Introduccion A La A Aplicada Profesor Jacobo

ESTADISTICA BASICA I.

INTRODUCCION A LA ESTADISTICA.

DEF: ESTADISTICA. Se refiere a un conjunto de métodos para manejar la organización obtención y descripción de observaciones numéricas. OBJETIVO: Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones o realizar generalizaciones a cerca de las características de todas las posibles observaciones bajo consideración: La estadística se divide en Descriptiva: Organiza, presenta, obtiene y describe Información numérica. ESTADISTICA

Inferencial: Hace generalizaciones o predicciones en base, base a información parcial o incompleta obtenida mediante técnicas descriptivas.

DEFINICION: ESTADISTICA INFERENCIAL.- Es un método mediante el cual se obtiene generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial ò incompleta obtenida mediante métodos descriptivos, (Técnicas descriptivas). ESTADISTICA DESCRIPTIVA.- Se refiere aquella parte del estudio que incluye la obtención, organización, presentación y descripción de información numérica. Dos conceptos importantes dentro de la estadística población: DEF: Se define como la totalidad de todas las posibles mediciones y observaciones bajo consideraciones en una situación dada de un problema. Variables: DEF: Denotadas por X, Y, Z Se llaman así pues durante todo un proceso pueden tomar valores diferentes. CONSTANTE: DEF: Se llama así pues durante todo un proceso, no cambia. VARIABLES DISCRETAS: Son aquellas variables que solo toma valores enteros positivos (las enumeraciones o conteos dan origen a datos discretos ejemplo).

1.- El nacimiento de un niño 2.- En una familia el número de hijos 3.- Numero de acciones vendidas cada día en un mercado de valores 4.- Censos anuales del colegio de profesores 5.- Números de libros en un estante de librería 6.- Suma “S” de puntos obtenidos en lanzamientos de un par de dados 7.- Numero de billetes “n “de veinte dólares circulando ala vez en estados unidos 8.- Valor total de acciones vendidas cada día en el mercado de valores. 9.-Estudiantes matriculados en una universidad en un número de años 10.- Numero “n” de individuos de una familia 11.- Numero “P” de pétalos de una flor 12.- Numero de de accidentes durante una semana 13.- Numero de terremotos 14.- Numero de juegos perdidos por inasistencia 15.- Cantidad de cosechas perdidas VARIABLES CONTINUA: DEF: Es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados. Más aun: DEF: Es aquella que puede tomar valores reales (medidas dan origen a datos continuos). Ejemplos: 1.- La altura “H” de los alumnos de la Lic. en comercio y FIN, INT 2.- El peso “H” de los alumnos 3.- Temperatura registrada cada media hora en un observatorio 4.- Periodo de duración de los tubos de televisión producidos por una compañía. 5.- Longitud de 1000 cerrojos productos en una fabrica 6.- Pulgadas de precipitación en una ciudad durante varios meses del año 7.- Velocidad de un automóvil en millas por hora 8.- Tiempo “T” de vuelo de un proyectil 9.- Numero “G” de litros de agua en una maquina de lavar. 10.-Diámetro “D” de una esfera o circunstancia 11.- Duración de unas baterías 12.- Alturas “H” de los pinos 13.- Pesos de las cajas de naranjas 14.- Duración de una conversación telefónica 15.- Tiempo para resolver un examen Finitas Poblaciones Infinitas

Poblaciones finitas.- Es aquella que incluye un numero limitado de medidas y observaciones. EJEMPLOS: 1.- La población consistente en todos los cerrojos producidos por una fabrica en un día determinado. Poblaciones infinitas.- Es cuando incluye un gran conjunto de medidas u observaciones que no pueden alcanzarse por conteo. EJEMPLO: 1.- La población formada por los nacimientos de seres humanos en el pasado y en el futuro. 2.- La población formada por todos los posibles sucesos en tiradas sucesivas de una moneda. PARAMETROS.- Son las características medibles de una población son valores representativos obtenidos de la población. Ejemplo: Promedio Las calificaciones promedio de los alumnos de ing. Civil. Es una característica medible. Valores verdaderos: Son los valores de los parámetros de la población. MUESTRA: una muestra es un objeto de medidas u observaciones tomadas a partir de una población dada. Es decir: Una muestra es un subobjeto de una población. Observación. Las muestras se toman debido a que no es factible desde el punto de vista económico recolectar todas las observaciones posibles de la población (aunque en algunos casos sea posible). PROPORCION EN LA POBLACION: Es un parámetro y se desconoce es la proporción de todas las partes producidas en el proceso que sean defectuosas. Se estima mediante una proporción en la muestra. Lo cual es la proporción de partes defectuosas contenidas en la muestra. La proporción de una población se calcula dividiendo el numero de mediciones defectuosas en la muestra entre el tamaño de la muestra. ESTADISTICO.- Es una característica medible de una muestra es decir un estadístico es para una muestra lo que parámetro para una población. Ejemplo:

Si un lote de 200 partes producidas en cierto proceso, la persona encargada del control de calidad encontró 30 partes defectuosas. Luego: 30 = 0.15 La proporción de la muestra es 30 Observación: Con la estadística inferencial. Hace generalizaciones, predicciones e inferencias a partida de procedimientos obtenidos. Proporciona una serie de procedimientos para la selección adecuada de una muestra. Recopila los datos y formula predicciones debidamente fundamentadas, en las que partiendo de los datos obtenidos en una muestra, hacemos estimaciones validas para la población a la que pertenece la muestra. RESUMEN DE ESTADISTICA Descriptiva – Datos muéstrales -

-Obtención -Organización -Presentación -Inscripción

ESTADISTICA

-Promedios -Proporciones, etc. ESTADISTICOS MUESTRALES

Estimación de Inferencia A cerca de Inferencial

Parámetros de la Población (promedios proporción)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA DEF: Método estadístico para estudiar el comportamiento de un conjunto de datos consiste en arreglar los datos ordenándolos en intervalos de clase e indicando el número de datos comprendidos en cada clase: RANGO DEF: Dado un ejemplo de datos definimos el rango como la diferencia entre el mayor de los daos y el menor de todos los datos ejemplo: 6, 8, 7, 6,5 Rango= 8-5= 3 INTERVALO DE CLASE: DEF: Es el espacio comprendido entre 2 limites ( superior e inferior) esta magnitud es obtenida como. Magnitud del intervalo=

rango n.de int ervalo

Los intervalos tienen por lo general el mismo ancho el ancho debe ser numero impar. N. de intervalo de clase 5

15

Estos varían de 5 a 20, según autores se pueden calcular esa n. aproximado como: K= N donde N= N, de observaciones N< 100 Aunque la mayoría de veces el calculo es empírico ò n. de intervalo = 1+ 3.322 Lign n. # total de datos. Los intervalos de ancho numero impar Los intervalos de clase se eligen también de forma que las marcas de clase coincidan con datos realmente obsérvalo, esto tiende a aminorar el llamado ERROR DE AGRUPAMIENTO. Observaciones Recomendaciones para el número de intervalos a usar: La ecuación auxiliar es:

N ≤ = Z∠ donde ∠ : es número de intervalo recomendado numero total de datos. Por ejemplo: Si n= 50 K= 6

6

2 = 64 7

:. 64= 2 = 128 Luego con 7 intervalos es recomendado La tabla muestra el numero de intervalos para un # especifico de observaciones. # Total de observaciones

II.- recomendado de clase

9 − 16 17 − 32 33 − 64 65 − 128 124 − 256 257 − 512 513 − 1024

4 5 6 7 8 9 10

Observación: Dado que ancho intervalo:

rango =i # declases

Condición: 1.- si i no es entero conviene redondear al entero superior luego se tendra: Nueve rango= (# clases) (intervalo). Observación: si i es exactamente un entero no utilizar i-1 para la formación de los intervalos. FORMACION DE LOS INTERVALOS 1.- Forme los intervalos de clase agregado i − l al límite inferior de cada clase iniciando por el límite inferior del rango. El límite inferior de la siguiente clase será el valor con secativo al máximo de la clase anterior y así sucesivamente.

