Intrebari Cu Raspunsuri La Ecuatii Cu Derivate Partiale
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Intrebari Cu Raspunsuri La Ecuatii Cu Derivate Partiale as PDF for free.
More details
- Words: 8,830
- Pages: 52
ecuatii MULTIPLE CHOICE 1.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
2.
a.
c.
b.
d.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.
c.
b.
d.
1
3.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
4.
a.
c.
b.
d.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
5.
a.
c.
b.
d.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.
c.
b.
d.
2
6.
-Se da ecuatia diferentiala
Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor: a.
b.
c.
d.
7.
-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un este domeniu
. Atunci daca
pe D ecuatia de mai sus este de tip
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
nu putem decide tipul ecuatiei
3
8.
-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este
. Atunci daca
9.
pe D ecuatia de mai sus este de tip
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
nu putem decide tipul ecuatiei
-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este
. Atunci daca
10.
pe D ecuatia de mai sus este de tip
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
criteriul nu decide tipul ecuatiei
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu caracteristicilor asociata acestei ecuatii este sinx⋅ y' 2 − 2 cosx⋅ y'− sinx = 0
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
4
. Ecuatia
11.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii este
. Ecuatia caracteristicilor
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
12.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii
cu ecuatia caracteristicilor
y' 2 − cos x ⋅ y'+ 3 = 0
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
13.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii
cu ecuatia caracteristicilor
y' 2 − 2cos x ⋅ y'+ 4 = 0
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
5
14.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu
cu ecuatie
a caracteristicilor asociata
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca
,
functii reale si distincte in fiecare punct
cu .
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
15.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu
. Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca fiecare punct
cu
functie reala in
.
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
6
16.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu
. Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca
,
functii complex conjugate asa ca in fiecare punct
cu ,
nu
este reala. Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
17.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu
.
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale a.
c.
b.
d.
7
18.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu
.
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
19.
a.
c.
b.
d.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu
.
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale. a.
c.
b.
d.
8
20.
-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este a.
b.
c.
d.
21.
-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este
a.
b.
c.
d.
9
22.
-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este a.
b.
c.
d.
23.
-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este a.
10
25.
-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este
26.
a.
c.
b.
d.
-Forma canonica a ecuatiei
este
a.
c.
b.
d.
11
27.
-Forma canonica a ecuatiei
este
28.
a.
c.
b.
d.
-Forma canonica a ecuatiei
este a.
c.
b.
d.
12
29.
-Forma canonica a ecuatiei
este
30.
a.
c.
b.
d.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip
31.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
13
32.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
14
33.
-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa
.
b.
unde f,g sunt functii de clasa
.
c.
unde f este functie de clasa
.
d.
unde f,g sunt functii de clasa e.
.
Niciuna din variantele de mai sus
15
34.
-Ecuatia
unde c>0 este o constanta , reprezinta
35.
a.
ecuatia propagarii caldurii
b.
problema Dirichlet pentru disc
c.
ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d.
ecuatia neomogena a coardei vibrante
e.
Niciuna din variantele de mai sus
-Ecuatia
reprezinta o forma particulara a a.
ecuatiei propagarii caldurii
b.
problemei Dirichlet pentru disc
c.
ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d.
ecuatiei neomemogene a coardei vibrante
e.
Niciuna din variantele de mai sus
16
36.
-Se considera ecuatia
pentru
si
. pentru orice
O conditie de tipul
37.
a.
O conditie la limita
b.
O conditie initiala
c.
reprezinta
Niciuna din variantele de mai sus
-Se considera ecuatia
pentru
si
O conditie de tipul
38.
a.
O conditie la limita
b.
O conditie initiala
. , pentru c.
reprezinta Niciuna din variantele de mai sus
-Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este a.
c.
b.
d.
17
39.
-Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile
sunt
40.
a.
conditii initiale
c.
conditii necesare
b.
conditii la limita
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale
si conditiile la limita
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma a.
c.
b.
d.
18
41.
-Consideram urmatoarea ecuatie (8)
a>0. Aceasta este
42.
a.
ecuatia omogena a coardei vibrante
b.
ecuatia neomogena a coardei vibrante d.
c.
ecuatia propagarii caldurii ecuatia lui Laplace
-Consideram urmatoarea ecuatie (9)
a>0. Aceasta este o ecuatie de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus.
19
43.
-Consideram ecuatia propagarii caldurii cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
44.
a.
c.
b.
d.
-Consideram urmatoarea ecuatie
(11)
Aceasta este a.
ecuatia omogena a coardei vibrante
b.
ecuatia neomogena a coardei vibrante d.
c.
20
ecuatia caldurii ecuatia lui Laplace
45.
-Consideram urmatoarea ecuatie
(12)
Aceasta este o ecuatie de tip
46.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
nicuna din variantele de mai sus
-Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc a.
se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor
b.
se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare
c.
se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda caracteristicilor
d.
niciuna din variantele de mai sus
47.
1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila :
a.
ξ=y+x; η =2x
c.
ξ=y+x; η =x
b.
ξ=y-x; η =2x
d.
ξ=y+x; η =2xy
21
TRUE/FALSE 1.
-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma
unde a,b,c sunt niste numere reale constante. 2. Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
22
Ecuatii cu derivate partiale MULTIPLE CHOICE 1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
∂ 2u ∂ 2u − =0 ∂t 2 ∂x 2 cu condiŃiile iniŃiale: ∂u u t =0 = x 2 , t =0 = 0 ∂t a. u ( x, t ) = t 2 + x 2 b. c. d.
u ( x, t ) = t 2 − x 2 1 u ( x, t ) = ϕ ( x − t ) + ϕ ( x + t ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 2 1 u ( x, t ) = ϕ ( x − t ) − ϕ ( x + t ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 2
2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u 2 −4 2 =0 ∂x ∂t u = 0, ∂u = x t =0 t = 0 ∂t 1 a. u ( x, t ) = ϕ ( x − 2t ) + ϕ ( x + 2t ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 4 b. u ( x, t ) = xt c. d.
u ( x, t ) = ϕ ( x 2 + t 2 ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară.
u ( x, t ) = t 2 + x 2
3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t = 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a şi de condiŃiile iniŃiale u ∂t 2 ∂x 2
a. b. c. d.
t =0
π 2a
= sin x,
u ( x, t ) = sin ax cos t + t
u ( x, t ) = sin x cos t + t π u ( x, t ) = 2a 1 u ( x, t ) = sin x cos at 2a
1
dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia: ∂u ∂t
t =0
= 1.
