Intrebari Cu Raspunsuri La Analiza Matematica 2

Analiza matematica An 1 sem 2

TRUE/FALSE (A)1.Fie functia f:X → òm ,X ⊂ òn . Daca f este continua in punctul a, exista o vecinatate a punctului a in care functia este marginita.

(A)2. Fie functiile f,g:X → òm ,X ⊂ òn . Daca f si g sunt continue in punctul a atunci f + g este continua in a.

(F)3. Fie functia f :X → òm , X ⊂ òn . Daca f este continua in punctul a si λ ∈ ò, atunci λf nu este continua in a.

(A)4. Fie functia f :X → òm , X ⊂ òn . Daca exista lim f(x) in òm si f nu este definita in punctul a, atunci f se x→a

poate prelungi prin continuitate in punctul a, punand f(a) = lim f(x) x→a

(F)5. Fie functia f:X → ò,X ⊂ òn . Daca exista lim f(x) in ò si f nu este definita in punctul a, atunci f se x →a

prelungeste prin continuitate in punctul a, punand f(a) = 0.

(F)6. Fie functia f:X → ò,X ⊂ òn . Daca exista lim f(x) in ò si f nu este definita in punctul a, atunci f se x →a

prelungeste prin continuitate in punctul a, punand f(a) = ∞.

p

(A)7. Fie functiile f:X → Y ⊂ òm , g:Y → ò , X ⊂ òn . Daca functia f este continua in punctul a ∈ X , iar p

functia g este continua in punctul b = f(a) ∈ Y , atunci functia compusa g(f):X → ò este continua in punctul a ∈ X

p

(F)8. Fie functiile f:X → Y ⊂ òm , g:Y → ò , X ⊂ òn . Daca functia f este continua in punctul a ∈ X , iar p

functia g este continua in punctul b = f(a) ∈ Y , atunci functia compusa g(f):X → ò este discontinua in punctul a ∈ X

(F)9. Fie functia reala f:X → ò, X ⊂ ò n ; daca in punctul a ∈ X , f este continua si f(a) ≠ 0, exista o vecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x ∈ V ∩ X sa avem f(x) ⋅ f(a) > 0.

1

(F)10. Fie functia realaf:X → ò, X ⊂ ò n ; daca in punctul a ∈ X , f este continua si f(a) ≠ 0, exista o vecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x ∈ V ∩ X sa avem f(x) ⋅ f(a) < 0.

(A)11. Daca functia vectorialaf:X → òm , X ⊂ òn este continua in punctul a ∈ X si f(a) ≠ 0, atunci exista o vecinatate V a lui a astfel incat pentru orice x ∈ V ∩ X sa avem f(x) ≠ 0.

ÏÔÔ ÔÔ ÔÔÔ 3xy 4 ÔÔ (x,y) ≠ (0,0) este continua in origine. (F)12. Functiaf(x,y) = ÌÔ 2x 2 + 7y 8 ÔÔ ÔÔ (x,y) = (0,0) ÔÔ 0 ÔÓ

13.(A) O functie vectoriala continua pe un interval compact I⊂ òn , este marginita pe I(A) .

14.(F) O functie vectoriala continua pe un interval compact I⊂ òn , este uniform continua pe I.

15.(F) Orice functie vectoriala continua pe un interval compactI ⊂ òn , este diferentiabila pe I.

16.(A) O functie vectoriala continua pe un interval compactI ⊂ òn , isi atinge efectiv marginile pe I.

17.(F) Fie f :X → ò, X ⊂ ò2 . Cand derivam partial in raport cu variabila x, aceasta (variabila x) este considerata constanta si derivam ca si cum am avea o singura variabila: y.

18.(A) Fie f : X→ ò, X ⊂ ò2 . Cand derivam partial in raport cu variabila y, variabila x este considerata constanta si derivam ca si cum am avea o singura variabila y.

19.(A)Daca f(x,y) = sin(x 2 + y 2 ), (x,y) ∈ ò2 , atunci f x ' (x, y) = 2x cos(x 2 + y 2 ).

20.(F)Daca f(x,y) = sin(x 2 + y 2 ), (x,y) ∈ ò2 , atunci f y ' (x,y) = −2y cos(x 2 + y 2 ).

21.(A)Daca functia reala f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) este continua partial in raport cu variabila x k in punctul a = (a 1 ,a 2 ,. . . ,a n ), atunci f este derivabila partial in raport cu x k in punctul a

2

(A)22.Daca functia reala f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) este derivabila partial in raport cu variabila x k in punctul a = (a 1 ,a 2 ,. . . ,a n ), atunci f este continua partial in raport cu x k in punctul a.

(A)23.Daca functia reala f(x 1 ,x 2 ,. . . x n ) este derivabila partial in raport cu fiecare variabila x 1 ,x 2 ,. . . x n in punctul a, atunci f este continua in raport cu fiecare variabila in parte in punctul a.

(A)24.Fie f :X → ò, X ⊂ òn . Deoarece derivarea partiala in raport cu o variabila x k este de fapt derivarea functiei in raport cu x k , celelalte variabile fiind considerate constante rezulta ca regulile de derivare stabilite pentru functiile de o variabila se mentin si pentru derivarea partiala.

(A)25.Fie f :X → ò, X ⊂ òn . Deoarece derivarea partiala in raport cu o variabila x k este de fapt derivarea functiei in raport cu x k , celelalte variabile fiind considerate constante rezulta ca operatiile algebrice efectuate asupra functiilor derivabile partial conduc tot la functii derivabile partial, adica suma, diferenta, produsul, catul a doua functii derivabile partial reprezinta tot o functie derivabila partial.

(A)26. Dacă funcŃia f e diferenŃiabilă în (x0, y0) atunci ea este continuă în acest punct.