LIMITE REALES. Los intervalos de clase son mutuamente excluyentes se obtiene como el punto entre el limite. Superior de una clase y el limite inferior de la clase siguiente. FRECUENCIA DE CLASE: Se define como el número de datos que caen dentro de casa intervalo clase. MARCA DE CLASE lim ite inf erior + lim ite sup erior Marca de clase= 2 Reglas general para formar distribuciones de frecuencia 1.- Halle el rango Rango= χmas − χ min 2.- Seleccione el número de intervalos de modo que. rango Ancho intervalo = # declases • •

Si no es entero conviene redondear al entero superior Obliga a un ajuste del rango Nuevo rango= (ancho Inter.) ( # de intervalos) • Luego se tendra una nueva reasignación para χmas, χ min 3.- Forme los intervalos de clase. 4.- fije los límites reales de clases. 5.- Determine la frecuencia de clase. Nota: Si i es exactamente un entero no se usara i-1 para la formación de los intervalos. 1.- es decir el primer intervalo será χ min → χ min + i 2.- 2do intervalo será. ( χ min + 1) + 1 → ( χ min + i ) + 1 + i Ejemplo. Considere una muestra aleatoria de los ingresos ganados, en cierto sábado por los estudiantes de los UPCH. Que trabajan si la muestra es de 20 alumnos se obtienen salarios en pesos, que ganan el sábado anterior, tenemos. 30 11 42 8 30 18 25 35 17 30 29 21 23 25 15 35 26 13 21 36

1. ordenados 8 13 17 21 23 25 26 30 30 36 11 15 18 21 25 25 29 30 35 42

Hallar la distribución de frecuencia Solución: 1.- χmas = 42

χ min = 8

2.- rango = 42 − 8 = 34 3.- i =

34 = 4.857 redondeado 7

i=

i=5

rango # clases

4.- luego Nuevo rango= 5( 7 ) = 35

χ min = 8

χ max = 43 i −1 = 5 −1 = 4

5.- Formación de intervalo Intervalo clase 8 - 12 13 -17 18 -22 23 -27 28 -32 33 -37 38 -42

de Frecuencia de Intervalo de clase clase con limites reales 2 7.5 - 12.5 3 12.5 - 17.5 3 17.5 -22.5 5 22.5 -27.5 4 27.5 -32.5 2 32.5 -37.5 1 37.5 -42.5

Frecuencia Marca de clase 2 3 3 5 4 2 1

10 15 20 25 30 35 40

DISTRIBUICIONES DISCRETAS DISTRIBUCION BINOMINAL OBSERVACIONES: Frecuentemente un experto consiste en ensayos repetidos, cada uno con dos posibles resultados que pueden llamarse éxito y fracaso. La prueba de artículos a medida que salen de una línea de producción donde cada prueba o experimento puede indicar si uno de ellos esta o no defectuoso.

Si los intentos o ensayos repetidos son independientes y la probabilidad de éxito permanece contaste para cada uno de ellos. Este proceso se conoce como proceso de Bernoulli. Cada intento se conoce como experimento de Bernoulli.

DEFINICION BINOMINAL Es una distribución discreta de probabilidad aplicable como modelo a diversas soluciones de toma de decisiones. Siempre y cuando pueda suponerse que el proceso de muestreo se ajusta a un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli (es un proceso de muestreo) debe tener las siguientes propiedades. 1.- El experimento consiste en “n” intentos repetidos 2.- Solo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. Estos resultados se les denominan éxito y fracaso 3.-Los resultados del conjunto del conjunto de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. 4.- La probabilidad de éxito, que se denota por (mediante) P, permanece constante de un ensayo a otro. Puede utilizarse la distribución binominal para determinar la probabilidad de obtener un número determinado de éxito en un proceso de Bernoulli. DEFINICION: Si P es la probabilidad de ocurrencia en un solo espacio muestral (llamada probabilidad de éxito). q = 1 − p Es la probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo espacio muestral (llamado o probabilidad de fracaso) (òfallo) ⇒ La probabilidad de que el suceso se presenta exactamente X veces en “n” espacio muestral (ensayo). Es decir X Éxitos y

n-x fallos viene dada por la

Formula: p( x ) = n C X Ò

x

p q

n− x

=

n! x!( n − x )!

x

p q

n− x

f ( x ) = p( x = x ) =

X

n

C p q X

n−2

= b( x; n, p )

Donde la va X de nota el numero de éxito en n pruebas y X= 0,1,2……….. n

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION BINOMINAL M = np

MEDIA varianza

σ

Desviación típica

2

= npq

σ = npq

EJEMPLO: La puntuación final en matemáticas de 89 estudiantes en esta universidad se registra en la tabla adjunta: 68 73 81 66 96 79 65 86

84 79 65 78 78 62 80 67

75 88 75 82 89 67 73 73

82 73 87 75 61 97 57 81

68 60 74 94 75 78 88 72

90 62 88 76 93 93 71 59 85 75 62 95 78 63 72 77 69 74 68 60 95 60 79 83 71 85 76 65 71 75 78 62 76 53 74 63 76 75 85 77

ORDENANDO EN FORMA ASCENDENTE 53 57 59 60 60 60 61 61

62 65 71 73 75 77 79 85 90 62 66 71 74 75 78 80 85 93 62 67 71 74 75 78 81 86 93 62 67 72 74 76 78 82 87 94 63 68 72 75 76 78 82 88 95 63 68 73 75 76 78 83 88 95 65 68 73 75 76 79 84 88 96 65 69 73 75 77 79 85 84 97

Hallar la distribución de frecuencia usando 9 intervalos de clases Solución: Recuerde que: k = 80 = 9 Numero de intervalos apropiados que se deben usar Construyendo la distribución de frecuencia. 1.- xmas = 97 x min = 53 rango = 97 − 53 = 44

2.- Longitud del intervalo (ancho) rango i = ancho = # de int ervalo i=

44 = 4.884 = 5 9

Luego # nuevo rango = 45 Se excede en una unidad con respecto al anterior rango ∴ Modificando los x max y x min x min = 53 x max = 98 3.- Formando los intervalos con sus respectivas clases i −1 = 4 Obs. Luego INTERVALOS 53 -57 58 -62 63 -67 68 -72 73 -77 78 -82 83 -87 85 -92 93 -97

FRECUENCIA 2 10 8 9 20 12 7 5 7

4.- Formando los intervalos de clase con sus límites reales y marca de clase INTERVALOS 52.5 -57.5 57.5 -62.5 62.5 -67.5 67.5 -72.5 72.5 -77.5 77.5 -82.5 82.5 -87.5 87.5 -92.5 92.5 -97.5

