Isi Lkma.docx

SISTEM KOORDINAT  Standar kompetensi Memahami semua materi tentang sistem koordinat  Kompetensi dasar 1. Mengetahui tentang sistem koordinat 2. Memahami tentang sistem koordinat 3. Menjelaskan tentang sistem koordinat 4. Menelaah tentang sistem koordinat  Alokasi waktu 1,5 jam x 3 kali pertemuan  Dilaksanakan Pertemuan ke-1 s.d. ke-3  Tujuan pembelajaran Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang sistem koordinat.

A

Materi dan Pembahasan

I. Sistem Koordinat 1. Koordinat Cartesius Suatu Titik

𝑥 = Absis 𝑦 = Ordinat (𝑥, 𝑦) = Koordinat titik

Koordinat titik 𝑆 adalah (2,4) Koordinat titik 𝑇 adalah (5,-4) Koordinat titik 𝑈 adalah (-3,2) Koordinat titik 𝑉 adalah (-2,-3)

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

2. Koordinat Polar (Kutub) Dinyatakan oleh pasangan berurutan (𝑟, 𝑎𝑜 ) Contoh :

120𝑜

Bila 𝑂𝑅 adalah 𝑟 = 4 dan sudut 𝑆𝑂𝑅 adalah 𝑎𝑜 = 120𝑜 , maka koordinat kutub 𝑅 adalah (4, 120𝑜 ). 3. Hubungan Antara Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

𝑎𝑜 x



Hubungan antara 𝑥, 𝑦, 𝑟 adalah : 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2



Hubungan antar 𝑥, 𝑦, 𝑎𝑜 dapat dituliskan sebagai tanda 𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑜 =



Hubungan antara 𝑥, 𝑟 dan 𝑎𝑜 adalah cos 𝑎𝑜 = 𝑟

𝑥 = 𝑟 cos 𝑎𝑜

Hubungan antara 𝑦, 𝑟 dan 𝑎𝑜 adalah sin 𝑎𝑜 = 𝑟

𝑦 = 𝑟 sin 𝑎𝑜



𝑥

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

𝑦

𝑦 𝑥

Contoh : 1. Ubahlah titik 𝑀(2, 2√2) menjadi koordinat kutub ! Penyelesaian : 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 2√3

𝑀 = (2, 2√3)

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √22 + (2√3)2 = √4 + 12 = √16 = 4 𝑡𝑎𝑛 𝑎 o =

𝑦 2√3 = = √3 𝑎 = 60 𝑥 2

Jadi koordinat kutub titik 𝑀 adalah (4, 60𝑜 )

2. Tentukan koordinat cartesius dari titik 𝑁(4, 150𝑜 ) ! Penyelesaian : 𝑁(4, 150𝑜 )

𝑟 = 4 dan 𝑎𝑜 = 150𝑜

𝑥 = 𝑟 cos 𝑎𝑜

𝑦 = 𝑟 sin 𝑎𝑜

= 4 cos 150𝑜

= 4 sin 150𝑜

= 4(− cos 30𝑜 )

= 4 sin 30𝑜

1

= 4(− 2 √3) 𝑥 = −2√3

1

= 4(2 ) 𝑦=2

Jadi koordinat cartesius dari titik 𝑁 adalah (−2√3, 2)

II. Jarak Dua Titik Rumus :

𝐴𝐵2 𝐴𝐶 2 𝐵𝐶 2 𝐴𝐵2 ( 𝑥2 − 𝑥1 )2 ( 𝑦2 − 𝑦1 )2 𝐴𝐵 = √( 𝑥2 − 𝑥1 )2 + ( 𝑦2 − 𝑦1 )2

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

III. Koefisien Arah Suatu Garis Sudut arah garis didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh sumbu 𝑥 positif dengan garis 𝑔 diukur dari sumbu 𝑥 + , berlawanan arah dengan jarum jam. Nilai tangent sudut arah sebuah garis disebut koefisien arah = gradien = kemiringan. Koefisien arah garis 𝑔 adalah tangent 𝑀 = 𝑡𝑔 ∝ 𝑦=+ 𝑥=− 𝑡𝑔 ∝

− 𝑦=− 𝑥=+ 𝑦=+ 𝑥=+

𝑡𝑔 ∝

+ 𝑦=− 𝑥=−

IV. Persamaan Garis Lurus y

x

1. Garis lurus dapat dibuat dengan menghubungkan dua titik berbeda pada bidang cartesius. Melalui dua hanya dapat dibuat satu garis. 2. Persamaaan garis yang melalui pangkal 𝑂(0,0) adalah 𝑦 = 𝑚𝑥.

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

3. Jika garis tersebut digeser ke atas sejauh 𝑐, sehingga memotong sumbu 𝑦 di titik (0, 𝑐), persamaan garisnya 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 dan apabila digeser ke bawah sejauh 𝑐 sehingga memotong sumbu 𝑦 di titik (0, −𝑐) persamaan garisnya 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑐. 1. Gradien 1. Gradien adalah angka (nilai) yang menunjukkan besar dan arah kemiringan garis. Makin besar gradien suatu garis makin curam garis tersebut. Garis yang condong ke kanan mempunyai gradien positif sedangkan yang condong ke kiri mempunyai gradien negatif. Gradien sering disimbolkan 𝑚. 2. Gradien garis sejajar sumbu 𝑥 adalah 𝑚 = 0 3. Gradien garis sejajar sumbu 𝑦 adalah 𝑚 = ∞ 4. Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama (𝑚1 = 𝑚2 ) 5. Hasil kali gradien dari dua garis tegak lurus sama dengan −1 (𝑚1 . 𝑚2 = −1) 6. Gradien garis yang melalui titik 𝑂(0,0) dan 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah

7. Gradien garis yang melalui titik A(x,y) dan B(x,y) adalah

𝑚=

𝑚=

8. Gradien garis dengan persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 adalah 𝑚

𝑦 𝑥

𝑦2 − 𝑦1 𝑥 2 − 𝑥1

2. Persamaan Garis 1. Persamaan garis yang bergradien 𝑚 dan melalui titik ( 𝑥1 , 𝑦1 ) adalah 𝑦, 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 2. Persamaan garis yang melalui (𝑥1 , 𝑦1 ) dan (𝑥2 , 𝑦2 ) adalah = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 3. Garis yang persamaannya berbentuk 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 mempunyai gradien 𝑎 𝑐 𝑚 = − dan memotong sumbu 𝑦 di titik (0, − 𝑏 ) 𝑏 Contoh : 1. Tentukan persamaaan garis pada gambar berikut ! Penyelesaian : Garis 𝑎 melalui titik (0,3) (-4,0). Oleh karena itu garis 𝑎 tidak melalui titik (0,0) persamaannya 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 garis 𝑎 melalui titik (0,3) dan (-4,0) (0,3)

(−4,0)

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 3 = 𝑚(0) + 𝑐

𝑚=

3=𝑐 Jadi persamaaan garis 𝑎 adalah

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 0 = 𝑚(−4) + 3 4𝑚 = 3

3 4

𝑥+3

3 4

2. Gradien sebuah garis (6,3) dan (2,-1) adalah..... Penyelesian : 𝑦2 − 𝑦1

𝑚= = =

𝑥2 − 𝑥1 −1− 3 2− 6 −4 −4

𝑚=1

3. Persamaan garis yang melalui (8,-2) dan (-2,4) adalah Penyelesaian : 𝑦 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 𝑦+2 4+2 𝑦+2 6

= = =

𝑥 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑥−8 −2− 8

−10(𝑦 + 2) = 6(𝑥 − 8) −10𝑦 − 2 = 6𝑥 − 48 −10𝑦 − 6𝑥 = −48 + 2 −10𝑦 − 6𝑥 = −46 6𝑥 + 10𝑦 + 46 = 0

