Ipiales Italo_momento_polar_inercia.docx

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2017 - FEBRERO/ 2018

Tema:

Momento Polar de Inercia Carrera de Ingeniería Industrial en Procesos de Automatización

Ciclo Académico y Paralelo: Alumnos participantes: Módulo y Docente: Fecha:

Quinto Industrial Ipiales Martinez Italo Ramiro Resistencia de los Materiales Ing. Fernando Urrutia. 08 de diciembre de 2017

ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL EN MIEMBROS CON SECCIONES TRANSVERSALES CIRCULARES

Fig. 1: Esfuerzo cortante torsional de una barra circular

Fig. 2: Distribución del esfuerzo cortante en la sección transversal de una barra.

Cuando la barra circular se somete a un par de torsión externo, el material en cada una de sus secciones transversales se deforma de tal modo que las fibras en la superficie externas experimentan la deformación máxima. En el eje central de la barra no se produce deformación. Entre el centro y la superficie externa, la deformación varía linealmente con la posición radial r. Como el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación, podemos decir que el esfuerzo máximo ocurre en la superficie externa, que el esfuerzo varía linealmente con la posición radial r y que en el centro el esfuerzo es cero. Por lo que expresamos la fórmula del esfuerzo cortante torsional como tmáx =

Tc J Ec1: Formula del Esfuerzo cortante torsional

Donde T=par de torsión aplicado en la sección de interés C=radio de la sección transversal J=momento polar de inercia de la sección transversal La fórmula del momento polar de inercia (J ) de una sección transversal circular se desarrolla en la figura 1. Por el momento, mostramos los resultados de la derivación, como, J

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2017 - FEBRERO/ 2018

J =

πD4 32

Ec2: Momento polar de inercia de una barra circular

Donde D es el diámetro de la flecha; es decir, D 2R. Por la variación lineal del esfuerzo y la deformación con la posición en la barra como se ilustra en la figura 2, el esfuerzo, T, en cualquier posición radial, r, puede calcularse por medio de t = tmáx

r c Ec3: Esfuerzo cortante en cualquier radio

Las ecuaciones (1), (2) y (3) se utilizan para calcular el esfuerzo cortante en un punto cualquiera de una barra circular sometida a un par de torsión externo. DERIVACIÓN DE LA FÓRMULA DEL ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL Las figuras 1 y 2 presentan las cargas de torsión y el efecto del par de torsión en el comportamiento de la barra circular. Partiendo de este análisis suponemos que el material de la barra se comporta conforme a la ley de Hooke; es decir, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación. Además, las propiedades de la barra son homogéneas y reacciona igual independientemente de la dirección de las cargas aplicadas. Entonces, Si se consideran dos secciones transversales M y N en diferentes lugares de la barra, la sección N giraría un ángulo con respecto a la sección M. Las fibras del material experimentarían una deformación que sería máxima en la superficie externa de la barra y variarían linealmente con la posición radial hasta un valor nulo en el centro de la barra. Debido a que, en el caso de los materiales elásticos que obedecen la ley de Hooke, También se muestra la variación lineal del esfuerzo, T, con la posición radial, r, en la sección transversal. Entonces usando la proporcionalidad de triángulos semejantes [1], T tmáx = r c En consecuencia, el esfuerzo cortante en cualquier radio se expresa como una función del esfuerzo cortante máximo en la superficie externa de la flecha, T = tmáx ∗

r c

Es de hacerse notar que el esfuerzo cortante T actúa de manera uniforme en una pequeña área anular, dA, de la flecha. Como conocemos que la fuerza es igual al esfuerzo por el área, la fuerza en el área dA es dF = TdA = tmáx

r x dA c

esfuerzo

área

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2017 - FEBRERO/ 2018

Fig. 3: Esfuerzo cortante T en el radio r que actúa en el área dA

El siguiente paso es considerar que el par de torsión dT generado por esta fuerza es el producto de dF por la distancia radial a dA. Entonces Radio r r2 dT = dF ∗ r = tmáx dA ∗ r = tmáx dA c c Fuerza Esta ecuación es el par de torsión resistente interno desarrollado en la área pequeña dA. El par de torsión total en toda la superficie sería la suma de todos los pares de torsión individuales que actúan en todas las áreas de la sección transversal (Integración) [1]. r2 T = ∫ dT = ∫ tmáx dA c En el proceso de integración, los valores constantes pueden salir del signo de integración, y la ecuación se escribe como T =

tmáx ∫ r 2 dA c

En mecánica, el término ∫r2 dA recibe el nombre de momento polar de inercia y se identifica con el símbolo J. La ecuación puede escribirse como J

T = tmáx c

tmáx =

Tc J

El esfuerzo cortante máximo ocurre en una parte cualquiera de la superficie externa de la barra. Se debe considerar que dA es el área de un pequeño anillo de espesor dr situado a una distancia r del centro de la sección. Con dr de pequeña magnitud, el área es la de una franja de longitud igual a la circunferencia del anillo por el espesor [2]. Espesor del anillo dA = 2πr ∗ dr Circunferencia de un anillo en el radio r

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2017 - FEBRERO/ 2018

En consecuencia, el momento polar de inercia de toda la sección transversal se determina integrando desde r 0 en el centro de la barra hasta r R en la superficie externa. 𝑅

𝑅

𝑅

J = ∫ r 2 dA = ∫ r 2 (2πr)dr = ∫ (2πr 3 )dr = 0

0

0

2πR4 πR4 = 4 2

En general, es más conveniente utilizar el diámetro en lugar del radio. Luego como R D/2,

𝐽=

D 4 2π ( 2 ) 4

=

πD4 32

ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL Y MOMENTO POLAR DE INERCIA DE BARRAS CIRCULARES HUECAS La figura 4 muestra la geometría básica de una barra hueca. Las variables son, Ri =radio interno Di =diámetro interno Ro =radio externo =c Do =diámetro externo

Fig. 4: Notación para las variables utilizadas en la derivación de J para una barra redonda hueca

Momento polar de inercia de una barra hueca. El proceso de derivación de la fórmula del momento polar de inercia de una barra hueca es similar a la que se utilizó para la barra sólida. Consulte de nuevo la figura 4 por lo que se refiere a la geometría. Partiendo de la definición básica del momento polar de inercia [2], J = ∫ r 2 dA Como antes, dA = 2πrdr. Pero en el caso de la barra hueca, r varía únicamente desde Ri hasta Ro. Luego

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2017 - FEBRERO/ 2018 𝑅𝑜

𝑅𝑜

J = ∫ r 2 (2πr)dr = 2π ∫ (r 3 )dr = 𝑅𝑖

𝑅𝑖

J =

2π(R4𝑜 − R4𝑖 ) 4

π 4 (R − R4𝑖 ) 2 𝑜

Sustituyendo Ro=Do /2 y Ri=Di /2 se obtiene J =

π (D4 − D4𝑖 ) 32 𝑜

Bibliografía [1] P. Stiopin, Resistencia de los Materiales, Moscu: MIR, 1968. [2] R. Mott, Resistencia de los Materiales, Mexico: Pearson Educacion, 2009.