﺑﺮدارﺑﻮده وﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻳﻚ ﻋﻼﻣﺖ ﭘﻴﻜﺎن ﺟﻬﺖ آن ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﻣﻲ ﺷﻮدﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮدار‪ V = V‬و‬

‫‪v‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪V‬‬

‫اﻧﺪازه‪V = V‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪−V‬‬

‫د(ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻧﻴﻮﺗﻦ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻗﺎﻧﻮن اول‪:‬ﻫﺮﮔﺎه ﺑﺮآﻳﻨﺪﻧﻴﺮوﻫﺎي واردﺑﺮﻳﻚ ذره ﺻﻔﺮﺷﻮدذره اﮔﺮدرﺣﺎل ﺳﻜﻮن ﺑﺎﺷﺪﺳﺎﻛﻦ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﺪواﮔﺮ درﺣﺎل‬ ‫ﺣﺮﻛﺖ ﺑﺎﺷﺪﺑﻪ ﺣﺮﻛﺖ ﺧﻮداداﻣﻪ ﻣﻲ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻗﺎﻧﻮن دوم‪ :‬ﺷﺘﺎب ﻳﻚ ذره ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎﺑﺮآﻳﻨﺪﻧﻴﺮوﻫﺎﺋﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ آن واردﻣﻲ ﮔﺮدﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪F= ma‬‬ ‫‪ :a‬ﺷﺘﺎب ذره‬ ‫‪ : m‬ﺟﺮم ذره‬ ‫‪ :F‬ﺑﺮآﻳﻨﺪﻧﻴﺮوﻫﺎ‬ ‫‪ .3‬ﻗﺎﻧﻮن ﺳﻮم‪:‬‬ ‫ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﻋﻤﻞ وﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻣﻴﺎن دوﺟﺴﻢ ازﻧﻈﺮﻣﻘﺪارﺑﺮاﺑﺮﻧﺪودرﺧﻼف ﺟﻬﺖ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻋﻤﻞ ﻣﻲ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪودرروي ﻳﻚ‬ ‫راﺳﺘﺎواﻗﻊ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻃﺒﻖ ﻗﺎﻧﻮن ﮔﺮاﻧﺶ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻛﻪ ﻣﻲ ﮔﻮﻳﺪدوذره ﺑﻪ ﺟﺮم ﻫﺎي ‪M‬و‪ M‬ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ راﺑﺎﻧﻴﺮوﻫﺎي ﻣﺴﺎوي وﻣﺨﺘﻠﻒ اﻟﺠﻬﺖ‬ ‫)‪F‬و‪(-F‬ﺟﺬب ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪﺑﺰرﮔﻲ اﻳﻦ ﻧﻴﺮو)‪(F‬ازﻓﺮﻣﻮل زﻳﺮﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪﻛﻪ درآن ‪ R‬ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﻴﻦ دوذره و‪ g‬ﺛﺎﺑﺖ ﻋﻤﻮﻣﻲ‬ ‫ﻛﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﮔﺮاﻧﺶ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺘﺎ ﻣﻘﺪار)‪ (W‬وزن ﻳﻚ ذره ﺑﻪ ﺟﺮم ‪ M‬راﻣﻲ ﺷﻮدﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮﺑﻴﺎن ﻛﺮد‪:‬‬ ‫‪W = M.G‬‬ ‫‪G = 9.81 M/S2‬‬

‫‪MM‬‬ ‫‪R2‬‬

‫‪F = G.‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪3‬‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﻳﻜﺎﻫﺎ‪:‬‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻲ ﻳﻜﺎﻫﺎ)ﻳﻜﺎﻫﺎي‪(SI‬‬ ‫درﻃﻲ ﺳﺎﻟﻬﺎي اﺧﻴﺮﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﻛﻠﻴﻪ ﻛﺸﻮرﻫﺎي ﺟﻬﺎن ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻲ آﺣﺎدﻳﺎﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺮاﻧﺴﻪ ‪(SYSTEME‬‬ ‫)‪ INTERNATIONAL DUNITES‬ﻛﻪ ﻣﺨﻔﻒ آن‪ SI‬ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ راﺑﺮاي ﺗﻤﺎﻣﻲ ﻛﺎرﻫﺎي ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ وﻋﻠﻮم اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﻛﺮدﻧﺪ‪.‬دراﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻳﻜﺎﻫﺎي اﺻﻠﻲ‪،‬ﻳﻜﺎﻫﺎي ﻃﻮل‪،‬ﺟﺮم وزﻣﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪﻛﻪ آﻧﻬﺎراﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ‬ ‫ﻣﺘﺮ)‪(M‬وﻛﻴﻠﻮﮔﺮم)‪(KG‬وﺛﺎﻧﻴﻪ)‪(S‬ﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ‪ .‬ﻳﻜﺎي ﻧﻴﺮودراﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻳﻚ ﻳﻜﺎي ﻓﺮﻋﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﻧﻴﻮﺗﻦ)‪(N‬‬ ‫ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻨﺪوﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻳﻚ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻧﻴﺮوﻳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺟﺮم ﻳﻚ ﻛﻴﻠﻮﮔﺮﻣﻲ ﺷﺘﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮﺑﺎ‪ 1 M/S2‬ﺑﺪﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪1N = (1KG)(1M/S2)= 1KG.M/S2‬‬

‫ﭘﻴﺸﻮﻧﺪواﺣﺪﻫﺎ‪:‬‬ ‫ﭘﻴﺸﻮﻧﺪ‬ ‫‪G‬‬

‫ﮔﻴﮕﺎ‬

‫ﻣﻀﺮب)ﻣﻘﺪار(‬ ‫‪1000000000 = 109‬‬

‫ﻧﻤﺎد‬ ‫‪M‬‬

‫ﻣﮕﺎ‬

‫‪1000000 = 106‬‬

‫‪K‬‬

‫ﻛﻴﻠﻮ‬

‫‪1000 = 10‬‬

‫‪M‬‬

‫ﻣ ﻴﻠ ﻲ‬

‫‪0.001 = 10-3‬‬

‫‪µ‬‬

‫ﻣﻴﻜﺮو‬

‫‪0.000001 = 10-6‬‬

‫‪N‬‬

‫ﻧﺎﻧﻮ‬

‫‪3‬‬

‫‪0.000000001 = 10-9‬‬

‫‪1KM = 1000M‬‬ ‫‪1MM = 0.001M‬‬ ‫‪1MG = 1000KG‬‬ ‫‪1G = 0.001KG‬‬ ‫‪1KN = 1000N‬‬ ‫‪3.82 km = 3820 m‬‬ ‫‪47.2 mm = 0.0472 m‬‬ ‫= ‪3.82 kn‬‬ ‫‪3.82*103mm‬‬ ‫‪47.2 mm = 47.2 * 10-3 mm‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪4‬‬ ‫ﻓﺼﻞ دوم‪:‬‬ ‫اﺳﺘﺎﺗﻴﻚ ذره ﻫﺎ‪:‬‬ ‫ﻧﻴﺮوﻫﺎي واﻗﻊ درﺻﻔﺤﻪ‪:‬‬ ‫ﻧﻴﺮوﻧﻤﺎﻳﻨﺪه ﻛﻨﺶ ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺑﺮروي ﻳﻚ ﺟﺴﻢ دﻳﮕﺮاﺳﺖ وﺑﻪ ﻃﻮرﻛﻠﻲ ﺑﺎﻧﻘﻄﻪ اﺛﺮ‪،‬ﺑﺰرﮔﻲ اوراﺳﺘﺎﻳﺶ ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲ‬ ‫ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﺟﻤﻊ ﺑﺮدارﻫﺎ‪:‬‬

‫‪r r r‬‬ ‫‪R =p−p=0‬‬

‫‪r r r‬‬ ‫‪R = p+q‬‬

‫ﻗﺎﻧﻮن ﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع‪:‬‬

‫ﺑﺮدارﺑﺮآﻳﻨﺪﺑﺎرﺳﻢ ﺑﺮدارﻫﺎ‬

‫ﺑﻪ ﺷﻴﻮه ﺳﺮﺑﻪ دم وﺑﻌﺪاﺗﺼﺎل دم ﺑﺮدار‪ P‬ﺑﻪ ﺳﺮﺑﺮدار ‪ Q‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ‪.‬‬

‫ﺣﺎﻻﺟﻤﻊ ﺑﻴﺶ ازﺳﻪ ﺑﺮداررادرﻧﻈﺮﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪5‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي ﺑﺮدارﻫﺎ‪:‬‬

‫)‪p + q + s = (p + q) + s = p + (q + s‬‬

‫ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺟﻤﻊ ﺑﺮدارﻫﺎي ﺻﻔﺤﻪ ﻗﺒﻞ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺟﻤﻊ ﺑﺮدارﻫﺎداراي ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﺟﻤﻊ ﺑﺮدارﻫﺎداراي ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺿﺮب اﺳﻜﺎﻟﺮدرﻳﻚ ﺑﺮدار‪:‬‬

‫‪p + p = 2p ⇒p + p + ...... + pn = np‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪p = p = .... = pn‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫ﺑﺮآﻳﻨﺪ ﭼﻨﺪﻧﻴﺮوي ﻫﻢ راس‪:‬‬

‫ﺗﺠﺰﻳﻪ ﻳﻚ ﻧﻴﺮوﺑﻪ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎي آن‪:‬‬

‫‪BC = AB2 + BC 2‬‬

‫‪cosθ = AC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪sinθ = AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪tanθ = AB‬‬ ‫‪AC‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪p y = p sin θ‬‬

‫دراﻣﺘﺪادﻣﺤﻮر‪x‬ﻫﺎو‪y‬ﻫﺎي ﻣﺜﺒﺖ دوﺑﺮدارواﺣﺪاﺧﺘﻴﺎرﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺑﺮدارﻫﺎﺑﺮدارﻳﻜﻪ ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻨﺪوآﻧﻬﺎراﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﺮروي‬ ‫ﻣﺤﻮرﻫﺎي‪x‬و‪y‬ﺑﺎ‪i‬و‪j‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻨﺪ‪.‬ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺿﺮب ﻳﻚ اﺳﻜﺎﻟﺮدرﺑﺮدارﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻗﺎﺋﻢ ‪ Py , Px‬ﻳﻚ‬ ‫ﻧﻴﺮوي ‪p‬راﻣﻲ ﺷﻮدازﻃﺮﻳﻖ ﺿﺮب ﺑﺮدارﻫﺎي ‪i‬و‪ j‬دراﺳﻜﺎﻟﺮﻫﺎي ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺪﺳﺖ آورد‪.‬‬

‫‪p x = p x .i , p y = p y . j , p = p x .i + p y . j‬‬ ‫‪p x = p cos θ , p y = p sin θ‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪6‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع‪:‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪p = p x .i + p y . j‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫) ‪⇒R + q = ( p x .i + p y . j ) + ( q x .i + q y . j‬‬ ‫‪q = q x .i + q y . j‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪R = ( p x + q x )i + ( p y + q y ) j‬‬

‫‪rx = ∑ f x , r y = ∑ f y‬‬

‫ﻳﺎﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده ازﺣﻞ ﻣﺜﻠﺜﺎﺗﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬

‫‪R 2 = P 2 + Q 2 + 2PQ cosθ‬‬

‫ﻃﺒﻖ ﻗﺎﻧﻮن ﺳﻴﻨﻮﺳﻬﺎ‪:‬‬

‫‪R = P = Q‬‬ ‫‪sin γ sin α sin β‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪:1‬‬ ‫ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ ﺑﺮآﻳﻨﺪدوﻧﻴﺮوي‪ 40N,30N‬واردﺑﺮﺷﻜﻞ زﻳﺮراﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از‪ :‬اﻟﻒ(ﻗﺎﻧﻮن ﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع ب(ﻗﺎﻧﻮن ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫د(ﺟﻤﻊ ﺑﺮداري‬ ‫اﻟﻒ(‬

‫‪R 2 = 302 + 402 + 2 × 30 × 40Cos110‬‬ ‫‪R = 41N‬‬

‫د(‬

‫‪p = −30 cos 40i + 30 sin 40 j = −22.98i + 19.28 j‬‬ ‫‪Q = −40 cos 70i − 40 sin 70 j = −13.68i − 37.59 j‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪R = p + q = (−22.98 −13.68)i + (19.28 − 37.59) j‬‬ ‫‪R = −36.66i + 18.31 j, r = 36.66 2 + 18.312 ≈41n‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪7‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪:2‬‬ ‫دﻛﻞ‪AB‬ﺗﻮﺳﻂ دوﻧﻴﺮوي ﻣﻨﻈﻮرﺷﺪه درﻧﻘﻄﻪ‪A‬ﺗﺤﺖ ﻓﺸﺎرﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺑﺮآﻳﻨﺪ وﺟﻬﺖ آن ﻧﺎﺷﻲ ازاﻳﻦ‬ ‫دوﻧﻴﺮودرﻧﻘﻄﻪ ‪A‬را‪.‬‬

‫‪Rx = ∑Fx = 45cos30i − 20cos12i = 38.97i −19.56i = 19.41i‬‬ ‫‪Ry = ∑Fy = −45sin30 j − 20sin12 j = −22.5 j − 4.16 j = −26.66 j‬‬ ‫روش دوم‪:‬‬

