Jg Looking At Litres0

Looking At Litres John Gough — Deakin University — [email protected] [Published as Gough, J. (2007) “Looking at Litres”, Prime Number, vol. 22, no. 2, pp  3­4.] By definition, a “litre” is a measure of volume specified as 1000 cubic centimetres.  The simplest or “standard” litre is a cube with dimensions 10cm x 10cm x 10cm.

It is a valuable experience for a student to personally make and OWN a litre, such as  one made of cardboard (although wood is sturdier). Indeed, every student should  personally own a litre, a cubic­centimetre, a square­metre, and a tape­measure! This raises the mathematically interesting question of how many geometrically  different ways SIX 10cm x 10cm cardboard squares can be fitted together, in a flat  NET, and then folded and glued together, or sticky­taped. Gluing is a good method, as  it adds the extra question of a FLAP for joining: for any particular NET, where can the  flaps be sensibly placed before gluing? In this example of a 10cm x 10cm TEMPLATE, with flaps, NOT all the flaps will be  needed. (Note that the picture is not to scale. Draw your own template, or use  photocopy enlargement to make the lengths correctly 10 centimetres.)

In this example of a net, where should flaps be placed, before cutting out the shape  made with 6 squares? That is, the folded squares should be easily glued together, with 

a flap that is on one square tucking neatly BEHIND an adjacent square (after folding,  appropriately) without a flap. (Again, this net example is not to correct scale.)

This general question about which six­square nets fold to make a cube can be  mathematically extended to the question: — how many OTHER mathematically different six­square shapes can be made, where  the identical squares join by WHOLE edges, not just by a corner, or a part of an edge?  We call a figure made using six congruent (geometrically equal) squares, joined by a  whole­edge­only rule, a HEXOMINO (based on the idea of a “domino” being made  by TWO such squares joined by a whole edge). (See the inventor, Golomb: 1954; and  popularisers, Gardner: 1959, Gough: 2001a, 2006.) But this is only the STANDARD (cube) litre. It is essential that students also  experience many NON­standard litres.  Here are some easy CUBOID (rectilinear box) suggestions to make, using cardboard  (or wood). • 1cm x 1cm x 1000cm — that’s right, a 10metre stick with 1 square­centimetre cross­ section. (I will omit any attempt at a diagram for this one.) • 1cm x 10cm x 100cm — a metre­long tile, 10cm wide, and 1cm thick. (I will also  omit any attempt at a diagram for this one.) • 1cm x 5cm x 200cm. • 2cm x 2cm x 250cm — a two­and­a­half metre “staff” with 2cm x 2cm square cross­ section. • 5cm x 10cm x 20cm.

• 5cm x 5cm x 40cm. • 1cm x (about) 31.5cm x (about) 31.5cm — a centimetre­thick square (what is the 

square root of 100?) Can you find some other solid litre cuboids? (Investigate a good timber supplier,  where dressed timber often comes in convenient standard sizes, ready for cutting.) Consider the HOLLOW lidless box, made by four walls of 1cm x 4cm x 4cm, with a  floor made of 1cm x 5cm x 5cm. Can you draw the diagram? What is the volume  contained in this box? What is the volume of the walls and floor that make the box?  What is the overall volume of the whole construction, including its (empty) contents?  (What is “capacity”, versus “volume”?) Consider how many ways we can fit EIGHT congruent 5cm x 5cm x 5cm cubes  together: each resulting object (an OCTOCUBE) has a total volume of 8 x 125 cu.cm.  = 1000 cu.cm. For example:

It is also important that students experience NON­cube, and NON­cuboid examples of  a litre. Consider, for example: • pyramids; • prisms, such as pup­tent­like objects, and “wedge” shapes; • cones; • cylinders; and • spheres and hemi­spheres. Certainly these are harder to make than simple straight­cut cardboard or wood. But  why not try making suitable containers, and then filling them with, for example: • plaster of Paris (or Polyfilla, which does not shrink on drying); • polyurethane (e.g. Estapol, or equivalents) mixed with dry sand to bulk the hard­ setting plastic; • foam rubber, or polystyrene foam; or • any other sculptable plasticine­like material that can either air­dry or oven­dry. Investigate the supermarket for litre­size containers, and for unusual container shapes  that can be replicated with a volume of a litre!

And don’t forget one most irregular example of a litre: fill a shoe­box with 1000  minis, and spill them into a large tray — Oops! Spilled the minis! Exploring a wide range of non­standard LITRES challenges the conceptual  stereotype, while also stimulating Piagetian reflection on conservation of volume:  THIS is a litre, and so, too, is THAT! References and Further Reading Gardner, M. (1959). Mathematical Puzzles and Diversions. Harmondsworth: Penguin. Golomb S.W. (1954). “Checker Boards and Polyominoes”. American Mathematical   Monthly. Golomb, S. W. (1994). Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings, 2nd   ed.: Princeton University Press, Princeton, NJ, pp. 90­92. Gough, J. (1999). Perimeter Versus Area — Fixing False Assumptions, Prime   Number, 14 (3), 19­22. Gough, J. (2001a). Learning to play: Playing to learn — Mathematics Games That   Really Teach Mathematics. Mathematical Association of Victoria [MAV],  Brunswick. Gough, J. (2001b). Weighty Matters and Dense Arguments – CSF Versus Real  Experience, Prime Number, 16, (2), 10­14. Gough, J. (2006). “Editorial: Do You Know Blokus?”, Vinculum, vol. 43, no. 4, p. 2.