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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA MEDIDA.

1.- Introducción La mayoría de los textos de Física General que existen no hacen referencias a la Física Experimental, y si lo hacen es de una forma somera e insuficiente. Sin embargo, no debemos olvidar en ningún momento que la Física es una ciencia experimental y como tal la validez de una teoría se halla sujeta a la comprobación práctica de la misma. Por tanto, resulta de gran importancia que la preparación práctica recibida por el alumno sea la adecuada. La experimentación implica la recogida de una serie de datos que no son otra cosa que la comparación de una magnitud del sistema con un patrón tomado como referencia. Ahora bien, la medida no es, en muchos casos, una labor fácil, pues se ve a menudo afectada por muchos errores. Fundamentalmente, atendiendo a las causas que los provocan, existen dos tipos de errores: accidentales y sistemáticos. Los errores accidentales son los que afectan a la medida de forma aleatoria. En muchos casos es difícil de determinar su origen, y su eliminación es prácticamente imposible. Por ejemplo, son errores accidentales las pequeñas fluctuaciones que aparecen en cualquier experimento en la temperatura, humedad, presión, etc., que hacen que todas las medidas que hacemos sean diferentes unas de otras. Los errores sistemáticos son los que afectan a la medida siempre en la misma cuantía, y están, normalmente, asociados a la exactitud y a los defectos o mala calibración del aparato que se utiliza para medir. Es de especial importancia el error sistemático asociado a la exactitud del aparato conocido como error instrumental. Por lo general, este tipo de errores son susceptibles de ser suprimidos, o en el peor de los casos (error instrumental), como veremos, cuantificados. Para determinar si en una medida con un determinado aparato predominan los errores accidentales o los errores sistemáticos tenemos que hacer varias medidas de una misma cantidad. Si el máximo del valor absoluto de la diferencia de la media menos las medidas hechas es igual o menor que el error instrumental predominarán los errores sistemáticos. En caso contrario predominarán los errores accidentales. En particular nosotros vamos a seguir el siguiente criterio: "Se realizan tres medidas y se calcula la media; si la desviación máxima, en valor absoluto, entre las medidas y la media es superior al error instrumental, las causas predominantes son accidentales. En caso contrario, las causas del error serán sistemáticas. "

Independientemente de que las causas de error sean accidentales o sistemáticas trataremos los errores como si estos fueran sistemáticos mediante la teoría de errores que explicaremos más adelante. En caso de predominar los errores accidentales sería necesario aplicar métodos estadísticos, mediante los cuales se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor más probable en un conjunto de medidas, pero dado el nivel básico del curso no se considerará este caso.

2.- Errores Sistemáticos - Error absoluto.- Se define el error absoluto como el valor de la diferencia entre el valor obtenido en la medida, X m , y el verdadero valor de la medida x:

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Ahora bien, está claro que dicha definición carece de utilidad práctica puesto que el valor verdadero de la medida se desconoce. Por esto, en la práctica, suele asociarse el error absoluto con el radio de un intervalo dentro del cual tenemos la certeza de que se encuentra el valor verdadero. Así, si en una experiencia se desprecia el efecto de los errores accidentales y sólo se considera el error instrumental, el error absoluto de todas las medidas coincidirá con el error instrumental. - Error relativo.- Se define el error relativo como el cociente existente entre el error absoluto y

el valor verdadero de una medida:

x Como en el caso del error absoluto, la definición de error relativo es inoperante, desde el punto de vista práctico, puesto que no se conoce el valor verdadero de la medida, y es usual tomar como valor verdadero el valor medido en el laboratorio. El error relativo es una cantidad adimensional y con frecuencia se multiplica por 100 para expresarlo en tanto por ciento. - Exactitud.- La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. Se dice de una medida que es tanto más exacta cuanto menor sea el error absoluto asociado, así que se puede definir la exactitud como la inversa del error absoluto. - Precisión.- Se dice que un aparato es preciso si la diferencia entre distintas medidas de la misma magnitud es muy pequeña. Una medida es tanto más precisa cuanto menor sea su error relativo, así que se puede definir la precisión como la inversa del error relativo. - Sensibilidad.- Se define la sensibilidad como la unidad más pequeña que puede detectar un aparato de medida. Por ejemplo, se dice que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg si ésta no presenta ninguna desviación para masas inferiores a la citada. La sensibilidad se asocia con el denominado "error instrumental" del aparato.