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u 2 − 2 =0 ∂x ∂t u = x, ∂u = − x t =0 t =0 ∂t a. b. c. d.
u ( x, t ) = t (1 − x ) u ( x, t ) = x ( t − 1) u ( x, t ) = tx
u ( x, t ) = x (1 − t )
5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
a. b. c. d.
2 ∂ 2u 2 ∂ u =0 2 −a ∂x 2 ∂t u = 0, ∂u = cos x t =0 t =0 ∂t 1 u ( x, t ) = cos x sin at a 1 u ( x, t ) = sin x cos at a 1 u ( x, t ) = sin x cos x a 1 u ( x, t ) = cos at sin x a
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t = π dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
a. b. c. d.
∂ 2u ∂ 2u 2 − 2 =0 ∂x ∂t u = sin x, ∂u t =0 ∂t u = cos x u = − sin x u = − cos x u = sin x
t =0
= cos x
2
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2 − 3 + 2 + 6 = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂ u 1 ∂u a. + =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u b. − =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u c. + =0 , ξ = x− y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u d. − =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ
η = 3x − y η = 3x − y η = 3x + y η = 3x + y
8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +4 +5 2 + +2 = 0 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂ u ∂ u ∂u a. + + = 0 , ξ = 2x + y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u b. + + = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u c. − + = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u d. + − = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η
η = −x η=x η=x η=x
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u − + 2 +α +β + cu = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂u ∂u a. − (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u b. + (α − β ) −β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u c. + (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u d. + (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η
3
= x− y ,
η=y
= x+ y ,
η=y
= x+ y ,
η=y
= x+ y ,
η=y
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2 cos x − 3 + sin x −y =0 ( ) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2u η − ξ ∂u ∂u a. + − = 0 , ξ = 2 x + sin x + y , ∂ξ∂η 16 ∂ξ ∂η ∂ 2u η − ξ ∂u ∂u + + =0, ∂ξ∂η 16 ∂ξ ∂η ∂ 2u η − ξ ∂u ∂u + − =0, ∂ξ∂η 16 ∂ξ ∂η
b. c.
∂ 2u η − ξ ∂u ∂u + − =0, ∂ξ∂η 32 ∂ξ ∂η
d.
η = 2 x - sin x - y
ξ = 2 x + sin x + y ,
η = 2 x - sin x - y
ξ = 2 x − sin x + y ,
η = 2 x - sin x - y
ξ = 2 x + sin x + y ,
η = 2 x - sin x - y
11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
y a. b. c. d.
2
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u + 2 xy + 2x +y = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 − y 2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2 ∂ u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u − 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 − y2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2 ∂ u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2− ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 + y 2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η ∂ 2u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 + y2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ + η ∂ξ η ∂η
12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
tg 2 x a. b. c. d.
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u − 2 y tgx + y + tg 3 x = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂ 2u ξ ∂u − ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = y ∂η 2 η ∂ξ ∂ 2u 2ξ ∂u − ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = y ∂η 2 η 2 ∂ξ ∂ 2u ξ ∂u + ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = − y ∂η 2 η ∂ξ ∂ 2u ξ ∂u + ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = − y ∂η 2 η ∂ξ
4
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 + 2sin x − cos x + cos x + sin 2 x 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂u 1 ξ + η ∂u a. − cos = 0 , ξ = x − y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ + η ∂u b. − cos = 0 , ξ = x − y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ + η ∂u c. + cos = 0 , ξ = x + y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ − η ∂u d. + cos = 0 , ξ = x + y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η
= 0.
η = x − y − cos x η = x − y − cos x η = x − y − cos x η = x − y − cos x
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
x a. b. c. d.
2
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 2 xy − 3y − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ξ = x− y , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ 2ξ ∂η ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ξ = x+ y , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ 2ξ ∂η ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u x − ⋅ + + u = 0 , ξ = xy , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η y 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂u x3 + ⋅ − + u = 0 , ξ = xy , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η y
x y x y
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 1 + y +x +y = 0. ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u + = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln y + 1 + y 2 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ 2u ∂ 2u − = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln y + 1 + y 2 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ 2u ∂ 2u + 2 = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln 3 y + 1 + 9 y 2 2 ∂ξ ∂η 2 ∂ u ∂ 2u − 2 = 0 , ξ = ln 2 x + 1 + 4 x 2 , η = ln y + 1 + y 2 2 ∂ξ ∂η
(1 + x2 ) a. b. c. d.
( ( ( (
) ) )
( ( (
)
5
) )
(
) )
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − 2 y sin x + y = 0. ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2u 2ξ ∂u x − 2 ⋅ = 0 , ξ = y ln , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2 2 ∂u 2ξ ∂u x − 2 ⋅ = 0 , ξ = ytg , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2 2 ∂u 2ξ ∂u x + 2 ⋅ = 0 , ξ = tg , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ y 2 ∂u 2ξ ∂u y − 2 ⋅ = 0 , ξ = xtg , η = − y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2
sin 2 x a. b. c. d.
17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u cth x 2 − 2 y cthx +y + 2y = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂ 2u 1 ∂u ∂u a. + ξ −η = 0 , ξ = y chx , 2 2 ∂η 1 − η ∂ξ ∂η 2
b. c. d.