𝑥−8 − 10

V. Sudut Antara Dua Garis

𝑔2

𝜃

𝑚2 𝑔1

𝑚1

𝜃

∝1

∝2 x

 Jika 1 + 𝑚2 𝑚1 = 0 maka 𝑚2 . 𝑚1 = −1 𝑚2 − 𝑚1  Jika tg 0 = = 0 maka 𝑚2 = 𝑚1 1+ 𝑚2 .𝑚1

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

VI. Garis – garis Berpotongan dan Berkas Garis 1. Perpotongan Garis-garis Untuk mencari koordinat titik potong antara dua garis adalah mencari penyelesaian dan sistem persamaan linear dengan dua variable. Contoh : Sistem persamaan linear bisa diselesaikan dengan cara subtitusi, eliminasi, matriks dan determinan. Ingat : 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐 = 0 dan 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐 = 0 Jika : 𝑎 | 1 𝑎2

𝑎1 𝑏1 | ≠ 0 atau 𝑏2 𝑎2

≠

𝑎 | 1 𝑎2

𝑎1 𝑏1 | = 0 atau 𝑏2 𝑎2

=

𝑎 | 1 𝑎2

𝑎1 𝑏1 | = |𝑎 𝑏2 2

𝑏1 𝑏2 𝑏1 𝑏2

𝑐1 𝑐1 𝑐2 | = |𝑐2

maka dua garis tersebut berpotongan maka dua garis tersebut tidak berpotongan 𝑏1 | maka kedua garis tersebut berhimpit 𝑏2

2. Berkas Garis Adalah himpunan dari semua garis yang melalui suatu titik tertentu. Jika 𝑔1 + 𝜆 𝑔2 = 0 akan membentuk berkas garis Jika 𝑔1 + 𝜆 𝑔2 = 0 persamaan berkas garis dengan 𝑔1 = 0 dan 𝑔2 = 0 disebut garisgaris dasar Rumus

𝑎1 𝑎2

=

𝑏1 𝑏2

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

PERSAMAAN LINGKARAN  Standar kompetensi Memahami semua materi tentang persamaan lingkaran  Kompetensi dasar 1. Mengetahui tentang persamaan lingkaran 2. Memahami tentang persamaan lingkaran 3. Menjelaskan tentang persamaan lingkaran 4. Menelaah tentang persamaan lingkaran  Alokasi waktu 1,5 jam x 3 kali pertemuan  Dilaksanakan Pertemuan ke-4 s.d. ke-6  Tujuan pembelajaran Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang persamaan lingkaran.

B

Materi dan Pembahasan

I. Persamaan Lingkaran  Persamaan lingkaran berpusat di (0,0) dan (a,b)  Menentukan pusat dan jari lingkaran jika diketahui persamaannya.  Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran. 1. Pengertian Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan yang mana mempunyai jarak sama (r = jari-jari) terhadap titik tertentu (pusat lingkaran). ⨀ ⨀

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

2. Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0,0) dan (a,b) 2.1. Persamaan lingkaran berpusat di O (0,0), misalnya titik A (xA, yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O (0,0), maka OA = r = jarak. Sehingga berlaku rumus jarak : OA = 𝑟𝑟 =√(𝑟𝑟 𝑥𝐴 − 0𝑟)2 + (𝑟𝑟 𝑦𝐴 − 0𝑟)2 𝑟 𝑟2 = (𝑟𝑟 𝑥𝐴 − 0𝑟)2 + (𝑟𝑟 𝑦𝐴 − 0𝑟)2 𝑟 𝑟2 = 𝑟𝑟 𝑥𝐴2 + 𝑟𝑟 𝑦𝐴2 Sehingga rumus persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r adalah .... x2 + y2 = r2  r = √𝑟2 + 𝑟2 Contoh : Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui : 1. Pusat O (0,0) dan r = 14 2. Pusatnya O (0,0) dan melalui (9,12) Penyelesaian : 1. Lingkaran berpusat di O (0,0) dan r = 14, persamaannya : x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 142 x2 + y2 = 196 Persamaan lingkarannya x2 + y2 = 196 2. Lingkaran berpusat dari O (0,0) melalui (9,12), persamaannya, Melalui (9,12) kita peroleh : r = √𝑟2 + 𝑟2 = √92 + 122 = √81 + 144 = √225 = 15  r2 = 152 = 225 Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) melalui (9,12) adalah x2 + y2 = 225

2.2. Persamaan lingkaran berpusat di titik (a,b) Misalkan A(a,b) adalah pusat lingkaran dan B(x,y) adalah titik yang terletak pada lingkaran, jari-jarinya sama dengan jarak A ke B

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

r2 = (AB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 = (x – a)2 + (y – b)2 Jadi persamaan lingkaran dengan jari-jari r yang berpusat di A(a,b) adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh : Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui : a. Pusatnya (5,2) dan berjari-jari 5 b. Pusatnya (5,6) dan melalui (-1,-2) c. Pusatnya (-3,4) dan menyinggung sumbu y Penyelesaian : a.

Pusat (5,2), r = 5 (x – a)2 + (y – b)2 = r2

 Persamaan lingkaran

(x – 5)2 + (y – 2)2 = 52 x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 = 25 x2 + y2 – 10x – 4y + 29 = 25 x2 + y2 – 10x – 4y + 29-25 = 0 x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

b. Pusat (5,6) dan melalui (-1,-2) r = √(5 − (−1)2 + (6 − (−2))2 = √(5 + 1)2 + (6 + 2)2 = √62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10 Persamaan lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 5)2 + (y – 6) 2 = 102 x2 – 10x + 25 + y2 – 12y + 36 = 100 x2 + y2 – 10x – 12y + 25 + 36 – 100 = 0 x2 + y2 – 10x – 12y – 39 = 0 c.

Pusat (3,4) dengan r = 3 Persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – (-3)2 + (y – 4)2 = 32 (x + 3)2 + (y – 4)2 = 32 x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 9 x2 + y2 + 6x – 8y + 9 + 16 – 9 = 0 x2 + y2 + 6x – 8y + 16 = 0

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

3. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran Jika Diketahui Persamaannya Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 Untuk mencari titik pusat (a,b) -a =

1 A 2

a=

1 A 2

-b =

1 B 2

b=

1 B 2

Untuk mencari jari-jari a2 + b2 – r2 = c r2 = a2 + b2 – c r = √𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 Jika dirumuskan : Misalkan -2a = 2A, -2b = 2B dan a2 + y2 - c2 = c, maka bentuk persamaannya x2 + y2 – 2Ax – 2By + c = 0, pusatnya a (-A, -B) dan jari-jari (r) = √𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 2 atau r = √𝐴2 + 𝐵2 − 𝑐

Contoh : Tentukan koordinat pusatnya dan jari-jarinya : 1. x2 + y2 – 4x – 8y – 25 = 0 Penyelesaian : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 a= =

1 A 2

1 (4) = 2 2

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

b= =

1 B 2

1 (8) = 4 2

r = √𝑎 2 + 𝑏 2 − 𝑐 = √22 + 42 − (−25) =

4  16  25

=

20  25

=

45

r2 = 45 (x – 2)2 + (y – 4)2 = 45 Jadi pusat (2,4) dan r =

45

Cara 2 x2 + y2 – 4x – 8y – 25 = 0 x2 + y2 – 4Ax – 2By + C = 0 Sehingga diperoleh 2A = -4 A=

2B = -8

4 2

B=

= -2

C = -25

8 2

= -4

r = √𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶 = √(−2)2 + (−4)2 − 252 =

4  16  25

=

45

Jadi pusat (2,4) dan r =

45

4. Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran 4.1. Letak titik A(x1, y1) terhadap lingkaran x2 + y2 = r2  Jika x12 + y12 < r2 maka titik A(x1, y1) terletak di dalam lingkaran.  Jika x12 + y12 = r2 maka titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran.  Jika x12 + y12 > r2 maka titik A(x1, y1) terletak di luar lingkaran.