3.- Error Instrumental y Forma Correcta de Expresar las Medidas Como se comentó en la introducción, consideraremos que el único error que afecta a nuestras medidas es el error instrumental. Pero, ¿en qué consiste este error? El error instrumental es aquel que cometemos al medir con un aparato una magnitud física, debido al carácter finito de apreciación que tiene el mismo. Por ejemplo, si medimos la distancia existente entre dos rectas paralelas con una regla calibrada en milímetros podemos tener la situación que se presenta en la figura l.

Figura 1

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Está claro que el valor verdadero de la medida es mayor que 7.7 centímetros y menor que 7.8 centímetros, pero no podemos determinar de forma exacta cual es este valor (no se puede decir que la mediad es 7,75, por ejemplo). Lo único que podemos hacer es acotar la medida diciendo que ésta se encuentra entre los citados valores. La pregunta que nos surge entonces es ¿de qué forma podemos expresar la medida realizada? Para ello, tomaremos como valor de la medida cualquiera de los dos valores entre Jos que está comprendido el valor real de la misma es decir 7.7 o 7.8 centímetros, y a continuación afectaremos el valor elegido con un error igual al error instrumental de la regla que en este caso es 0.1 centímetros. Así la medida anterior se podría expresar de las dos formas siguientes:

medida = 7.7 ±O.l(cm)

o bien

medida = 7.8±O.1(cm)

La primera de las medidas expresa que el valor verdadero se encuentra comprendido entre 7.7-0.1=7.6 centímetros y 7.7+0.1=7.8 centímetros, y la segunda medida que el valor verdadero está situado entre 7.8-0.1 =7.7 centímetros y 7.8+0.1 =7.9 centímetros. Como puede observarse cualquiera de las dos formas de expresar la medida es correcta puesto que en los intervalos que definen está comprendido el valor verdadero. Con este ejemplo queda claro que el error instrumental viene, por tanto, dado por la mínima variación de la magnitud que el aparato puede detectar en el intervalo en el cual se encuentra el valor verdadero de la magnitud. En el citado ejemplo de la regla el error es el mismo para cualquier medida. Sin embargo, hay aparatos de medida en los cuales el error varía dependiendo del valor medido, e incluso otros en los que nosotros podemos elegir cuál es el error instrumental. Hay, por tanto, que tener esto en cuenta; en los primeros para anotar el error que corresponda según el intervalo en que se encuentre la medida y en los segundos para elegir el menor error instrumental que se pueda en cada caso. El error instrumental es el error absoluto con que solemos dotar inicialmente a una medida obtenida directamente con un aparato de medida. A veces se llevan a cabo múltiples medidas de un fenómeno (x], X2, ... , x n ). El error de la media aritmética puede entonces calcularse a través del error cuadrático medio, o desviación típica de la media, que viene dado por la expresión:

i=1

n(n -1)

siendo

x

¿¡Xi n

el valor medio de las n medidas.

4.- Propagación Lineal de Errores Sistemáticos Normalmente, el objetivo de la medida de una o más magnitudes en el laboratorio es poder hallar el valor de otra magnitud que está relacionada con las medidas mediante una expresión matemática. Como ya hemos visto, la medida de cualquier magnitud está afectada de un error que, como ya hemos dicho, vamos a identificar con el error instrumental, el cual depende directamente a su vez de la exactitud del aparato con el que realicemos la medida. Lógicamente, si calculamos cualquier valor a partir de unos datos medidos en el laboratorio, como estos están afectados por el error instrumental, el valor calculado estará afectado por otro error que tendremos que hallar.

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Supongamos que queremos obtener el error de una magnitud y que es función de n variables diferentes Xi, relacionadas entre sí por una función de la forma y

y(x¡,c), donde las Cj son constantes

En qué medida afectan a y los errores cometidos en la determinación de las Xi y Cj. En la aproximación de errores pequeños de tipo instrumental, el cálculo diferencial nos da la solución, dy

ay

Li (.,..-:) dXi uXI

ay

+ Lj (-a.) dCj CJ

dy, dx¡ y dCj representan los errores absolutos

~y, ~x¡

y ~Cj

Si mediante el cálculo matemático, algún término de la ecuación anterior figurase con signo negativo, éste se convertirá en positivo, ya que se trata de calcular una cota o límite de error y éstos siempre se deben sumar. Dado que la ecuación anterior es una expresión lineal, se habla de propagación lineal de errores.

y

Si hacemos A == L¡ laaXI.¡ dx¡ , que representa la contribución de los errores dx¡ en dy, y B = Lj

I

aOYeJ.I dCj , contribución a dy de los errores de las constantes, tenemos que tener

presente que por norma se elige que ésta última contribución sea diez veces menor que las de las variables, es decir, B = O.IA, lo que permite elegir el número de cifras de las constantes.