(A)27. Dacă funcŃia f are derivate parŃiale f’x, f’y într-o vecinătate V a lui (x0,y0) şi dacă aceste

derivate parŃiale sunt continue în (x0, y0) atunci funcŃia f este diferenŃiabilă în (x0, y0). (F)28. Se considera functiaf(x,y) = x + 2y. Atunci f' x (x,y) = f' y (x,y)

(F)29.Se considera functia f(x,y) = x 2 − xy + 3y 2 . Atunci f " 2 (x,y) = f " 2 (x,y). x

y

(A)30.Se considera functia f(x,y) = x 2 − xy + 3y 2 . Atunci derivatele mixte f "xy (x,y) si f "yx (x,y) sunt egale.

" (A)31.Se considera functia f(x,y) = x 3 + y 3 . Atunci derivatele mixte f xy (x,y) si f "yx (x,y) sunt egale.

" (x,y) si f "yx (x,y) sunt egale. (A)32.Se considera functia f(x,y) = x 2 + 2xy + y 3 + 4. Atunci derivatele mixte f xy

(F)33.Orice functie f:ò2 → ò are puncte stationare.

3

(F)34.Orice functie f:ò2 → ò are cel mult 1 punct de extrem.

(F)35.Orice functie f:ò2 → ò are cel mult 2 puncte stationare.

(A)36.Daca functia f are derivate partiale mixte de ordinul doi f "xy si f "yx intr-o vecinatate V a unui punct

(a,b) si daca f "xy si f "yx sunt continue in (a, b), atunci f "xy (a,b) = f "yx (a,b).

(A)37.Se considera functia f(x,y) = 2x + y. Atunci f nu are puncte stationare.

(A)38.Daca functia f:ò2 → ò are derivate partiale intr-un punct de extrem (a,b), atunci derivatele partiale de anuleaza in acest punct f x '(a, b) = f y '( a, b) = 0 .

(F)39.Daca (a,b) este un punct de extrem local al functiei f:ò2 → ò si daca f " 2 (a,b) < 0, atunci (a,b) este x

punct de minim.

(F)40.Daca (a,b) este un punct de extrem local al functiei f:ò2 → ò si daca f " 2 (a,b) > 0, atunci (a,b) este x

punct de maxim.

(A)41.Daca functia f:X → ò,X ⊂ ò2 are derivate partiale mixte de ordinul doi intr-o vecinatate V a lui (x,y) ∈ X si daca f xy ' ' este continua in (x, y), atunci f xy ' ' (x,y) = f yx ' ' (x,y)

(F)42.Fie f:X → ò,X ⊂ ò2 o functie de doua variabile, derivabila partial de doua ori pe X, cu toate derivatele partiale de ordinul doi continue. Diferentiala sa de ordinul al doilea este ∂2f ∂2f ∂2f 2 2 d f(x,y) = 2 dx − 2 dxdy + 2 dy 2 ∂x ∂x∂y ∂y

(A)43.Fie f:X → ò,X ⊂ ò2 o functie de doua variabile, care are in X toate derivatele partiale de ordinul n si toate aceste derivate partiale sunt continue. Diferentiala sa de ordinul n este ∂n f ∂nf ∂nf ∂nf d n f(x,y) = n dx n + C1n n − 1 dx n − 1 dy +. . .+ C kn n − k k dx n − k dy k +. . .+ n dy n ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y

4

(F)44.Fie f:X → ò,X ⊂ ò2 o functie de doua variabile. Daca (a,b) ∈ X este punct stationar pentru f, atunci (a,b) este punct de extrem al lui f.

(A)45.Fie f:X → ò,X ⊂ ò2 o functie de doua variabile. Daca (a,b) ∈ X este punct de extrem pentru f, atunci (a,b) este punct stationar pentru f.

p

(A)46.Fie f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) o functie definita pe X ⊂ ò , derivabila de trei ori pe X. Fie (a 1 ,. . . ,a p ) o solutie a sistemului

∂f ∂x 1

= 0,. . . ,

∂f ∂x p

= 0.

| |A Daca toate numerele ∆1 = A11 , ∆2 = | 11 |A | 21

Aij =

∂2f ∂x i ∂x j

| | A11 | | |A | A 12 | 21 ∆ = ,..., | p | A 22 || | ... | || A p1

A12

...

A22

...

...

...

A p2

...

| A1p | | A2p || , unde | ... | | A pp ||

(a 1 ,a 2 ,. . . ,a p ), sunt pozitive, atunci functia f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) are in punctul (a 1 ,. . . ,a p )

un minim.

p

(F)47.Fie f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) o functie definita pe X ⊂ ò , derivabila de trei ori pe X. Fie (a 1 ,. . . ,a p ) o solutie a sistemului

∂f ∂x 1

= 0,. . . ,

∂f ∂x p

= 0.

| |A Daca toate numerele ∆1 = A11 , ∆2 = | 11 |A | 21

Aij =

∂2f ∂x i ∂x j

| | A11 | | |A | A12 ∆ = | ,..., p | 21 | A22 || | ... | || A p1

A12

...

A22

...

...

...

A p2

...

| A1p | | A2p || , unde | ... | | A pp ||

(a 1 ,a 2 ,. . . ,a p ), sunt pozitive, atunci functia f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) are in punctul (a 1 ,. . . ,a p )

un maxim.

5

p

(A)48.Fie f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) o functie definita pe X ⊂ ò , derivabila de trei ori pe X. Fie (a 1 ,. . . ,a p ) o solutie a sistemului

∂f ∂x 1

= 0,. . . ,

∂f ∂x p

= 0.

| |A Daca toate numerele ∆*1 = −A11 , ∆*2 = | 11 |A | 21

Aij =

∂2f ∂x i ∂x j

| | A11 | | | A12 | p A | ,..., ∆*p = (−1) | 21 | A22 || | ... | || A p1

A12

...