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Contoh : Tentukan letak titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 = 100 1. P (5,4) 2. Q (6,-8) 3. R (-5,11) Penyelesaian : 1. P(5,4)  x2 + y2 = 100 52 + 42 …… 100 25 + 16 …… 100 41 < 100 Jadi P(5,4) terletak didalam lingkaran. 2. Q(6,-8)  x2 + y2 = 100 (6)2 + (-8)2 …… 100 36 + 64 …… 100 100 = 100 Jadi Q(6,-8) terletak pada lingkaran. 3. R(-5,11)  x2 + y2 = 100 (-5)2 + (-11)2 …… 100 25 + 121 …… 100 146 > 100 Jadi R(-5,11) terletak diluar lingkaran.

4.2. Letak titik A(x1, y1) terhadap lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2  Jika (x – a)2 + (y – b)2 < r2 maka titik A(x1, y1) terletak di dalam lingkaran.  Jika (x – a)2 + (y – b)2 = r2 maka titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran.  Jika (x – a)2 + (y – b)2 > r2 maka titik A(x1, y1) terletak di luar lingkaran. Contoh : Tentukan letak titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y = 0 1. A (0,0) 2. B (1,2) 3. C (4,-3)

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Penyelesaian : 1. A (0,0)  x2 + y2 – 4x – 6y = 0 0+0–0–0=0 Jadi A (0,0) terletak pada lingkaran 2. B (1,2)  x2 + y2 – 4x – 6y = 0 (1)2 + (2)2 – 4(1) – 6(2) ….. 0 1 + 4 – 4 – 12 ……. 0 -11 < 0 Jadi B (1,2) terletak di dalam lingkaran 3. C (4,2)  x2 + y2 – 4x – 6y = 0 (4)2 + (-3)2 – 4(-4) – 6(-3) … .. 0 16 + 9 – 16 + 18 .... 0 27 > 0 Jadi C (4,-3) terletak di luar lingkaran

4.3. Letak garis y = mx + n terhadap suatu lingkaran Jika diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + 2By + C = 0 melalui garis y = mx + n

maka persamaannya :

Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran x2 + y2 +2Ax + 2By + C = 0 x2 + (mx + n)2 + 2Ax + 2B(mx + n) + C = 0 x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + 2Ax + 2Bmx + 2Bn + C = 0 (1 + m2)+ (2mn +2A + 2Bm)x + (n2 + 2Bn + C) = 0 Kita tahu bahwa dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai deskriminan D = b2 – 4ac, sehingga jarak pusat lingkaran P(x1, y1) ke garis ax + by + c = 0 adalah

𝑎𝑥1 +𝑏𝑦1 +𝑐

M=|

√𝑎2 +𝑏 2

|

Maka deskriminan untuk persamaan lingkungan diatas adalah D = (2mn + 2A + 2Bm)2 – 4 (1+m2) (n2 + 2Bn + C ) hubungan antar D, M dan r 1. Jika D < O dan m > r maka garis y = mx + n terletak diluar lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan tidak memotong lingkaran

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

2. Jika D = O dan m = r maka garis y = mx + n terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran 3. Jika D > O dan m < r maka garis y = mx + n terletak didalam lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di dua titik.

Contoh : Tentukan letak garis 3x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0

Penyelesaian : 

3x – y + 1 = 0 y = 3x + 1 ….. ( i )

 x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0 ……. ( ii ) Substitusikan persamaan ( i ) ke persamaan ( ii ) x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0 x2 + (3x + 1)2 - 2x – 4(3x + 1) + 2 = 0 x2 + 9x2 + 6x + 1 - 2x – 12x - 4 + 2 = 0 10x2 – 8x – 1 = 0

D = b2 – 4.ac = (-8) 2 – 4.10 – 1 = 64 + 40 = 104 104 > 0 ↔ D > 0, maka garis 3x – y + 1 terletak di dalam lingkaran dan memotong lingkaran di 2 titik.

II. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran 1.1. Pengertian garis singgung Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di suatu titik.

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

1.2. Persamaan garis singgung di titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 Misal :

Garis k menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik A(x1, y1) dan OA ⊥ garis k Sehingga gradien (m) OA. m1 = -1 𝑦1 𝑥1

. 𝑚1 = −1 𝑚1 =

−1 𝑦−1 𝑥1

𝑚1 = −1. 𝑚1 = −

𝑥1 𝑦1

𝑥1 𝑦1

Dan persamaan garis singgungnya :

y – y1 = m (x – x1) y – y1 = −

𝑥1 𝑦1

(x – x1)

y1 (y – y1) = -x1 (x – x1) y1.y – y12 = -x1.x + x12 x1.x + y1 .y= x12+ y12 x1.x + y1 .y = r2 Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x1, y1) adalah x1.x + y1 .y = r2

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Contoh : Tunjukkan bahwa titik (3,-4) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25 dan tentukan persamaan garis singgungnya. Penyelesaian : 

Substitusikan titik (3,-4) ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 Titik (3,-4) = x2 + y2 = 4 (3) 2 + (-4) 2 ….. 25 9 + 16 ….. 25 25 = 25 Karena x2 + y2 = r2 maka titik (3,-4) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25



Persamaan garis titik (3,-4) pada lingkaran x2 + y2 = 25 adalah x1.x + y1 .y = r2 3x – 4y = 25 Jadi persamaan garis singgungnya 3x – 4y = 25

1.3. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2

𝑦1

𝑥1

𝑚 PQ =

𝑄𝑅 𝑃𝑅

=

𝑦1 – 𝑏 𝑥1 −𝑎

Gradien garis k yang tegak lurus garis PQ adalah

𝑚 PQ = 𝑚1 = -1

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

𝑦1 −𝑏 𝑥1 −𝑎

𝑚1 =

. 𝑚1 = -1

−1 𝑦1 −𝑏 𝑥1 −𝑎

𝑚1 = −1. 𝑚1 = −

(𝑥1 −𝑎) (𝑦1 −𝑏)

(𝑥1 −𝑎) (𝑦1 −𝑏)

Persamaan garis singgung k dengan 𝑚1 = −

(𝑥1 −𝑎) (𝑦1 −𝑏)

yang melalui Q (x1, y1) adalah

y – y1 = m (x – x1) (𝑥 −𝑎)

y – y1 = − (𝑦1 −𝑏) (x – x1) 1

(y – y1) (y1 – b) = - (x1 – a) (x – x1) yy1 – by – y12 + by1 = - (x1.x – x12 – ax + ax1) yy1 – by – y12 + by1 = - x1x + x12 + ax – ax1 yy1 – by12 + by + x1x – ax1 + ax1 = x12 + y12 ……. ( i ) Untuk Q (x1,y1) terletak pada lingkaran (x – a )2 + (y – b)2 = r2 maka (x – a )2 + (y – b)2 = r2 (x – a )2 + (y1 – b)2 = r2 x12 – 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 = r2 x12 + y12 = r2 + 2ax1 + 2by1 – a2 – b2 …….. ( ii ) Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh

𝑦. 𝑦1 − 𝑏𝑦−𝑏𝑦1 +𝑥1 .𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥1 =𝑥1 2 +𝑦12 y.𝑦1 -𝑏𝑦 -b𝑦1 +𝑥1 .x-ax+a𝑥1 =𝑟 2 +2a𝑥1 +2b𝑦1 -𝑎2 -𝑏 2 y.𝑦1 -by+b𝑦1 +𝑥1 .x-ax+a𝑥1 -2a𝑥1 -2b𝑦1 +𝑎2+ 𝑏 2= 𝑟 2 y.𝑦1 -by-b𝑦1 +𝑥1 .x-ax-a𝑥1 +𝑎2 +𝑏 2 =𝑟 2 y.𝑦1 -by-b𝑦1 + 𝑏 2 + 𝑥1 . 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥1 + 𝑎2 = 𝑟 2 (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) + (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) = 𝑟 2 (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟 2 (𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟 2