Tabla.- Propagación lineal de errores en las funciones más habituales Operación

Error

u=x+y

l'1u

u=x-y u=xy x u y u =ax

I

fu+ l'1y

u

Error

sine

l'1u = leos el 1'1 e (~e

e = are sin x

fu l'1y -=-+­ lul Ixl Iyl l'1u

u=e

lalfu

1

e

I

l'1u

en radiatles}

x

I

xa

U

l'1u I I fu ¡;¡=aR

i

.

(~e

.

l'1u

-

=lnx

1-~

en radilmes

fu fu

I

R

Veamos a continuación un ejemplo: Supongamos que queremos calcular la velocidad media de un móvil entre dos puntos. Tendríamos que: - Primero, elegir entre qué dos puntos vamos a medir la velocidad media. - Segundo, medir la distancia x entre los puntos elegidos. Tercero, medir el tiempo t que tarda el móvil en recorrer la distancia entre los dos puntos elegidos. - Cuarto, calcular mediante la expresión Vmedia=X/t la velocidad media.

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I

1'1 = ~ fu

lul

iu I

. Operación

Supongamos, también, que los valores obtenidos al medir x y t son: x

(lO.O±O.l)cm; t

(9.0±0.1) s

(Notar que las anteriores medidas significan que hemos utilizado una regla dividida en milímetros y un cronómetro que puede medir hasta décimas de segundo). El valor de la velocidad media viene dado por: X

vmedía=-

t

1.11 l...(cmIs)

mientras que el error vendrá dado por:

L1v,

medw

=IOvmedíG ax

1:

L1x

+laVmedía at 1M = 1!t1L1x +I-~IM t 2

= O.02(cm I s)

con lo cual el resultado total de la medida de la velocidad media realizada es: V media

(1.11 ± O.02)cm I S

Aquí, hay que hacer notar que aunque el valor obtenido de la velocidad es un número periódico puro, tenemos que cortar el número de decimales justo en el mismo lugar en el que aparece la primera cifra significativa del error. En este caso la segunda cifra decimal. Por otro lado, en el caso de que el error nos diese como resultado un número real con más de una cifra decimal distinta de cero, habría que aproximar el error a una sola cifra significativa. Así si el error nos hubiese salido L1y =0.3333 ... , habría que haberlo aproximado por L1y =0.3. Finalmente recordar, una vez más, que la expresión (1) para el error es sólo válida en el caso de que estemos tratando con errores sistemáticos, que será el que se considerará en todos las prácticas que veremos en este curso.

5.- Presentación de Resultados Numéricos De acuerdo con el significado del error absoluto, la forma correcta de expresar el resultado de una medida es:

y±Ay donde y es la medida o su valor medio (si se han realizado varias medias) y Ay el error instrumental, indicando naturalmente, las unidades utilizadas. No obstante, tenernos que hacer . al redondeo de algunas observaciones en relación a la limitación en el número de cifras y un número. De ordinario, y dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error absoluto, éste sólo debe tener un dígito significativo (distinto de cero), redondeándose su valor por defecto si el que inicialmente iba a ser el segundo dígito significativo es inferior a 5, y haciéndose un redondeo por exceso si el segundo dígito significativo fuese 5 o mayor que 5. Además, el valor de la medida debe tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra

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significativa sea del mismo orden decimal que la última del error absoluto, llamada cifra de acotamiento o redondeo. Como ejemplo, en la siguiente tabla se muestran los valores de distintas magnitudes para poner de manifiesto 10 dicho anteriormente: Valores Incorrectos

Valores Correctos

2.218 ± 0.123

2.2 ± 0.1 5.30 ± 0.08

5.3 ± 0.08

(56 ± 2)XI0 3

56288 ± 1551 348.351 ± 0.27

348.4 ± 0.3

0.04681 ± 0.0058

0.047 ± 0.006

Nota: Algunos autores admiten, por convenio, que el error absoluto puede darse con dos cifras significativas si la primera de ellas es un 1, o si siendo la primera un 2, la segunda no llega a 5. En todos los demás casos debe darse un valor con una sola cifra, aumentando la primera en una unidad si la segunda fuese 5 o mayor que 5.