A22

...

...

...

A p2

...

| A1p | | A2p || , unde | ... | | A pp ||

(a 1 ,a 2 ,. . . ,a p ), sunt pozitive, atunci functia f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) are in punctul (a 1 ,. . . ,a p )

un minim.

p

(F)49.Fie f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) o functie definita pe X ⊂ ò , derivabila de trei ori pe X. Fie (a 1 ,. . . ,a p ) o solutie a sistemului

∂f ∂x 1

= 0,. . . ,

∂f ∂x p

= 0.

| |A Daca toate numerele ∆*1 = −A11 , ∆*2 = | 11 |A | 21

Aij =

∂2f ∂x i ∂x j

| | A11 | | | A 12 | p A | ,..., ∆*p = (−1) | 21 | A 22 || | ... | || A p1

A12

...

A22

...

...

...

A p2

...

| A1p | | A2p || , unde | ... | | A pp ||

(a 1 ,a 2 ,. . . ,a p ), sunt pozitive, atunci functia f(x 1 ,x 2 ,. . . ,x p ) are in punctul (a 1 ,. . . ,a p )

un maxim.

(A)50. Integrala curbilinie de primul tip nu depinde de sensul de parcurgere a drumului de intregrare.

(A)51. Integrala curbilinie de primul tip depinde de sensul de parcurgere a drumului de intregrare.

(F)52. Integrala curbilinie de al doilea tip isi schimba semnul atunci cand se schimba sensul de parcurgere a drumului de integrare.

(A)53. Integrala curbilinie de al doilea tip nu isi schimba semnul atunci cand se schimba sensul de parcurgere a drumului de integrare.

6

MULTIPLE CHOICE 1. Alege raspunsul care completeaza cel mai bine spatiul liber din enuntul urmator. Fie I ⊂ ò un interval necompact si functia f:I → ò. Spunem ca functia f este ..................... daca ∀ [a,b] ⊂ I , f| [a,b] este integrabila. a. liber integrabila; *b. local integrabila; c. global integrabila; d. continua. 2. Un drum cu lungime finita se numeste a. juxtapozabil; b. inversabil; c. rectificabil; *d. poligonal. 3. Fie drumul d:[a,b] → X . Drumul (−d):[a,b] → X , definit prin (−d)(t) = d(a + b − t) se numeste a. inversul lui d; b. concatenatul lui d; c. imaginea lui d; *d. alt raspuns. 4. Fie (X, τ) un spatiu topologic. O functie continua d:[a,b] → X astfel incat d([a,b]) este multime compacta si conexa se numeste a. bijectie in X; *b. drum in X; c. homeomorfism in X; d. alt raspuns.

7

5. Sa se completeze urmatoarea teorema cu concluzia corecta. Fie M ⊂ ò2 , un domeniu simplu in raport cu una din axe si fie ∂M un drum simplu, inchis, de clasa C 1 pe portiuni, pozitiv orientat (sensul de parcurgere pe ∂M lasa domeniul M in stanga), a carui imagine este frontiera topologica a lui M. Fie D o multime deschisa astfel incat M ⊂ D si fie functiile P,Q:D → ò, derivabile cu derivatele continue. Atunci ÊÁ ∂Q ∂P ˆ˜ ÁÁÁ ˜˜˜ dxdy = Pdx + Qdy ; + a. ÁÁ ˜ ÁË ∂x ∂y ˜˜¯ ∂M M ÊÁ ∂Q ∂P ˆ˜ ÁÁ ˜˜ ÁÁ ˜ *b. ÁÁ ∂x − ∂y ˜˜˜ dxdy = Pdx + Qdy ; ¯ ∂M M Ë ÊÁ ∂P ∂Q ˆ˜ ÁÁ ˜˜ ÁÁ ˜ c. ÁÁ ∂x − ∂y ˜˜˜ dxdy = Pdx − Qdy ; Ë ¯ ∂M M ÊÁ ∂Q ∂P ˆ˜ ÁÁ ˜˜ ÁÁ ˜˜ dxdy = Pdx + Qdy . − d. ÁÁË ∂y ∂x ˜˜¯ ∂M M

∫∫

ÿ

∫∫

ÿ

∫∫

ÿ

∫∫

ÿ

6. Fie f:[a,b] → ò,g:[a,b] → ò doua functii integrabile Riemann. Atunci: a. functia fg este continua; *b. functiafg este integrabila Riemann; c. functia fg este derivabila. 7. Fie *a. b. c.

f:[a,b] → ò o functie integrabila Riemann. Atunci f are proprietatea lui Darboux; f este continua; f este marginita.

8. Fie f:[0,∞) → ò si g:[0,∞) → ò functii continue cu proprietatea ca | f(x)| ≤| g(x)| pentru orice ∞

x ∈ [0,∞) si ∫ | g(x)| dx este convergenta. Atunci: 0 ∞

a.

∫

| f(x)| dx este convergenta;

0 ∞

b.

∫

| g(x)| dx este convergenta;

0 ∞

*c.