‫‪R = 1 9.4 2 + 26.66 2 = 32.97‬‬ ‫‪θ = tan _1 ( 19.4 ) = 36.04.‬‬ ‫‪26.66‬‬

‫‪R 2 = P 2 + Q 2 + 2 PQCOS θ = 20 2 + 45 2 + 2 × 20 × 45 × COS 138 = 32.97‬‬

‫ﺗﻌﺎدل ﻳﻚ ذره‪:‬‬ ‫ﻃﺒﻖ ﻗﺎﻧﻮن ﻧﻴﻮﺗﻮن در ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ﺗﺎﺛﻴﺮ ﻧﻴﺮوﻫﺎ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻨﺪ ذره در ﺣﺎل ﺗﻌﺎدل اﺳﺖ ﭘﺲ ﻣﻲ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ‬ ‫وﻗﺘﻲ ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﻧﻴﺮوﻫﺎي وارد ﺑﺮ ﻳﻚ ذره ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ ذره در ﺣﺎل ﺗﻌﺎدل اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪200N‬‬

‫‪200N‬‬

‫‪(∑ Fx )i + (∑ F y ) j = 0‬‬ ‫‪R = ∑ F = 0 ⇒R = ∑ ( Fx .i + F y . j) = 0‬‬ ‫‪∑ Fy = 0 ⇒ −246.4 + 400sin 60 − 200cos30 = 0 ⇒ −246.4 + 346.41−173.2 = 0‬‬ ‫‪∑ Fx = 0 ⇒ −300 + 400 cos 60 + 200 sin 30 = 0 ⇒ −300 + 200 + 100 = 0‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

8 :3 ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫را ﺑﺪﺳﺖ‬AC‫و‬AB ‫در ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﻛﺸﺶ در ﻛﺎﺑﻠﻬﺎي‬ .‫اورﻳﺪ‬

α = tan −1( 960 ) = 73.74

280 ∑ F y = 0 ⇒ (T AB sin 73.74) − 960 + 640sin 37 = 0 ⇒ 0.96T AB − 960 + 385.16 = 0 T AB = 574 .84 = 598 .79 N 0.96

∑ Fx = 0 ⇒ T Ac + 598.79 cos 73.74o − 640 cos 37o = 0 ⇒ T Ac = 343.74 N :‫ﻧﻴﺮوﻫﺎ در ﻓﻀﺎ‬

Fx = F sin θ y

‫ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻋﻤﻮدي‬

Fy = F cosθ y

‫ﻣﻮﻟﻔﻪ اﻓﻘﻲ‬

y‫ ﺑﺎ ﻣﺤﻮر‬F ‫ = زاوﻳﻪ ﻧﻴﺮوي‬θ y

xy‫ ﺑﺎ ﺻﻔﺤﻪ‬ABC ‫ = زاوﻳﻪ ﺻﻔﺤﻪ ﻗﺎﺋﻢ‬α

Fx = Fh cosθ = F sin θ y cosθ Fz = Fh sin θ = F sin θ y sin θ

Copyright by: www.afshinsalari.com

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪9‬‬ ‫ﻃﺒﻖ ﻗﺎﻧﻮن ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرث‪:‬‬

‫‪F 2 = (OA) 2 = (OC ) 2 + (OB ) 2 = F 2 + F y 2‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪F 2 = (OC ) 2 = (OD ) 2 + (OE ) 2 = Fx 2 + Fz 2‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪F = Fx 2 + F y 2 + Fz 2‬‬ ‫)‪(1‬‬

‫)‪(2‬‬

‫‪r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪F = F x + F y + Fz‬‬ ‫‪F = F 2x + F 2 y + F 2z‬‬ ‫‪Fx = F cosθ x‬‬

‫‪F y = F cosθ y‬‬ ‫‪Fz = F cosθ z‬‬

‫ﻧﻴﺮوي‪ F‬را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺮدار ﻳﻜﻪ ﻫﺎي‪i‬و‪j‬و‪k‬ﻛﻪ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ در اﻣﺘﺪاد ﻣﺤﻮرﻫﺎي‪x‬و‪y‬و‪z‬ﻗﺮار دارﻧﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ‬ ‫ﺑﻴﺎن ﻛﺮد‪.‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪F = F x .i + F y . j + F z .k‬‬

‫)‪(4‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪⇒ F = F (cosθ x .i + cosθ y . j + cosθ z .k‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺘﺎ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻴﺮوي‪F‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب اﺳﻜﺎﻟﺮ‪F‬وﺑﺮدار‬ ‫)‪(5‬‬ ‫ﺑﻴﺎن ﻛﺮد ﻛﻪ ﺑﻪ ‪ λ‬ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻳﻜﻪ ﺑﺮدار‪F‬ﮔﻮﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫)‪(6‬‬

‫‪λ = cosθ x .i + cosθ y . j + cosθ z .k‬‬

‫‪λx = cos θ x‬‬ ‫‪λ y = cos θ y‬‬ ‫‪λz = cos θ z‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﺎت ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻳﻚ ﺑﺮدار ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻣﺮﺑﻊ ﺑﺰرﮔﻲ ان اﺳﺖ‪.‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪λx2 + λ y 2 + λz =1‬‬

‫‪⇒ cos 2 θ x + cos 2 θ y + cos 2 θ z = 1‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪F = F .λ‬‬ ‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪10‬‬

‫‪Fy‬‬ ‫‪Fx‬‬ ‫‪Fz‬‬ ‫=‪⇒F‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪cosθ x cosθ y cosθ z‬‬

‫ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن ﺑﺮدار واﺣﺪ اﻣﺘﺪادي ﻛﻪ از دو ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻲ ﮔﺬرد‪.‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪r = AB= (x − x )2 + ( y − y )2 + (z − z )2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B A‬‬ ‫‪B A‬‬ ‫‪B A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪yb‬‬

‫= ‪λF‬‬

‫و‬

‫‪yb‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪AB = ( x B − x A )i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A ) k‬‬

‫‪xb‬‬

‫‪zb‬‬

‫‪zb‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:4‬‬ ‫دﻛﻞ ﻣﺨﺎﺑﺮاﺗﻲ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﻪ ﺟﺮم‬ ‫‪120kg‬ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺳﻪ ﻛﺎﺑﻞ ﻣﻬﺎري ﺑﻪ زﻣﻴﻦ ﻣﺘﺼﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﻛﺸﺸﻲ در ﻛﺎﺑﻠﻬﺎي‬ ‫ﻣﺬﻛﻮر را‪.‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪D6‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪C0‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪B0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A0‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪TDC‬‬

‫دﻳﺎﮔﺮام آزاد ﺟﺴﻢ‬

‫‪TDB‬‬

‫‪TDA‬‬

‫‪W = m.g = 120 ×10 = 1200 N‬‬ ‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

11 r r r AD = ( x D − x A )i + ( y D − y A ) j + ( z D − z A ) k r r r AD = 3i + 6 j + 2 k

AD = 3 2 + 6 2 + 2 2 = 49 = 7

r

λ AD =

r r BD = 4 j − 2k r r r CD = −3i + 6 j + 2k

r F

AD

=F

r r r = 3i + 6 j + 2k 7 AD 7 7 AD

r r = 6 j− 2 k BD 40 40 r r 6r 2r 3 λ =− i + j + k CD 7 7 7 r

BD = 40

CD = 7

λBD =

BD

r .λ = F (3 i + 6 j + 2 k) AD AD AD 7 7 7

r 3 6 2 FCD = FCD .λCD = FCD (− i + j + k ) 7 7 7 r 6 2 FBD = FBD .λ BD = FBD ( i− k) 40 40

∑F = 0 ⇒

∑Fx = 0

Copyright by: www.afshinsalari.com

∑F y = 0

∑Fz = 0

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪12‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﺳﻮم‬ ‫اﺟﺴﺎم ﺻﻠﺐ‪:‬‬ ‫ﻧﻴﺮوﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ اﺟﺴﺎم ﺻﻠﺐ وارد ﻣﻴﺸﻮﻧﺪ دو دﺳﺘﻪ اﻧﺪ‪:‬‬ ‫اﻟﻒ( ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﺧﺎرﺟﻲ‪:‬ﻧﻤﺎﻳﻨﺪه ﺗﺎﺛﻴﺮ ﺳﺎﻳﺮ اﺟﺴﺎم ﺑﺮ روي ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﻫﺴﺘﻨﺪ و اﻳﻦ ﻧﻴﺮوﻫﺎ رﻓﺘﺎر ﺧﺎرﺟﻲ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ را‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﻴﻜﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ب( ﻧﻴﺮوﻫﺎي داﺧﻠﻲ‪:‬ﻧﻴﺮوﻫﺎﻳﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ذرات ﺗﺸﻜﻴﻞ دﻫﻨﺪه ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ رادر ﻛﻨﺎر ﻫﻢ ﻧﮕﻪ ﻣﻲ دارﻧﺪ‪.‬‬

‫ﺿﺮب ﺑﺮدارﻫﺎ‪:‬‬ ‫اﻟﻒ( ﺿﺮب ﺑﺮداري دو ﺑﺮدار و ﺿﺮب ﺧﺎرﺟﻲ‬ ‫ﺧﻮاص ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﺮداري دو ﺑﺮدار ‪P‬و‪Q‬ﻛﻪ ﻳﻚ ﺑﺮدار ‪U‬اﺳﺖ ﺑﻪ ﻗﺮار زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺑﺮدار ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ‪U‬ﺑﺮ ﺻﻔﺤﻪ ‪P‬و‪Q‬ﻋﻤﻮد ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺟﻬﺖ آن ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻧﻮن دﺳﺖ راﺳﺖ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ اﻳﺪ‬ ‫ﺑﺪﻳﻦ ﺻﻮرت ﻛﻪ ﭼﻬﺎر اﻧﮕﺸﺖ در اﻣﺘﺪاد ﺑﺮدار اول )ﺑﺮدار‪(P‬وﺟﻬﺖ ﺑﺴﺘﻪ ﺷﺪن اﻧﮕﺸﺘﺎن درﺟﻬﺖ ﺑﺮدار دﻳﮕﺮ ﺑﺮدار‬ ‫)‪(Q‬ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﺟﻬﺖ اﻧﮕﺸﺖ ﺷﺼﺖ ﺟﻬﺖ ﺑﺮدار‪U‬ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‬

‫(ﻣﻘﺪار ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﻣﻘﺎدﻳﺮﻋﺪدي ‪P‬و‪Q‬درﺳﻴﻨﻮس زاوﻳﻪ ﺑﻴﻦ آن دو‬

‫‪U = PQ sin θ‬‬ ‫‪U =0←P=Q‬‬ ‫‪P‬و‪Q‬ﻣﻮازي ﻳﺎ در راﺳﺘﺎي ﻫﻢ‬

‫‪ (1‬ﻗﺎﻧﻮن ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ در ﻣﻮرد ﺿﺮب ﺧﺎرﺟﻲ ﺻﺎدق ﻧﻴﺴﺖ‬

‫)‪Q × P = −( P × Q‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

13 ‫در ﺟﻬﺖ ﻣﺜﻠﺜﺎﺗﻲ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎﺷﺪ‬Q‫و‬P‫زاوﻳﻪ ﺑﻴﻦ‬

Q = Q× P

‫ﺑﻴﺎﻓﺘﺪ‬P ‫ﺑﺮ روي‬

, ‫ﺑﻴﺎﻓﺘﺪ‬Q ‫ﺑﺮ روي‬

P = P×Q

‫(ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻮزﻳﻊ ﭘﺬﻳﺮي در ﻣﻮرد ﺿﺮب ﺧﺎرﺟﻲ ﺻﺎدق اﺳﺖ‬2

P × (Q + Q ) = P × Q + P × Q 1 2 1 2 ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﺮداري ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻗﺎﺋﻢ‬

r r A× A = 0 i ×i = 0 j × i = −k

i× j =k j× j =0

i ×k = −j j×k = i

k×i = j

k × j = −i

k×k = 0

r r P = (Px i + Py j + Pz k ),Q = (Q x i + Qy j + Qz k ) r r P × Q = (Px i + Py j + Pz k ) × (Q x i + Qy j + Qz k ) = Px (Q x i .i + Qy i . j + Qz i .k ) = PxQy k − PxQz j = Py (Q x j .i + Qy j . j + Qz j .k ) = − Py Q x k + Qy Qz i = Pz (Q x k .i + Qy k . j + Qz k .k ) = PzQ x j + PzQy r r P × Q = (Py Qz − PzQy )i − (PxQz − PzQ x ) j + (PxQy − Py Q x )k

Copyright by: www.afshinsalari.com

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪14‬‬ ‫اﮔﺮ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ ﻗﺒﻞ ﻧﮕﺎه ﻛﻨﻴﻢ ﻣﻲ ﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪ ﻫﺎي ﻃﺮف راﺳﺖ آن ﻧﻤﺎﻳﻨﺪه ﺑﺴﻂ ﻳﻚ دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن ﻫﺴﺖ ﭘﺲ‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب)‪(u‬را ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ راﺣﺖ ﺗﺮ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﺳﭙﺮده ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪k‬‬

‫‪j‬‬

‫‪i‬‬

‫‪U = P P P = (Py Qz - PzQy )i - (PxQz - PzQx ) j + (PxQy - PyQx )k‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪Qx Qy Qz‬‬ ‫ﺿﺮب ﻋﺪدي دو ﺑﺮدار و ﺿﺮب داﺧﻠﻲ‪:‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻣﻘﺼﻮد از ﺿﺮب ﻋﺪدي ﺑﺮدار ‪ P‬در ﺑﺮدار ‪ Q‬ﻛﻪ ﺑﺎ ﻫﻢ زاوﻳﻪ ‪ θ‬ﺳﺎﺧﺘﻪ اﻧﺪ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻋﺪدي اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻘﺪار آن ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪ U = P × Q‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪U = P.Q cosθ‬‬