∂ 2u ∂u 1 ∂u + ξ −η =0 , 2 2 ∂η 1 + η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u 1 ∂u + ξ +η =0 , 2 2 ∂η 1 + η ∂ξ ∂η 1 ∂u ∂ 2u ∂u η − +ξ =0, 2 2 ∂η 1 + η ∂ξ ∂η
η = shx
ξ = y shx ,
η = chx
ξ = y chx ,
η = shx
ξ = y chx ,
η = yshx
6
18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2 u y 2 + 2 = 0. ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 2 32 + + = 0 , ξ = x , η = y ( y > 0) ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η 3 b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y > 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 2 32 − + = 0 , = x , = y ( y > 0) ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η 3 c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pentru y < 0 , iar forma canonică este: 3 2 2 ξ = − − x y ( ) ∂u ∂u ∂ 2u 1 3 + + y<0 =0 , 3 ∂ξ∂η 6 (η − ξ ) ∂ξ ∂η η = x + 2 ( − y ) 2 3 d. ecuaŃia este de tip eliptic pentru y < 0 , iar forma canonică este: 3 2 2 ξ = x − − y ( ) 2 2 ∂u ∂u ∂u ∂u 1 3 + + y<0 =0 , 3 2 ∂ξ 2 ∂η 2 6 (η − ξ ) ∂ξ ∂η η = x + ( − y ) 2 3 19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2u ∂u + y +α = 0 , unde α = constant 2 2 ∂x ∂y ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y < 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 2α − 1 ∂u + + = 0 , ξ = x , η = 2 − y , ( y < 0) ∂ξ 2 ∂η 2 η ∂η b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: 1 α − 2 ∂u 2 ∂u − ∂u = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) − ∂ξ∂η ξ − η ∂ξ ∂η η = x + 2 − y c. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 2α − 1 ∂u − + = 0 , ξ = x , η = 2 − y , ( y < 0) ∂ξ 2 ∂η 2 η ∂η d. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 , iar forma canonică este: 1 α − 2 2 ∂u ∂u 2 ∂u − ∂u = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) + − ∂ξ 2 ∂η 2 ξ − η ∂ξ ∂η η = x + 2 − y
7
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u y 2 +x 2 =0 ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă x < 0 , y < 0, iar, forma canonică este:
b.
3 3 2 2 ∂ u 1 1 ∂u ∂u ξ = ( − x ) − y η ξ + − = 0 , 3 3 ∂ξ∂η 3 η 2 − ξ 2 ∂ξ ∂η η = ( − x ) 2 + y 2 ecuaŃia este de tip eliptic dacă x < 0 , y < 0, iar forma canonică este:
c.
3 2 ξ = − x ( ) 3 η = ( − y ) 2 ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este:
2
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η
3 ξ = − x ( )2 ∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u + + + = 0 , 3 ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η η = ( − y ) 2 d. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este: 2
2
∂ u 1 1 ∂u ∂u η + −ξ =0 , 2 2 ∂ξ∂η 3 η − ξ ∂ξ ∂η 2
8
3 3 2 2 = − − ξ x y ( ) 3 3 η = ( − x ) 2 + y 2
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u x 2 + y 2 =0 ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic pe interiorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar, forma canonică este:
x2 + y 2 − 1 ∂ 2 u ∂ 2u y + = 0 , = , = ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 b. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar forma canonică este:
c.
x2 + y 2 − 1 ∂ 2u ∂ 2u y − =0 , ξ = , η= ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 ecuaŃia este de tip hiperbolic pe interiorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar forma canonică este:
1 − x2 − y 2 ∂ 2u ∂ 2u y ξ η − = 0 , = , = ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 d. ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1, iar forma canonică este: 1 − x2 − y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y + = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 1 − x2 − 2 xy − 1 + y − 2x − 2 y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y a. pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
(
)
(
)
1 − x2 + y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y ξ η − = 0 , = , = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x 2 2 b. pentru 1 − x + y < 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
c.
x2 − y 2 − 1 ∂ 2 u ∂ 2u y − = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:
1 − x2 + y2 ∂ 2u ∂ 2u y + = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x 2 2 d. pentru 1 − x + y < 0 ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2
ξ=
y , 1+ x
η=
9
x2 − y2 −1 1+ x
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2sin x − cos x − cos x =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y a. u ( x, y ) = ϕ ( x + y + cos x ) +ψ ( x − y − cos x ) b. c. d.
u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x )
u ( x, y ) = ϕ ( x + y − sin x ) +ψ ( x − y + sin x )
u ( x, y ) = ϕ ( x − y − sin x ) +ψ ( x − y + sin x )
24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: a.
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u ∂u x 2 −y 2 + − =0 , ∂x ∂y 2 ∂x ∂y
b.
u ( x, y ) = ϕ
c. d.
( u ( x, y ) = ϕ ( u ( x, y ) = ϕ (
( x > 0, y > 0 ) .
) ( − x + − y ) x < 0, y < 0 x − y ) +ψ ( x + y ) x, y > 0 − x − y ) +ψ ( − x + y ) x < 0, y > 0
− x − − y +ψ
25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
x2
2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u − y − 2y =0 2 2 ∂x ∂y ∂y
a.
u ( x , y ) = ϕ ( x, y ) +
b.
u ( x, y ) =
c.
u ( x , y ) = ϕ ( x, y ) +
d.
u ( x, y ) =
x x2 ψ y y2
x y ϕ ( x ⋅ y ) + xyψ y x x y ψ y x
x y ϕ ( x, y ) + ψ y x
26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u − 2 xy + y +x +y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y a. u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ ( x ⋅ y )
x2
b. c. d.
u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ln y +ψ ( x ⋅ y )
x u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ y y u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ln +ψ ( x ⋅ y ) x
10
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2 ∂u 2 ∂ u x = x ∂x ∂x ∂y 2
x
a.
u ( x, y ) =
b.
u ( x, y ) =
c.
u ( x, y ) =
ϕ ( x ⋅ y ) +ψ y
x
ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y ) x ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y )
y x
d.
u ( x, y ) =
ϕ ( x ⋅ y ) +ψ y
y
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂u ∂u − + =0 ∂x∂y ∂x ∂y X ( x)Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x2 + y2 X ( x) ⋅Y ( y ) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x⋅ y X ( x) − Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x− y X ( x) + Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x+ y
( x − y) a. b. c. d.
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂u ∂u + y + x + xyu = 0 ∂x∂y ∂x ∂y a.
b. c. d.
u ( x, y ) = e
u ( x, y ) = e u ( x, y ) = e u ( x, y ) = e
−
x2 + y 2 2
x2 + y2 2
ϕ ( x + y ) + ψ ( x − y )
−
x +y 2
2
−
x +y 2
2
2
2
x ϕ +ψ ( y ) y
ϕ ( x + y ) + ψ ( x − y ) ϕ ( x ) + ψ ( y )
11
30. Utizând schimbarea de variabile independente :
y z , η = , ζ = z− y x x să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x 2 2 + 2 xy + y 2 2 + 2 yz + z 2 2 + 2 zx =0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂z∂x y z y z a. u ( x, y , z ) = ( z − y ) ϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅) x x x x y z y z b. u ( x, y , z ) = ( z + y ) ϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅) x x x x y z y z c. u ( x, y , z ) = ( z − y ) ϕ , + ( x − y )ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅ ) x x x x y z y z d. u ( x, y, z ) = xyϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅) x x x x
ξ=
31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = a11 2 + 2a12 + a22 2 ∂t 2 ∂x ∂x∂y ∂y a.