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Sehingga persamaan garis singgung lingkaran (𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1− 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟 2 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 49 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 (3,5) Penyelesaian : (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 49 (𝑥1 + 2)(𝑥 + 2) + (𝑦1 − 4)(𝑦 − 4) = 49 Melalu titik (3,5) (3+2)(x+2)+(5+4)(y-4) = 49 5(x+2)+1(y-4) = 49 5x+10+y-4 = 49 5x+y+6 = 49 5x+y+6-49 = 0 5x+y-43 = 0 Jadi persaman garis singgungnya 5x+y-43=0 1.4. Persamaan garis singgung yang melalui Q(𝑥1 , 𝑦1 ) pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Dari persamaangaris singgung yang melalui Q(𝑥1 , 𝑦1 ) pada (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 adalah : (𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟 2 𝑥1 . 𝑥 − 𝑎𝑥1− 𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦1 . 𝑦 − 𝑦1. 𝑦 − 𝑏𝑦1 − 𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑎2 = 𝑟 2 𝑥1 . 𝑥 − 𝑎(𝑥1 +x)+𝑎2 + 𝑦1 . 𝑦 − 𝑏(𝑦1 + 𝑦) + 𝑏 2 = 𝑟 2 𝑥1 . 𝑥 + 𝑦1 . 𝑦 − 𝑎(𝑥1 + 𝑥) − 𝑏(𝑦1 + 𝑦) + 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 0 Misalkan A=-a, B=-b, dan C=𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 persamaan menjadi: 𝑥1 . 𝑥 + 𝑦1 . 𝑦 + 𝐴(𝑥1 + 𝑥)𝐵(𝑦1 + 𝑦) + 𝑐 = 0 Jadi persamaan garis singgung yang melalui Q(𝑥1 , 𝑦1 ) pada 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah : 𝑥1 . 𝑥 + 𝑦1 . 𝑦 + 𝐴(𝑥1 + 𝑥) + 𝐵(𝑦1 + 𝑦) + 𝑐 = 0 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P(4,2) pada 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 10 = 0 Penyelesaian : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 10 = 0

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

4

A=− 2 6

B=− 2 C=-10 Persamaan garis singgung yang melalui P(4,2) adalah: 𝑥1 . 𝑥 + 𝑦1 . 𝑦 + 𝐴𝑥1 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦1 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 4.𝑥 + 2𝑦 − 2(4) − 2𝑥 − 3𝑦1 − 3𝑦 − 10 = 0 2𝑥 − 𝑦 − 8 − 6 − 10 = 0 2𝑥 − 𝑦 − 24 = 0 1.5. Persamaan Garis Singgung (Polar) A

P(𝑥1 , 𝑦1 )

B

Garis AB=h merupakan garis polar (kutup) persamaan garis polarnya adalah h=𝑥. 𝑥1 + 𝑦. 𝑦1 = 𝑟 2 Langkah-langkah menentukangaris singgung melalui titik P(𝑥1, 𝑦1 ) diluar lingkaran : 1. Buat persamaan garis kutub dari titik P(𝑥1 , 𝑦1 ) terhadap lingkaran 2. Melalui tipot antara garis kutup lingkaran 3. Buat persamaan garis singgung melalui tipot gariskutup dan lingkaran Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 melalui (1,7) Penyelesaian Persamaan garis polarnya adalah 𝑥. 𝑥1 + 𝑦. 𝑦1 = 𝑟 2 −𝑥 + 7𝑦 = 25 𝑥 = 7𝑦 − 25 … ..(i) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25….(ii) Subtitusikan persamaan (i) ke persamaan (ii) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 (7y-25)+𝑦 2 = 25 49𝑦 2 − 350𝑦 + 625 + 𝑦 2 = 25 49𝑦 2 − 350𝑦 + 625 + 𝑦 2 − 25 = 0 50𝑦 2 − 350𝑦 + 600 = 0 :50

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

𝑦 2 − 7𝑦 + 12 = 0 (y-4)(y-3)=0 Y=4 atau y=3 Untuk y=4 maka x=7y-25 X=7(4)-25 X=28-25 X=3 Titik singgung (3,4) Untuk y=3 maka x=7y-25 X=7(3)-25 X=21-25 X=-4 Titik singgung (-4,3) Persamaan garis singgung melalui (-1,7) pada titik singgung (3,4) dan (-4,3) adalah……… 1.𝑥1 . 𝑥+𝑦1 . 𝑦 = 25 3x+4y=25 dan 2. 𝑥1 . 𝑥+𝑦1 . 𝑦 = 25 -4x+3y=25 2. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahui 2.1. Persamaan garis singgung dengan gradien M terhadap linngkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 Persamaan garis singgung y=mx+n terhadap lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 y=mx+n………..(i) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ………(ii) 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠 (𝑖) ke persamaan (ii) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑥 2 +𝑚2 𝑥 2 +2mx+ 𝑛2 -𝑟 2 =0 𝑥 2 𝑚2 𝑥 2 + 2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 − 𝑟 2=0 (1+𝑚2 ) 𝑥 2 +2𝑚𝑛𝑥+𝑛2 − 𝑟 2 =0

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Sarat garis itu menyinggung jika D=0 maka D=0 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 (2mn)2 -4(1+𝑚2 )( 𝑛2 -𝑟 2 )=0 4𝑚2 𝑛2 -4( 𝑛2 +𝑚2 𝑛2 -𝑟 2 -𝑚2 𝑛2 )=0 :4 𝑚2 𝑛2 𝑛2 +𝑚2 −𝑛2 -𝑟 2 -𝑚2 𝑛2 =0 𝑛2 = 𝑟 2 + 𝑚 2 . 𝑟 2 𝑛2 = 𝑟 2 (1 + 𝑚2 ) n = ±𝑟√1 + 𝑚2 Jadi persamaan garis singgung dengan gradien 𝑚 pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 adalah y=mx+n y=mx±𝑟√1 + 𝑛2 Contoh : Tentukan persamaan persamaan garis singgung dengan gradien 𝑦 2 =16

1 2

pada lingkaran 𝑥 2 +

Penyelesaian : 1

Persamaan garis singgung dengan gradien 2 pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 =16 adalah y=mx±𝑟√1 + 𝑚2 1

y=2 𝑥 ± 4√1 + 42 1

y=2 𝑥 ± 4√1 + 16 1

y=2 𝑥 ± 4√17 1

1

jadi persamaan garis singgungnya y=2 𝑥 + 4√17 dan y=2 𝑥 − 4√17

2.2. Persamaan garis singgung dengan gradien M terhadap lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 +(y-b)2 = 𝑟 2 Dari rumus 2.2.1 kita peroleh y = mx ± r√1 + 𝑚2 Maka persamaan garis singgung yang bergradien m terhadap lingkaran (𝑥 − 𝑎)2+(y-b)2 = 𝑟 2 Adalah y-b = m(x-a) ± r√1 + 𝑚2

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 4

(𝑥 + 2)2+(y-1)2 = 4

dengan m = 3

Penyeleseian : y-b=m(x-a)±𝑟√1 + 𝑚2 4

4

3

3

y-1 = (x+2)±2√1 + ( )2 4

8

16

3

3

9

4

8

25

3

3

9

4

8

5

3

3

3

4

8

10

3

3

3

y-1 = x+ ± 2√1 + ( ) y-1 = x+ ± 2√ y-1 = x+ ± 2 y-1 = x+ ±

3(y-1) = 4𝑥 + 8 ± 10 3y-3 = 4𝑥 + 8 ± 10 3y-3 = 4𝑥 + 8 + 10

atau

3y = 4x +21 4

21

3

3

y= x + 4

y= x +7 3

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

3y-3 = 4𝑥 + 8 − 10 3y = 4x +1 4

1

3

3

y= x +

PARABOLA  Standar kompetensi Memahami semua materi tentang parabola  Kompetensi dasar 1. Mengetahui tentang parabola 2. Memahami tentang parabola 3. Menjelaskan tentang parabola 4. Menelaah tentang parabola  Alokasi waktu 1,5 jam x 3 kali pertemuan  Dilaksanakan Pertemuan ke-7 s.d. ke-9  Tujuan pembelajaran Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang parabola.

