Jesica Tanisiwa _xi Ips 2.docx

TOPIK INDUKSI MATEMATIKA Nama : Jesica S Tanisiwa Kelas : XI IPS 2 (𝑛+2)2 +𝑛

1. Jika p(n) = (𝑛−1)+3𝑛 , tentukan p (n+1) Penyelesaian : (𝑛+1+2)2 +(𝑛+1)

p(n+1) = (𝑛+1−1)+3(𝑛+1) = =

(𝑛+3)2 +(𝑛+1) 𝑛+3𝑛+3 𝑛2 +7𝑛+10 4𝑛+3

2. Rancang formula yang 1+4+7+10+13 rumus jumlah suku ke-n. Penyelesaian : Dik : a = 1 b=3 Dit : Sn Penye : 𝑛 Sn = 2 (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑛

= (2(1) + (n-1) 3) 2 𝑛

= 2 (2+(3n-3)) 𝑛

= 2 (3𝑛 − 1) =

3(𝑛2 )−𝑛 2

3. Dengan menggunakan induksi matematika, buktikanlah soal nomor 2 #tentukan rumus sukun ke-n lebih dahulu. Penyelesaian : Dik : a = 1 b=3 Dit : Un Penye : Un = a + (n-1)b = 1 + (n-1)3 = 1 + 3n-3 = 3n – 2

Pembuktian : P (n) = 3n – 2 P (1) = 3(1) – 2 = 1 .... (benar) Maka terbukti p(n) = 3n -2 4. Selidiki kebenaran pernyataan berikut ini. P(n) = 22𝑛−1 + 32𝑛−1 habis dibagi 5! Penyelesaian : P(n) = 22𝑛−1 + 32𝑛−1 𝑎 𝑏

=m

a = mb ...... (b|a) P(1) = 22(1)−1 + 32(1)−1 = 5m 21 + 31 = 5m 5 = 5m m = 1 ..... (benar) untuk n = 1 , habis dibagi 5. = 22(2)−1 + 32(2)−1 = 5m 8 + 27 = 5m 35 = 5m m = 7 ..... (benar) untuk n = 2, habis dibagi 5 P(2)

= 22(3)−1 + 32(3)−1 = 5m 32 + 243 = 5m 277 = 5m .... (tidak benar) untuk n = 3, tidak habis dibagi 5 P(3)

5. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan formula berikut! 5n + 5 ≤ 𝑛2 , untuk n bilangan asli n ≥ 5 Penyelesaian : 5n + 5 ≤ 𝑛2 5n + 5 - 𝑛2 ≤ 0 , untuk n ≥ 5 P (n) P (5)

= 5n + 5 - 𝑛2 = 5(5) + 5 – (5)2 = 25 + 5 – 25 = 5 ..... (benar)

Maka terbukti persamaan 5n + 5 ≤ 𝑛2 , untuk n bilangan asli n ≥ 5