(a
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
u ( x, y, t ) = ϕ x + a12t , y + a22t + ψ x − a12t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
b.
u ( x, y, t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
c.
u ( x, y, t ) = ϕ x + a22t , y + a12t + ψ x − a22t , y − a12t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
d.
a = a122 )
11 22
u ( x, y, t ) = ϕ x + a11t , y − a22t +ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
12
)
32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u − 2 + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 a. u ( x, y ) = yf1 ( x ) + xf 2 ( y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) , unde f k ( ⋅) b.
u ( x, y ) = xf1 ( x ) + yf 2 ( y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) , unde f k ( ⋅)
c.
( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare
u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)
d.
( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare
( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare
u ( x, y ) = xf1 ( x ) + yf 2 ( y ) + ( x + y ) f3 ( x − y ) + ( x − y ) f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)
( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare
33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 − 3 =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 a. b. c. d.
u y =0 = 3x 2 ,
u ( x, y ) = x 2 − 3 y 2 u ( x, y ) = 3x 2 − y 2
u ( x, y ) = x 2 + 3 y 2 u ( x, y ) = 3x 2 + y 2
13
∂u ∂y
=0 y =0
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
(1 + x ) 2
a.
∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 − + y +x −y =0 , 1 ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
u ( x, y ) =
(
u ( x, y ) =
(
u ( x, y ) =
(
u ( x, y ) =
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x + 1 + x2 y + 1 + y2
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x + 1 + x2 y + 1 + y2
1 α 2 − 1 β 2 − 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
unde, α = x − 1 + x 2
d.
= ϕ1 ( x ) y =0
1 α 2 + 1 β 2 + 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
unde, α = x + 1 + x 2
c.
∂u ∂y
1 α 2 − 1 β 2 − 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
unde, α = x + 1 + x 2
b.
u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x − 1 + x2 y + 1+ y2
1 α 2 + 1 β 2 + 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
(
unde, α = x − 1 + x 2
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x − 1 + x2 y + 1+ y2
35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 + 2 cos x − sin x − sin x =0, 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y
u y =sin x = ϕ0 ( x ) ,
∂u ∂y
= ϕ1 ( x ) y =sin x
x + sin x + y
a.
1 1 u ( x, y ) = ϕ0 ( x + sin x + y ) + ϕ0 ( x − sin x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x −sin∫x − y
b.
1 1 u ( x, y ) = ϕ0 ( x − sin x + y ) + ϕ0 ( x + sin x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x +sin∫x − y
c.
u ( x, y ) =
1 1 ϕ0 ( x − cos x + y ) + ϕ0 ( x + cos x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x + cos∫ x − y
d.
u ( x, y ) =
1 1 ϕ0 ( x + cos x + y ) + ϕ0 ( x + cos x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x + cos∫ x − y
x −sin x + y
x − cos x + y
x + cos x + y
14
36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + − + − = 0, 4 5 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y a.
b.
c.
d.
∂u ∂y
u y =0 = f ( x ) ,
= F ( x) y =0
y x− x − 5y z 5 z 5 6 ′ 6 u ( x, y ) = f ( x − y ) + e ∫ e f ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz 6 x− y x − y y x+ x+ y 5 z 5 − x +6 y 5 6z 6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e ∫ e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz 6 x− y x − y x− y 6
y x− x− y 5 z 5 − x +6 y 5 6z 6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz ∫ 6 x+ y x + y y x− x− y z 5 − 5 x +6 y 5 − 6z 6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e ∫ e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz 6 x+ y x + y
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
x2
a.
b.
2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u 2 3 − xy − y =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2
(
)
3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x y + yϕ 0 4 4
(
)
∂u ∂y
u y =1 = ϕ0 ( x ) , x y
(
= ϕ1 ( x ) y =1
)
x y
7 − x 3 3 4 + y x ∫ ϕ 0 x y x dx − x y ∫ ϕ1 ( x ) x dx y 16 4 x4 y x4 y
( )
15
−
7 4
grele_ecuatii MULTIPLE CHOICE 1.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este
a. b.
Avem
c.
Avem ca functiile
si schimbarea de variabile potrivita este
si
sunt complex conjugate si schimbarea
de variabile potrivita este
d.
niciuna din variantele de mai sus
1
2.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu
.
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
3.
a.
c.
b.
d.
-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile
. Notam
Atunci este adevarat ca
a.
c.
b.
d.
2
4.
-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci este adevarat ca
5.
a.
c.
b.
d.
-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
a.
c.
b.
d.
3
6.
-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
7.
a.
c.
b.
d.
-Forma canonica a ecuatiei
este a.
4
8.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local. b.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local. d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
5
9.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca a.
unde f este functie de clasa
.
unde f este functie de clasa
.
unde f este functie de clasa
.
b.
c.
d.
unde f,g sunt functii de clasa
.
6
10.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local. b.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local. d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
7
11.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca a.
unde f este functie de clasa
.
b.
unde f,g sunt functii de clasa
.
c.
unde f este functie de clasa
.
d.
unde f,g sunt functii de clasa
.
8
unde
12.
-Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei
unde c este o constanta , sunt a.
9
14.
-Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine a.
unde f este functie de clasa
.
b.
unde f,g sunt functii de clasa
.
unde f,g sunt functii de clasa
.
unde f,g sunt functii de clasa
.
c.
d.
e.
Niciuna din variantele de mai sus
10
15.
-Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale
(1)
Se cauta o solutie de forma
. Rezulta atunci ca X,T satisfac ecuatia a.
c.
b.
d.
11
16.
-Consideram urmatoarea ecuatie
(10)
cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia a.
c.
b.
d.
12
Ecuatii TRUE/FALSE 1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie :
Folosim schimbarea de variabila ξ =3y-x ; η =x+y. 2. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila ξ=y-x; η =2x. 3. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila ξ=2x-y; η =3x. 4. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+2y; η =2x-y. 5. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-y; η =3x.
1
6. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+y; η =x. 7. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η=3x-y. 8. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+3y; η =x. 9. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y. 10. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.
2
11. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=-x+y; η =-x+2y.
3
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
2.
a.
c.
b.
d.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.
c.
b.
d.