C

I.

Materi dan Pembahasan

Definisi Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu. Titik itu disebut Fokus dan garisnya disebut Direktris. 1.       

Cara melukis Parabola Lukis garis Fs⊥ g (F=Fokus, g= Direktris) Lukis lingkaran dengan pusat F dan jari-jari d Lukis garis g” sejajar g dan berjarak = d Perpotongan (2) dan (3) disebut titik P Ulangi langkah (2) sampai (4) sehingga menghasilkan P1, P2, dan P3 Lukis titik 0 ditengah-tengah Fs O = puncak parabola Hubungkan titik O, P1, P2, dan P3 dst sehingga berbentuk parabola.

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

II. Persamaan Parabola Diketahui : SF=3P, F(P,O), S(-P,O) Misalnya : P(x,y) sebarang titik pada parabola Sehingga |PF|=|P+Q| √(𝑃 − 𝑥)2 + 𝑦 2 = |𝑥 + 𝑃| (𝑃 − 𝑥)2 + 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑃)2 𝑦 2 = 4𝑃𝑥 Adalah persamaan sederhana parabola adalah persamaan kanonik 𝑦 2 = 4𝑃𝑥

𝑦 2 = 4𝑃𝑥

𝑦=𝑃 𝑥 2 = 4𝑃𝑦

𝑥 2 = −4𝑃𝑦 𝑦 = −𝑃

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Persamaan Parabola

Puncak O(0,0) O(0,0) O(0,0) O(0,0)

𝑦 2 = 4𝑃𝑥 𝑦 2 = −4𝑃𝑥 𝑥 2 = 4𝑃𝑦 𝑥 2 = −4𝑃𝑦

Fokus F(P,O) F(-P,O) F(O,-P) F(O,-P)

Sumbu Simetri y=0 y=0 x=0 x=0

Persamaan Direkris x = -P x = -P y = -P y=P

Sumbu Simetri x = a-P x = a+P y = b-P y = b+P

Persamaan Direkris y=b y=b x=a x=a

Persamaan Parabola Dengan Puncak (a,b) Persamaan Parabola (𝑦 − 𝑏)2 (𝑦 − 𝑏)2 (𝑥 − 𝑎)2 (𝑥 − 𝑎)2

= 4𝑃(𝑥-a) = −4𝑃(𝑥-a) = 4𝑃(𝑦-a) = −4𝑃(𝑦-a)

Puncak (a,b) (a,b) (a,b) (a,b)

Fokus F(a+P.b) F(a-P.b) F(a.b+P) F(a.b-P)

III. Bentuk Umum Persamaan Parabola 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 atau 𝑥 = 𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 Yang diperoleh dari (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) Sehingga 1

A=-4P atau P=− A 4

1

B=-2b atau b=− B 2

C= 𝑏 2 -4Pa atau a=−

𝐵2 −4𝐶 4𝐴

A

Menentukan persamaan garis singgung pada parabola disuatu titik Teorema : Persamaan garis singgung di titik P(𝑥1, 𝑦1 ) pada parabola : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

𝑦 2 = 4𝑃𝑥 adalah 𝑦𝑦1 = 2𝑃(𝑥 + 𝑥1 ) 𝑦 2 = −4𝑃𝑥 adalah 𝑦𝑦1 = −2𝑃(𝑥 + 𝑥1 ) 𝑥 2 = 4𝑃𝑦 adalah 𝑥𝑥1 = 2𝑃(𝑦 + 𝑦1 ) 𝑥 2 = −4𝑃𝑦 adalah 𝑥𝑥1 = −2𝑃(𝑦 + 𝑦1 ) (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑃(𝑥 − 𝑎) adalah (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 2𝑃(𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎) (𝑦 − 𝑏)2 = −4𝑃(𝑥 − 𝑎) adalah (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = −2𝑃(𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎) (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑃(𝑦 − 𝑏) adalah (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) = 2𝑃(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑏) (𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑃(𝑦 − 𝑏) adalah (𝑦 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) = −2𝑃(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑏)

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

1. Titik dan Garis Polar Definisi : Jika dari sebuah titik P(𝑥1 , 𝑦1 di luar parabola ditarik dua buah garis singgung maka garis hubung P antara kedua titik singgungnya disebut Garis Polar P terhadap parabola. Titik P disebut titik polar

(𝑥3 , 𝑦3

(𝑥1 , 𝑦2

(𝑥2 , 𝑦2

2. Teorema Jika titik P(𝑥1 , 𝑦1 1. 2. 3. 4. 5.

𝑦 2 = 4𝑃𝑥 maka persamaan garis polarnya 𝑦𝑦1 = 2𝑃(𝑥 + 𝑥1 ) 𝑦 2 = −4𝑃𝑥 maka persamaan garis polarnya 𝑦𝑦1 = −2𝑃(𝑥 + 𝑥1 ) 𝑥 2 = 4𝑃𝑦 maka persamaan garis polarnya 𝑥𝑥1 = 2𝑃(𝑦 + 𝑦1 ) 𝑥 2 = −4𝑃𝑦 maka persamaan garis polarnya 𝑥𝑥1 = −2𝑃(𝑦 + 𝑦1 ) (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑃(𝑥 − 𝑎) maka persamaan garis polarnya (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 2𝑃(𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎) 6. (𝑦 − 𝑏)2 = −4𝑃(𝑥 − 𝑎) maka persamaan garis polarnya (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = −2𝑃(𝑥 + 𝑥1 − 2𝑎) 7. (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑃(𝑦 − 𝑏) maka persamaan garis polarnya (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) = 2𝑃(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑏) 8. (𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑃(𝑦 − 𝑏) maka persamaan garis polarnya (𝑦 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) = −2𝑃(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑏) IV. Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Parabola dengan Gradien Tertentu Teorema : 1. Persamaan garis singgung dengan gradien 𝑚 pada parabola : a.

𝑃

𝑦 2 = 4𝑃𝑥 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚

𝑃

b. 𝑦 2 = −4𝑃𝑥 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚 c. 𝑥 2 = 4𝑃𝑦 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚2 𝑃 d. 𝑥 2 = −4𝑃𝑦 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚2 𝑃

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

2. Persamaan garis singgung dengan gradien 𝑚 pada parabola : 𝑃 a. (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑃(𝑥 − 𝑎) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑚

𝑃

b. (𝑦 − 𝑏)2 = −4𝑃(𝑥 − 𝑎) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) − 𝑚 c. (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑃(𝑦 − 𝑏) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) − 𝑚2 𝑃 d. (𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑃(𝑦 − 𝑏) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑚2 𝑃 V. Normal, Subnormal, Tangent, Subtangent

𝑦 2 = 4𝑃𝑥 𝑃 = (𝑥1 𝑦1 )

Persamaan garis tangent : Persamaan garis singgung di P(𝑥1 𝑦1 )

(𝑦−𝑦1 ) = 𝑚(𝑥+𝑥1 ) 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1 Distribuskan parabola 𝑦 2 = 4𝑃𝑥 Diperoleh (𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1 )2 = 4𝑃𝑥 2

𝑚2 𝑥 2 + 𝑚2 𝑥1 2 + 𝑦1 − 2𝑚2 𝑥1 + 2𝑚𝑥𝑥1 − 2𝑚𝑥1 𝑦1 − 4𝑃𝑥 = 0 2

𝑚2 𝑥 2 + (−2𝑚2 𝑥1 + 2𝑚𝑦1 − 4𝑃)𝑥 + 𝑦1 2 + 𝑚2 𝑥1 2 − 2𝑚𝑥1 𝑦1 = 0 Syarat menyinggung D=0