FRECUENCIA 2 10 8 9 20 12 7 5 7

MARCA DE CLASE 55 60 65 70 75 80 85 90 95

FRECUENCIA RELATIVA Intervalos clases 52.5 -57.5 57.5 -62.5 62.5 -67.5 67.5 -72.5 72.5 -77.5 77.5 -82.5 82.5 -87.5 87.5 -92.5 92.5 -92.5

de Marca de clase

Frecuencia

FR

55

2

60 65 70 75 80 85 90 95

10 8 9 20 12 7 5 7

( 2i80) x100% = 2.5% (10 / 80) x100% = 12.5% ( 8 / 80) x100% = 10% ( 9 / 80) x100% = 11.25% ( 20 / 80) x100% = 25% (12 / 80) x100% = 15% ( 7 / 80) x100% = 8.75% ( 7 / 80) x100% = 8.75% ( 7 / 80) x100% = 8.75%

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 52.5

62.5

67.5

72.5

77.5

82.5

87.5

92.5

97.5

102.5

RELACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA. Las curvas de frecuencia presentan determinadas características que la distinguen una de otras, las más usuales son: a) LAS CURVAS DE FRECUENCIA SIMETRICAS O BIEN FORMADAS Se caracterizan por el hecho de que las observaciones tienen un equilibrio en sus frecuencias que van subiendo al respecto a sus frecuencias hasta llegar a una máxima y después descienden las frecuencias. Observaciones: la media, la mediana y la moda coinciden

χ , mod a, mediano b) Las curvas asimétricas ò sesgadas. Se caracterizan de dos formas: i)

Si la cola es mayor se presenta a la derecha, de la curva se dice que esa sesgado a la derecha a que tiene sesgo positivo y su relación es:

Moda ≤ Mediana ≤ χ

χ nediante mod a Observaciones: Para cuervas de frecuencia unimodales que sena moderadamente sesgadas (asimétricas) se refiere la relación empírica Media- moda = 3 (media- mediana) Relaciones empíricas entre las medidas de dispersión DEF: Para distribución moderadamente asimétricas se tiene las formulas empíricas. 4 a) Desviación media= ( desviaciones típica) 5 2 b) Rango semiintercuartilico= (Desviación típica) 3 Estas son consecuencias del hecho de que para distribuciones normales se tiene que las desviaciones media y el rango semiintercuartilico son, respectivamente, iguales a 0.7979 y 0.6745 veces la desviación típica. COEFICIENTE DE ASIMETRIA DE PEARSON DEF: Mide la desviación de la simetría, expresada la diferencia entre la media y la mediana con respecto a la desviación estándar del grupo de mediciones la formula es: Ejemplo: 3( x − mediana ) Asimetría= asimetria = s Ejemplo: 3( 2949.5 − 2938.89 ) = 0.13 a) Asimetría= 242.28 Sesgada a la derecha: De los ejemplos anteriores 8, 11, 13, 15, 17,18,21,21,23,25,25,26, 29, 30, 30, 30, 35, 36, 42 Mediana= 25

χ = 24 s = 8.54

Luego Asimetría=

3( 24 − 25) = −0.35 8.54

Sesgada ala izquierda Obs. Si

χ = Mediana entonces los datos son simétricos.

USO DE LA DESVIACION TIPICA La desviación típica e un conjunto de observaciones se emplean para medir las variaciones con respecto a la media de los valores de las observaciones. Mientras mas pequeña sea la desviación típica es más probable. Obtener un valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviación típica, es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable encontrar u obtener un valor alejado de la media. Todo esto se resume de la sig. Forma: TEOREMA DE TCHEBYCHEFT O CHEBYSHEV La proporción de cualquier conjunto de observaciones que caen dentro de ∠ desviaciones típicas, medidas a partir medidas a partir de la media es al menos. 1 1− , esto es que estén en χ − ∠s y x.∠s ∠2 Donde ∠ es cualquier numero mayor 1 Ejemplo

x 25 x − 5 x x + 5 x + 25 Del ejemplo:

x − 25

χ

π + 25

Al menos que porcentaje de observaciones caerá dentro de 3 desviaciones típicas a partir de la medio Soluciones: Sol. 1 1 9 −1 8 1− 2 = 1− = = = 0.88 Ò 88% 3 9 9 9 1−

1 1 3 = 1 − = = 0.75 Ò 75% 2 2 4 4

1−

1 1 15 = 1− = = 0.9375 Ò 93% 2 4 16 16

El teorema indica que: 1 3 Para ∠ = 2 1 − 2 = 2 4 3 Al menos de las observaciones caen dentro de dos observaciones estándar 4 de la media. Es decir 3 4 cuartos o más de las observaciones cae en el intervalo χ + 25 Similarmente. 8 Al menos de las observaciones de cualquier distribución caen en el intervalo 9 χ +35 Ejemplo: A lo mas ¿Que porcentaje de un digito de observaciones caerá? a) mas allá de dos observaciones típicas medidas a partir de la media. b) Mas allá de 3 desviaciones típicas a)

3/4

χ − 35 χ − 25

χ

χ + 25

χ

χ + 35

Luego 1- proporción dentro del intervalo 1 3 1  1- 1 − 2  = 1 − = ò 25% 4 4  2  c) 1- proporción dentro del intervalo 1 8 1  1 − 1 − 2  = 1 − = ò11 % 9 9  3  REGLA DE LA NORMAL Def. Para uno distribución de frecuencia simétrica, en forma de campana. a) aproximadamente el 68% ò 68.27% de los datos caerán en el intervalo formando a una desviación típica a partir de la media (i, e. el valor de la desviación típica a ambos lados de la media) comprendidos entre χ − s y

χ +5

65%

χ −5 χ χ +5 c) Aproximadamente el 95% o 95.45% están comprendido entre χ − 25 y χ + 25 (z` doble del valor de las desviaciones típica ambos lados de la media) ò en el intervalo medida a dos desviaciones típicas a partir de la media

95%

χ − 25

χ

χ + 25

d) El 99.73% ò casi el valor% de los datos caerá dentro χ − 35 y χ + 35 (es decir el triple del valor de la desviación típica a ambos lados de la media)

99.73%

χ − 35

χ

χ + 35

COEFICIENTE DE VARIACION Indica la magnitud relativa de la desviación estándar con respecto a la media de la distribución. El coeficiente de variación es útil cuando se desea:  

  

Comparar la variabilidad de 2 conjuntos de datos con respecto al nivel general, de los valores de cada conjunto. Se empleo para comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos o distintos sistemas de unidades de medida. Por ejemplo kilogramos y centímetros. Comparar la variabilidad entre dos grupos obtenidos por dos o más personas. Comparar dos grupos de datos que tienen distinta media. Determinar si cierta es consistente con cierta varianza. La formula a usar es: s c.v= χ si c.v 0 % implica que la media es buena como valor central c.v 100% implica que la media es mala como valor central Ejemplo: Un fabricante de tubos de televisión tiene dos tipos de tubos A Y B los tubos tienen unas duraciones medias respectivas de.

χ A = 1,495hrs χ B = 1,875 hrs.

SA= 290 hrs. SB= 310 hrs.