∫ | f(x)| dx este convergenta. 0

8

9. Fie functia f:X → òm ,X ⊂ òn si a un ....................... al multimii de definitie X. Se spune ca un vector

b ∈ òm este limita functiei f in punctul a daca pentru orice ε > 0 exista η > 0 astfel incat oricare ar fi x ≠ a,x ∈ X si Äx − aÄ < η sa avem Ä f(x) − bÄ < ε . a. punct izolat *b. punct de acumulare c. punct aderent 10. Fie functia f:X → òm ,X ⊂ òn si a ∈ X . Se spune ca functia f este ..................... in punctul a, daca pentru orice ε > 0 exista ηε > 0 astfel incat oricare x ∈ X sa avem Ä f(x) − f(a)Ä < ε daca Äx − aÄ < η ε a. constanta b. derivabila *c. continua b

∫

11. Fie f:[a,b] → ò o functie continua. Expresia π f 2 (x)dx ne da a

a.

lungimea graficului functiei f

b.

aria suprafetei de rotatie S = {(x,y,z) ∈ ò3 |

*c.

y 2 + z 2 = f(x),x ∈ [ab]}

volumul corpului de rotatieC = {(x,y,z) ∈ ò3 |

y 2 + z 2 ≤| f(x)| }

b

12. Fie f:[a,b] → ò o functie derivabila cu derivata continua. Expresia

∫

1 + (f '(x)) 2 dx ne da

a

*a. lungimea graficului functiei f b.

aria suprafetei de rotatie S = {(x,y,z) ∈ ò3 |

y 2 + z 2 = f(x),x ∈ [ab]}

c.

volumul corpului de rotatie C = {(x,y,z) ∈ ò 3 |

y 2 + z 2 ≤| f(x)| }

b

∫

13. Fie f:[a,b] → ò+ o functie derivabila cu derivata continua. Expresia 2π f(x) a

a.

lungimea graficului functiei f

*b. aria suprafetei de rotatie S = {(x,y,z) ∈ ò3 | c.

y 2 + z 2 = f(x),x ∈ [ab]}

volumul corpului de rotatie C = {(x,y,z) ∈ ò3 |

9

y 2 + z 2 ≤| f(x)| }

1 + (f '(x)) 2 dx ne da

AM: lungimea unui drum, integrale curbilinii An 1 sem 2 MULTIPLE CHOICE 1. Fie functia f:[0,1] → ò, f(x) = x 2 + 1. Lungimea graficului lui f este 1 ÊÁ ˆ ÁÁ 2 + ln(1 + 2) ˜˜˜ ; a. Ë ¯ 2

2 + ln(1 + 2); Ê 1 ÁÁ 1 \c. ÁÁÁÁ ln(2 + 5) + 2 ÁË 2 4 d. . 3 b.

ˆ˜ ˜ 5 ˜˜˜˜ ; ˜¯

2. Lungimea curbei y = x 3 / 2 , unde x ∈ [0,4], este 8 (10 10 − 1); \a. 27 4 b. ( 10 − 1); 9 c. 2.

ÏÔÔ ÔÔ x = 3cos t ÔÔÔ π 3. Fie curba data de ÔÌÔ y = 3sint , unde t ∈ [0, ]. Lungimea acestei curbe este ÔÔ 2 ÔÔ ÔÔÓ z = 4t

π a. b. \c.

2

;

5; 5π 2

;

π d.

2

.

1

t

x=

∫ 1

4. Lungimea curbei data de

y=

cos x x

dx

sinx x

2

ÏÔ ÔÔ Ô x = a(cos t + t sint) , t ∈ [0,2π],a > 0 este 8. Lungimea curbei data de ÌÔ ÔÔÔ y = a(sint − t cos t) ÔÓ a. 2π ; b. π 2 − 1; \c. 2π 2 a; d. 4πa.

∫

9. Fie I = xy dl, unde C: x = t, y = t 2 , t ∈ [−1,1]. Valoarea lui I este C

\a. b. c. d.

0; 2 − 1;

1

; 3 2.

ÔÏÔÔ ÔÔ a ÔÔ ÔÔ x = cos θ Ô 2 10. Fie I = xy dl unde C:ÔÌÔ ,θ∈ ÔÔ Ô a C ÔÔÔ y = sin θ ÔÔÔ 2 Ó a. 0; ˆ˜ a 3 ÁÁÁÊ π ˜ ÁÁ − 1˜˜˜ ; b. Á ˜˜ 16 ÁË 2 ¯ 3 a \c. . 16

∫

11. Fie I =

∫x

dl 2

C

+ y2 + z2

ÈÍ ˘ ÍÍ π ˙˙˙ ÍÍ 0, ˙˙ . Valoarea lui I este ÍÍ ˙ ÍÍÎ 2 ˙˙˙˚

, unde C este prima spira a elicei x = acos t, y = asint, z = bt, t ∈ [0,2π] .

Valoarea acestei integrale este \a.

b.

c. d.

a2 + b2 ab a2 + b2 ab a2 + b2 ab

a 2πb

arctan

arctan

ln

arctan

2πb

a 2πb

a

2πb a 2πa b

;

;

;

.

3

ÏÔÔ ÔÔ ÔÔÔ ÔÔ x = t ÔÔÔ 12. Fie I = ∫ xyz dl, unde C:ÔÌÔ y = t 2 , t ∈ [0,1]. Valoarea lui I este ÔÔ ÔÔ C 2 ÔÔÔ ÔÔ z = t 3 3 ÔÔÓ a. b. \c. d.

2 21 4

;

; 27 46

189 6 . 27

;

∫

13. Fie I = xy dl, C fiind sfertul din elipsa C

\a. b. c. d.

ab(a 2 + ab + b 2 ) 3(a + b) ab(a + b); ab(a 3 + b 3 ) 3

x2 a2

+

y2 b2

= 1 situat in primul cadran. Valoarea lui I este

;

;

1.

ÔÏÔÔ ÔÔ x = t ÔÔ ÔÔÔ 3 ÔÔÔ 4 2 14. Fie I = xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) dl, C = ÔÌ y = t , t ∈ [0,1] . Valoarea lui I este ÔÔÔ 3 ÔÔ C ÔÔÔ ÔÔ z = t 2 ÔÔÔ Ó 13935 a. ; 1875 13936 \b. ; 1875 13937 c. . 1875

∫

4

15. Fie I =

ÏÔÔ ÔÔÔ x = t − sint y(2 − y) dl, C = ÌÔ ,t∈ ÔÔ ÔÓÔ y = 1 − cos t

∫ C

\a. b. c.