𝑥1 = 𝑥2

𝑏

𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 2𝑥1 = −

(−2𝑚2 𝑥1 +2𝑚𝑦1 −4𝑃) 𝑚2

2𝑚2 𝑥1 = 2𝑚2 𝑥1 − 2𝑚2 𝑦1 + 4𝑃 2𝑚𝑦1 = 4𝑃

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

4𝑃

2𝑃

1

𝑦1

𝑚 = 2𝑦 =

1. Persamaan garis singgung melalui P(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦 − 𝑦1 =

2𝑃 𝑦1 2𝑃

𝑦1 2

(𝑥 − 𝑥1 ) (𝑥 − 𝑥1 )

𝑦𝑦1 − 𝑦1 = 2𝑃𝑥 − 2𝑃𝑥1 ; (𝑦1 2 = 4𝑃𝑥1 ) 𝑦𝑦1 − 4𝑃𝑥1 = 2𝑃𝑥 − 2𝑃𝑥1 𝑦𝑦1 = 2𝑃(𝑥 + 𝑥1 ) 2. Persamaan garis normal ⊥ garis tangent 1

𝑦

𝑚2 = − 𝑚 = − 2𝑃1 1

𝑦

Persamaan garis normal 𝑦 − 𝑦1 = − 2𝑃1 (𝑥 − 𝑥1 ) 3. Subtangent Titik potong garis tangent dengan sumbu 𝑥 𝑦𝑦1 = 2𝑃(𝑥 − 𝑥1 ) 0 = 2𝑃𝑥 + 2𝑃𝑥1 𝑥 = 𝑥1 Jadi R (−𝑥1 ,0) Panjang RS=OR+OS=𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑥1 Panjang Subtangent = |2𝑥1 | 4. Subnormal Titik potong normal sumbu 𝑥 𝑦=0 𝑦1 𝑦 − 𝑦1 = − (𝑥 − 𝑥1 ) 2𝑃 𝑦1

0 − 𝑦1 = − 2𝑃 (𝑥 − 𝑥1 ) −2𝑃𝑦1 = −𝑦1 (𝑥 − 𝑥1 ) 2𝑃 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥 = 2𝑝 + 𝑥1 Jadi 𝑇(2𝑃 + 𝑥1 , 0) Panjang ST=OT-OS=(2𝑃 + 𝑥1 ) − 𝑥1 = 2𝑃 Panjang subnormal= |2𝑃| Panjang tangent PR = √𝑦1 2 + 4𝑥1 2 Panjang normal PT = √𝑦1 2 + 4𝑃2

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

𝑦=0

ELIPS  Standar kompetensi Memahami semua materi tentang elips  Kompetensi dasar 1. Mengetahui tentang elips 2. Memahami tentang elips 3. Menjelaskan tentang elips 4. Menelaah tentang elips  Alokasi waktu 1,5 jam x 3 kali pertemuan  Dilaksanakan Pertemuan ke-10 s.d. ke-12  Tujuan pembelajaran Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang elips.

D

Materi dan Pembahasan

I. Definisi Elips Dalam matematika, elips adalah gambar yang merupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan didifinisikan sebagai lokus. Jadi pengertian elips adalah semua titik dalam satu bidang yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah dicantumkan. Titik tersebut adalah titik fokus ( F1 dan F2 ).

1. Cara melukis Elips  Melukis F1 dan F2 pada sumbu koordinat x sehingga OF1 dan OF2 = C  Melukis titik A dan B pada sumbu x sehingga OB = OA = a dimana a > c  Melukis lingkaran dengan pusat F1, jari-jari a di potongkan dengan lingkaran dengan pusat F2, jari-jari a menemukan titik C dan D.

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik



Melukis lingkaran F1, jari-jari P di potongkan dengan F2 sehingga jari-jarinya = 2a – P, temukan P1 , P2 dst. Hubungkan semua titik A,B,C,D P1 , P2 dst.



Persamaan garis direktris (A), x = a 2 dan x = a 2 eksentrisitas , x = c , O < e < 1 c c a Panjang latus rectum L = 2b2 a A, B, C, D adalah titik puncak elips

II.

Persamaan Elips 1. Persamaan elips dengan pusat (0,0) - Jika sumbu utama adalah sumbu x

x2 a2



y2

1

b2

atau

x2 b2 + a2 y2 = a2 b2

a2 – b2 = c2 - Jika sumbu utama adalah sumbu y

x2 b2



y2 a2

1

atau

x2 b2 + y2 b2 = a2 b2

b2 – a2 = c2

2. Persamaan elips dengan pusat R(m,n) - Jika sumbu utama adalah sumbu x

( x  m) 2 a2



( y  n) 2 b2

Direktris : x = m 

III.

1

a2 c

Bentuk Umum Persamaan Elips Bentuk umum ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 Dengan A, B, C, D dan E, ER, A  D, B  D Dari persamaan

( x  p) 2 a2



( y  q) 2 b2

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

1

Sehingga : A = b2, B = a2 , C = 2b2P, D = -2a2 q E = b2 p2 + a2 q2 - a2 b2, dg a > b

IV. Persamaan Garis Singgung Pada Elips - Jika sumbu utama x, dengan pusat elips (0,0) melalui titik P (x1 , y1 ). xy a

2

y2



b

2

1

atau

x.x 1 y. y 1  2 1 a2 b

- Jika sumbu utama y , dengan pusat elips (0,0) melalui titik P(x1, y1).

x2



b2

y2 a2

x.x 1 y. y 1  2 1 b2 a

 1 maka

- Jika sumbu utama sejajar sumbu x, dengan pusat (p,q) dan melewati titik P (x1 , y1 ). (x  x 1 ) 2 a

2



(y  y 1) 2 b

2

 1 maka

( x 1  p)( x  p) ( y 1  a)( y )  1 a2 b2

- Jika sumbu utama sejajar sumbu y, dengan pusat (p,q) dan melewati titik P (x 1 , y1 ). (x  x 1 ) 2 b2



(y  y 1) 2 a2

 1 maka

( x 1  p)( x  p) ( y 1  a)( y )  1 b2 a2

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada elips  

x2 b2



y2 a2

( x  p) 2 a

2



1 

( y  a) 2 b

2

y = mx  a 2 m 2  b

1

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik



y  q  m( x  p)  a 2 m 2  b 2

HIPERBOLA  Standar kompetensi Memahami semua materi tentang hiperbola  Kompetensi dasar 1. Mengetahui tentang hiperbola 2. Memahami tentang hiperbola 3. Menjelaskan tentang hiperbola 4. Menelaah tentang hiperbola  Alokasi waktu 1,5 jam x 3 kali pertemuan  Dilaksanakan Pertemuan ke-13 s.d. ke-15  Tujuan pembelajaran Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang hiperbola

E

Materi dan Pembahasan

I. Definisi Hiperbola Hiperbola adalah himpunan semua titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu sama. Dimana titik tertentu disebut fokus hiperbola, sedangkan selisih jarak yang sama = 2a dan jarak kedua fokus = 2c.