‫وﻗﺘﻲ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﺮدار‪Q‬را روي‪P‬ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻌﻨﻲ ﺿﺮب داﺧﻠﻲ‬

‫‪rr‬‬ ‫‪U = A.A = A.A cosθ = A2‬‬ ‫از ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺿﺮب داﺧﻠﻲ دو ﺑﺮدار ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺮدارﻫﺎي‪P‬و‪Q‬در ﺻﻮرﺗﻴﻜﻪ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب داﺧﻠﻲ ﺷﺎن ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﺻﻔﺮ‬

‫ﮔﺮدد ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪P.Q = 0 ⇒P ⊥Q‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﻛﺎر دو ﺑﺮدار ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺮ ﻫﻢ ﻋﻤﻮدﻧﺪ)‪f‬و‪(d‬‬ ‫‪i. j = 0‬‬

‫‪i.k = 0‬‬ ‫‪j.k = 0‬‬

‫‪j. j = 1‬‬ ‫‪k. j = 0‬‬

‫‪k .k = 1‬‬

‫‪i.i = 1‬‬ ‫‪j.i = 0‬‬ ‫‪k.i = 0‬‬

‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﺮدارﻫﺎي ﻳﻜﻪ ﻳﺎ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻳﻚ‬

‫‪r‬‬ ‫‪ Q y j + Qz k‬و‪Q = Qxi +‬‬

‫‪= Pxi + Py j + Pz k‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪r r‬‬ ‫) ‪P.Q = ( Pxi + Py j + Pz k )(Qxi + Q y j + Qz k‬‬ ‫) ‪= ( PxQxi.i + PxQ y i. j + Px Qz i.k‬‬ ‫) ‪+ ( Py Qx j.i + Py Q y j. j + Py Qz j , k‬‬ ‫‪+ ( Pz Qx k .i + Pz Q y k . j + Pz Qz k .k ) = Px Qx + Py Q y + Pz Qz‬‬ ‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪15‬‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ زاوﻳﻪ ﺑﻴﻦ دو ﺑﺮدار‪:‬‬

‫‪r r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪P.Q‬‬ ‫= ‪P.Q = PQ cos θ = PxQx + Py Qy + PzQz ⇒cos θ‬‬ ‫‪PQ‬‬ ‫‪PxQx + Py Qy + PzQz‬‬ ‫‪Py Qy‬‬ ‫‪P Q‬‬ ‫‪= x . x +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪+ ... = cos θ‬‬ ‫‪PQ‬‬ ‫‪PQ PQ PQ PQ‬‬ ‫‪Px‬‬ ‫‪Qx‬‬ ‫‪= L1‬‬ ‫‪= L2‬‬ ‫‪PQ‬‬ ‫‪PQ‬‬ ‫‪⇒cos θ = L1L2 + m1m2 + n1n2‬‬

‫ﻛﻪ در آن‪L‬و‪m‬و‪n‬ﻛﺴﻴﻨﻮس ﻫﺎوﻳﻬﺎي)ﺷﻴﺐ(ﺑﺮدارﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲ ﮔﺮدد ﻛﻪ ﻫﺮ دو ﺑﺎر در ﺻﻮرﺗﻴﻜﻪ‬ ‫ﻛﺴﻴﻨﻮس ﻫﺎوي آﻧﻬﺎ در راﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﺻﺪق ﻛﻨﻨﺪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬

‫‪L L +m m +n n =0‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 2 1 2‬‬

‫ﺧﻮاص ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺑﺮدارﻫﺎ‪:‬‬

‫‪r r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪P.Q = Q.P‬‬ ‫‪r r r r‬‬ ‫‪r r r‬‬ ‫‪P.(Q + R ) = P.Q + P.R‬‬

‫‪ (1‬ﻗﺎﻧﻮن ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﺻﺎدق اﺳﺖ‬ ‫‪ (2‬ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻮزﻳﻊ ﭘﺬﻳﺮي ﺻﺎدق اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫دو ﺑﺮدار ‪ A = 10i + 20 j + 3k‬و ‪ B = -10j + 12k‬ﻣﻔﺮوﺿﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫اﻟﻒ( ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب داﺧﻠﻲ دو ﺑﺮدار ‪ A‬و ‪ B‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﺋﻴﺪ‪.‬‬ ‫ب( زاوﻳﻪ ﺑﻴﻦ دو ﺑﺮدار‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ج( ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺑﺮدار ‪ A‬روي اﻣﺘﺪاد ﺑﺮدار ‪B‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫د( ﺑﺮدار ﺗﺼﻮﻳﺮ ‪ A‬روي اﻣﺘﺪاد ﺑﺮدار ‪B‬‬

‫‪rr‬‬

‫)‪U = A.B = (10i +20j +3k)(-10j+12k)= (10×0)+(20)(-10‬‬ ‫‪+(3)(12)= -164‬‬ ‫‪A = 102 + 202 +32 = 22.56‬‬ ‫‪B = (-10)2 + (12)2 = 15.62‬‬ ‫‪-164‬‬ ‫‪⇒θ = 117.710‬‬ ‫‪22.56×15.62‬‬

‫= ‪U = A.Bcosθ ⇒-164= 22.56×15.62cosθ ⇒cosθ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪C = Acosα = 22.56cos117.71= -10.46‬‬

‫‪10j+12k r‬‬ ‫‪-10j+12k‬‬ ‫(‪⇒C = Cn = -10.46‬‬ ‫‪) = 6.7 j - 8k‬‬ ‫‪15.62‬‬ ‫‪15.62‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪λ = =-‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪16‬‬ ‫ﮔﺸﺘﺎور ﻳﻚ ﻧﻴﺮوﺣﻮل ﻧﻘﻄﻪ‪:‬‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻧﻴﺮوي‪F‬ﺑﺮ ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ اﺛﺮ ﻛﻨﺪ اﻳﻦ ﻧﻴﺮو ﺑﺎ ﺑﺮدار ﻧﺸﺎن داده ﻣﻴﺸﻮد‪.‬‬

‫ﻣﻜﺎن‪A‬را ﻣﻲ ﺷﻮدﺑﺎ ﺑﺮدار‪ r‬ﻛﻪ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺮﺟﻊ)‪(O‬را ﺑﻪ‪ A‬ﻣﺘﺼﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﺪﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﺑﺮدار ﻣﻜﺎن‪A‬‬ ‫ﮔﻮﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﺎل ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﮔﺸﺘﺎور ﻧﻴﺮوي‪ F‬را ﺣﻮل‪ O‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب ﺑﺮداري‪r‬و‪ F‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫‪= r × F = rF sinθ = Fr sin θ = Fd‬‬

‫‪Mo‬‬

‫ﻛﻪ‪ d‬ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻋﻤﻮدي‪ O‬ﺗﺎ ﺧﻂ اﺛﺮ‪ F‬ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬ﻧﻴﺮوي‪ F‬ﻋﻼوه ﺑﺮ آﻧﻜﻪ در ﺟﺴﻢ ﺗﻤﺎﻳﻞ ﺑﻪ ﺣﺮﻛﺖ در اﻣﺘﺪاد ﺧﻂ اﺛﺮ ﻧﻴﺮو‬ ‫اﻳﺠﺎد ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪.‬اﻳﻦ ﮔﺮاﻳﺶ را ﮔﺸﺘﺎور‪ M‬ﻧﻴﺮو ﺣﻮل ﻣﺤﻮر داده ﺷﺪه ﻧﺎﻣﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻳﻜﺎﻫﺎي)‪(SI‬ﻧﻴﺮو ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﻴﻮﺗﻦ و ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺘﺮ)‪(m‬ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد‪،‬ﮔﺸﺘﺎور ﻧﻴﺮو ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﻴﻮﺗﻦ‪-‬‬ ‫ﻣﺘﺮ)‪(N.M‬ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪mo = + Fd‬‬

‫‪mo = -Fd‬‬

‫ﻗﻀﻴﻪ وارﭘﻨﻴﻮن و ﻳﺎ اﺻﻞ ﮔﺸﺘﺎور‪:‬‬ ‫ﺑﺮاي ﻧﻴﺮو ﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ درﻳﻚ ﺻﻔﺤﻪ واﻗﻌﻨﺪﺑﺪﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮدﻛﻪ ﮔﺸﺘﺎور ﻳﻚ ﻧﻴﺮو ﺣﻮل ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺟﻤﻊ ﮔﺸﺘﺎورﻫﺎي ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻧﻴﺮو ﺣﻮل ﻫﻤﺎن ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪m1 + m2 = r × F1 + r × F‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪m = r × ( F1 + F2‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪17‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻧﻴﺮوي‪P=10N‬در اﻣﺘﺪاد دو ﻧﻘﻄﻪ‪AB‬ﻣﺮﺑﻌﻲ ﺑﻪ اﺿﻼع‪200mm‬‬

‫اﻋﻤﺎل ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫‪P′‬‬

‫از ﻧﻴﺮوي‪ P‬در اﻣﺘﺪاد‪OC‬ﺑﺎﺟﻬﺖ ﻣﺜﺒﺖ از‪O‬ﺑﻪ ﻃﺮف‪C‬‬

‫‪r‬‬ ‫ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻬﺎي ﺑﺮدار ‪: OC‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬

‫=‪C‬‬

‫‪OC = (0.2 - 0)i + (0.1 - 0)j‬‬

‫و‬

‫‪0.1‬‬ ‫‪= 0.447‬‬ ‫‪0.05‬‬

‫=‪m‬‬

‫‪0→ x‬‬ ‫‪0→ y‬‬

‫=‪O‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.894‬‬ ‫‪0.04 + 0.01‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪no c = 0.894i + 0.447 j‬‬

‫‪r‬‬ ‫ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻬﺎي ﺑﺮدار ‪: AB‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪AB (0 - 0.2)i + (0.2 - 0)j‬‬

‫‪0 .2‬‬ ‫‪= 0.707‬‬ ‫‪0.08‬‬

‫=‪B‬‬

‫‪0‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪- 0.2‬‬ ‫‪- 0.2‬‬ ‫=‬ ‫‪= -0.707‬‬ ‫‪0.04 + 0.04‬‬ ‫‪0.08‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬

‫=‪α‬‬

‫)‪n Ar B = ( -0.707i + 0.707j‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪FAr B = F.n Ar B = 10 × ( -0.707i + 0.707j) = -7.07i + 7.07j‬‬ ‫)‪For c = FAr B .n Or C = ( -7.07i + 7.07j).(0. 894i + 0.447j‬‬

‫‪= ( -7.07 × 0.894 + 7.07 × 0.447) = -3.16N‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

18 :‫ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻗﺎﺋﻢ ﮔﺸﺘﺎور در ﻳﻚ ﻧﻴﺮو‬

mo = r × F

:‫ ﺑﺮ ﻣﺒﺪا ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺎﺷﺪ‬B‫اﮔﺮ ﻧﻘﻄﻪ‬

r = xi + yj + zk F = Fx .i + Fy . j + Fz .k

:‫ دارﻳﻢ‬mo‫ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري در راﺑﻂ‬ Y

mo = m x .i + my . j + mz .k mx = yFz - zFy

Fyj Yj

m y = zFx - xFz m z = xFy - yFx

Fxi X

O Xi

mB = r

A × F = ( r A - rB ) × F B

Fzk ZK Z

i mB = x A

j B

yA

Fx

xA

B

B

Fy

= x A - xB

k zA

i mo = x Fx

B

Fz

y

A

B

= y -y A B

Z,FZ =0 ‫در ﻣﺴﺎﺋﻞ دو ﺑﻌﺪي‬

mo = (xFy - yFx)k

Copyright by: www.afshinsalari.com

j y Fy

k z Fz zA

B

= z A - zB

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪19‬‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ ﺑﻮدن‪ mo‬ﺣﺎﻛﻲ ازآن اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮدار‪ mo‬ﺑﻪ ﻃﺮف ﺧﺎرج از ﺻﻔﺤﻪ ﻛﺘﺎب اﺳﺖ)ﺗﻤﺎﻳﻞ ﺑﻪ ﭼﺮﺧﺎﻧﺪن ﺟﺴﻢ ﺣﻮل‬ ‫‪o‬در ﺟﻬﺖ ﺑﺎدﺳﺎﻋﺘﮕﺮددارد(‬

‫‪M B = ( x A - xB )Fy - (y A - yB )Fx‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ ﮔﺸﺘﺎورﻧﻴﺮوي‪ 260N‬ﺣﻮل ﻧﻘﻄﻪ‪ A‬را‬

‫اﻟﻒ(ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺗﺠﺰﻳﻪ ﻧﻴﺮوي ﻣﺤﻮري‪x‬و‪y‬وارد ﺑﺮ ﻧﻘﻄﻪ ‪B‬‬ ‫ب(ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺗﺠﺰﻳﻪ ﻧﻴﺮوي ﻣﺤﻮرﻫﺎي‪x‬و‪y‬در ﻧﻘﻄﻪ‪C‬‬

‫‪Fx = 12 (260) = 240 N‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(260) = 100 N‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪M A = Fx × 2 - Fy × 1.5 = 240 × 2 - 100 × 1.5 = 330N.M‬‬ ‫= ‪Fy‬‬

‫اﺑﺘﺪا ﻧﻴﺮوي‪260N‬را در اﻣﺘﺪاد ﺧﻂ اﺛﺮش اﻣﺘﺪاد داده ﺗﺎ ﻧﻘﻄﻪ‪C‬وارد ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪= 12 (260) = 240 N‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(260) = 100 N‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪Fx‬‬

‫= ‪Fy‬‬

‫‪M A = Fy × 3.3 + Fx × 0 = 100 × 3.3 = 330 N .M‬‬

‫‪3.3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪4.8‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪20‬‬