1
3.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
4.
a.
c.
b.
d.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
5.
a.
c.
b.
d.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.
c.
b.
d.
2
6.
-Se da ecuatia diferentiala
Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor: a.
b.
c.
d.
7.
-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un este domeniu
. Atunci daca
pe D ecuatia de mai sus este de tip
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
nu putem decide tipul ecuatiei
3
8.
-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este
. Atunci daca
9.
pe D ecuatia de mai sus este de tip
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
nu putem decide tipul ecuatiei
-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este
. Atunci daca
10.
pe D ecuatia de mai sus este de tip
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
criteriul nu decide tipul ecuatiei
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu caracteristicilor asociata acestei ecuatii este sinx⋅ y' 2 − 2 cosx⋅ y'− sinx = 0
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
4
. Ecuatia
11.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii este
. Ecuatia caracteristicilor
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
12.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii
cu ecuatia caracteristicilor
y' 2 − cos x ⋅ y'+ 3 = 0
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
13.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii
cu ecuatia caracteristicilor
y' 2 − 2cos x ⋅ y'+ 4 = 0
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
5
14.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu
cu ecuatie
a caracteristicilor asociata
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca
,
functii reale si distincte in fiecare punct
cu .
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
15.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu
. Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca fiecare punct
cu
functie reala in
.
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
6
16.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu
. Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca
,
functii complex conjugate asa ca in fiecare punct
cu ,
nu
este reala. Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
17.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu
.
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale a.
c.
b.
d.
7
18.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu
.
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
19.
a.
c.
b.
d.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu
.
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale. a.
c.
b.
d.
8
20.
-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este a.
b.
c.
d.
21.
-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este
a.
b.
c.
d.
9
22.
-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este a.
b.
c.
d.
23.
-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este a.
10
25.
-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este
26.
a.
c.
b.
d.
-Forma canonica a ecuatiei
este
a.
c.
b.
d.
11
27.
-Forma canonica a ecuatiei
este
28.
a.
c.
b.
d.
-Forma canonica a ecuatiei
este a.
c.
b.
d.
12
29.
-Forma canonica a ecuatiei
este
30.
a.
c.
b.
d.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip
31.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
13
32.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus
14
33.
-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa
.
b.
unde f,g sunt functii de clasa
.
c.
unde f este functie de clasa
.
d.
unde f,g sunt functii de clasa e.
.
Niciuna din variantele de mai sus
15
34.
-Ecuatia
unde c>0 este o constanta , reprezinta
35.
a.
ecuatia propagarii caldurii
b.
problema Dirichlet pentru disc
c.
ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d.
ecuatia neomogena a coardei vibrante
e.
Niciuna din variantele de mai sus
-Ecuatia
reprezinta o forma particulara a a.
ecuatiei propagarii caldurii
b.
problemei Dirichlet pentru disc
c.
ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d.
ecuatiei neomemogene a coardei vibrante
e.
Niciuna din variantele de mai sus
16
36.
-Se considera ecuatia
pentru
si
. pentru orice
O conditie de tipul
37.
a.
O conditie la limita
b.
O conditie initiala
c.
reprezinta
Niciuna din variantele de mai sus
-Se considera ecuatia
pentru
si
O conditie de tipul
38.
a.
O conditie la limita
b.
O conditie initiala
. , pentru c.
reprezinta Niciuna din variantele de mai sus
-Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este a.
c.
b.
d.
17
39.
-Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile
sunt
40.
a.
conditii initiale
c.
conditii necesare
b.
conditii la limita
d.
niciuna din variantele de mai sus
-Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale
si conditiile la limita
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma a.
c.
b.
d.
18
41.
-Consideram urmatoarea ecuatie (8)
a>0. Aceasta este
42.
a.
ecuatia omogena a coardei vibrante
b.
ecuatia neomogena a coardei vibrante d.
c.
ecuatia propagarii caldurii ecuatia lui Laplace
-Consideram urmatoarea ecuatie (9)
a>0. Aceasta este o ecuatie de tip a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
niciuna din variantele de mai sus.
19
43.
-Consideram ecuatia propagarii caldurii cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
44.
a.
c.
b.
d.
-Consideram urmatoarea ecuatie
(11)
Aceasta este a.
ecuatia omogena a coardei vibrante
b.
ecuatia neomogena a coardei vibrante d.
c.
20
ecuatia caldurii ecuatia lui Laplace
45.
-Consideram urmatoarea ecuatie
(12)
Aceasta este o ecuatie de tip
46.
a.
hiperbolic
c.
eliptic
b.
parabolic
d.
nicuna din variantele de mai sus
-Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc a.
se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor
b.
se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare
c.
se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda caracteristicilor
d.
niciuna din variantele de mai sus
47.
1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila :
a.
ξ=y+x; η =2x
c.
ξ=y+x; η =x
b.
ξ=y-x; η =2x
d.
ξ=y+x; η =2xy
21
TRUE/FALSE 1.
-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma
unde a,b,c sunt niste numere reale constante. 2. Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
22
Ecuatii cu derivate partiale MULTIPLE CHOICE 1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
∂ 2u ∂ 2u − =0 ∂t 2 ∂x 2 cu condiŃiile iniŃiale: ∂u u t =0 = x 2 , t =0 = 0 ∂t a. u ( x, t ) = t 2 + x 2 b. c. d.
u ( x, t ) = t 2 − x 2 1 u ( x, t ) = ϕ ( x − t ) + ϕ ( x + t ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 2 1 u ( x, t ) = ϕ ( x − t ) − ϕ ( x + t ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 2
2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u 2 −4 2 =0 ∂x ∂t u = 0, ∂u = x t =0 t = 0 ∂t 1 a. u ( x, t ) = ϕ ( x − 2t ) + ϕ ( x + 2t ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 4 b. u ( x, t ) = xt c. d.
u ( x, t ) = ϕ ( x 2 + t 2 ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară.
u ( x, t ) = t 2 + x 2
3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t = 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a şi de condiŃiile iniŃiale u ∂t 2 ∂x 2
a. b. c. d.
t =0
π 2a
= sin x,
u ( x, t ) = sin ax cos t + t
u ( x, t ) = sin x cos t + t π u ( x, t ) = 2a 1 u ( x, t ) = sin x cos at 2a
1
dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia: ∂u ∂t
t =0
= 1.