¿Qué tubo tiene mayor a)Dispersión absoluta b) Variación o dispersión relativa? SOL. a) Dupersion absoluta de A: SA= 280h B: SB= 310h

El tipo B tienen la dispersión absoluta mayor

B) Coeficiente de variación. A: CV=

B: CV=

S 280 = 0.187 Ò 18.7% = X 1495 S 310 = = 0.165 Ò 16.5% χ 1875

Luego: Es el tipo A que tiene mayor variación o dispersión relativa. Obs.  Si CV < 0.5 entonces χ es confiable Es adecuado su representación como medida de tendencia central.  Si CV > 0.5 Entonces χ no es confiable. REGLAS O TECNICAS DE CONTEO Obs. Nos sirve para determinar sin enumerar directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto particular. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO DEF. Si un experimento puede resultar de n1 maneras distintas y correspondientes a cada una de estas, un segundo experimento puede resultar, de n2 maneras distintas y si después efectuados. El tercer experimento puede realizarse de n3 maneras distintas, y así sucesivamente. El experimento combinado puede resultar de:

n1.n .n3 .n4 ...

FORMAS

Ejemplo 1.- ¿Cuántos puntos muéstrales hay un punto o muestral cuando se lanzan un par de dados uno ala vez? SOL. El 1er dado puede caer en cualquiera de n1 = 6 formas El 2do dado puede caer en cualquiera de n2 = 6 formas ∴ El par de dados puede caer en n1.n2 = 6.6 = 36 Formas

Si se lanza una moneda 4 veces entonces el numero de puntos muéstrales es: n3 = 2 n1 = 2 n2 = 2 n4 = 2 n1.n2 .n3 .n4 = 2.2.2.2 = 16 formas 3.- Una persona de sexo femenino tiene 10 blusas, 5 faldas y 12 pares de zapatos. ¿Cuantas maneras distintas se puede vestir? n3 = 12 n n2 = 5 SOL. 1 = 10 Luego: n1.n2 .n3 = (10 )( 5)(12 ) = 600 Formas de vestir 4.- pendiente Supóngase que una placa de un automóvil consta de dos letras distintas seguida de 3 dígitos de los cuales de los cuales el primero no cero. ¿Cuánto placas diferentes pueden grabarse? 5.- cuantos menos que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco existen, si se pueden seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postre y 4 refrescos. Luego: n1 = 4

n2 = 3

n3 = 5

n4 = 4

∴ n1.n2 .n3 .n4 = ( 4 )( 3)( 5)( 4 ) = 240 tipos de menos 6.- En un estudio medico, los pacientes se clasifican en 8 formas diferentes de acuerdo con su tipo de sangre ABT . AB −1 , AT ; A− , B + , B − , O + , u, O − y su presión sanguínea (baja, normal o alta). Encuentre el número de formas posible para clasificar a un paciente. n1 = 8 Tipos de sangre n2 = 3 Presión ∴ n1 , n2 = (8)(3) = 24 Formas de clasificación. Los estudiantes de un colegio privado de humanidades se clasifican como estudiantes de primer año, de segundo de penúltimo o de último, también de acuerdo con su sexo: hombre o mujeres. Entre en número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de este colegio. Sol. n1 = 4 n2 = 2

Luego n1n2 = 4*2= 8 clasificaciones posibles 2.- Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en 4 colores distintos para cada uno. Si la zapatería desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores ¿Cuántos pares diferentes deberán colocar e el aparador? Sol. n1 = 5 Estilos n2 = 4 Colores Luego n1n2 = 5*4= 20 3.- Un contrato de construcción ofrece casas con cinco distintos tipos de distribución, tres tipos de techo y dos tipos de alfombrado ¿De cuantas formas diferentes puede un comprador elegir una casa? Muestre el número total de selecciones empleando un diagrama de árbol. n3 = 2 n1 = 5 n2 = 3 n1 , n2 , n3 = 30 Formas diferentes de elegir una casa

D1

T1 T2 T3

A1 A2 A1 A2 A1 A2

D2

T1 T2 T3

A1 A2 A1 A2 A1 A2

D3

T1 T2 T3

A1 A2 A1 A2 A1 A2

sea D: distribución T: Techos A: Alfombrados

D4

T1 T2 T3

A1 A2 A1 A2 A1 A2

D5

T1 T2 T3

A1 A2 A1 A2 A1 A2

4.- Puede comprarse un medicamento para la cura del asma ya sea liquido en tabletas o en capsulas, a 5 diferentes fabricantes y todas la presentaciones en concentración regular o alta ¿en cuantas formas diferentes puede un medico recetar la medicina a un paciente que sufre de este padecimiento. Sol. n1 = 3 n2 = 5 n3 = 2 Luego por el principio fundamental de conteo n1 , n2 , n3 = (3)(5)(2) = 30 Formas diferentes de recetar la medicina 5.- En un estudio de economía de combustibles, se prueban 3 carros de carreras con 5 diferentes marcas de gasolina, en 7 sitios de pruebas en distintas regiones del país si se utiliza 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizaron una vez bajo cada conjunto de condiciones ¿Cuántas se necesitarían? Sol. n1 = 3 n2 = 5

n3 = 7 n4 = 2 Luego n1 , n2 , n3 , n4 = ( 3)( 5)( 7 )( 2 ) = 210 Se necesitan 6.- ¿En cuantas formas diferentes puede contestarse 9 preguntas de cierto o falso? Sol. 512 Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 VF

VF

VF

VF

n1 = 2

n2 = 2

n3 = 2

n4 = 2

VF

VF

VF

n5 = 2 n6 = 2 n7 = 2

VF n8 = 2

VF

n9 = 2

Por el principio fundamental del conteo n1 , n2 , n3 , n4 , n5 , n6 , n7 , n8 , n9 = ( 2 )( 2 )( 2)( 2)( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2) = 29 = 512 Formas diferentes de contestar 9 preguntas 7.- Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas de los cuales sola (una es la respuestas) y es correcta. a) ¿En cuantas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta? b) ¿En cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? Sol. a) 1024 b) 243 n3 = 4 n2 = 4 n4 = 4 a) n1 = 4 Por el principio fundamental de conteo n1 , n2 , n3 , n4 , n5 = ( 4 )( 4 ) ( 4 )( 4 )( 4 ) = 1024 Formas

n5 = 4 diferentes

de

escoger

una

respuesta. b) n1 = 3

n2 = 3

n3 = 3

n4 = 3

n5 = 3

Suponiendo que para cada pregunta estas tres son las incorrectas luego por el principio fundamental de conteo. n1 , n2 , n3 , n4 , n5 = ( 3)( 3)( 3)( 3)( 3) = 243 Formas de escoger una pregunta y tener todas las respuestas incorrectas. Un estudiante de primer año debe tomar un curso de ciencia uno de humanidades y otro de matemáticas. Si se puede escoger entre cualquiera 4 cursos de ciencia, 4 de humanidades y 4 de matemáticas, ¿en cuantas formas, puede acomodar su horario? Sol.

n3 = 4 n1 = 6 n2 = 4 ∴ n1 , n2 , n3 = 964 Formas de acomodar su horario DIAGRAMA DE ARBOL Es un dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimento. Donde cada experimento puede suceder en un número finito de manera: Ejemplo: Dado A= {1,2 } B= { a, b, c } C= { 3, 4}

Hallar los puntos muéstrales usando el diagrama del árbol 3 4

A

1a3 1a4 1b3 1b4 1c 3 1c 4

3

B 1

c

4 3 4

3 4

A

2 a3 2a4 2b3 2b4 2c3 2c4

3

B 2

c

4 3 4

Por la regla del conteo será n1 = 2 n2 = 3

n3 = 2

n1 , n2 , n3 = ( 2)( 2 )( 2 ) = 12 Puntos muéstrales. Ejemplos Se va a formar un comité de 3 miembros compuestos por un representante de los trabajadores uno de la administración y uno del gobierno. Si hay 3 candidatos de los trabajadores Si hay 2 de la administración y 4 del gobierno Determinar cuantos comités diferentes puedan conformarse empleando a) El principio fundamental de conteo b) Un diagrama de árbol