‫‪48i + 20 j‬‬ ‫‪= 240i + 100 j‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪48 + 20 = 52‬‬

‫‪=F‬‬ ‫‪-λ‬‬ ‫× ‪= 260‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪BC BC‬‬

‫‪F‬‬

‫‪r A B = (4.8 - 3.3)i + 2j = 1.5i + 2j‬‬ ‫‪mA = F × r = (240i + 100j)(1.5i + 2j) = 240 × 2k - 100 × 1.5k = 330N‬‬

‫ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﻣﺨﺘﻠﻂ ﺳﻪ ﺑﺮدار‪:‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب داﺧﻠﻲ ﺳﻪ ﺑﺮدار‪:‬‬ ‫ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﻣﺨﺘﻠﻂ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ ازﺣﺎﺻﻠﻀﺮب داﺧﻠﻲ دو ﺑﺮدارﻛﻪ ﻳﻜﻲ از آﻧﺪو ﺗﻮﺳﻂ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺧﺎرﺟﻲ دو ﺑﺮدار‬ ‫دﻳﮕﺮ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪.‬اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﻛﻪ ﻛﻤﻴﺘﻲ ﻋﺪدي ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪﺗﻮﺳﻂ ﻫﺮ ﻳﻚ از رواﺑﻂ ﻣﻌﺎدل زﻳﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﻴﺎن اﺳﺖ‪:‬‬ ‫)‪( P × Q).R = R.( P × Q) = -R.(Q × P‬‬

‫در ﺣﻘﻴﻘﺖ رﻋﺎﻳﺖ ﺑﺮاﻧﺘﺰﻫﺎدر ﻋﺒﺎرت ﻓﻮق اﻟﺬﻛﺮﻻزم ﻧﻤﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻮن ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺻﻮرت )‪ P × (Q.R‬ﺑﺪون‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم اﺳﺖ ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﻴﺘﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪P × Q.R = P.Q × R‬‬

‫ﻛﻪ ﻗﺎﻧﻮن ﺟﺎﺑﺠﺎﺋﻲ ﻧﻘﻄﻪ و ﺿﺮﺑﺪر را در ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺳﻪ ﺑﺮدار ﺑﺪون اﻳﻨﻜﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮي در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻋﺪدي ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﺷﻮد ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻴﻜﻨﺪ‪.‬ﺑﻌﻼوه ﻣﻴﺘﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺴﻂ دادن ﻧﺸﺎﻧﺪادﻛﻪ‪:‬‬

‫ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺧﺎرﺟﻲ ﺳﻪ ﺑﺮدار‪:‬‬

‫‪Pz‬‬ ‫‪Qz‬‬

‫‪Py‬‬ ‫‪Qy‬‬

‫‪Px‬‬ ‫‪P × Q.R = Q x‬‬

‫‪Rz‬‬

‫‪Ry‬‬

‫‪Rx‬‬

‫ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺧﺎرﺟﻲ دو ﺑﺮدار ﻛﻪ ﻳﻜﻲ از آﻧﺪو ﺧﻮد ﺗﻮﺳﻂ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺧﺎرﺟﻲ دو ﺑﺮدار دﻳﮕﺮ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﻳﻚ ﺑﺮدار ﺑﻮده و ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻜﻲ از ﻋﺒﺎرت ﻣﻌﺎدل زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫)‪(P × Q ) × R = -R × (P × Q) = R × (Q × P‬‬

‫در اﻳﻨﺠﺎ وﺟﻮد ﭘﺮاﻧﺘﺰ ﺿﺮورت دارد زﻳﺮا در راﺑﻄﻪ اي ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ P × Q × R‬ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﻧﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﺑﻮدن اﻳﻨﻜﻪ ﻛﺪام دو ﺑﺮدار در‬ ‫ﻫﻢ ﺿﺮب ﺷﺪه اﻧﺪ ﻣﺒﻬﻢ اﺳﺖ‪.‬ﻣﻲ ﺗﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﺧﺎرﺟﻲ ﻣﻌﺎدل ﻋﺒﺎرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬

‫‪( P × Q ) × R = R.PQ - R.QP‬‬ ‫‪P × (Q × R) = P.RQ - P.QR‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪21‬‬ ‫ﮔﺸﺘﺎور ﻳﻚ ﻧﻴﺮو ﺣﻮل ﻳﻚ ﻣﺤﻮر‪:‬‬ ‫ﮔﺸﺘﺎور ﻧﻴﺮوي‪ F‬ﺣﻮل ﻧﻘﻄﻪ‪ o‬ﺑﺮاﺑﺮ‪ mo‬ﻣﻴﺒﺎﺷﺪ ﺣﺎل اﮔﺮ ﻣﺤﻮر ‪oL‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﮔﺸﺘﺎور ‪moL‬ﻧﻴﺮوي‪f‬ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺤﻮر‪ oL‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺼﻮﻳﺮ ﮔﺸﺘﺎور ‪mo‬روي ‪oL‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫اﮔﺮ ﺑﺮدارﻳﻜﻪ در اﻣﺘﺪاد‪oL‬را ﺑﺎ ‪ λ‬ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪.‬‬

‫)‪moL = λ.mo = λ.(r × F‬‬ ‫ﮔﺸﺘﺎور ﻳﻚ ﻧﻴﺮو‬

‫ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻳﻚ ﺑﺮدارﺑﺮ روي ﻳﻚ ﻣﺤﻮر‬

‫ﻛﻪ ﮔﺸﺘﺎور ﻧﻴﺮوي‪F‬ﺣﻮل‪oL‬اﺳﻜﺎﻟﺮاﺳﺖ واز ﺿﺮب ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ ﻣﺨﺘﻠﻂ ﺳﻪ ﺑﺮدار ‪ F, r, λ‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ اﻳﺪ وﺑﺎ‪:‬‬

‫‪λy‬‬

‫‪λz‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪Fz‬‬

‫‪ = λ z , λ y , λ x‬ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻬﺎي ﺑﺮدار‪oL‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪Fy‬‬

‫‪λx‬‬ ‫‪= x‬‬

‫‪moL‬‬

‫‪Fx‬‬

‫‪ = z, y , x‬ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻧﻘﻄﻪ اﺛﺮ ﻧﻴﺮوي‪F‬‬ ‫‪ = Fz , Fy , Fx‬ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻧﻴﺮوي‪F‬‬

‫) ‪mBL = λ.mB = λ.(r A B × F‬‬ ‫‪r A B = rA - rB‬‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﻨﺪه ﺑﺮداري اﺳﺖ ﻛﻪ از‪B‬ﺑﻪ‪A‬رﺳﻢ ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪λz‬‬

‫‪λy‬‬

‫‪λx‬‬

‫‪mBL = x A B y A B z A B‬‬ ‫‪Fx‬‬ ‫‪Fy‬‬ ‫‪Fz‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪22‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻛﺎﺑﻠﻲ ﻛﻪ اﻧﺘﻬﺎي ﻓﻮﻗﺎﻧﻲ ﻳﻚ دﻳﺮك ﺻﻠﺐ ﻧﻘﻄﻪ‪A‬را ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ‪B‬ﻣﺘﺼﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﺗﺤﺖ ﻛﺸﺶ ‪T=10KN‬ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ ﮔﺸﺘﺎور ‪ M z‬ﻧﻴﺮوي‪T‬ﺣﻮل ﻣﺤﻮر‪Z‬ﻫﺎ ﻣﺎرﺑﺮﭘﺎﻳﻪ دﻳﺮك ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪A 15‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺑﺮدار ‪ Mo‬ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﺻﻔﺤﻪ اي اﺳﺖ ﻛﻪ‪T‬وﻧﻘﻄﻪ‪o‬را در ﺑﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮد‪.‬‬

‫‪mZ = mo .k = (-15 × 5.66k + 4.24i).kz = -84.9KN.m‬‬

‫‪r‬‬ ‫)‪r = 15 j ( m‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪AB (12 - 0)i + (0 - 15)j + (9 - 0)k‬‬ ‫=‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.566i - 0.707j + 4.24k‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪12 2 + 152 + 9 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪T = 10n = 5.66i - 7.07j + 4.24k‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫)‪m o = r × T = (15j) × (5.66i - 7.07j + 4.24k‬‬

‫)‪= (-15 × 5.66k + 15 × 4.24i‬‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻨﻔﻲ ﻣﻌﺮف ان اﺳﺖ ﻛﻪ ‪ M z‬در ﺧﻼف ﺟﻬﺖ ﻣﺤﻮر‪z‬ﻫﺎ ﻋﻤﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪23‬‬ ‫ﻛﻮﭘﻞ ﻳﺎ زوج ﻧﻴﺮو‪:‬‬ ‫ﮔﺸﺘﺎور ﺣﺎﺻﻞ از دو ﻧﻴﺮوي ﻣﺴﺎوي‪،‬ﻣﻮازي وﻣﺨﺘﻠﻒ اﻟﺠﻬﺖ ﻛﻪ در اﻣﺘﺪاد ﻳﻚ ﺧﻂ واﻗﻊ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ ﻛﻮﭘﻞ ﺧﻮاﻧﺪه ﻣﻲ‬ ‫ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪m = R A × ( -F ) + rB × (F) = (-rA + rB ) × F‬‬ ‫) ‪r = ( -r A + rB‬‬ ‫‪m = r ×F‬‬ ‫‪m = rF sin θ = Fd‬‬ ‫ﻛﻪ‪d‬ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻋﻤﻮدي ﻣﻴﺎن ﺧﻂ اﺛﺮﻫﺎي‪F‬و‪-F‬اﺳﺖ‪.‬ﺟﻬﺖ ‪m‬ازروي ﻗﺎﻋﺪه دﺳﺖ راﺳﺖ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﻛﻮﭘﻠﻬﺎي ﻣﻌﺎدل‪:‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻣﻘﺎدﻳﺮ‪F‬و‪ d‬ﻳﻚ ﻛﻮﭘﻞ ﻣﻔﺮوض ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ آن ﻛﻪ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب آﻧﻬﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻤﺎﻧﺪ‪،‬ﺗﻐﻴﻴﺮي در آن ﻛﻮﭘﻞ‬ ‫ﺑﻪ وﺟﻮد ﻧﺨﻮاﻫﺪآﻣﺪ‪.‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻘﺪار ﻳﻚ ﻛﻮﭘﻞ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﺪ ﺑﺪون ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ زوج ﻧﻴﺮو در ﻛﺪاﻣﻴﻚ از‬ ‫ﺻﻔﺤﺎت ﻣﻮازي ﻳﻜﺪﻳﮕﺮﻋﻤﻞ ﻣﻲ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪.‬ﺷﻜﻠﻬﺎي زﻳﺮ ﭼﻬﺎرﺣﺎﻟﺖ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻳﻚ ﻛﻮﭘﻞ ﺛﺎﺑﺖ‪M‬راﻧﺸﺎن ﻣﻴﺪﻫﺪ‪.‬‬

‫ﺟﻤﻊ ﺑﺴﺘﻦ ﻛﻮﭘﻠﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﻛﻮﭘﻠﻬﺎﺋﻲ را ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﺎت ﻏﻴﺮ ﻣﻮازي ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮﻋﻤﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﻗﺎﻧﻮن ﻋﺎدي‬ ‫ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺑﺮدارﻫﺎﺟﻤﻊ ﻛﺮد‪.‬ﻣﺜﻼًدرﺷﻜﻞ)‪(A‬ﻛﻮﭘﻞ‪ M1‬دراﺛﺮﻧﻴﺮوﻫﺎي‪ F1‬وﻛﻮﭘﻞ ‪ M2‬دراﺛﺮ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ‪ F2‬در دو ﺻﻔﺤﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه ﻋﻤﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ اﻳﻦ دوﻛﻮﭘﻞ راﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺑﺮدارﺷﺎن)‪(M‬ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ در‬ ‫ﺷﻜﻞ)‪(B‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ ﺗﻌﻮﻳﺾ ﻛﺮد‪.‬اﻳﻦ ﺗﻌﻮﻳﺾ را ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻃﺮﻳﻖ اﻳﺠﺎد ﻛﻮﭘﻞ‪M‬از ﻧﻴﺮوي‪ F‬ﻛﻪ ﺗﺮﻛﻴﺐ‬ ‫ﺑﺮداري ‪ F1‬و ‪ F2‬ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺄﺋﻴﺪﻛﺮد‪.‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪24‬‬ ‫اﻧﺘﻘﺎل ﺑﺮدارﻧﻴﺮو‪:‬‬ ‫ﻳﻚ ﻛﻮﭘﻞ ﻣﺸﺨﺺ وﻳﻚ ﻧﻴﺮو را ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﻪ ﻛﻮﭘﻞ واﻗﻊ اﺳﺖ را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﻴﺮوي واﺣﺪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮد‪.‬‬

‫‪-F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪O‬‬

‫=‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪M=Fd‬‬

‫‪ra‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫=‬

‫‪ra‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪O‬‬

‫‪A‬‬

‫ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎي ﻧﻴﺮو‪:‬‬ ‫در ﺷﻜﻞ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در زﻳﺮ ﻫﺮ ﻧﻴﺮوي‪F‬راﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻣﻮازات ﺧﻮدﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ دﻟﺨﻮاه‪O‬اﻧﺘﻘﺎل داد‪.‬‬ ‫ﻣﺸﺮوط ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ اﻧﺪازه ﻧﻴﺮو ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺎﻧﺪه وﻳﻚ ﻛﻮﭘﻞ‪ Fd‬ﻛﻪ درآن‪ d‬ﺑﺎزوي ﮔﺸﺘﺎوراز‪ O‬ﺗﺎﻣﻮﻗﻌﻴﺖ اﺑﺘﺪاﺋﻲ‪ F‬ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ آن اﺿﺎﻓﻪ ﮔﺮدد‪.‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪F1‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪R‬‬