2 2 3 2 3 2 2 5 2

ÈÍ ˘ ÍÍ π ˙˙˙ ÍÍ 0, ˙˙ . Valoarea lui I este ÍÍ ˙ ÍÍÎ 2 ˙˙˙˚

; ; .

∫

16. Fie I = (x 2 + y 2 ) dl, unde C este segmentul de dreapta AB, A(a,a), B(b,b), b>a. Valoarea lui I este C

a. b. \c. d.

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3

(b − a); (b 2 − a 2 ); (b 3 − a 3 ); (b 3 + a 3 ).

∫

17. Fie I = (x + y) dl, unde C este segmentul OA; O(0,0), A(1,2). Valoarea lui I este C

a. \b. c. d.

3 3 2 3 5 2 3 7 2 3 6 2

; ; ; .

5

∫

18. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea 3xy dx − y 2 dy , unde Γ

¸Ô ÏÔ Γ = ÌÔ (x,y) ∈ ò2 | y = 2x 2 , x ∈ [0,2] ˝Ô este ˛ Ó 110 ; a. − 3 440 b. ; 3 440 \c. − ; 3 d. 0.

∫

19. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea (3x 2 + 6y) dx − 14yz dy + 20xz 2 dz , unde Γ

¸Ô ÏÔ Γ = ÔÌ (x,y,z) ∈ ò3 | x = t, y = t2 , z = t3 , t ∈ [0,1] Ô˝ este ˛ Ó \a. 5; b. 10; c. 15; d. 20.

∫

20. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = xy dx − y 2 dy , unde

¸Ô ÏÔ Γ = ÔÌ (x,y) ∈ ò2 | x = t2 , y = t3 , t ∈ [0,1] Ô˝ este ˛ Ó a. 0; 1 b. ; 21 1 \c. − ; 21 2 . d. 21

6

Γ

∫

21. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I = x dy , unde Γ

¸Ô ÏÔ Γ = ÌÔ (x,y) ∈ ò2 | x = e t , y = ln(1 + e t ), t ∈ [0,ln2] ˝Ô este ˛ Ó 3 a. 1 + ln ; 2 2 \b. 1 + ln ; 3 2 c. 2 + ln ; 3 2 d. 2 − ln . 3 22. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I =

∫

yz dx +

xz dy +

xy dz , unde

Γ

Ô¸ ÔÏ Γ = ÌÔ (x,y,z) ∈ ò3 | x = t, y = t 2 , z = t 3 , t ∈ [0,1] ˝Ô este ˛ Ó 59 a. ; 42 60 ; b. 42 61 \c. ; 42 62 d. . 42

23. Valoarea integralei curbilinii de tipul al doilea I =

ÔÏ Γ = ÔÌÔ (x,y,z) ∈ ò3 | x = e t , y = e −t , z = Ó e2 1 1 \a. + − ; 2 e 2 e3 1 1 b. + − ; 3 e 2 e2 1 1 c. + − ; 2 e2 2 e2 1 1 d. + + . 2 e2 2

∫ x dx + xy dy + xyz dz , unde Γ

Ô¸ 2t, t ∈ [0,1] Ô˝Ô este ˛

7

∫

24. Fie integrala curbilinie de tipul al doilea I = (y + 1) dx + x 2 dy, unde C este curba simpla si C

rectificabila care are ca imagine portiunea din parabola y = x 2 − 1, cuprinsa intre punctele A(−1,0) si B(1,0), care are primul capat in B. Valoarea ei este 2 ; a. 3 2 \b. − ; 3 c. d.

2;

π.

25. Fie I =

∫

C

dl x −y

unde C este segmentul de dreapta y =

1 2

x − 2 cuprins intre punctele A(0,− 2) si

B(4,0). Valoarea lui I este 5 ln2 5 ln3 5 ln8

\a. b. c.

26. Fie I =

∫

xydl unde C este conturul dreptunghiului ale carui varfuri sunt

C

A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2). Valoarea lui I este a. 22 b. 23 \c. 24

27. Calculeaza

∫

(x − y)dl unde C este circumferinta x 2 + y 2 = ax.

C

\a. b. c.

πa 2 2 πa 2 3 πa 2 4

28. Calculeaza

∫

2y dl , unde C este primul arc al cicloidei x = a(t − sint), y = a(1 − cos t)

C

( t ∈ [0,2π] ) a. 0 \b. 4a a π c. sina

8

29. Calculeaza

∫

(x 2 + y 2 ) n dl , unde C este circumferinta x = acos t, y = asint.

C

\a. 2πa 2n + 1 b. 2πa 2n c. 2π 2 a 2n + 1

30. Calculeaza integrala

∫

z2

C

\a.

8π 3 a

x2 + y2

dl unde C este prima spira a elicei x = acos t, y = asint, z = at, a > 0.

2

3

π a 2 3

b. c.

3 8π

3

2

3

31. Calculeaza

∫

(2z −

x 2 + y 2 )dl unde C este prima spira a spiralei conice x = t cos t, y = t sint, z=t.

C

Indicatie: se ia t ∈ [0,2π] ÊÁ ˆ˜ 3 Á ˜˜ 2 2 ÁÁÁ ˜˜ 2 \a. ÁÁÁ (2π 2 + 1) − 1˜˜˜ ˜˜ 3 ÁÁÁ ˜˜ Á Ë ¯ ÊÁ ˆ˜ 3 Á ˜˜ 2 2 ÁÁÁ ˜˜ 2 2 Á ˜ b. ÁÁÁ (2π + 1) + 1˜˜˜ 3 ÁÁ ˜˜ Á ˜ Ë ¯ c.