Sol. a) n1 = 3 Candidatos de los trabajadores. n2 = 2 Candidatos de los admón. n3 = 4 Candidatos del gobierno ∴ n1 , n2 , n3 = ( 3)( 2 )( 4 ) = 24 Comités. b) sea T 1, T 2, T 3 Trabajadores A1, A2 Admón. G1, G 2, G3, G 4 Gobierno Luego

A1

G1 G2 G3 G4

T1 A2

G1 G2 G3 G4

A1

G1 G2 G3 G4

T2 A2

G1 G2 G3 G4

A1

G1 G2 G3 G4

T3 A2

G1 G2 G3 G4

T1 A1 G1 T1 A 1 G2 T1 A1 G3 T1 A1 G4 T1 A2 G1 T1 A2 G2 T1 A2 G3 T1 A2 G4 T2 A1 G1 T2 A1 G2 T2 A1 G3 T2 A1 G4 T2 A2 G1 T2 A2 G2 T2 A2 G3 T2 A2 G4 T3 A1 G1 T3 A1 G2 T3 A1 G3 T3 A1 G4 T3 A2 G1 T3 A2 G2 T3 A2 G3 T3 A2 G4

24 puntos muestrales

NOTACION FACTORAL DEF: Dado un numero N entero positivo definimos el factorial de n denotado por n! como n! = n( n − 1) ( n − 2 ) ( n − 3) …… 3. 2. 1 Ejemplo: 3!= 3.2.1 − 6 4!= 4.3.2.1 = 14 5!= 5.4.3.2.1 = 120 CONVIENE DEFINIR: 0!=1 PERMUTACIONES DEF. Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetivos. DEF. Una permutación de n objetos distintos tomados de en r es una elección ordenada I de entre n El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r vienen dado por: n Pr =

n! ( n − r )!

Obs. El numero de permutaciones de objetos tomado de n ala vez. nPn = n!

Observación1: Se toma en cuenta el orden, sin reemplazo. DEF: Supongamos que tenemos M objetos que se van a seleccionar de n objetivos con orden y sin reemplazo 1er elto lo podemos seleccionar M objetos 2do elto lo podemos seleccionar M-1 objetos 3er elto lo podemos seleccionar M.2 objetos AMO elto lo podemos seleccionar M-(n-1) objetos. Por el principio fundamental de conteo o los n objetos se pueden seleccionar de: M ( M − 1)( M − 2) . . . . . . ( M − ( n − 1) ) . Maneras. 1.- El número de permutaciones de las letras tomadas de dos a la vez es 3

p2 =

3! = 6 Estás son: 1!

Ab

ba ac ca

bc cb

2.- De un grupo de 40 alumnos se van a seleccionar 5 para ocupar

1.- La presidencia 2.- Otro para ocupar la tesorería de una planilla 3.- Otro la secretaria de la planilla 4.- Otro para ocupar E cargo de difusión de la planilla 5.- Otro para ocupar el cargo de relaciones publicas. Sol. p5 =

40

Ò 1er 40

40! = ( 40)( 39 )( 38)( 37 )( 36 ) = 78960960 5! 2do 39

3er

4to

5to

38

37

36

3.- Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20 posibles, para el segundo y 1er premio encuentre el numero de puntos muéstrales en el espacio. Sol. 10

P2 =

1ro 20

20! = ( 20 )(11) = 330 18! 2do 19

Un testigo de un accidente de transito en el que el causante huyó, le indica al policía que el numero de matricula del automóvil tenia las letras RLH seguidas por tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otros dígitos pero esta seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el número máximo de registro de automóvil que debe verificar el policía. Sol. El número de registro es 9x8= 72 ò Como los tres números son diferentes se trata de permutaciones Y

4

p2 =

9! 9! = = 9 x8 = 72 ( 9 − 2)! 7!

En cuantas formas pueden llenar las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto (con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas? Sol. Como importa el orden se trata de permutaciones.

8

p5 =

8! 8! = = 8 x7 x 6 x5 x 4 = 6720 ( 8 − 3)! 3!

Encuentre el número de formas en las cuales pueden asignarse 6 profesores a las 4 secciones de un curso introducciones de sicología, si ninguno cubre más de una sección. Sol. Como importa el orden se trata de una permutación Entonces. 6

p4 =

6! 6! = = 360 ( 6 − 4)! 2!

4.- Supóngase que una placa de un automóvil consta de 2 letras seguidas de 3 dígitos de los cuales el 1ro no es cero. Luego: 26

25

10

10

6.- De cuentas maneras pueden 10 personas sentarse en una banca si solo hay 4 puestos disponibles. Sol. 10! 10! = = (10 )( 9)( 8)( 7 ) = 5040 10 p4 = ( 10 4)! 6! 10

9

8

7

PERMUTACIONES = CON REPETICIONES Def: El numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales n2 son iguales ….. nr son iguales es: n! Donde n= n1+n2+…..+nr n1!n2!...nr! Ejemplo. 1.- El número de permutaciones de las letras en la palabra estadística es: 1! 1e Puesto que hay 1!2!2!2!1!2!1! 2s 2t 2a 1d 2i 1c

2.- El número de permutaciones diferentes de las 11 letras de la palabra Mississipi que consiste de 1M, 4I, 4s 2p es: 1! = 34650 1!4!4!2! COMBINACIONES Def. Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en r es una selección de r los n objetos. Sin importar el orden y sin reemplazote los r escogidos. Es denotado por n  o c Cr r  Ejemplo: 1.- El numero de combinaciones de las letras A,B,C tomados de dos en dos es. 3

C2 =

ab

3! =3 2!1!

3 Estas combinaciones son

ac bc

Observe que ab es la misma combinación que ba. 2.- ¿De cuantas formas pueden elegirse una comisión de 5 personas de entre 9 personas? Luego:

9

C5 =

9! = 126 5!4!

3.- De cuantas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6 objetos respectivamente. Sol. Esto es lo mismo que el numero de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4 objetos son iguales y los otros 6 también son iguales. Esto es: 10! = 210 4!6! Ejemplo: De cuantas formas se pueden seleccionar 6 preguntas de un total de 10 Sol: Como no hay orden se trata de combinaciones Luego: n=10 r=6

10

C6 =

10! 10.9.8.7 = = 10.5.7 = 210 6!4! 4.3.2.1

2.- Cuantos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con 8 hombres y 6 mujeres. Sol. La forma en que se pueden elegir 4 mujeres de un total de 6 n2 = 6! 6.5 = = 15 6 C4 = 4!2! 2 ∴ POR EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO EL NUMERO DE COMITÉ ES: n1, n 2 = ( 56 )(15) = 840 3.- De cuantas formas puede un grupo de 10 personas dividirse en a) dos grupos de 7 y 3 personas b) tres grupos de 4, 3 y 2 personas. a)

10! = 120 7!3!

b)

10! = 12,600 4!3!7!