‫‪M3‬‬

‫‪F2‬‬ ‫‪M2‬‬ ‫‪M1‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪R2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪F3‬‬

‫‪O‬‬

‫‪F3‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪R3‬‬

‫‪R = ∑F = F1 + F2 + ...‬‬ ‫)‪M = ∑m1 + m 2 + ... = ∑(r × F‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪25‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﻣﺘﻮازي‪:‬‬ ‫واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﻣﺘﻮازي داراي ﻣﻘﺪاري ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﻋﺪدي ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎ ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﺧﻂ اﺛﺮ ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﻴﻪ وارﻳﻨﻮن ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ‪.‬ﭼﻮن ﮔﺸﺘﺎور ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﺣﻮل ﻫﺮﻣﺤﻮري ﻣﻲ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﮔﺸﺘﺎوري ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎي آﻧﺤﻮل ﻫﻤﺎن ﻣﺤﻮر ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪R = F1 + F2 + F3‬‬ ‫‪x R = F1x1 + F2 x 2 + F3 x 3‬‬ ‫‪y R = F1y1 + F2 y 2 + F3 y 3‬‬ ‫‪R = ∑F‬‬

‫) ‪∑(Fx‬‬ ‫‪R‬‬ ‫) ‪∑(Fy‬‬ ‫‪R‬‬

‫ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﭘﻴﭻ ﮔﻮﺷﺘﻲ وار‪:‬‬

‫=‪x‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‪M‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪M2‬‬

‫‪M1‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪M‬‬

‫‪O‬‬

‫‪O‬‬

‫‪M‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪O‬‬

‫‪R‬‬

‫‪M1‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪-R‬‬

‫در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ ﺑﺮدار ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﻛﻮﭘﻞ ﻫﺎ‪ M‬ﺑﻪ ﻣﻮازات ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﻧﻴﺮوﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﺑﺮاﻳﻨﺪﭘﻴﭻ ﮔﻮﺷﺘﻲ وار ﺧﻮاﻧﺪه‬ ‫ﻣﻴﺸﻮد‪.‬ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻴﺮو را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻳﻚ ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﭘﻴﭻ ﮔﻮﺷﺘﻲ وارﻛﻪ در اﻣﺘﺪاد ﺧﻂ اﺛﺮ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻔﺮدي ﻋﻤﻞ ﻣﻲ‬ ‫ﻛﻨﺪ‪،‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮد‪.‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪26‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺑﺮﺗﻴﺮ ﻣﺸﺒﻜﻲ ﺑﻪ وزن‪40KN‬دوﻛﺎﺑﻞ ﻛﻪ ﻧﻴﺮوي ﻛﺸﺸﻲ ﻫﺮ ﻛﺪام ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ‪ 18KN‬ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﻜﻞ اﺛﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﻧﻴﺮوي وارد ﺑﺮ ﺗﻴﺮ ﻣﺸﺒﻚ وﻧﻘﻄﻪ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻣﺘﺪاد اﺛﺮ ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﺑﺎ ﺧﻂ ‪AB‬‬

‫‪F1 = F2 = 15.59i - 9j‬‬ ‫‪R = ∑ F = -40j + 15.59i - 9j + 15.59i - 9j = 31.2i - 58j‬‬ ‫‪R = (31.2)2 + (58)2 = 65.86KN‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪) = 61.7o‬‬ ‫‪31.2‬‬

‫)‪+ (7i + 24 j) × (15.59i - 9j‬‬

‫(‪θ = tan-1‬‬

‫‪∑ MA = 0‬‬

‫‪M AR = (31.2) × (36) + (31.2) × (24) + (58) × (7) = 1318KN.M‬‬ ‫)‪M AR = ∑ r × F = (8)i × (-40)j + (36)j × (15.59i - 9j‬‬ ‫‪- 58xk = -1.318k ⇒x = 22.7‬‬

‫روش دوم‪:‬‬

‫‪M AR = (-320 - 561 - 63 - 374)k = (-1.318KN. M)k‬‬ ‫‪r × R = M RA ⇒( x)i × (31.2i - 58j) = -1.318k‬‬ ‫‪F × d = M AR‬‬ ‫‪15 .59 × 36 + 15 .59 × 24 + 9 × 7 + 40 × 8 = 58 x‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪1318 = 58 x ⇒ x 22.7‬‬

‫‪R‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪Rx‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪Ry‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫‪mra‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪27‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻮﭘﻞ ﻧﻴﺮو در ﻧﻘﻄﻪ‪A‬ﺷﺎﻣﻞ ﻧﻴﺮوي‪ F‬ﺑﻪ ﻣﻘﺪار ‪ 25N‬و ﻛﻮﭘﻞ‪ MA‬ﺑﻪ ﮔﺸﺖ آور ‪ 250N.M‬ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬اﻳﻦ‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻮﭘﻞ ﻧﻴﺮو را ﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻮﭘﻞ ﻧﻴﺮوي ﻣﻌﺎدل در ﻧﻘﻄﻪ‪ D‬ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪D6‬‬ ‫‪0‬‬

‫و‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ = 25m‬و‬

‫‪F = 25N‬‬ ‫و‬ ‫‪AC = 15m‬‬ ‫و‬ ‫‪M A = 250N.m‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪C0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪B 20‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪A0‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪AB = 9i + 20 j - 12k‬‬ ‫‪F = 9i + 20j - 12k‬‬ ‫‪AC = 9i - 12k‬‬ ‫‪MA = 150i - 200k‬‬ ‫‪MD = M A + S × F‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪S = DA = -12i - 6j + 12k‬‬

‫‪ijk‬‬ ‫‪MD = MA + - 12 - 612 = MA + (72 - 240)i + (108 - 144)j + (-240 + 54)k‬‬ ‫‪920 - 12‬‬ ‫ﻛﻮﭘﻞ ﻧﻴﺮوي ﺳﻴﺴﺘﻢ در ﻧﻘﻄﻪ‪D‬‬

‫‪M D = (1500i - 200k) - 168i - 36j - 180k‬‬ ‫‪M D = -18i - 36j - 386k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F = 9i + 20j - 12k‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪28‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﺗﻌﺎدل اﺟﺴﺎم ﺻﻠﺐ‪:‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﺗﻌﺎدل و ﻳﺎ ﺳﻜﻮن آن اﺳﺖ ﻛﻪ ذره و ﻳﺎ ﺟﺴﻢ ﻣﺎدي ﺣﺮﻛﺘﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻟﺬا وﻗﺘﻲ ﻛﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎي‬ ‫ﺧﺎرﺟﻲ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﺻﻔﺮ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ دﻫﻨﺪ ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻨﺪ ﻛﻪ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ در ﺣﺎل ﺗﻌﺎدل اﺳﺖ‪.‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺷﺮط‬ ‫ﻻزم ﻛﺎﻓﻲ ﺑﺮاي ﺗﻌﺎدل ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪∑MO = ∑(r × F ) = 0‬‬

‫‪∑F‬‬ ‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪z‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪z‬‬

‫‪∑F = 0‬‬

‫و‬

‫‪∑F‬‬ ‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪y‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪y‬‬

‫‪∑F‬‬ ‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻧﻤﻮدار ﺟﺴﻢ آزاد‪:‬‬ ‫ﻧﻤﻮدارﻫﺎي ﺟﺴﻢ آزاد را در ﻓﺼﻮل ﻗﺒﻞ ﺑﻪ ﻛﺮات ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮدﻳﻢ‪،‬ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ اﻫﻤﻴﺖ اﻳﻦ ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ روش‬ ‫ﺗﺮﺳﻴﻢ را در زﻳﺮ ﻣﻲ آورﻳﻢ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺟﺴﻢ آزاد ﻣﻨﺘﺨﺐ را ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺨﺺ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ و ﺳﭙﺲ اﻳﻦ ﺟﺴﻢ را از ﺑﻴﻦ و ﺗﻤﺎم اﺟﺴﺎم دﻳﮕﺮ ﺟﺪا‬ ‫ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ و ﺑﻌﺪ ﻃﺮح ﻛﻠﻲ ﺟﺪا ﺷﺪه را ﺗﺮﺳﻴﻢ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻫﻤﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﺧﺎرﺟﻲ را روي ﻧﻤﻮدار ﺟﺴﻢ آزاد ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻴﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ ﺑﺰرﮔﻲ و راﺳﺘﺎي ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﺧﺎرﺟﻲ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﺧﺎرﺟﻲ ﻣﺠﻬﻮل ﻛﻪ ﻣﻌﻤﻮﻻً ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻠﻬﺎﻳﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﺟﺴﺎم دﻳﮕﺮ ﺑﺎ ﻣﺨﺎﻟﻔﺖ ﺑﺎ ﺣﺮﻛﺖ ﺟﺴﻢ آزاد از‬ ‫ﺧﻮد ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻨﺪ‪.‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪29‬‬ ‫ﻧﻴﺮوﻫﺎي اﺗﺼﺎﻟﻲ و ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﻧﻮع ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎه‬

‫ﺗﻌﺪاد‬

‫اﺛﺮﺑﺮروي ﺟﺰء ﻣﻨﻔﺼﻞ ﺷﺪه‬

‫ﻣﺠﻬﻮﻻت‬ ‫‪.1‬ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎه ﻏﻠﺘﻜﻲ‬

‫ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎﻫﻬﺎي‬ ‫ﻏﻠﺘﻜﻲ‪،‬ﭼﺮﺧﻲ‪،‬ﺳﺎﭼﻤﻪ اي‬

‫‪1‬‬

‫وﺳﺎﻳﺮاﻧﻮاع ﻛﻪ درﺷﻜﻞ ﻧﺸﺎن‬ ‫داده ﺷﺪه اﺳﺖ ﻧﻴﺮوي ﻓﺸﺎري‬ ‫وﻋﻤﻮدﺑﺮﺳﻄﺢ ﺗﻤﺎس رااﻧﺘﻘﺎل‬ ‫ﻣﻲ دﻫﻨﺪ‪.‬‬

‫‪ .2‬اﺗﺼﺎل ﻣﻔﺼﻠﻲ ﺑﺎﺧﺎرﻣﻐﺰي‬

‫ﻳﻚ اﺗﺼﺎل ﻣﻔﺼﻠﻲ ﻛﻪ آزادي‬ ‫ﮔﺮدش داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪﻧﻴﺮو‬

‫‪2‬‬

‫ﻳﻲ درﻫﺮاﻣﺘﺪادوﺟﻬﺖ درﺻﻔﺤﻪ‬ ‫ﻋﻤﻮد ﺑﺮﻣﺤﻮرﺧﺎررااﻧﺘﻘﺎل‬ ‫دﻫﺪ‪.‬ﻟﻮﻻﺋﻲ ﻛﻪ آزادي‬ ‫ﮔﺮدﺷﻨﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫ﺗﺤﺖ ﺗﺎﺛﻴﺮﻳﻚ ﻛﻮﭘﻞ ﻧﻴﺰﺑﺎﺷﺪ‬

‫‪RX‬‬

‫‪RX‬‬ ‫‪RY‬‬

‫‪RX‬‬

‫‪RY‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪30‬‬ ‫‪ .3‬اﺗﺼﺎل ﮔﻴﺮدار‬

‫ﻳﻚ اﺗﺼﺎل ﮔﻴﺮدارﻣﻲ‬

‫ﺗﻮاﻧﺪﻧﻴﺮوﺋﻲ ﻣﺤﻮري ‪F‬‬ ‫وﻧﻴﺮوﺋﻲ)ﺑﺮﺷﻲ(‪ V‬وﻛﻮﭘﻞ‪M‬ﻛﻪ‬ ‫درﻣﻘﺎﺑﻞ ﭼﺮﺧﺶ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻣﻲ‬

‫‪3‬‬

‫ﻛﻨﺪراﺗﺤﻤﻞ ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ .4‬ﻛﺎﺑﻞ‪،‬ﺗﺴﻤﻪ‪،‬زﻧﺠﻴﺮو‬

‫ﻧﻴﺮوﺋﻲ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﻛﺎﺑﻞ‬ ‫اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﻳﺮ اﻋﻤﺎل ﻣﻲ‬ ‫ﺷﻮد‪.‬ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ‬

‫‪1‬‬

‫ﻧﻴﺮوي ﻛﺸﺸﻲ درﺟﻬﺖ‬ ‫ﮔﺮﻳﺰازﺟﺴﻢ ودراﻣﺘﺪادﻣﻤﺎس‬ ‫ﺑﺮﻛﺎﺑﻞ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪31‬‬ ‫ﻧﻮع ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎه‬

‫ﺗﻌﺪاد‬

‫اﺛﺮﺑﺮروي ﺟﺰء ﻣﻨﻔﺼﻞ ﺷﺪه‬

‫ﻣﺠﻬﻮﻻت‬ ‫ﻧﻴﺮوي ﺗﻤﺎس ﻫﻤﻮاره ﻓﺸﺎري‬

‫ﺳﻄﻮح ﺻﻴﻘﻠﻲ‬

‫اﺳﺖ وﻋﻤﻮدﺑﺮﺳﻄﺢ ﺗﻤﺎس‬

‫‪1‬‬

‫‪N‬‬ ‫ﺳﻄﻮح زﺑﺮﻗﺎﺑﻠﻴﺖ ﺗﺤﻤﻞ ﻳﻚ‬

‫ﺳﻄﻮح زﺑﺮ‬

‫ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻣﻤﺎﺳﻲ ﻧﻴﺮوﻳﻌﻨﻲ ‪F‬‬

‫‪2‬‬

‫)ﻧﻴﺮوي اﺻﻄﻜﺎك(از ﺑﺮاﻳﻨﺪ ﻧﻴﺮوي‬ ‫ﺗﻤﺎس‪ R‬راﻧﻴﺰﻋﻼوه ﺑﺮﻣﻮﻟﻔﻪ‬ ‫ﻋﻤﻮدي‪N‬داراﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪N‬‬