En la resolución de problemas no se puede considerar una respuesta satisfactoria a menos que los resultados estén expresados con las cifras significativas correctas. Cuando los números se multipliquen o dividan, el resultado ha de tener el mismo número de cifras significativas que tenga la cantidad dada con menor precisión. Finalmente, hay que indicar que si el valor de una medida se toma de una tabla o cualquier otro lugar que no indique expresamente el error cometido, se tomará como si todas sus cifras fueran significativas.

6.- Regresión Lineal por Mínimos Cuadrados Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresión matemática del tipo y=f(x) de la ley física que rige el comportamiento de un determinado fenómeno, a partir de una serie de n medidas (Xi'YI)' de las magnitudes x e y que lo caracterizan. Cuando la representación gráfica del fenómeno estudiado proporciona una distribución de los puntos experimentales en forma prácticamente lineal, es conveniente determinar la ecuación de la recta que será expresión de la ley física que rige el fenómeno estudiado, utilizando para ello el método de mínimos cuadrados. Dicha recta debe cumplir la condición de que los puntos experimentales queden distribuidos simétricamente a ambas partes de la misma y, además, lo más próximos posible. Esta condición se cumple si se obliga a que la recta de ecuación: y=ax+b

cumpla con que la expresión

R=

n

n

i~1

i~1

2:>¡2 = I(Yi -ax¡ _b)2

tenga un valor mínimo (es decir, que la suma de los cuadrados de las distancias, r,=y¡-(ax,+b), sea mínima). Derivando R respecto a "a" y "b", y anulando ambas derivadas, tras una serie de operaciones se obtiene: 6

nC DE nF-D

b= FE-DC nF D2

a=----;:­ 2 siendo: n

C

I>;y,;

11

D= ¿x,;

;=1

;=1

i=1

1=1

Además de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es interesante obtener el denominado coeficiente de correlación lineal, r, que nos da una medida del grado de correlación entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta qué, punto x e y están relacionadas mediante una función lineal. La expresión de res:

nC

r

DE

n

siendo G

= ¿ y;2 .

El coeficiente de correlación puede ser positivo o negativo y su valor

absoluto varía entre O(no existe correlación) y 1 (correlación completa). Las expresiones correspondientes al cálculo del error de la pendiente a y la ordenada en el origen b son: n

b)2

¿(Yi ax¡ t:.a =

1=1

n

(n-2)¿(x

l

xY

i=1

(xY

-1 + ----'---'--­ n n ¿(Xi xf

1=1

(n -2)

1=1

siendo

x = ¿I XI

el valor medio de las n medidas.

n

Muchas calculadoras y programas para la representación gráfica de funciones traen incorporadas como utilidad estadística el cálculo de rectas de regresión, proporcionando todos los parámetros del ajuste para los pares de valores (x¡,yJ que se utilicen como datos.

NOTA: Existen otras muchas dependencias más complicadas que pueden reducirse a una dependencia lineal mediante un cambio de variables adecuado, como por ejemplo: Función inicial 2 y ax

Cambio de variables

y=a~ y ax n

~=z

y

= aexp(-x)

X2

Forma lineal y=az

z

y=az

lny z;lna = b;lnx lny = z;lna = b 7

t

nt+b z =-x+b

z

7.- Construcción de Gráficas Al objeto de que las representaciones gráficas de los fenómenos físicos que estudiemos aporten toda la información necesaria y de la forma más adecuada, en su construcción deben seguirse ciertas normas de carácter general: 1) Las gráficas podrán realizarse manualmente (en papel milimetrado) o bien haciendo uso de algún software gráfico. 2) La variable independiente del fenómeno debe ir representada en abscisas y la dependiente en ordenadas. 3) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Para ello se elegirán las escalas con intervalos de 1,2,5, 10,20,... unidades y deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y sólo el citado intervalo. 4) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala (que han de quedar así uniformemente espaciadas). Nunca se señalan los valores correspondientes a las medidas realizadas, mientras que debe especificarse siempre sobre los ejes cuáles son las magnitudes allí representadas y las unidades físicas correspond ¡entes. 5) Los datos experimentales siempre deben aparecer de forma nítida en la gráfica. Se representarán como un conjunto de puntos. En este sentido, las gráficas han de ser líneas finas "continuas" nunca quebradas, por lo que no deben unirse dichos puntos entre sí (debe controlarse esta opción en los programas de gráfico utilizado). 6) Sobre la nube de puntos experimentales se dibujará la recta de regresión en una única gráfica.

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