Ejercicio 1.- Cuatro matrimonios compraron 8 lugares por concierto ò en cuantas formas diferentes pueden sentarse. a) sin restricciones b) si se sienta por pareja c) si todos los hombres se sientan juntas a la derecha de todas las mujeres. a)8!= 40320 b) 4! 2! 2! 2! 2! = 384 c) 4! 4!= 576 2.- a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobús? b) si 3 de ellas insisten en seguirse una una ala otra ¿en cuantas formas es esto posible? c) 2 personas se rehúsan a seguirse una ala otra ¿en cuantas formas es esto posible? Sol. a) 6! =720 b) 3! 4!=144 c) 6!—5! 2!=480

SUGERENCIA PARA DIAGNOSTICAR DE APLICACIÓN DE REGLA DE CONTEO

1.- Una de las tres reglas: de conteo de esta sección puede ser aplicable a un problema de probabilidad si los puntos muéstrales son identificables por un número fijo de características. 2.- La regla m.n puede ser aplicable si las características referidas en 1 se toman una sola de cada un solo digito si fuesen tomadas de un solo digito La regla que puede ser aplicables son las de permutación y combinación. 3.- La regla de combinaciones puede ser aplicable si las características se toman de un solo digito y el reordenamiento de las características no produce otro punto muestral. 4.- La regla de permutaciones puede ser aplicable si las características se toman de un digito y cada reordenamiento de ellas corresponde a un nuevo punto muestral. Ejemplo: De un total de 5 matemáticos y 7 físicos se forma un comité de 2 matemáticos y 3 físicos, ¿de cuantas formas pueden formarse Si: a) Puede pertenecer a el cualquier matemático, físico b) Un físico determinado debe pertenecer al comité c) Dos matemáticos determinados no pueden estar en el comité Sol. a) 2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5 C2 formas 3 físicos de un total 7 pueden elegirse de 7 C3 formas # Total de selecciones posibles= 5 C2 .7 C3 = 10.35 = 350 b) 2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 3 C2 formas 2 físicos de un total de de 6 pueden elegirse de 6 C2 formas # Total de selecciones posibles= 5 C2 .6 C2 = 10.15 = 150

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Una de las características más sobresalientes de la distribución de datos es su tendencia a acumularse hacia el centro de la misma. Esta característica se denomina Tendencia Central. Las medidas de tendencia central más usuales son: a) Media aritmética (X), el valor medio. b) Mediana, el valor central. c) Moda, el valor mas frecuente.

MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética de n valores, es igual a la suma de todos ellos dividida entre n.

Tenemos: Si se cuenta con una distribución de datos entonces se aplica la fórmula: X= ∑ f X N MEDIANA La mediana es el punto central de una serie de datos agrupados, la mediana viene dada por: Mediana: Li + (N/2-∑fi) Fm Ejemplo: hallar la mediana en los siguientes datos: 25, 30, 28, 26, 32 Solución: se ordenan en forma creciente o decreciente y se toma el valor central. 25, 26, 28, 30, 32 Mediana= 28 MODA Es aquel valor de mayor frecuencia, la moda puede ser no única e inclusive puede no existir. Para distribuciones de frecuencia la moda viene por: Moda= Li+ (∆ 1) c ∆1+∆2 Ejemplo: hallar la moda de los siguientes datos: 16, 18 15, 20, 16 Solución: Moda= 16 MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Se llama dispersión de un conjunto de datos al grado en que los diferentes valores numéricos de los datos tienden a extenderse alrededor del valor medio utilizado. Este grado de dispersión se mide por medio de los indicadores estadísticos llamados medidas de dispersión, entre ellas tenemos el rango, la varianza, y la desviación típica. Es importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de estos valores centrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de dispersión. RANGO: es la primera medida, se define como la diferencia existente entre el valor mayor y el menor de la distribución, lo notaremos como R. realmente no es una medida muy significativa en la mayoría de los casos, pero indudablemente es muy fácil de calcular. Hemos estudiado varias medidas de centralización, por lo que podemos hablar de desviación con respecto a cualquiera de ellas, la mas utilizada es con respecto a la media. DESVIACION: es la diferencia que se observa entre el valor de la variable y la media aritmética. La denotaremos por d. No es una medida, son muchas, pues cada valor de la variable lleva asociada su correspondiente desviación, por lo que precisaremos una medida que resuma dicha información. La primera solución puede ser calcular la media de todas las desviaciones, es decir, si consideramos como muestra la de todas las desviaciones y calculamos su media. Pero esta solución es mala pues como veremos siempre va hacer 0. D= ∑ⁿ di•ni = ∑ⁿ (Xi-X)• ni = ∑ⁿ Xi•ni - ∑ ni i=1 N i=1 N i=1 N i=1 N X= X – X = 0 Luego por lo tanto esta primera idea no es válida, pues las desviaciones positivas se contrarrestan con las negativas. Para resolver este problema tenemos dos caminos: Tomar el valor absoluto de las desviaciones, desviación media, elevar al cuadrado las desviaciones. Varianza. VARIANZA: es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la denotaremos por S²X o también por Ο ²x. S²x= Ο²x= ∑ⁿ X²i•ni - X² o también I=1

N

S²x= Ο²x - ∑ⁿ di²•ni = ∑ⁿ (Xi – X)²• ni I=1

N

i=1

N

Esta estadística tiene el inconveniente de ser poco significativo, pues se mide en el cuadrado de la variable, por ejemplo, si la variable viene dada en cm, la varianza vendrá en cm².

MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS La ecuación a usar es: X = ∑f x N Donde X: columnas de las arcas de clases F: columnas de frecuencias N: # total de datos (sumando la columna de la frecuencia). Nota: ∑f x: indica que se debe obtener una columna que tenga la forma Fx luego sumarla. Ejemplo: hallar la media de la siguiente información:

Clase 2–4 4–6 6–8 8 – 10 10 – 12

(f) 2 3 5 2 1 N=13

(X) 3 5 7 9 11

(f X) 2×3=6 3×5=15 5×7=35 2×9=18 1×11=11 ∑f x=85

X= ∑f x = 85 = 6.53 N 13

Clase 11.5 – 14.5 14.5 – 17.5 17.5 – 20.5 20.5 – 23.5 23.5 – 26.5 26.5 – 29.5

X= 760 = 19 40

(f) 3 11 15 6 4 1 N=40

(X) 13 16 19 22 55 28

(f X) 39 176 285 132 100 28 760

MODA PARA DATOS AGRUPADOS La ecuación a usar es: Mo= L1 + (d1) C d1+d2 Donde: L1: es el limite real inferior de la clase donde se ubica la moda y la frecuencia de la clase anterior. d2: es la diferencia de la frecuencia donde se ubica la moda y la frecuencia de la clase siguiente. C: es el ancho de la clase donde se ubica la moda. Nota: la moda se ubica en la clase que tiene mayor frecuencia. Ejemplo: 2–4 4–6 6–8 8 – 10 10 – 12

4 6 8 10 12

1 2 4 3 1

Mo=L1+ ( d1 )C d1+d2

La moda se localiza en la clase #3. L1: 6 d1:4-2=2 d2:4-3=1 C=2 Mo= 6+ ( 2 )2 2+1 Mo=6+ ( 2 ) 2 3 Mo=6+ (0.6)2 Mo=6+1.2 Mo=7.2 Nota: si hay dos modas se llama bimodal, la moda puede no ser única.

MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS La moda es el dato que se repite con mayor frecuencia. Ejemplo: 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 8 Entonces: Moda= 3

2, 5, 5, 4, 3, 8, 1 Moda= 5 La moda puede no existir. 1, 2, 3, 4, 5 Moda= no existe MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS La ecuación a usar es: Mo= L1+(n/2- ∑fa) C Fc Donde: L1: es el limite real inferior de la clase donde se ubica la mediana. C: es el ancho de la clase donde se ubica la mediana. Fc: es la frecuencia de la clase donde se ubica la mediana. ∑a: es la suma de todas las frecuencias que están por arriba de la clase que contiene la mediana. Nota: para ver en que clase se ubica la mediana se hara la siguiente operación: n 2 Ejemplo: hallar la mediana de la siguiente información: Clase 1–3 3–5 5–7 7–9 9 – 11

F 1 2 4 2 1 N=10

1-n=10=3 2 2 -indica que la mediana se ubica en la clase #3. L1: 5 Fc: 4 C: 2 ∑fa: 3

Me= L1 + (n/2-∑fa) C Fc Me: 5+ (5-3)2=5(2)2=5+ (0.05)²=5 4 4 Me= 6 MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS DEF: si X₁, X₂, X₃. . .Xn son datos ordenados:

a) Si el numero de datos n es impar, la mediana se ubica en el lugar n+1 2 b) Si el numero de datos es enteros la mediana se obtiene sumando y dividiendo entre 2, los valores que se ubican en las posiciones n , n+2 2 2

Ejemplo: si 3, 4, 5, 6, 7 entonces la Me=5 NUMEROS PARES: 3, 4, 5, 6, 7, 8 Me= 5+6 2 Me= 5.5

MEDIDAS DE DISPERSIÓN DEF: indica la separación de un dato a otro, que tan dispersos están. • • • • • • Mayor dispersión ••••••••• Menor dispersión - Rango - Desviación estándar Medidas de Dispersión

- Desviación media - Varianza - Coeficiente de variación

DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS DEF: si X₁, X₂, . . . Xn son datos no agrupados la ecuación que se usará para obtener la desviación media será: DM= ∑/Xi-X/ N Donde: X: es la mediana para datos no agrupados. N: # total de datos. Ejemplo: si 3, 4, 5, 6, 8 hallar Dm. Xi 3 4 5 6 8

X 5.2

/Xi-X/ /3-5.2/=2.2 /4-5.2/=1.2 /5-5.2/=0.2 /6-5.2/=0.8 /8-5.2/=2.8 ∑/Xi-X/=7.2

X=3+4+5+6+8 = 5.2 S N= 5(5 datos) DM= ∑/Xi-X/ N DM= 7.2 5 DM= 1.4

DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DEF: la ecuación a usar es: DM= ∑f/X-X/

N Donde: F: columna de las frecuencias X: columna de las marcas de clase. X: la media para datos agrupados. N: # total de datos obtenidas sumando las columnas de las frecuencias. Sugerencia: elaborar la tabla.

Ejemplo: hallar la desviación media de los siguientes datos: Clases 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12

F 2 1 4 3 2

X 3 5 7 9 11

FX 6 5 28 27 22

12-14

1 N=13

13

13 ∑FX=101

X 7.5

/Xi-X/ 3-7.5=4.5 5-7.5=2.5 7-7.5=0.5 9-7.5=1.5 117.5=3.5 137.5=5.5

F/X-X/ 2×4.5=9 1×2.5=2.5 4×0.5=2 3×1.5=4.5 2×3.5=7 1×5.5=5.5 ∑F/XX/=30.5

EC: X= ∑FX N X= 101 13 X= 7.5 DM= 30.5 13 Dm=2.3 DESVIACIÓN ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS La ecuación a usar es: S= √∑F(X-X)² N F X FX X 3 4 12 9.5 4 7 28 8 10 80 3 13 39 2 16 36 ∑FX=191 X= ∑FX N X= 191 20

(X-X)² (4-9.5)²=30.2 (7-9.5)²=6.2 (10-9.5)²=0.2 (13-9.5)²=12.2 (10-9.5)=42.2

F(X-X)² 3×30.2=90.6 4×6.2=24.8 8×0.2=1.6 3×12.2=36.6 2×42.2=84.4 ∑FX(X-X)²=238

X= 9.5 S= √238 20 S= √11.9 S= 3.4 D.E= 3.4

VARIANZA S²= √∑F(X-X)² N S= √∑F(X- X)² N Desviación estándar. Ejemplo. S= √9.0=3 desviación estándar. S²=9 varianza. DESVIACION ESTANDAR

S=√ (хi‐х) ² Ejemplo. 3, 4, 5, 6 X 3 4 5 6

X 4.5

Sustitución. S=√4.8=√1.2=1.0 4 S=1.0

(Xi-X )² 2.2 0.2 0.2 2.2 ∑(Xi-X)²=4.8

Varianza S2 = ∑ S2 = 362 5 S =126.4 varianza. COEFICIENTE DE VARIACION La ecuación a usar es la siguiente: C.V= S X100% X Donde: S: desviación estandar. X: media. Ejemplo. Si X=59 S=11.2 Entonces. C.V= S X 100 % X C.V= 11.2 X 100 % 59 C.V= 18.9 % NOTA: a) si C.V < 50 % la media es aceptable. b) Si C.V > 50 % la media no es aceptable. (tendrán que optar por otro medio de tendencia central) MEDIDAS DE LOCALIZACION: CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES. Las medidas de localizacion dividen la distancia en partes iguales, sirven para clasificar a un individuo o elemento dentro de una determinada población o muestra. Cuartiles. Medida de localizacion que divide la población o muestra en cuatro partes iguales. • Q = valor de la variable que deja ala izquierda • Q = valor de la variable a la izquierda que deja el 50 % de la distribución • Q = valor de la variable a la izquierda que deja el 75% de Deciles

Medidas de localizacion que divide la población muestra en 10 partes iguales. Percentiles. Medida de localizacion que divide la población o muestra en 100 partes iguales. Cuarteles (datos agrupados) Definición: los cuarteles dividen en 4 partes la colección de datos. 25%

25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 La ecuación a usar para los cuarteles seran las siguientes: Q1= L1+(n/4∑fa) C f Q2= L1+(2n/4∑fa) C f Q3= L1+ (3n/4∑fa) C f Observaciòn: la mediana debe ser igual a Q2. Ejemplo. CLASE 2–4 4–6 6–8 8 – 10 10 – 12

F 2 1 5 3 2 13

a) n/2 = 13/2 = 6.5 L1 = 6 ∑fa= 3 5 fc= 5 C=2

Me=6+(6.5 - 3) 2 5 Me=6+(3.5) 2 = 6 + 7 5 Me= 7.4

b) Q1= L1+(n/4 - ∑fa)c fc n/4 = 13/4 = 3.2 Q1 = 6+(3.2 - 3) 2 L1 = 6 5 ∑fa= 3 Q1=6+(0.5) 2 = 6 + 0.4

5 fc= 5 C=2

c) Q2= L1+(2n/4 - ∑fa)c fc 2n/4 =2( 13/4) = 6.5 L1 = 6 ∑fa= 3 fc= 5 C=2 Me = Q2 Q2 = 7.4 d) Q3= L1+(2n/4 - ∑fa)c fc Q3 se ubica en la clase # 4 L1 = 8 ∑fa= 8 fc= 3 C=2 Q3 = 8 + (9.7 - 8) 2 3 Q3 = 8 + ( 1.7 ) 2 3 Q3 = 8 + 3.4 3 Q3 = 8 + (9.7 - 8) 2 3 Q3 = 9.1

5 Q1= 6.08

Deciles (datos agrupados) Los deciles dividen en 10 partes a la colección de datos. 10% 10% 10% 10% D1