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u 2 − 2 =0 ∂x ∂t u = x, ∂u = − x t =0 t =0 ∂t a. b. c. d.
u ( x, t ) = t (1 − x ) u ( x, t ) = x ( t − 1) u ( x, t ) = tx
u ( x, t ) = x (1 − t )
5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
a. b. c. d.
2 ∂ 2u 2 ∂ u =0 2 −a ∂x 2 ∂t u = 0, ∂u = cos x t =0 t =0 ∂t 1 u ( x, t ) = cos x sin at a 1 u ( x, t ) = sin x cos at a 1 u ( x, t ) = sin x cos x a 1 u ( x, t ) = cos at sin x a
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t = π dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
a. b. c. d.
∂ 2u ∂ 2u 2 − 2 =0 ∂x ∂t u = sin x, ∂u t =0 ∂t u = cos x u = − sin x u = − cos x u = sin x
t =0
= cos x
2
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2 − 3 + 2 + 6 = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂ u 1 ∂u a. + =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u b. − =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u c. + =0 , ξ = x− y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u d. − =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ
η = 3x − y η = 3x − y η = 3x + y η = 3x + y
8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +4 +5 2 + +2 = 0 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂ u ∂ u ∂u a. + + = 0 , ξ = 2x + y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u b. + + = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u c. − + = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u d. + − = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η
η = −x η=x η=x η=x
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u − + 2 +α +β + cu = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂u ∂u a. − (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u b. + (α − β ) −β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u c. + (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u d. + (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η
3
= x− y ,
η=y
= x+ y ,
η=y
= x+ y ,
η=y
= x+ y ,
η=y
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2 cos x − 3 + sin x −y =0 ( ) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2u η − ξ ∂u ∂u a. + − = 0 , ξ = 2 x + sin x + y , ∂ξ∂η 16 ∂ξ ∂η ∂ 2u η − ξ ∂u ∂u + + =0, ∂ξ∂η 16 ∂ξ ∂η ∂ 2u η − ξ ∂u ∂u + − =0, ∂ξ∂η 16 ∂ξ ∂η
b. c.
∂ 2u η − ξ ∂u ∂u + − =0, ∂ξ∂η 32 ∂ξ ∂η
d.
η = 2 x - sin x - y
ξ = 2 x + sin x + y ,
η = 2 x - sin x - y
ξ = 2 x − sin x + y ,
η = 2 x - sin x - y
ξ = 2 x + sin x + y ,
η = 2 x - sin x - y
11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
y a. b. c. d.
2
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u + 2 xy + 2x +y = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 − y 2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2 ∂ u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u − 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 − y2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2 ∂ u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2− ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 + y 2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η ∂ 2u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 + y2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ + η ∂ξ η ∂η
12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
tg 2 x a. b. c. d.
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u − 2 y tgx + y + tg 3 x = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂ 2u ξ ∂u − ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = y ∂η 2 η ∂ξ ∂ 2u 2ξ ∂u − ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = y ∂η 2 η 2 ∂ξ ∂ 2u ξ ∂u + ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = − y ∂η 2 η ∂ξ ∂ 2u ξ ∂u + ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = − y ∂η 2 η ∂ξ
4
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 + 2sin x − cos x + cos x + sin 2 x 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂u 1 ξ + η ∂u a. − cos = 0 , ξ = x − y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ + η ∂u b. − cos = 0 , ξ = x − y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ + η ∂u c. + cos = 0 , ξ = x + y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ − η ∂u d. + cos = 0 , ξ = x + y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η
= 0.
η = x − y − cos x η = x − y − cos x η = x − y − cos x η = x − y − cos x
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
x a. b. c. d.
2
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 2 xy − 3y − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ξ = x− y , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ 2ξ ∂η ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ξ = x+ y , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ 2ξ ∂η ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u x − ⋅ + + u = 0 , ξ = xy , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η y 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂u x3 + ⋅ − + u = 0 , ξ = xy , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η y
x y x y
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 1 + y +x +y = 0. ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u + = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln y + 1 + y 2 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ 2u ∂ 2u − = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln y + 1 + y 2 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ 2u ∂ 2u + 2 = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln 3 y + 1 + 9 y 2 2 ∂ξ ∂η 2 ∂ u ∂ 2u − 2 = 0 , ξ = ln 2 x + 1 + 4 x 2 , η = ln y + 1 + y 2 2 ∂ξ ∂η
(1 + x2 ) a. b. c. d.
( ( ( (
) ) )
( ( (
)
5
) )
(
) )
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − 2 y sin x + y = 0. ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2u 2ξ ∂u x − 2 ⋅ = 0 , ξ = y ln , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2 2 ∂u 2ξ ∂u x − 2 ⋅ = 0 , ξ = ytg , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2 2 ∂u 2ξ ∂u x + 2 ⋅ = 0 , ξ = tg , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ y 2 ∂u 2ξ ∂u y − 2 ⋅ = 0 , ξ = xtg , η = − y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2
sin 2 x a. b. c. d.
17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u cth x 2 − 2 y cthx +y + 2y = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂ 2u 1 ∂u ∂u a. + ξ −η = 0 , ξ = y chx , 2 2 ∂η 1 − η ∂ξ ∂η 2
b. c. d.
∂ 2u ∂u 1 ∂u + ξ −η =0 , 2 2 ∂η 1 + η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u 1 ∂u + ξ +η =0 , 2 2 ∂η 1 + η ∂ξ ∂η 1 ∂u ∂ 2u ∂u η − +ξ =0, 2 2 ∂η 1 + η ∂ξ ∂η
η = shx
ξ = y shx ,
η = chx
ξ = y chx ,
η = shx
ξ = y chx ,
η = yshx
6
18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2 u y 2 + 2 = 0. ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 2 32 + + = 0 , ξ = x , η = y ( y > 0) ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η 3 b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y > 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 2 32 − + = 0 , = x , = y ( y > 0) ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η 3 c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pentru y < 0 , iar forma canonică este: 3 2 2 ξ = − − x y ( ) ∂u ∂u ∂ 2u 1 3 + + y<0 =0 , 3 ∂ξ∂η 6 (η − ξ ) ∂ξ ∂η η = x + 2 ( − y ) 2 3 d. ecuaŃia este de tip eliptic pentru y < 0 , iar forma canonică este: 3 2 2 ξ = x − − y ( ) 2 2 ∂u ∂u ∂u ∂u 1 3 + + y<0 =0 , 3 2 ∂ξ 2 ∂η 2 6 (η − ξ ) ∂ξ ∂η η = x + ( − y ) 2 3 19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2u ∂u + y +α = 0 , unde α = constant 2 2 ∂x ∂y ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y < 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 2α − 1 ∂u + + = 0 , ξ = x , η = 2 − y , ( y < 0) ∂ξ 2 ∂η 2 η ∂η b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: 1 α − 2 ∂u 2 ∂u − ∂u = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) − ∂ξ∂η ξ − η ∂ξ ∂η η = x + 2 − y c. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 2α − 1 ∂u − + = 0 , ξ = x , η = 2 − y , ( y < 0) ∂ξ 2 ∂η 2 η ∂η d. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 , iar forma canonică este: 1 α − 2 2 ∂u ∂u 2 ∂u − ∂u = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) + − ∂ξ 2 ∂η 2 ξ − η ∂ξ ∂η η = x + 2 − y
7
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u y 2 +x 2 =0 ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă x < 0 , y < 0, iar, forma canonică este:
b.