‫ﻳﻚ اﺗﺼﺎل ﺳﺎﭼﻤﻪ اي ﻧﻴﺮوﺋﻲ‬

‫اﺗﺼﺎل ﺳﺎﭼﻤﻪ اي‬

‫‪z‬‬

‫رادرﻫﺮﺟﻬﺖ ﺗﺤﻤﻞ ﻣﻴﻨﻤﺎﻳﺪ‪.‬ﻳﻚ‬ ‫اﺗﺼﺎل ﺟﻮش ﺷﺪه ﺳﺎﭼﻤﻪ اي‬

‫‪3‬‬

‫ﻛﻮﭘﻞ راﻧﻴﺰﺗﺤﻤﻞ ﻣﻲ‬ ‫ﺑﻌﻼوه ﻳﻚ‪Rz‬‬

‫‪y‬‬

‫ﺳﻄﺢ ﻧﺎﺻﺎف‬

‫‪M‬‬

‫ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫‪Ry‬‬

‫‪Rx‬‬ ‫‪Rx‬‬

‫‪x‬‬ ‫اﺗﺼﺎل آزاد‬

‫اﺗﺼﺎل ﺟﻮش‬

‫ﺷﺪه‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪32‬‬ ‫ﻧﻴﺮوي وارده ﺑﺮﻓﻨﺮدرﺻﻮرﺗﻴﻜﻪ‬

‫ﻋﻤﻞ ﻓﻨﺮ‬

‫ﻛﺸﻴﺪه ﺷﻮدﻛﺸﺸﻲ ودرﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ‬ ‫ﻓﺸﺮده ﺷﻮدﻓﺸﺎري اﺳﺖ‪.‬ﺑﺮاي‬ ‫ﻳﻚ ﻓﻨﺮ ارﺗﺠﺎﻋﻲ ﺑﺎاﻻﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ‬

‫‪F‬‬

‫ﺧﻄﻲ ‪،‬ﺳﺨﺘﻲ ‪K‬ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪازﻧﻴﺮوي‬ ‫ﻻزم ﺑﺮاي ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻃﻮل آن ﺑﻪ اﻧﺪازه‬

‫‪x‬‬

‫واﺣﺪ‬

‫‪F‬‬

‫ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎﻳﻲ از ﺗﺮﺳﻴﻢ آزاد‪:‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺳﺎزه‬

‫ﻧﻤﻮدارﺟﺴﻢ آزاد‬ ‫‪ .1‬ﺧﺮﭘﺎي ﻣﺴﻄﺢ‬

‫‪P‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪Ax‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪By‬‬

‫‪A‬‬

‫‪Ay‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

33 ‫ دﻛﻞ ﻓﻀﺎﺋﻲ‬.2

x Tc Rz

A Rz

C B

z

y

Tb Tb

Ry

W=m.g

Ry

Tc

W=m.g

‫ ﺗﻴﺮ‬.3

m

N

P P

Bx

w By

‫ ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺳﺎزه ﺻﻠﺐ ﻣﺘﺸﻜﻞ از ﭼﻨﺪ ﻋﻀﻮ‬.4 P

P

My

m

Bx Ay

Copyright by: www.afshinsalari.com

By

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪34‬‬ ‫ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻫﺎي ﻧﺎ ﻣﻌﻴﻦ از ﻟﺤﺎظ اﺳﺘﺎﺗﻴﻜﻲ ـ ﺗﻴﺮﻫﺎي ﻧﺎﻗﺺ‪:‬‬ ‫‪ =3=r‬ﻣﻌﺎدﻻت ‪ =R‬ﻣﺠﻬﻮﻻت‬ ‫ﻧﺎ ﻣﻌﻴﻦ‬

‫⇒‪R >3‬‬

‫‪R = 4 >3⇒n = 4-3 =1‬‬ ‫ﻧﺎ ﭘﺎﻳﺪار)ﻣﻘﻴﺪ ﻧﺎﻗﺺ(‬

‫⇒‪R <3‬‬

‫‪R =2<3‬‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ‬

‫⇒‪R =3‬‬

‫‪R =3=3⇒n =3-3=0‬‬

‫درﺣﺎﻟﺖ ﺳﻪ ﺑﻌﺪي ﺗﻌﺪاد ﻣﻌﺎدﻻت ﺷﺶ ﻋﺪد اﺳﺖ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻛﻤﺘﺮ از ﺷﺶ ﻋﺪد ﻣﺠﻬﻮل داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻤﺎﺳﺘﺤﻜﺎم‬ ‫ﻧﺎﻗﺺ اﺳﺖ واﮔﺮﻣﺠﻬﻮﻻت ﺑﻴﺸﺘﺮ از ﺷﺶ ﻋﺪد ﺑﺎﺷﺪ اﺳﺘﺤﻜﺎم ﻧﺎ ﻣﻌﻴﻦ اﺳﺖ واﮔﺮ ﺗﻌﺪاد ﻣﺠﻬﻮﻻت ﺷﺶ ﻋﺪد‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ ﻣﺴﺎوي ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻌﻴﻦ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ‬

‫⇒‪R = 6‬‬

‫ﻧﺎ ﻣﻌﻴﻦ‬

‫⇒‪R > 6‬‬

‫ﻧﺎ ﭘﺎﻳﺪار‬

‫⇒‪R < 6‬‬

‫در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ ﻣﺠﻬﻮﻻت ﺷﺶ ﻋﺪد ﺑﺎﺷﻨﺪ وﻟﻲ ﻫﻤﻪ ﻣﻮازي ﺑﺎﺷﻨﺪ وﻳﻌﻨﻲ در ﺻﻔﺤﻪ ﻗﺮار دارﻧﺪ اﻳﻦ ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل ﻧﻴﺴﺖ‬ ‫ﺑﺮاي ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ دو ﺑﻌﺪي ‪:‬‬ ‫ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻫﺎي ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎﻫﻲ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻧﻮع ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎه ﻳﻚ ﻳﺎ دو وﻳﺎﺳﻪ ﻣﺠﻬﻮﻟﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‬

‫ﻟﺬا ﺑﺮاي ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت زﻳﺮ را ﻣﻲ ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪.‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪35‬‬ ‫‪ (1‬ﺳﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي ﺗﻌﺎدل‬

‫‪∑Fx = 0, ∑MA = 0, ∑MB = 0‬‬ ‫‪∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑MO = 0‬‬

‫ﻛﻪ ﻧﻘﻄﻪ ي ‪ B‬در آن ﻃﻮري اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮدﻛﻪ ﺧﻂ ‪ AB‬ﻣﻮازي ﺑﺎ ﻣﺤﻮر‪ y‬ﻧﺒﺎﺷﺪوﻳﺎ ‪ ∑MO = 0‬و ‪∑MB = 0‬‬ ‫و ‪ ∑MA = 0‬ﻛﻪ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎي ‪C,B,A‬روي ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺗﻴﺮ ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ ‪ 9M‬ﻣﺘﺮي داراي ﺟﺮﻣﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪200kg‬ﻛﻴﻠﻮ ﮔﺮم ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪودر ﺻﻔﺤﻪ ﻗﺎﺋﻢ ﺗﻮﺳﻂ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﻣﻮازي ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ ﺑﺎر ﮔﺬاري ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻫﺎي ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎﻫﻬﺎي ﻣﻔﺼﻠﻲ ﻣﺘﺤﺮك در‪B,A‬را‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫‪Ay‬‬

‫‪Ax‬‬

‫‪W = m.g = 200 ×10 = 2000 N = 2 KN‬‬ ‫⇒ ‪+ ∑MA = 0‬‬ ‫‪- B y × 3 + 2 × 3.5 - 2 × 6 + 1× 8 - 3 × 5 = 0‬‬ ‫‪B y = 6 KN‬‬ ‫‪+ ↑ ∑ Fy = 0‬‬ ‫→ ‪- A y + 6 - 2 - 3 + 2 -1 = 0‬‬ ‫‪+ → ∑ Fx = 0 ⇒ Ax = 0‬‬ ‫‪cont = + ↑ ∑ M B = 0 ⇒ -2 × 3 + 2 × 0.5 + 3 × 2 - 2 × 3 + 1× 5 = 0‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪36‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺗﻴﺮ ﺗﻠﻔﻨﻲ ﺑﻪ وزن‪ 300Lb‬ﺑﺮاي ﻧﮕﻬﺪاري دو اﻧﺘﻬﺎي ﺳﻴﻢ ﺑﻜﺎر ﺑﺮده ﺷﺪه ﻛﺸﺶ در ﺳﻴﻢ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ‪ 80‬ﭘﻮﻧﺪو اﻣﺘﺪاد‬ ‫آن ﺑﺎ اﻓﻖ زاوﻳﻪ ‪ 10o‬ﻣﻲ ﺳﺎزد)‪(a‬ﻫﺮ ﮔﺎه ﻛﺸﺶ ﺳﻴﻢ ‪ T2‬ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻌﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ در ﻧﻘﻄﻪ‪ A‬را‬ ‫)‪(b‬ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ و ﻛﻤﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪار ‪ T2‬را ﻫﺮﮔﺎه ﻣﻘﺪار ﻛﻮﭘﻞ وارد ﺑﺮ ﻧﻘﻄﻪ‪ A‬ﺑﻴﺶ از ‪ 600Lb - ft‬ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬

‫‪Ax‬‬ ‫‪Ma‬‬ ‫‪Ay‬‬

‫‪T2 = 0‬‬ ‫‪Ax - 80cos10 o = 0 ⇒Ax = 78.8 Lb‬‬

‫‪+ → ∑Fx = 0‬‬

‫↑ ‪Ay - 300 - 80(sin10 o ) = 0 ⇒Ay = 314 Lb‬‬

‫‪+ ↑∑Fy = 0‬‬

‫⇒ ‪M A + 80(cos 10 o ) × (16 ft ) = 0‬‬

‫‪+ ∑M A = 0‬‬

‫‪M A = -1260Lb - ft‬‬ ‫‪M A = 1260 Lb - ft‬‬

‫‪M A = 1260Lb - ft‬‬

‫‪T2 ≠0‬‬

‫‪(80 cos10 o )(16 ft ) - (T2 cos 20 o )(16 ft ) + M A = 0‬‬ ‫‪1260 - T2 cos 20 o ×16 ± 600 Lb - ft = 0‬‬ ‫‪T2 = 43.9 Lb, T2 = 1273.7 Lb‬‬

‫‪+ ∑M A = 0‬‬

‫ﮔﺸﺖ آور ﺣﻮل ﻧﻘﻄﻪ‪A‬ﻛﻮﭼﻜﺘﺮاز ‪ + 600Lb - ft‬اﺳﺖ وﻗﺘﻲ ﻛﻪ‬ ‫‪43.9 Lb ≤T2‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪37‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻌﺎدل ﺑﺮاي ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ دو ﺑﻌﺪي ‪:‬‬ ‫ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻫﺎي ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎﻫﻲ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻧﻮع ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎه –ﻳﻚ ﻳﺎ دو ﻳﺎ ﺳﻪ ﻣﺠﻬﻮﻟﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻟﺬا ﺑﺮاي ﺣﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬

‫را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ را ﻣﻲ ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪.‬‬

‫‪ (1‬ﺳﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي ﺗﻌﺎدل‬

‫‪P‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪Ax‬‬ ‫‪Ay‬‬

‫‪By‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪y‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪By × L − P × L 2 = 0‬‬

‫‪Ay + P 2 − P = 0‬‬

‫↑ ‪By = P 2‬‬

‫↑ ‪Ay = P 2‬‬

‫اﻣﺎ ﺑﻪ ﻏﻴﺮ از اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﭼﻨﺪ ﻣﻮرد ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻌﺎدل دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ‬

‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪x‬‬

‫‪Ax = 0‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪P‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪X‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪B‬‬

‫‪∑m‬‬

‫و‬

‫‪=0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪∑m‬‬

‫‪- Ay × L + P × L 2 = 0‬‬

‫‪By × L − P × L 2 = 0‬‬

‫↑ ‪Ay = P 2‬‬

‫↑ ‪By = P 2‬‬

‫و‬

‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪x‬‬

‫‪Ax = 0‬‬

‫اﻣﺎ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ ﻛﺮد ﻛﻪ ﻧﻘﻄﻪ ‪ B‬ﺑﺎﻳﺪ ﻃﻮري اﻧﺘﺨﺎب ﮔﺮددﻛﻪ ﺧﻂ ‪ AB‬ﻣﻮازي ﺑﺎ ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫اﺷﺘﺒﺎه‬

‫‪=0‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪∑m‬‬

‫و‬

‫‪=0‬‬

‫‪A‬‬

‫و‬

‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻟﺬا ﻣﻔﻬﻮم ﺗﻌﺎدل ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﮔﺮدد‪.‬‬

‫ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫اﺷﺘﺒﺎه‬

‫)‪1‬‬

‫‪∑m‬‬ ‫‪∑m‬‬ ‫‪∑F‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪O‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪B‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪38‬‬ ‫)‪2‬‬