10% D2

10%

10%

D3

D4

10% D5

D9 D1 = L1+(n/10 - ∑fa)c f D2 = L1+(2n/10 - ∑fa)c f D3 = L1+(3n/10 - ∑fa)c f D4 = L1+(4n/10 - ∑fa)c f D9 = L1+(9n/10 - ∑fa)c f Percentiles. Dividen a toda la agrupación entre 100 partes. P1 = L1+(n/100 - ∑fa)c f P2 = L1+(2n/100 - ∑fa)c f P98 = L1+(98n/100 - ∑fa)c f P99 = L1+(99n/100 - ∑fa)c f Ejemplo: CLASE 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5

– 12.5 – 17.5 – 22.5 – 27.5 – 32.5 – 37.5 – 42.5 – 47.5

f 2 3 3 5 4 2 1 0

10% D6

10% D7

10% D8

20 Q1 , D3 , D1 , P55 ,P67 , P74 - Q1= L1+(n/4 - ∑fa)c = Fc Q= 12.5+(52)5=17.5 n – 20 = 5 3 4 4 - D3=Li+(3n/10∑fa)C=17.5+(65)5=19.1 3(20)=6 F 3 10 - D7=L1+(7n/10∑fa)C=275+(1413)5=28.75 F 4 7(20)=14 10 - P55=L1+(55n/100∑fa)C=22.5+(118)5=25.5 F 5 55(20)=11 100 - P67=L1+(67n/100∑fa)C=27.5+(13.413)5=28 F 4 67(20)=13.4 100 - P74=L1+(74n/100-∑fa)C=27.5+(14.813)5=29.7 F 4 74(20)=14.8 100 RELACION ENTRE LA MEDIA, MODA Y MEDIANA. Nota: Las curvas pueden ser: a) Simetricas (forma de campana)

X=Mo=Me b) Asimetricas ( sesgada a la derecha)

Mo Me X Es decir Si a la derecha es la determinación su comportamiento sera Mo, Me, X c) Asimetrica (sesgada a la izquierda)

X Me Mo Relaciòn X ≤ Me

≤ Mo

ASIMETRICA DE PEARSON Ecuación a usar As= 3(XMe) S As. Iindica si la curva esta o no sesgada. a) As <0 esta sesgada a la izquierda. b) As >0 esta sesgada a la derecha. c) As =0 tiene forma de campana. ejemplo: Si X=7.5 Me=7.7 S=2.8 As= 3(X-Me) S As=3(7.5-7.7) 2.8 As=3(-0.2)= -0.6 2.8 2.8 As= -0.2 Como As < la curva esta sesgada a la izquierda.

X Me Mo X Eventos: son una parte de los espacios muestrales. (partes) subconjuntos subconjuntos

≤ Me ≤ Mo

muestra

Notacion de eventos A, B, C Si Ω=1,2,3,4,5,6 Eventos A. 1, 2, 3 B. 4 C. 2, 4, 6 D. 2, 4 Simples-tienen un solo punto muestral. Eventos Compuestos- tienen dos o mas puntos muestrales

OPERACIONES CON EVENTOS 1) interseccion: si A y B son eventos entonces la interseccion denotada como A n B esta formada por todos los elementos comunes en A y B. Grafico (diagrama de Venn)

Ejemplo: Ω=1,2,3,4,5,6 A=1,2,3 B=2,4,6 AnB=2

2) Union de eventos Definición: si A y B son dos eventos entonces la union denotada como A u B se forma co elementos comunes y no comunes A y B

Ω=12346 A=123 B=246 AuB=123456

AuB=12346

Complemento de un evento. Definición: si A es un evento de un espacio muestral el complemento de A denotado como Ac se obtiene como los elementos del espacio que no esten en A. Ω=1,2,3,4,5,6 A=3,4 Ac=1,2,5,6

Ac= son los elementos del espacio que no estan en el evento.

DIAGRAMA

a) Permutaciones

Se usara la ecuación nPr = n! (nr)! Donde n! se lee n factorial n!=n(n-1)(n-2)...3.2.1 ejemplo: 3!=3×2×1=6 4!=4×3×2×1=24 5!=5×4×31=20 Nota:0!=1 r=2 formar todas las muestras con 2

ELEMENTOS DONDE EL ORDEN ES IMPORTANTE ab ac bc ba ca cb COMBINACIONES Cr=Cr= n! r!(nr)!

TECNICAS DE CONTEO Son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Son aquellos principios que se usan para contar resultados que no se conocen o que son muy extensos. Se les denomina tecnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagramas de arbol. COMBINACIONES. Se definen las combinaciones de un conjunto de n elementos tomados de r en r elementos como los ordenamientos sin remplazo de de los n elementos del conjunto tomado de r en r, multiplicados por el inverso multiplicativo de las permutaciones de r elementos. Problema 1.- ¿Cuántas combinaciones de 3 elementos podemos formar con las 6 caras de un dado? PERMUTACION Es un reacomodo de objetos o símbolos en secciones diferenciales. A cada ordenación unica se le llama permutación. Por ejemplo9, con los numeros del uno al tres, cada

ordenación posible de estos, sin repetirse es una permutación. En total existen 6 permutaciones para estos elementos las cuales son: “1,2,3” “2,3,2” “2,3,1” “3,1,2” y “ 3,2,1 PRINCIPIO BASICO O FUNDAMENTAL DE CONTEO. El principio basico se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o mas caracteristicas que pueden variar. Ejemplo: el helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

Chocolate

Fresa

Vainilla

tasa de chocolate Cono de chocolate tasa de freesa Cono de fresa tasa de vainilla Cono de vainilla

El diagrama anterior se llama diagrama de arbol y muestra todas las posibilidades. Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primera caracteristica por la cantidad de posibilidades de la segunda caracteristica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados. ESPACIO MUESTRAL. Es el conjunto de todos los resultados posibles de un evento o muesta. Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadistico y se representa con el símbolo S. DISTRIBUCION BINOMIAL. Es una distribución de probabilidad discreta, m el numero de exitos en una secuencia de n en independientes de Bernovill, con una probabilidad fija o de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Su funcion de masa de probabilidad esta compuesta por:

b(X;n¸0)=(Xn)ºx(1-0)nr La distribución binomial es una generalización de la distribución de Bernovill, a la que puede llegarse nuevamente haciendo n=1 DISTRIBUCION NORMAL Tambien llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con mas frecuencia aparece en estadisticas teoria de probabilidad. Esto se debe a dos razones fundamentales: Su funcion de densidad es simetrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran numero de variables estadisticas. Es ademas, limite de otras distribuciones y aparece relacionadas con multitud de resultados ligados a la teoria de las probabilidades gracias a sus propiedades matematicas. PROBABILIDAD. Si A es un evento del Ω entonces la probabilidad del evento A denotada por P (A) se obtiene P(A)= # de elemento de A # total de electos de Ω Ejemplo: Ω= 1, 2, 3, 4, 5,6 A= 1, 3, 5 P(A)=3 6 P(A)= 1 = 0.5=50% 2 DISTRIBUCION BINOMIAL Ecuación P(X=X)=CnX PX QnX Donde P= Probabilidad de éxito Q= Probabilidad de fracaso Nota: para resolver un problema de distribución binomial se requiere como datos el valor de: A: tamaño de muestra P: probabilidad de éxito P(X=3)=4C3(0.3)³(0.7) =4(0.027) (0.7) =0.0756 P(X=1)=4C1(0.3(0.7) =4(0.3)(0.343)

=0.4116 P(X=0)=4C0(0.3)(0.7) =1(1)(0.2401) =0.2401