2 2 3

∫

32. Calculeaza integrala xydl unde C este conturul patratului | x|+| y|= a, a > 0. C

\a. 0 b. 1000 c. a 2008

9

33. Calculeaza integrala

∫

C

\a. ln b.

ln

c.

ln

dl

unde C este segmentul AB A(0,0), B(1,2).

x2 + y2 + 4

5 +3 2 5 −3 2 5 +3 254

10

AM: extreme An 1 sem 2

MULTIPLE CHOICE 1. Daca Γ(a) = a. \b. c. d.

∫

∞

0 +0

Γ(2) = 0; Γ(2) = 1; Γ(2) = 2; Γ(2) = 3.

2. Daca Β(a,b) =

ÊÁ 1 1 ˆ˜ Á ˜ Β ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ÁË 2 2 ˜¯ ÁÊÁ 1 1 ˜ˆ˜ \b. Β ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ÁË 2 2 ˜¯ ÁÊÁ 1 1 ˜ˆ˜ c. Β ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ÁË 2 2 ˜¯ ÁÊÁ 1 1 ˜˜ˆ d. Β ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ÁË 2 2 ˜¯

a.

x a − 1 e −x dx , pentru a>0, atunci

∫

1−0

x a − 1 (1 − x) b − 1 dx , cu a,b>0, atunci

0+0

= e; = π; =

=

3. Stiind ca Β(a,b) =

π;

π 2

∫

1−0

0+0

x a − 1 (1 − x) b − 1 dx , cu a,b>0, si ca Γ(a) = ∫

∞

0 +0

ÊÁ 1 ˆ˜ Á ˜ calculeze Γ ÁÁÁÁ ˜˜˜˜ (eventual se poate folosi legatura dintre Β si Γ). ÁË 2 ˜¯ a. π ; \b. π ; c. π 2 ; d. π 2 π .

1

x a − 1 e −x dx , pentru a>0, sa se

4. Daca Β(a, b) = a.

Β(3,4) =

b.

Β(3,4) =

1−0

∫

0+0

1 120

;

π

;

2 1 \c. Β(3,4) = ; 60

d.

π2

Β(3,4) =

5. Daca Γ(a) =

ÁÊÁ 3 ˆ˜˜ \a. ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ ÁË 2 ˜¯ ÊÁ 3 ˆ˜ Á ˜ b. ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ ÁË 2 ˜¯ ÊÁ 3 ˆ˜ Á ˜ c. ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ ÁË 2 ˜¯ ÊÁ 3 ˆ˜ Á ˜ d. ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ ÁË 2 ˜¯

= = = =

6

x a − 1 (1 − x) b − 1 dx , cu a,b>0, atunci

.

ÊÁ 1 ˆ˜ Á ˜ x a − 1 e −x dx , pentru a>0, atunci (folosind eventual faptul ca ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ = 0+0 ÁË 2 ˜¯

∫

∞

π 2

π 4

π 8

π 16

;

;

;

.

∞

6. Valoarea integralei de tip Gamma

∫

5

x 4 e −2 x dx este

0

1 9 4 ⋅ Γ  2 16 5  5  1 4 9 ⋅ Γ  \b. 5 2 16 5  5  1 9 9 ⋅ Γ  c. 5 2 16 5  5  a.

d.

5

ÁÊÁ 9 ˜ˆ˜ ΓÁÁÁÁ ˜˜˜˜ 5 2 24 ÁË 5 ˜¯ 1

2

π ) rezulta ca

1

7. Valoarea integralei de tip Beta

∫

x 3 (1 − x ) dx este 2

0

5 Γ   Γ ( 3) 2 \a.   9 Γ  2  5   12  Γ Γ  3  7  b.  92  Γ   21  c.

d.

16 693

5 Γ   Γ ( 3) 2 5  Γ + 2 2  ∞

8. Folosind proprietatile integralei Gamma, obtinem ca

∫x e

7 −x

0

a. 8! \b. 7! c. 6! d. 9!

3

dx este egala cu

1

9. Folosind proprietatile integralei Beta, obtinem ca

∫ 0

8 5 Γ Γ  3 7 a.  71  Γ   21   5   12  Γ Γ   3  7  b.  71  Γ   21   8   12  Γ Γ   3  7  \c.  92  Γ   21  5 8 Γ Γ  3 7 d.  59  Γ   21 

4

3

x 5 ⋅ 7 (1 − x ) dx este egala cu 5

AM: integrala dubla An 1 sem 2 MULTIPLE CHOICE 1. Se considera I =

∫∫ xy dxdy , unde D este domeniul limitat de parabola y = x

2

si de dreapta y = 2x + 3.

D

Valoarea lui I este 160 ; \a. 3 161 b. ; 3 162 c. ; 3 163 . d. 3 2. Aria domeniului plan marginit de curbele y = x si y = x 2 , este: a. 1; 1 ; b. 2 1 c. ; 3 1 \d. . 6

3. Se considera I =

ÔÏ

∫∫ (1 − y) dxdy unde D = ÔÌÔÓ (x,y) ∈ ò | x 3

D

este: a. b. \c. d.

1 13 1 14 1 15 1 16

; ; ; .

1

2

Ô¸ + (y − 1) 2 ≤ 1, y ≤ x 2 ,x ≥ 0˝Ô . Valoarea lui I ˛

4. Valoarea integralei duble I =

ÏÔ

¸Ô

∫∫ 2(x + y) dxdy , unde D = ÔÔÌÓ (x,y) ∈ ò | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1ÔÔ˝˛ , este 2

D

a. 1; \b. 2; c. 3; d. 4.

