Jdcmb-braquistocrona_trab.docx

Asignatura

Datos del alumno

Fecha

Apellidos: Mercado Betancourt

Métodos Numéricos Avanzados en Ingeniería

Nombre: Jose Del Carmen

Actividades Trabajo: Braquistócrona. Planteamiento de la ecuación de la Braquistócrona que une los puntos (0,0), (3,-2) Resolución: Figura del problema

Partiendo de la ley de la conservación de la energía, al principio la energía cinética de la partícula es cero ya que la velocidad es cero, el trabajo que realiza la gravedad cuando la partícula se mueve del punto O (0,0) a cualquier otro punto P (x, y) en el plano es mgy, y este debe ser igual al cambio de la energía cinética esto es. 1

𝑚𝑔𝑦 = 2 𝑚𝑣 2 −

1 𝑚02 2

→ 𝑚𝑔𝑦 =

1 2

𝑚𝑣 2 → 𝑣 = √2𝑔𝑦

en la figura tenemos;

𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 =

1 𝑠𝑒𝑐𝛽

=

1 √1+𝑡𝑎𝑛2 𝛽

→ 𝑠𝑒𝑛𝛼 =

1 √1+(𝑦 ′ )2

De la ley de Snell se tiene que 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑣 , entonces 𝑐𝑣 = 2

Entonces √2𝑔𝑦 √1 + (𝑦′ ) = 𝑐 2

tenemos: 2𝑔𝑦 [1 + (𝑦′ ) ] = 𝑐2

→

1 √1+(𝑦′ )2

2

→ 𝑐𝑣 √1 + (𝑦′ ) = 1

√2𝑔𝑦[1 + (𝑦′ )2 ] = 𝑐 , elevando al cuadrado 2

→ 𝑦 [1 + (𝑦′ ) ] =

𝑐2 2𝑔

𝟐

→ 𝒚 [𝟏 + (𝒚′ ) ] = 𝒄 esta

expresión representa la ecuación diferencial de la Braquistócrona.

TEMA 1 – Actividades

© Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)

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Aplicación Vamos a calcular el tiempo final cuando la partícula llega al punto B (3,-2), para esto tenemos: El diferencial de la longitud de arco a lo largo de la trayectoria de la partícula será 𝑑𝑠 = √1 + (𝑦 ′ )2 y la velocidad está dada por 𝑣 = √2𝑔𝑦 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡

= √2𝑔𝑦 , 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑡, 𝑑𝑡 =

𝑑𝑠 √2𝑔𝑦

→ 𝑑𝑡 =

√1+(𝑦 ′ )2 √2𝑔𝑦

, el tiempo que tarda la

partícula en deslizarse a lo largo de la trayectoria y= f(x), del punto (0,0) al punto B(3,-2), es 3 √1+(𝑦 ′ )2

𝑡 = ∫0

√2𝑔𝑦

𝑑𝑥

Ahora calculamos y(x) que hace que el tiempo sea más corto. Tomemos la ecuación de la recta y= mx + b, entonces y’= m, calculando m tenemos O (0,0) y B (3,-2) entonces, 𝑚 =

−2 3

→ 𝑦 ′ = −0,67 , reemplazamos

para hallar el tiempo final. 3 √1+(−0,67)2

𝑡 = ∫0

√2∗9,8∗2

𝑑𝑥

3

3

, entonces 𝑡 = ∫0 0,19 𝑑𝑥 → 𝑡 = 0,19 ∫0 𝑑𝑥 ,

t= 0,19(3), el tiempo final es de t= 0,58 s. figura 1:

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