II. Persamaan Hiperbola 1. Persamaan hiperbola dengan pusat di (0,0) Persamaan =

x2 b2



y2 b2

1

- Fokus, F1 = (-c , 0), F2 (c , 0) - Puncak A (-a,0), B(a,0)

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

- Panjang sumbu nyata AB (ab) - Panjang sumbu imajiner CD (2b) - Persamaan direktrik g1 =

a2 c

- Persamaan asimtot y  

,g 2 

a2 c

a2 c

- Panjang latus rectum - Eksentrisitas e 

c , e > 1 a

- Persamaan sumbu nyata , y = 0 (sumbu x) - Persamaan sumbu imajiner , x = 0 (sumbu y) - Asimtot y 

b b x dan y   x a a

2. Persamaan hiperbola dengan pusat (p,q) Persamaan -

( x  p) 2 a2



( y  q) 2 b2

1

Fokus, F1 (p-c,q) dan F2 (p + c , q) Puncak A (p – a , q) dan F2 (p + c , q) a2 Persamaan direktrik x = p  c b Persamaan asimtot y  q   ( x  p ) a Persamaat sumbu nyatu x = p Persamaan sumbu imajiner y = q 2b 2 Panjang latus rectum a c Eksentrasitas e  , e > 1 a (a) 2 a2 ,g 2 : x  p Persamaan direktrik g1 : x  p  c c b b ( x  p) Asimtot, y  q  ( x  p ) dan y  aq  a a

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

III. Menentukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola Disuatu Titik a. Persamaan garis singgung dengan pusat (0,0) melalui titik P (x1 , y1) dengan sumbu nyata ( sumbu x ). x2 y2 x.x 1 y. y 1   2 1  2 1 2 a a2 b b b.

Persamaan garis singgung dengan pusat (0,0) melalui titik P (x 1 , y1) dengan sumbu nyata ( sumbu y ). y2 x2 y. y 1 x.x 1   2 1  2 1 2 a a2 b b

c. Persamaan garis singgung dengan pusat (p,q) melalui titik P (x 1 , y1) dengan sumbu utama sejajar ( sumbu x ). ( x  p) 2 ( y  q) 2 ( x 1  p)( x  p) ( y 1  q)( y  q)     1 1 a2 a2 b2 b2 d. Persamaan garis singgung dengan pusat (p,q) melalui titik P (x 1 , y1) dengan sumbu utama nyata ( sumbu y ). ( y  q) 2 ( x  p) 2 ( y 1  q)( y  a) ( x 1  p)( x  p)   1   1 a2 b2 a2 b2

IV. Menentukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola dengan Gradien Tertentu 1. Sumbu utama (sumbu x) dengan pusat (0,0)

x2 a2



y2 b2



1

y  mx  a 2 m 2  b 2

2. Sumbu utama (sumbu y) dengan pusat (0,0)

y2 a2



x2 b2



1

y  mx  a 2  m 2  b 2

3. Sumbu utama sejajar (sumbu x) dengan pusat (p,q)

( x  p) 2 a2



( y  q) 2 b2

1



y  q  m( x  p ) 

a 2 m 2 b 2

4. Sumbu utama sejajar (sumbu y) dengan pusat (p,q)

( y  q) 2 a2



( x  p) 2 b2

1

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik



y  q  m( x  p ) 

a2m2b2

Contoh : Tentukan titik pusat jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips 4𝑥 2 + 9𝑦 2 + 16𝑥 − 18𝑦 − 11 = 0 Penyelesaian : 4𝑥 2 + 9𝑦 2 + 16𝑥 − 18𝑦 − 11 = 0 4𝑥 2 + 16𝑥 + 9𝑦 2 − 18𝑦 − 11 = 0 4(𝑥 2 + 4𝑥) + 9(𝑦 2 − 2𝑦) − 11 = 0 4(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + 9(𝑦 2 − 2𝑦 + 1) = 11 + 16 + 9 4(𝑥 + 2)2 + 9(𝑦 − 1)2 = 36 (𝑥+2)2 9

+

(𝑦−1)2 4

=1

Pusat elips (-2,1) Jari-jari panjang 𝑎2 = 9 maka 𝑎 = √9 = 3 Jari-jari pendek 𝑏 2 = 4 maka 𝑏 = √4 = 2 3𝑥 2 + 2𝑦 2 + 24 + 4𝑦 + 62 = 0 3(𝑥 2 + 8𝑥) + 2(𝑦 2 − 2𝑦) + 62 = 0 3(𝑥 2 + 8𝑥 + 16) − 3(16) + 2(𝑦 2 − 2𝑦 + 1) − 2(1) + 62 = 0 3(𝑥 + 4)2 − 48 + 2(𝑦 − 1)2 − 2 + 62 = 0 3(𝑥 + 4)2 + 2(𝑦 − 1)2 = −62 + 50 3(𝑥 + 4)2 + 2(𝑦 − 1)2 = −12 (𝑥+4)2 2 (𝑥+4)2 4

+ +

(𝑦−1)2 3 (𝑦−1)2 6

= −12 =1

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

TRANSFORMASI  Standar kompetensi Memahami semua materi tentang transformasi  Kompetensi dasar 1. Mengetahui tentang transformasi 2. Memahami tentang transformasi 3. Menjelaskan tentang transformasi 4. Menelaah tentang hiperbola  Alokasi waktu 1,5 jam x 3 kali pertemuan  Dilaksanakan Pertemuan ke-16 s.d. ke-18  Tujuan pembelajaran Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang transformasi.

F

Materi dan Pembahasan

Jenis-jenis transformasi yang kita kenal ada 4 yaitu : 1. Refleksi (Pencerminan) 2. Translasi (Pergeseran) 3. Rotasi (Perputaran) 4. Dilatasi (Perbanyakan)

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

I.

Refleksi (Pencerminan) 1.

Pencerminan Terhadap Titik

𝑘

Jika titik A dicerminkan terhadap garis 𝑘 menghasilkan bayangan A’. Bila A dihubungkan dengan A’, maka  AP = A’P  AA’ + 𝑘 atau < AP𝑘 = < A’P𝑘 = 90o 2. Pencerminan Terhadap Garis

Bila ∆ PQR diceminkan terhadap garis AB maka :    

PP’ ⊥ AB dan RQ’ ⊥ AB Titik R tetap tidak berpindah tempat, sehingga disebut sebagai invarian). PQ = P’Q’, QR = Q’R, PR = P’R Pencerminan merupakan transformasi isometri, artinya pencerminan pada bangun bayangan ≅ ( kongruen ) dengan bangun asli.

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Sifat-sifat pencerminan : 1. Bangun asal dan bayangannya mempunyai bentuk dan besar sama ( kongruen ). 2. Jarak bangun asal terhadap cermin sama dengan jarak bayangan terhadap cermin. 3. Garis yang menghubungkan titik dan bayangan tegak lurus cermin. 3. Pencerminan Pada Bidang Koordinat 3.1. Pencerminan Terhadap Sumbu x

𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥

Jika titik A (x,y) →

A’ ( x, -y)

3.2. Pencerminan Terhadap Sumbu y

𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦

Jika titik A (x, y ) →

A’ (-x, y )

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

3.3. Pencerminan Terhadap Garis y = x

𝑦=𝑥

Jika titik A ( x, y ) →

A’ (y, x)

3.4. Pencerminan Terhadap Garis y = -x

𝑦=−𝑥

Jika titik A ( x, y ) →

A’ ( -y, -x )

3.5. Pencerminan Terhadap Garis x = k

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

Misalkan

= Panjang PQ = k

Maka PA’

= PQ + QA’

dan

= PQ + AQ ( QA’ = AQ ) = k+k–x PA’

= 2k – x

𝑥=𝑘

Jadi titik A ( x, y ) →

A’ (2k – x, y )

3.6. Pencerminan Terhadap Garis y = h

Misalkan panjang PQ = h dan AQ = h – y Maka panjang AA’

= 2 AQ = 2(h–y) = 2h – 2y

PA’

= PA + AA’ = y + 2h – 2y = 2h – y

𝑦=ℎ

Jadi titik A ( x, y ) →

A’ ( x, 2h – y )

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

AQ = k – k

II.

Translasi (Pergeseran) Pergeseran adalah suatu transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. Arah dan jarak tertentu sering dinyatakan dengan ruas garis berarah

→

1. Pergeseran dengan Ruas Garis Berarah 𝑨𝑩

Karena pergeseran AB maka P → P’ Q → Q’ R → R’

∆ PQR → ∆ P’Q’R’ ∆ PQR ≅ ∆ P’Q’R’ sehingga disebut transformasi isometri.