∫

5. Prin calcul direct sau folosind formula lui Green rezulta ca integrala (1 − x 2 )y dx + x(1 + y 2 ) dy unde γ

γ(t) = (r cos t,r sint), cu r > 0 si t ∈ [0, π] este egala cu πr 4 a.

b. \c. d.

2 πr 4 3 πr 4 4 πr 4 5

; ; ; .

6. Valoarea integralei duble

∫∫ (x

2

+ y) dxdy , unde D este domeniul plan marginit de curbele y = x 2 si

D

y = x, este 31 a. ; 140 32 ; b. 140 33 \c. ; 140 34 d. . 140 2

7. Valoarea integralei

∫∫ x ye 2

xy

¸Ô ÔÏ dxdy , unde D = ÌÔ (x,y) ∈ ò2 |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2˝Ô este ˛ Ó

D

a. 0; \b. 1; c. 2; d. 3.

2

8. Fie integrala dubla I =

x2

∫∫ y

2

dxdy , unde D este domeniul marginit de dreptele x = 2, y = x si de

D

hiperbola xy = 1. Valoarea lui I este 9 \a. ; 4 9π b. ; 4 c. d.

9π 2 4 9π 3 4

; .

9. Sa se calculeze integrala dubla

∫∫ xy

2

dxdy , D fiind domeniul marginit de curbele y = x 2 si y = x.

D

a.

π

; 3 b. e 2 − 1; c. ln2; 1 . \d. 40

10. Sa se calculeze integrala dubla

∫∫

xy dxdy , D fiind domeniul marginit de curbele y = x 2 si y =

D

x ∈ [0,1]. e ; a. 27 4 \b. ; 27 c. e 2 − ln3; 5. d.

3

x,

ÏÔÔ ÔÔ 2 ÔÔ x + y 2 ≤ 4 . 11. Sa se calculeze integrala dubla ∫∫ y dxdy , unde D:ÔÌ ÔÔ ÔÔ 3y ≥ x 2 D Ó 12 3 ; a. 5 b. \c. d.

13 3 5 14 3 5 3 3.

; ;

12. Folosind o schimbare de variabila adecvata, calculati integrala dubla

b. c. \d.

π 6

π 4

π 3

π 2

; ; .

∫∫ x y 2

D

domeniul marginit de elipsa

\b. c. d.

dxdy , unde

;

13. Folosind o schimbare de variabila adecvata, sa se calculeze integrala dubla

a.

2

D

¸Ô ÏÔ D = ÌÔ (x,y) ∈ ò2 | x 2 + y 2 ≤ 1˝Ô . ˛ Ó a.

∫∫ (x + y)

a3b3 24 a3b3 24 a3b3 24 a3b3 24

x2 a2

+

y2 b2

= 1.

;

π; π 2; π 3.

4

2

dxdy , unde D este

14. Calculeaza integrala dubla

∫∫ xy dxdy , unde 0 ≤ x ≤ 1 si 0 ≤ y ≤ 2. D

a. 0; \b. 1; c. 2; d. 3.

15. Calculeaza integrala dubla

∫∫ e

x+y

dxdy , unde 0 ≤ x ≤ 1 si 0 ≤ y ≤ 1.

D

a. 0; \b. (e − 1) 2 ; c. (e − 1)(e − 2); d.

e 2 − 1.

16. Calculeaza integrala dubla

x2

∫∫ 1 + y

2

dxdy , unde D este dreptunghiul 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

D

a. b. c. \d.

π 2

π 3

π 4

; ; ;

π 12

.

17. Calculeaza integrala dubla

1

∫∫ ÊÁ x + y + 1ˆ˜ D

Ë

2

dxdy , unde D este dreptunghiul 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1.

¯

2

e ; ln2 − ln1; ln2 − ln3; 4 \d. ln . 3

a. b. c.

5

x

a

∫ ∫

18. Calculeaza integrala dx dy.

a. b. \c. d.

3a

0

0

4

2x

1/3

2 3a ; 2 2a 3 / 2 3 2a 2 / 3 3

;

; .

y

∫ ∫ x dy.

19. Calculeaza integrala dx 2

x

2

ln y

a. 5; b. 7; \c. 9; d. 11.

∫ ∫

20. Calculeaza integrala dy e x dx 1

a. b. \c. d.

1 4 1 3 1 2

0

; ; ;

3 2

.

6

21. Calculeaza integrala

∫∫ (x

2

+ y) dxdy , unde D este domeniul marginit de parabolele y = x 2 si y 2 = x.

D

a. b. c. \d.

75 140 42 140 1; 33 140

; ;

.

22. Calculeaza integrala dubla

x2

∫∫ y

2

dxdy unde D este domeniul marginit de dreptele x = 0,y = π si de

D

hiperbola xy = 1. 9 \a. ; 4 b. c. d.

9 π 4

;

e

; 7 1. 1

2

3

∫ ∫ ∫

23. Calculeaza integrala dx dy dz . 0

0

0

a

b

c

a. 1; b. 2; c. 3; \d. 6.

∫ ∫ ∫

24. Calculeaza integrala dx dy (x + y + z)dz . 0

a. b. \c. d.

0

0

abc

; 2 a +b+c

; 3 abc(a + b + c)

2 abc(a + b + c)

;

3

7

a

y

x

∫ ∫ ∫

25. Calculeaza integrala dx dy xyz dz . 0

a.

a +1

a −3 a8 ; b. 94 324 c. ; a2 a6 \d. . 48

0

0

;

26. Calculeaza integrala

∫∫∫ x y z dxdydz , unde domeniul V este definit de inegalitatile 3

2

V

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy. 1 ; \a. 110 3 b. ; 19 πe 2 c. ; 3 d. ln5 − ln2.