‫‪∑F‬‬ ‫‪∑m‬‬ ‫‪∑m‬‬

‫اﺷﺘﺒﺎه‬

‫‪=0‬‬

‫ﺻﺤﻴﺢ‬

‫‪=0‬‬

‫‪O‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪B‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪y‬‬

‫‪∑m‬‬ ‫‪∑m‬‬ ‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪B‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻌﺎدل ﺑﺮاي اﺟﺴﺎم ﺳﻪ ﺑﻌﺪي ‪:‬‬ ‫در ﺣﺎﻟﺖ ﺳﻪ ﺑﻌﺪي ﺗﻌﺪاد ﻣﻌﺎدﻻت ﺷﺶ ﻋﺪداﺳﺖ‪.‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪z‬‬

‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪y‬‬

‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪∑m‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺑﺮ روي ﻛﺎﺳﻪ ﺳﺎﭼﻤﻪ ﻣﺘﻜﻲ ﺑﻮده و ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ دو ﻛﺎﺑﻞ‬

‫ﺻﻔﺤﻪ اي ﻫﻤﮕﻦ ﺑﻪ اﺑﻌﺎد ‪ 8 × 5‬ﺑﻪ وزن‪ 270N‬در ﻧﻘﻄﻪ‪A‬‬

‫ﻧﮕﻬﺪاري ﻣﻲ ﺷﻮد‪،‬ﻣﻌﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﺸﺶ در ﻫﺮ ﻛﺎﺑﻞ و ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ در ﻧﻘﻄﻪ‪ A‬را‪.‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪G4‬‬ ‫‪-8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪F3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪E0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪D-5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪C -5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪B0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪A0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪TEF = TEF (- i + j + k‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 1 2‬‬ ‫‪TBG = TBG (- i +‬‬ ‫) ‪j - k ) = TBG (- i + j - k‬‬ ‫‪12 12 12‬‬ ‫‪3 3 3‬‬ ‫‪+ ↑∑M A = 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(4i ) × (-270j) + (6i) × (- i + j + k )TEF‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2 1 2‬‬ ‫‪+ (8i ) × (- i + j - k )TBG = 0‬‬ ‫‪3 3 3‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

39 ⇒-1080k +

18 12 8 16 TEF k - TEF j + TBG k + TBG j = 0 7 7 3 3

12 16 TEF + TBG = 0 7 3 18 2 TEF + TBG - 1080 = 0 7 3

TEF = 315 N

-

TBG = 101.3 N

∑F = 0 ⇒A + T

EF

+ TBG - 270j = 0

6 3 2 Ax i + Ay j + Az k + 315(- i + j + k ) 7 7 7 2 1 2 + (101.3)(- i + j - k ) - 270j = 0 3 3 3

[Ax - 6 × 315 - 2 (101.3)]i + [Ay + 3 × 315 + 1 ×101.3 - 270 ] j 7

3 7 2 2 + [ Az + (315) - (101.3)]k = 0 7 3

3

Ax = 338 LbN

Ax - 270 - 67.5 = 0 A y + 135 + 33.8 - 270 = 0

Ay = 101.2 N

A Z + 90 - 67.5 = 0

Az = -22.5N :‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪﻣﻮﻟﻔﻪ ﻧﻴﺮوي ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎﻫﻲ واردﺑﺮﻗﺎب ﻣﺸﺒﻚ زﻳﺮ‬

+ ∑M A = 0 - 600 × 3 - 300 × 9 + G y × 9 = 0 ⇒G y = 500 N ↑ + ↑∑Fy = 0 G y + Ay = 0 ⇒Ay = -500 ⇒A y = 500 N ↓ cont : + ∑M G = 0 300 × 9 + 600 × 3 - 500 × 9 = 0

Copyright by: www.afshinsalari.com

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪40‬‬ ‫ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﮔﺴﺘﺮده‪:‬ﻣﺮﻛﺰﻫﺎي ﻫﻨﺪﺳﻲ و ﻣﺮﻛﺰﻫﺎي ﮔﺮاﻧﻲ‬ ‫ﮔﺮاﻧﻴﮕﺎه ﺟﺴﻢ دو ﺑﻌﺪي‬ ‫ﮔﺮاﻧﻴﮕﺎه ﻳﻚ ﺻﻔﺤﻪ‪:‬‬ ‫ﻳﻚ ورق ﺗﺨﺖ اﻓﻘﻲ را در ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ اﻳﻦ ورق را ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻪ‪ 8‬ﺟﺰء ﻛﻮﭼﻚ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﻣﺨﺘﺼﺎت‬

‫ﺟﺰء اول را ﺑﺎ‪x‬و‪ y‬و ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺟﺰء دوم را ﺑﺎ ‪y2 , x2‬‬ ‫ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻴﻢ و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﻧﺎﺷﻲ از اﺛﺮ زﻣﻴﻦ ﺑﺮ اﺟﺰاي ورق را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﺎ ‪ ∆Wn , ∆W2 , ∆W1‬ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻣﻲ دﻫﻴﻢ‪.‬‬

‫‪⇒ W = ∆W1 + ∆W2 + ... + ∆Wn‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪z‬‬

‫‪: x w = ∑ x∆w, ∑ Mx : yw = ∑ yw‬‬

‫‪y‬‬

‫‪: x w = x1∆w1 + x2 ∆w 2 + ... + xn ∆w n‬‬

‫‪y‬‬

‫‪: yw = y1∆w1 + y2 ∆w 2 + ... yn ∆w n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪∑M‬‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪∑M‬‬

‫اﮔﺮ ﺗﻌﺪاد اﺟﺰاء اﻓﺰاﻳﺶ ﻳﺎﺑﺪ و اﻧﺪازه ﻫﺮ ﺟﺰء را ﻛﺎﻫﺶ ﺑﺪﻫﻴﻢ ﻋﺒﺎرﺗﻬﺎي زﻳﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ‪.‬‬

‫‪x w = ∫ xdw, W = ∫ dw‬‬

‫‪yw = ∫ ydw,‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪41‬‬ ‫ﻣﺮﻛﺰﻫﺎي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺳﻄﻮح وﺧﻄﻮط‪:‬‬

‫‪= x A = x1∆A1 + x2 ∆A2 + ... + xn ∆ n‬‬

‫‪y‬‬

‫‪= yA = y1∆A1 + y2 ∆A2 + ... + yn ∆ n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪∑M‬‬ ‫‪∑M‬‬

‫‪x A = ∫ xdA‬‬

‫∫ = ‪yA‬‬ ‫‪ydA‬‬

‫∫ = ‪yL‬‬ ‫‪ydL‬‬ ‫∫ = ‪xL‬‬ ‫‪xdL‬‬ ‫ﮔﺸﺘﺎورﻫﺎي اول ﺳﻄﻮح وﺧﻄﻮط‪:‬‬

‫∫ = ‪Qx‬‬ ‫‪ydA‬‬

‫∫ = ‪Qy‬‬ ‫‪xdA‬‬

‫‪Qx = yA‬‬

‫‪Qy = x A‬‬

‫وﻗﺘﻲ ﺳﻄﺤﻲ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ A‬ﻳﺎ ﺧﻄﻲ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ L‬داراي ﻳﻚ ﻣﺤﻮر ﺗﻘﺎرن ﺑﺎﺷﺪ‪،‬ﮔﺸﺘﺎور اول آن ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ آن ﻣﺤﻮر ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪوﻣﺮﻛﺰﻫﻨﺪﺳﻲ اش ﺑﺮروي آن ﻣﺤﻮر ﻗﺮاردارد‪.‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪dA‬‬

‫‪P′‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪dA ′‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪dA‬‬

‫‪B‬‬

‫‪X‬‬

‫‪D′‬‬

‫‪D′‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪dA′‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B′‬‬ ‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪42‬‬ ‫اﮔﺮﺳﻄﺤﻲ ﻳﺎ ﺧﻄﻲ داراي دو ﻣﺤﻮرﺗﻘﺎرن ﺑﺎﺷﺪﻣﺮﻛﺰﻫﻨﺪﺳﻲ اش ‪ C‬ﺑﺎﻳﺪ در ﻣﺤﻞ ﺗﻼﻗﻲ در ﻣﺤﻮرﺗﻘﺎرن ﻗﺮارداﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﻄﺢ‪ A‬را ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ‪ O‬ﻣﺘﻘﺎرن ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻨﺪاﮔﺮﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺑﺎﻫﺮﺟﺰء ﺳﻄﺢ‪ dA‬ﺑﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت ‪ y,x‬ﻳﻚ ﺟﺰء ﺳﻄﺢ ‪ dA′‬ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت‪ -y,-x‬وﺟﻮدداﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪدراﻳﻦ ﺻﻮرت‬ ‫‪Qx = Qy = 0‬‬

‫ﻧﺎم ﺷﻜﻞ‬

‫ﺷﻜﻞ‬

‫‪X‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺖ‬

‫‪Y‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪3‬‬

‫رﺑﻊ داﻳﺮه‬

‫‪3π‬‬ ‫ﻧﻴﻢ داﻳﺮه‬

‫‪0‬‬

‫‪4r‬‬

‫‪bh‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3π‬‬

‫‪4r‬‬

‫‪3π‬‬

‫‪4r‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪πr 2‬‬

‫‪πr 2‬‬

‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫‪2‬‬

‫ﻧﻴﻢ ﺳﻬﻤﻲ‬

‫‪8‬‬ ‫ﺳﻬﻤﻲ‬

‫‪b‬‬

‫‪3a‬‬

‫‪0‬‬

‫‪h‬‬

‫‪b−h‬‬

‫‪3h‬‬

‫‪2ah‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3h‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4ah‬‬

‫اﺳﭙﺎﻧﺪرال‬ ‫ﺳﻬﻤﻲ‬

‫‪4‬‬

‫‪3a‬‬

‫‪10‬‬

‫‪3h‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ah‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪43‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻄﺤﻲ ﺻﻔﺤﻪ زﻳﺮ راﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬

‫‪yA‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪xA‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪34‬‬

‫‪16‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪12‬‬

‫ﺳﻄﺢ‬

‫‪I‬‬

‫∑‬

‫‪x ∑A = ∑x A ⇒x (12) = 16 ⇒x = 1.33m‬‬ ‫‪y ∑A = ∑yA ⇒y (12) = 34 ⇒y = 2.83m‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻄﺤﻲ ﺻﻔﺤﻪ زﻳﺮ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻌﻠﺖ ﺗﻘﺎرن ‪x = 0‬‬

‫‪yA‬‬ ‫‪144‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪2.54‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪56.6‬‬

‫‪-96‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪48‬‬

‫‪48‬‬

‫‪-‬‬

‫‪104.6‬‬

‫ﺳﻄﺢ‬

‫‪Ι‬‬ ‫∏‬

‫∑‬

‫‪I‬‬

‫‪CI‬‬

‫‪4 r 3π = 2.45‬‬

‫‪CII‬‬ ‫‪II‬‬

‫‪y ∑A = ∑y A ⇒y (104.6) = 48 ⇒y = 0.459 m‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺑﻌﻠﺖ ﺗﻘﺎرن‬

‫‪x=0‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

44

II ‫ﺳﻄﺢ‬

A

y

yA

60 × 15 = 900

7.5

6750

∏

45 × 45 = 2025

75937.5

III

− 25 × 35 = −875 2050

(45 + 15) = 37.5 2 35 ( + 15) = 32.5 2

I

∑

-28437.5 24250

y ∑A = ∑yA ⇒y × 2050 = 54250 ⇒y = 26.46cm

:‫ﻣﺜﺎل‬

I

II

‫ﺑﻌﻠﺖ ﺗﻘﺎرن‬

x=0

III IV

y ∑A = ∑yA ⇒y × 2950 = 98916.7 ⇒y =

‫ﺳﻄﺢ‬

I II

III IV

∑

∑yA = 98916.7 = 33.53cm ∑A 2950

A 60 × 30 = 1800 10 − 2 × 10 × = −100 2 15 × 30 = 450 80 × 10 = 800 2950

Copyright by: www.afshinsalari.com

y

yA

15

27000

10 = 3.33 3

-333.3

15+30=45

20250

5+60=65

52000 98916.7

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪45‬‬ ‫ﺑﺎرﻫﺎي ﮔﺴﺘﺮده روي ﺗﻴﺮﻫﺎ‬ ‫ﺑﺎرﮔﺴﺘﺮده وارد ﺑﺮ ﺗﻴﺮ ﺑﺮﺣﺴﺐ‬

‫ﺑﻴﺎن ﻣﻴﮕﺮددوﻟﺬاﺑﺰرﮔﻲ ﻧﻴﺮوي واردﺑﺮﻳﻚ ﺟﺰء ﺗﻴﺮ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ dx‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪Wdx = dA‬‬

‫)‪⇒ W = ∫ dA = A (1),(2‬‬ ‫‪W = ∫ L0 Wdx‬‬ ‫ﺣﺎل ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺑﺎر ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ‪ W‬ﺑﻪ ﻛﺠﺎي ﺗﻴﺮوﺑﺮاﻳﻨﺪﺑﺎرﻫﺎي ﮔﺴﺘﺮده‪ C‬وارد ﻣﻲ ﮔﺮددﺑﺮاي ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﻧﻘﻄﻪ‬

‫اﺛﺮ‪ P‬ﺑﺎرﻣﻌﺎدل ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ‪W‬ﮔﺸﺘﺎور‪ W‬ﺣﻮل ﻧﻘﻄﻪ ‪ O‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﮔﺸﺘﺎورﻫﺎي ﺑﺎرﻫﺎي ﺟﺰﺋﻲ ‪ dw‬ﺣﻮل ﻧﻘﻄﻪ‪O‬‬ ‫ﻗﺮار ﻣﻲ دﻫﻴﻢ‪:‬‬