3 3 2 2 ∂ u 1 1 ∂u ∂u ξ = ( − x ) − y η ξ + − = 0 , 3 3 ∂ξ∂η 3 η 2 − ξ 2 ∂ξ ∂η η = ( − x ) 2 + y 2 ecuaŃia este de tip eliptic dacă x < 0 , y < 0, iar forma canonică este:
c.
3 2 ξ = − x ( ) 3 η = ( − y ) 2 ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este:
2
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η
3 ξ = − x ( )2 ∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u + + + = 0 , 3 ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η η = ( − y ) 2 d. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este: 2
2
∂ u 1 1 ∂u ∂u η + −ξ =0 , 2 2 ∂ξ∂η 3 η − ξ ∂ξ ∂η 2
8
3 3 2 2 = − − ξ x y ( ) 3 3 η = ( − x ) 2 + y 2
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u x 2 + y 2 =0 ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic pe interiorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar, forma canonică este:
x2 + y 2 − 1 ∂ 2 u ∂ 2u y + = 0 , = , = ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 b. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar forma canonică este:
c.
x2 + y 2 − 1 ∂ 2u ∂ 2u y − =0 , ξ = , η= ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 ecuaŃia este de tip hiperbolic pe interiorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar forma canonică este:
1 − x2 − y 2 ∂ 2u ∂ 2u y ξ η − = 0 , = , = ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 d. ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1, iar forma canonică este: 1 − x2 − y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y + = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 1 − x2 − 2 xy − 1 + y − 2x − 2 y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y a. pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
(
)
(
)
1 − x2 + y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y ξ η − = 0 , = , = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x 2 2 b. pentru 1 − x + y < 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
c.
x2 − y 2 − 1 ∂ 2 u ∂ 2u y − = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:
1 − x2 + y2 ∂ 2u ∂ 2u y + = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x 2 2 d. pentru 1 − x + y < 0 ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2
ξ=
y , 1+ x
η=
9
x2 − y2 −1 1+ x
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2sin x − cos x − cos x =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y a. u ( x, y ) = ϕ ( x + y + cos x ) +ψ ( x − y − cos x ) b. c. d.
u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x )
u ( x, y ) = ϕ ( x + y − sin x ) +ψ ( x − y + sin x )
u ( x, y ) = ϕ ( x − y − sin x ) +ψ ( x − y + sin x )
24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: a.
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u ∂u x 2 −y 2 + − =0 , ∂x ∂y 2 ∂x ∂y
b.
u ( x, y ) = ϕ
c. d.
( u ( x, y ) = ϕ ( u ( x, y ) = ϕ (
( x > 0, y > 0 ) .
) ( − x + − y ) x < 0, y < 0 x − y ) +ψ ( x + y ) x, y > 0 − x − y ) +ψ ( − x + y ) x < 0, y > 0
− x − − y +ψ
25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
x2
2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u − y − 2y =0 2 2 ∂x ∂y ∂y
a.
u ( x , y ) = ϕ ( x, y ) +
b.
u ( x, y ) =
c.
u ( x , y ) = ϕ ( x, y ) +
d.
u ( x, y ) =
x x2 ψ y y2
x y ϕ ( x ⋅ y ) + xyψ y x x y ψ y x
x y ϕ ( x, y ) + ψ y x
26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u − 2 xy + y +x +y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y a. u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ ( x ⋅ y )
x2
b. c. d.
u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ln y +ψ ( x ⋅ y )
x u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ y y u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ln +ψ ( x ⋅ y ) x
10
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2 ∂u 2 ∂ u x = x ∂x ∂x ∂y 2
x
a.
u ( x, y ) =
b.
u ( x, y ) =
c.
u ( x, y ) =
ϕ ( x ⋅ y ) +ψ y
x
ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y ) x ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y )
y x
d.
u ( x, y ) =
ϕ ( x ⋅ y ) +ψ y
y
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂u ∂u − + =0 ∂x∂y ∂x ∂y X ( x)Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x2 + y2 X ( x) ⋅Y ( y ) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x⋅ y X ( x) − Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x− y X ( x) + Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x+ y
( x − y) a. b. c. d.
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂u ∂u + y + x + xyu = 0 ∂x∂y ∂x ∂y a.
b. c. d.
u ( x, y ) = e
u ( x, y ) = e u ( x, y ) = e u ( x, y ) = e
−
x2 + y 2 2
x2 + y2 2
ϕ ( x + y ) + ψ ( x − y )
−
x +y 2
2
−
x +y 2
2
2
2
x ϕ +ψ ( y ) y
ϕ ( x + y ) + ψ ( x − y ) ϕ ( x ) + ψ ( y )
11
30. Utizând schimbarea de variabile independente :
y z , η = , ζ = z− y x x să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x 2 2 + 2 xy + y 2 2 + 2 yz + z 2 2 + 2 zx =0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂z∂x y z y z a. u ( x, y , z ) = ( z − y ) ϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅) x x x x y z y z b. u ( x, y , z ) = ( z + y ) ϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅) x x x x y z y z c. u ( x, y , z ) = ( z − y ) ϕ , + ( x − y )ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅ ) x x x x y z y z d. u ( x, y, z ) = xyϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅) x x x x
ξ=
31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = a11 2 + 2a12 + a22 2 ∂t 2 ∂x ∂x∂y ∂y a.