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

→

𝐴𝐵

𝑎 atau ( ) 𝑏

𝑎 2. Pergeseran dengan ( ) 𝑏

𝑎 T = ( ) : P ( x, y ) → P’(x + a, y + b ) 𝑏

3. Transslasi Berurutan 𝑎 𝑐 Misal ( ) dan ( ) berlaku 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 ( ) + ( ) =( ) 𝑏 𝑑 𝑏+𝑑

III.

Rotasi (Perputaran) Rotasi adalah pemindahan titik, garis atau bangun pada bidang sepanjang busur lingkaran tertentu dan dengan arah tertentu. Rotasi (Perputaran) ditentukan oleh 3 hal yang yaitu : 1. Pusat rotasi 2. Arah rotasi ( searah/berlawanan jarum jam ) 3. Besar sudut rotasi. Arah putaran yang berlawanan arah jarum jam disebut arah positif. Arah putaran searah jarum jam disebut arah negatif.

1. Rotasi pada Bidang Koordinat Rotasi terhadap pusat 0 sejauh ∝0 dinyatakan dengan R (0, ∝0 )

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

1.1. R (0, 900 ) artinya rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 900 dengan arah putaran berlawanan dengan arah putaran jarum jam. 𝑅(0,900 )

P(x, y)

P’ (-y, x)

→

1.2. R (0, -900) artinya rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 900 dengan arah putaran searah putaran jarum jam. P( x, y ) 𝑅(0,−90 →

0)

P’ (y, -x)

1.3. Hasil rotasi pusat O (0,0) sejauh 1800 baik arah putaran berlawanan arah jarum jam R( 0, 1800 ) dan searah jarum jam R( 0, −1800 ) adalah 𝑅(0,1800 )

P( x, y ) 𝑅(0,−1800 ) = P( -x, -y )

2. Rotasi dengan Pusat ( 0,0 ) Sejauh ∝

∝

Jika titik P( x, y )

𝛽

𝑂(0,0)𝑠𝑒𝑗𝑎𝑢ℎ 𝑥

→

OP = OP’ = r ∠ XOP = 𝛽 rad ∠ POP’ = ∝ rad ∠ XOP’ = (𝛽 + ∝ ) rad Dengan ∆ OAP diperoleh 𝑥

cos 𝛽 = 𝑟 ↔ x = r cos 𝛽

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

P’( x’, y’ )

sin 𝛽 =

𝑦 𝑟

↔ y = r sin 𝛽

Dengan ∆ OBP’ diperoleh : 𝑥′

cos (𝛽 + ∝ ) 𝑟 ↔ x’ = r cos (𝛽 + ∝ ) = r cos 𝛽 cos x – r sin 𝛽 sin ∝ = x cos ∝– y sin ∝ sin (𝛽 + ∝ )

𝑦′ 𝑟

↔ y’ = r sin (𝛽 + ∝ ) = r sin 𝛽 cos x – r cos B sin ∝ = y cos ∝ + x sin ∝

Jadi rotasi dengan pusat O ( 0,0 ) sejauh ∝ Maka P ( x, y ) → P’ [ ( x cos ∝ – y sin ∝), ( x sin ∝ + y cos ∝ ) ]

3. Rotasi dengan Pusat A ( a,b ) Sejauh ∝

∝

Jika titik P ( x, y )

𝛽

𝐴(𝑎,𝑏)𝑠𝑒𝑗𝑎𝑢ℎ∝

→

AP = AP’ = r ∠ CAP = 𝛽 rad ∠ PAP’ = ∝ rad ∠ CAP’ = (𝛽 + ∝ ) rad

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

P’( x’,y’ )

AC = x – a

dan

AB = x’ – a

CP = y – b

dan

BP’ = y’ – b

Dengan ∆ ACP diperoleh: cos 𝛽 =

𝐴𝐶 𝑟

↔ AC = r cos 𝛽 x – a = r cos 𝛽 ↔ r cos 𝛽 = x – a

sin 𝛽 =

𝐶𝑃 𝑟

↔ CP = r sin 𝛽 y – b = r sin 𝛽 ↔ r sin 𝛽 = y – b

Dengan ∆ ABP’ diperoleh:

𝐴𝐵

cos (𝛽 + ∝ ) = 𝑟 ↔ AB = r cos (𝛽 + ∝ ) x' – a = r cos 𝛽 cos ∝ - r sin 𝛽 sin ∝ = ( x – a ) cos ∝ – ( y – b ) sin ∝ x' = a + ( x – a ) cos ∝ – ( y – b ) sin ∝

sin (𝛽 + ∝) =

𝐵𝑃′ 𝑟

↔ BP’ = r sin (𝛽 + ∝ ) y' – b = r sin 𝛽 cos ∝ + r cos 𝛽 sin ∝ = ( y – b ) cos ∝– ( x – a ) sin ∝ = ( x – a) sin ∝ + ( y – b ) cos ∝ = b ( x – a ) sin ∝ + ( y – b ) cos ∝

Jadi rotasi dengan pusat A( a,b ) sejauh ∝ Maka P( x,y ) → P’ [ ( a + ( x – a ) cos ∝ – ( y - b ) sin ∝ ), ( b( x – a ) sin ∝ + ( y – b ) cos ∝ ) ]

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

IV.

Dilatasi (Perbayakan)

Dilatasi adalah perkalian bangun, yang dapat berupa pembesaran atau pengecilan, dengan titik pusat dilatasi tertentu dan faktor skala dilatasi (k) tertentu. Dilatasi dengan pusat P dan faktor skala k dinyatakan dengan [ P,K ].

1. Dilatasi dengan Pusat O( 0,0 ) dan Faktor Skala k

P( x, y )

𝐷[0,𝑘]

→

P’( x’,y’ )

Karena O,P,P’ segaris maka →

𝑂𝑃′

𝑥′

= K→ 𝑂𝑃

𝑥

(𝑦 ′) = 𝑘 (𝑦 ) 𝑥′

𝑘𝑥

(𝑦 ′) = (𝑘𝑦 ) x' = kx dan y’ = ky

Jadi pada dilatasi [ O,k ] dimana O adalah titik ( 0,0 ) P( x,y ) → P’( kx, ky )

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik

2. Dilatasi dengan Pusat A( a,b ) dan Faktor Skala k

P( x, y ) 𝐷[𝐴,𝑘] P’( x’,y’ ) → Karena A,P dan P’ segaris maka →

𝐴𝑃′

=k→ 𝐴𝑃

→

-→

→

=→ 𝑂𝐴′ + k (→ 𝑂𝑃

𝑂𝑃′ 𝑂𝑃′

𝑂𝐴′

=k (→

𝑂𝑃

-→

𝑂𝐴

)

-→ 𝑂𝐴

)

𝑥 𝑎 𝑎 𝑥1 ( 1 ) = ( ) + 𝑘[(𝑦) − ( )] 𝑏 𝑏 𝑦 𝑥−𝑎 𝑎 𝑥1 ( 1 ) = ( ) + 𝑘 (𝑦 − 𝑏 ) 𝑏 𝑦 𝑘(𝑥 − 𝑎) 𝑎 𝑥1 ( 1) = ( ) + ( ) 𝑏 𝑘(𝑦 − 𝑏) 𝑦 𝑎 + 𝑘(𝑥 − 𝑎) 𝑥1 ( 1) = ( ) 𝑏 + 𝑘(𝑦 − 𝑏) 𝑦 x' = a + k ( x – a ) y’ = b + k ( y – b ) Jadi pada dilatasi [ A,k ] dimana A adalah titik ( a,b ) maka P( x,y ) → P’(a + k ( x – a ), b + k ( y – b ))

Panduan Belajar Matematika Geometri Analitik