‫)‪(1‬‬ ‫)‪(2‬‬

‫‪(θP )W = ∫ xdW‬‬

‫‪⇒ (OP) A = ∫ 0L xdA ⇒ x A = ∫ 0L xdA‬‬ ‫‪dW = Wdx = dA,W = A‬‬ ‫)‪(1),(2‬‬ ‫ﺑﻨﺎ ﺑﺮ اﻳﻦ ﺑﻪ ﺟﺎي ﺑﺎر ﮔﺴﺘﺮده وارد ﺑﺮ ﺗﻴﺮ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻳﻚ ﺑﺎر ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﻗﺮار داده‪،‬ﺑﺰرﮔﻲ اﻳﻦ ﺑﺎر ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﺳﻄﺢ‬ ‫زﻳﺮﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﺎر اﺳﺖ وﺧﻂ اﺛﺮش از ﻣﺮﻛﺰي آن ﺳﻄﺢ ﻋﺒﻮر ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻫﺎي ﺗﻜﻴﻪ ﮔﺎﻫﻲ ﺗﻴﺮ ﻫﺎي زﻳﺮرا‬

‫↑ ‪+ ∑ MA = 0 ⇒ B y × L − WL × L = 0 ⇒ B y = W L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ → ∑ Fx = 0 ⇒ Ax = 0‬‬ ‫↑ ‪+ ↑ ∑ Fy = 0 ⇒ Ay + W L − WL = 0 ⇒ Ay = W L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪+ ↓ cont : + ∑ M B = 0 ⇒ W‬‬ ‫× ‪× L − WL‬‬ ‫‪= 0 OK‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+ ∑ M A = 0 ⇒ +16 × 2 − M A = 0 ⇒ M A = 32 N .M‬‬ ‫‪+ ↑ ∑ F y = 0 ⇒ A y − 16 = 0 ⇒ A y = 16 N .M‬‬ ‫‪+ → ∑ Fx = 0 → Ax = 0 ⇒ + → cont = + ∑ M B = 0‬‬ ‫‪OK‬‬

‫‪⇒ 32 − 16 × 4 + 16 × 2 = 0‬‬

‫{‬

‫{‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫)‪(1‬‬

‫)‪(2‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪46‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪+ ∑ M A = 0 ⇒ −2 × 3 − 1× × 2 − 1.5 × 6 + B y × 5 = 0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+ ↑ ∑ Fy = 0 ⇒ Ay + 3.27 − 1 − 2 − 1.5 = 0 ⇒ Ay = 1.23 KN‬‬ ‫‪OK‬‬

‫‪+ ∑ M B = 0 ⇒ −1.23 × 5 + 1 × 4.33 + 2 × 2 − 1.5 × 1 = 0‬‬

‫↑ ‪B y = 3.27 KN‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 1.799‬‬ ‫‪3‬‬

‫×‪A1 = 2 × 1.233 − 1‬‬ ‫‪Or‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪A1 = 2 × 0.233 + × 1 × 2 = 1.799‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.233‬‬ ‫‪= 0.027‬‬ ‫× ‪A2 = 0.233‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.767‬‬ ‫‪= −1.56‬‬ ‫× ‪A3 = −1.767‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A4 = −1.767 × 1 = −1.767‬‬ ‫‪A5 = 1.5 × 1 = 1.5‬‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺎزه ﻫﺎ‬ ‫در ﻓﺼﻮل ﮔﺬﺷﺘﻪ ﺑﺎ ﺗﻌﺎدل ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﺗﻨﻬﺎ ﺳﺮوﻛﺎر داﺷﺘﻴﻢ وﻧﻘﻄﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﺧﺎرﺟﻲ واردﺑﺮﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ‬ ‫رادرﺑﺮﻣﻴﮕﺮﻓﺘﻨﺪﺣﺎﻻﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎي را در ﻧﻈﺮ ﺑﻪ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺗﻌﺎدل ﺳﺎزه ﻫﺎي ﻣﺘﺸﻜﻞ ازﭼﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ‬ ‫ﻣﺘﺼﻞ ﺳﺰوﻛﺎر دارﻧﺪ‪.‬در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎ ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﺧﺎرﺟﻲ واردﺑﺮ ﺳﺎزه را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﺮدﺑﻠﻜﻪ ﺑﺎﻳﺪﻧﻴﺮوﻫﺎي‬ ‫ﺧﺎرﺟﻲ واردﺑﺮﺳﺎزه راﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﺮد ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻧﻴﺮوﻫﺎﻳﻲ را ﻫﻢ ﻛﻪ ﻗﺴﻤﺖ ﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺳﺎزه را ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺘﺼﻞ ﻧﮕﻪ‬ ‫ﻣﻴﺪارﻧﺪ ﺑﻪ دﺳﺖ اورد‪.‬اﮔﺮﻛﻞ ﺳﺎزه ﻫﺎ رادرﻧﻈﺮﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪،‬اﻳﻦ ﻧﻴﺮوﻫﺎراﻧﻴﺮوﻫﺎي داﺧﻠﻲ ﻣﻴﻨﺎﻣﻨﺪ‪.‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪47‬‬ ‫اﻧﻮاع ﺳﺎزه ﻫﺎي ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﻣﻮردﺑﺮرﺳﻲ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺧﺮﭘﺎﻫﺎ‬

‫‪ (2‬ﻗﺎﺑﻬﺎ‬

‫‪ (3‬ﻣﺎﺷﻴﻨﻬﺎ‬

‫اﻧﻮاع ﺧﺮﭘﺎﻫﺎ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺧﺮﭘﺎﻫﺎي ﺳﺎزه‪:‬ﺳﺎزه ﻫﺎﺋﻲ ﻛﻪ از زﻳﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻨﻴﺎدي ﻣﺜﻠﺜﻲ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪه اﻧﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎي ﻣﻔﺼﻠﻲ و ﻳﺎ ﺧﺮﭘﺎﻫﺎي‬ ‫ﺳﺎده ﺧﻮاﻧﺪه ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬

‫‪ (2‬ﺧﺮﭘﺎﻫﺎي ﻣﺮﻛﺐ‪:‬از ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻳﻜﺴﺮي ﺧﺮﭘﺎﻫﺎي ﺳﺎده ﻛﻪ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ﻳﻜﺴﺮي اﻋﻀﺎء ﺑﻪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻣﺘﺼﻞ ﮔﺮدﻳﺪه اﻧﺪ‪.‬‬

‫(ﺧﺮﭘﺎﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ)ﭘﻴﭽﻴﺪه(‪:‬ﺧﺮﭘﺎﻫﺎﺋﻲ ﻛﻪ ﻧﻪ ﺳﺎده ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻧﻪ ﻣﺮﻛﺐ‪.‬‬

‫‪8=8‬‬ ‫‪M + R > 2 j ⇒n = ( M + R ) - Lj‬‬ ‫‪M + R = 2j ⇒n = 0‬‬

‫‪M =4‬‬ ‫‪j=4‬‬ ‫‪R=3‬‬ ‫‪M +3< 2j‬‬ ‫‪4+3<8‬‬

‫‪M =3‬‬ ‫‪j=3‬‬ ‫‪R=3‬‬ ‫‪M +3< 2j‬‬

‫‪M + R < 2j ⇒n < 0‬‬ ‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ‪1‬‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

‫‪48‬‬ ‫روش ﻫﺎي آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺧﺮﭘﺎﻫﺎ‪:‬‬

‫‪(1‬روش ﻣﻔﺼﻞ)ﺗﻌﺎدل ﻣﻔﺎﺻﻞ(‪:‬‬ ‫در ﻣﻴﻠﻪ ﻫﺎي ﺧﺮﭘﺎ‪،‬در ﻳﻚ ﻋﻀﻮ ﻳﺎ ﻧﻴﺮوي ﻛﺸﺸﻲ وﺟﻮد دارد و ﻳﺎ ﻧﻴﺮوي ﻓﺸﺎري ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﻧﻴﺮوي ﻣﺤﻮري‬ ‫در اﻣﺘﺪاد ﻣﻴﻠﻪ وﺟﻮد دارد و ﻣﻴﻠﻪ ﻟﻨﮕﺮ را ﺗﺤﻤﻞ ﻧﻤﻲ ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫‪M = 9, j = 6, R = 3 ⇒ M + 3 = 2 j ⇒ 9 + 3 = 12 = 2 × 6 = 12‬‬

‫ﻣﻌﻴﻦ داﺧﻠﻲ و از ﻟﺤﺎظ ﺧﺎرﺟﻲ ﻧﻴﺰ ﻣﻌﻴﻦ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪+ → ∑ Fx = 0 ⇒ Ax = 0‬‬

‫⇒‪=0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫↑ ‪−10 × 5 + C y ×10 = 0 ⇒ C y = 5 N‬‬ ‫‪+∑M‬‬

‫⇒ ‪+ ↑ ∑ Fy = 0‬‬ ‫↑ ‪Ay + 5 −10 = 0 ⇒ Ay = 5 N‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪5 ×10 −10 × 5 = 0‬‬ ‫‪cont : + ∑ M‬‬

‫‪Copyright by: www.afshinsalari.com‬‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

49 ‫ﺗﻌﺎدل ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‬

+ ↑ ∑ Fy = 0 ⇒

A‫ﮔﺮه‬:

− FAF sin 60o + 5 = 0 ⇒ FAF = 5.77 N + ↑ ∑ Fx = 0 ⇒ − FAF cos 60o + FAB = 0 ⇒ FAB = 2.88 N

F EF FFA

F FB

+ ↑ ∑ Fy = 0 ⇒

‫ﻓﺸﺎري‬ ‫ﻛﺸﺸﻲ‬

F‫ﮔﺮه‬:

5.77 sin 60 o − FFB sin 60 o = 0 ⇒ FFB = 5.77 N

‫ﻛﺸﺸﻲ‬

+ ↑ ∑ Fx = 0 ⇒ FFA cos 60 o + FFB sin 60 o − FEF = 0 ⇒ 2 × 5.77 × sin 60 o − FEF = 0 ⇒ FEF = 10 N

‫ﻓﺸﺎري‬

E‫ﮔﺮه‬:

+ ↑ ∑ Fy = 0 ⇒

10N

FEB − 10 = 0 ⇒ FEB = 10 N F ED

F FE

F BA

‫ﻓﺸﺎري‬

B‫ﮔﺮه‬:

− FED + FFE = 0 ⇒ − FED + 10 = 0 ⇒ FED = 10 N

F EB

F BF

+ → ∑ Fx = 0 ⇒

‫ﻓﺸﺎري‬

+ ↑ ∑ Fy = 0 ⇒

F BD F BC

FBF sin 60 o + FBD sin 60 o − FBE = 0 ⇒ 5.77 × 0.87 + FBD × 0.87 − 10 = 0 ⇒ FBD = 5.77 N + → ∑ Fx = 0 ⇒ − FBF cos 60 o + FBD cos 60 o + FBC − FBA = 0 ⇒ − 5.77 cos 60 o + 5.77 cos 60 o + FBC − 2.88 = 0 ⇒

Copyright by: www.afshinsalari.com

FBC = 2.88 N

‫ﻛﺸﺸﻲ‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

50 ‫ﻛﺸﺸﻲ‬ :‫ﻣﺜﺎل‬

3‫ﮔﺮه‬: :‫ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻫﺎ‬

+ ↑ ∑ Fy = 0 ⇒ 3 − 150 = 0 ⇒ F(5 − 3) = 250 N 5 + → ∑ Fx = 0 ⇒ F(5 − 3) ×

F150N F 2-3

F(5 − 3) ×

F 5-3

4 − F( 2 − 3) = 0 ⇒ F( 2 − 3) = 200 N 3

+ → ∑ FX = 0 ⇒ F(1− 2) − 200 = 0 ⇒ F(1− 2) = 200 N F 150

+ ↑ ∑ Fy = 0 ⇒ − F(1− 4 ) + 150 = 0 ⇒ F(1− 4 ) = 150 N

F 1-2

F 200

‫ﻓﺸﺎري‬

‫ﻛﺸﺸﻲ‬

1 ‫ﮔﺮه‬: ‫ﻛﺸﺸﻲ‬ ‫ﻛﺸﺸﻲ‬

F 1-4

6‫ﮔﺮه‬: ‫ﻓﺸﺎري‬

F 6-4

F 6-5

F 200

+ → ∑ Fx = 0 ⇒ 4 + 200 = 0 ⇒ F( 6 − 5 ) = 250 N 5 + ↑ ∑ Fy = 0 ⇒ − F( 6 − 5) ×

− F( 6 − 5) × Copyright by: www.afshinsalari.com

3 + F( 6 − 5) = 0 ⇒ F( 6 − 5) = 150 N 5

‫ﻛﺸﺸﻲ‬

1 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ ‫اﻓﺸﻴﻦ ﺳﺎﻻري‬

51

2‫ﮔﺮه‬: F 2-3

F 2-1

+ → ∑ Fx = 0 ⇒ 4 − F( 2 −1) + F( 2 + 3) = 0 ⇒ F( 2 − 4 ) = 0 3 + ↑ ∑ Fy = 0 ⇒ − F( 2 − 4 ) ×

F 2-4 F 2-5

− F( 2 − 5 ) = 0 ⇒ F( 2 − 5 ) = 0

4‫ﮔﺮه‬: F 4-2 F 4-5

+ → ∑ Fx = 0 ⇒ F( 4−5 ) = 0

Copyright by: www.afshinsalari.com