(a
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
u ( x, y, t ) = ϕ x + a12t , y + a22t + ψ x − a12t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
b.
u ( x, y, t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
c.
u ( x, y, t ) = ϕ x + a22t , y + a12t + ψ x − a22t , y − a12t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
d.
a = a122 )
11 22
u ( x, y, t ) = ϕ x + a11t , y − a22t +ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
12
)
32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u − 2 + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 a. u ( x, y ) = yf1 ( x ) + xf 2 ( y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) , unde f k ( ⋅) b.
u ( x, y ) = xf1 ( x ) + yf 2 ( y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) , unde f k ( ⋅)
c.
( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare
u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)
d.
( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare
( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare
u ( x, y ) = xf1 ( x ) + yf 2 ( y ) + ( x + y ) f3 ( x − y ) + ( x − y ) f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)
( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare
33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 − 3 =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 a. b. c. d.
u y =0 = 3x 2 ,
u ( x, y ) = x 2 − 3 y 2 u ( x, y ) = 3x 2 − y 2
u ( x, y ) = x 2 + 3 y 2 u ( x, y ) = 3x 2 + y 2
13
∂u ∂y
=0 y =0
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
(1 + x ) 2
a.
∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 − + y +x −y =0 , 1 ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
u ( x, y ) =
(
u ( x, y ) =
(
u ( x, y ) =
(
u ( x, y ) =
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x + 1 + x2 y + 1 + y2
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x + 1 + x2 y + 1 + y2
1 α 2 − 1 β 2 − 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
unde, α = x − 1 + x 2
d.
= ϕ1 ( x ) y =0
1 α 2 + 1 β 2 + 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
unde, α = x + 1 + x 2
c.
∂u ∂y
1 α 2 − 1 β 2 − 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
unde, α = x + 1 + x 2
b.
u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x − 1 + x2 y + 1+ y2
1 α 2 + 1 β 2 + 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
(
unde, α = x − 1 + x 2
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x − 1 + x2 y + 1+ y2
35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 + 2 cos x − sin x − sin x =0, 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y
u y =sin x = ϕ0 ( x ) ,
∂u ∂y
= ϕ1 ( x ) y =sin x
x + sin x + y
a.
1 1 u ( x, y ) = ϕ0 ( x + sin x + y ) + ϕ0 ( x − sin x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x −sin∫x − y
b.
1 1 u ( x, y ) = ϕ0 ( x − sin x + y ) + ϕ0 ( x + sin x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x +sin∫x − y
c.
u ( x, y ) =
1 1 ϕ0 ( x − cos x + y ) + ϕ0 ( x + cos x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x + cos∫ x − y
d.
u ( x, y ) =
1 1 ϕ0 ( x + cos x + y ) + ϕ0 ( x + cos x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x + cos∫ x − y
x −sin x + y
x − cos x + y
x + cos x + y
14
36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + − + − = 0, 4 5 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y a.
b.
c.
d.
∂u ∂y
u y =0 = f ( x ) ,
= F ( x) y =0
y x− x − 5y z 5 z 5 6 ′ 6 u ( x, y ) = f ( x − y ) + e ∫ e f ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz 6 x− y x − y y x+ x+ y 5 z 5 − x +6 y 5 6z 6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e ∫ e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz 6 x− y x − y x− y 6
y x− x− y 5 z 5 − x +6 y 5 6z 6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz ∫ 6 x+ y x + y y x− x− y z 5 − 5 x +6 y 5 − 6z 6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e ∫ e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz 6 x+ y x + y
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
x2
a.
b.
2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u 2 3 − xy − y =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2
(
)
3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x y + yϕ 0 4 4
(
)
∂u ∂y
u y =1 = ϕ0 ( x ) , x y
(
= ϕ1 ( x ) y =1
)
x y
7 − x 3 3 4 + y x ∫ ϕ 0 x y x dx − x y ∫ ϕ1 ( x ) x dx y 16 4 x4 y x4 y
( )
15
−
7 4
grele_ecuatii MULTIPLE CHOICE 1.
-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este
a. b.
Avem
c.
Avem ca functiile
si schimbarea de variabile potrivita este
si
sunt complex conjugate si schimbarea
de variabile potrivita este
d.
niciuna din variantele de mai sus
1
2.
-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu
.
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
3.
a.
c.
b.
d.
-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile
. Notam
Atunci este adevarat ca
a.
c.
b.
d.
2
4.
-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci este adevarat ca
5.
a.
c.
b.
d.
-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
a.
c.
b.
d.
3
6.
-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
7.
a.
c.
b.
d.
-Forma canonica a ecuatiei
este a.
4
8.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local. b.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local. d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
5
9.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca a.
unde f este functie de clasa
.
unde f este functie de clasa
.
unde f este functie de clasa
.
b.
c.
d.
unde f,g sunt functii de clasa
.
6
10.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local. b.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local. d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
7
11.
-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca a.
unde f este functie de clasa
.
b.
unde f,g sunt functii de clasa
.
c.
unde f este functie de clasa
.
d.
unde f,g sunt functii de clasa
.
8
unde
12.
-Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei
unde c este o constanta , sunt a.
9
14.
-Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine a.
unde f este functie de clasa
.
b.
unde f,g sunt functii de clasa
.
unde f,g sunt functii de clasa
.
unde f,g sunt functii de clasa
.
c.
d.
e.
Niciuna din variantele de mai sus
10
15.
-Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale
(1)
Se cauta o solutie de forma
. Rezulta atunci ca X,T satisfac ecuatia a.
c.
b.
d.
11
16.
-Consideram urmatoarea ecuatie
(10)
cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia a.
c.
b.
d.
12
Ecuatii TRUE/FALSE 1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie :
Folosim schimbarea de variabila ξ =3y-x ; η =x+y. 2. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila ξ=y-x; η =2x. 3. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila ξ=2x-y; η =3x. 4. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+2y; η =2x-y. 5. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-y; η =3x.
1
6. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+y; η =x. 7. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η=3x-y. 8. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+3y; η =x. 9. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y. 10. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.
2
11. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=-x+y; η =-x+2y.
3
Related Documents
Ecuatii Cu Derivate Partiale Complet
May 2020 4
Intrebari Cu Raspunsuri La Analiza Matematica 2
May 2020 15
More Documents from "AndreiMaxim"