27. Trecand la coordonate sferice, calculeaza integrala

∫∫∫ V

centrata in origine de raza R. a. πR3 ; πR3 ; b. 3 \c. πR4 ; πR5 . d. 5

8

x 2 + y 2 + z 2 dxdydz , unde V este bila

28. Să se evalueze integrala dublă:

∫ ∫ ( x + 2 y)dxdy,

D= [1,4] × [ 2,5]

D

\a. b. c. d.

171 2 153 2 alt răspuns 91 2

29. Să se calculeze valoarea integralei duble:

∫ ∫ ( x − y )dxdy

D= {(x,y) ∈ ℜ2 / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x + 1}

D

2 3 1 \b. 3 a.

c. d.

1 6 alt răspuns −

30. Să se calculeze integrala dublă:

∫∫ (x + y)dxdy unde D este domeniul marginit de curbele D

x = 0,x = 1,y = x,y = 2x

2 3 b. alt răspuns 5 \c. 6 1 d. 6 a.

9

31. Să se calculeze integrala dublă:

∫∫

D

a. b. c. d.

xy x2 + y2

dxdy , D= [ 0,1] × [1, 2 ]

2 3 5 3 alt răspuns 1 3

32. EvaluaŃi integrala dublă:

∫∫ xydxdy unde D este domeniul marginit de curbele D

x = 0,x = 3,y = x ,y = 2x + 3 2

a. 52 b. 53 \c. 54 d. alt răspuns

33. Să se calculeze:

∫∫ ( x

2

+ y )dxdy, D= {( x,y ) ∈ℜ2 | 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2 x + 1 }

D

Alt răspuns 783 b. 20 183 \c. 20 103 d. 20 a.

34. Să se calculeze:

∫∫ ( x + y )dxdy, D= [0,1] × [1,3] 2

D

19 3 25 b. 3 29 \c. 3 d. Alt răspuns a.

10

35. Să se calculeze :

∫∫ ( x

2

+ y )dxdy, D= [0,1] × [1,3]

D

Alt răspuns 4 b. 3 7 c. 3 14 \d. 3 a.

36. Să se calculeze :

∫∫ ( x

2

y + xy 2 )dxdy, D = [ −1,1] × [ 0,3]

D

\a. 3 b. Alt răspuns c. -1 d. 12

37. Să se calculeze :

∫∫ xydxdy, D este mărginit de dreptele:

y = x, y = 0, x = 1 .

D

1 a. 5 1 \b. 8 c. Alt răspuns 1 d. 5 38. Să se calculeze :

∫∫ xdxdy, unde

D = {( x, y ) ∈ ℜ 2 , x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0}

D

1 a. 3 5 b. 3 2 \c. 3 d. Alt răspuns

11

39. Să se calculeze:

∫∫ ydxdy, D = {( x, y ) ∈ℜ , x 2

2

+ y 2 ≤ 1, y ≥ 0}

D

Alt răspuns 1 b. 3 5 c. 3 2 \d. 3 a.

40.

Să se calculeze:

∫∫ dxdy, D = {( x, y ) ∈ℜ , 0 ≤ x ≤ 3, 2

2 − x ≤ y ≤ 2}

D

\a. b. c. d.

9 2 5 0

Alt răspuns

41. Să se calculeze:

∫∫

1 − x 2 − y 2 dxdy , D = {( x, y ) ∈ ℜ 2 , x 2 + y 2 ≤ 1}

D

a. b. c. d.

2π 3

π 3 Alt răspuns 7π 3

42. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

2

−6

dy ∫

2 −y y

f(x,y)dx sunt

2

−1

4

a.

y=

b.

x=

\c. x =

y2 4 y2 4 y2

4

− 1,y = 2 − y,x = −6,x = 2 + 1,x = 2 + y,y = −6,y = 2

− 1,x = 2 − y,y = −6,y = 2

12

43. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

3

dx

1

∫

2x x

f(x,y)dy

3

sunt \a. y = b.

y=

c.

x=

x 3 x 3 x 3

,y = 2x,x = 1,x = 3 ,y = 2x,x = 100,x = 3 ,x = 2x,y = 1,y = 3

44. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

3

1

sunt a.

y=

3 x

,y = 2x,x = 1,x = 3

,y = 2x,x = 100,x = 3 3 \c. y = x 2 ,y = x + 9,x = 1,x = 3 b.

y=

x

45. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

3

0

a.

25 − x

dx ∫

2

f(x,y)dy sunt

0

y=

x 3

,y = 2x,x = 1,x = 3

\b. y = 0,y = c.

25 − x 2 ,x = 0,x = 3 y = x 2 ,y = x + 9,x = 1,x = 3

46. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla

∫

4

0

dy

∫

10 − y

f(x,y)dx sunt

y

\a. y = 4,y = 0,x = y,x = 10 − y b. y = 4,y = 0,x = y,x = 0 c.

x=

y2 4

− 1,x = 2 − y,y = −6,y = 2

13

x+9

dx ∫ 2 x

f(x,y)dy

47. Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeniul pe care se calculeaza integrala dubla x dx

14

51. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este domeniul marginit de D

x + y ≤ 1,x ≥ 0,y ≥ 0 2

\a.

2

∫

1

∫

1

dy

0

b.

∫

2

f(x,y)dx

0

0

c.

1−y

dy ∫

1−y

2

f(x,y)dx

0

alt raspuns

52. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este domeniul marginit de D

y ≥ x ,y ≤ 4 − x 2

a.

∫

1

∫

1

0

b.

dy ∫ 2

2

f(x,y)dx

x

0

\c.

4−x

2

4−x

dx ∫ 2

2

f(x,y)dy

x

2

∫

− 2

4−x

dx ∫ 2

2

f(x,y)dy

x

53. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este domeniul marginit de parabolele D

y = x ,y = 2

a.

x

∫

x

\b.

∫

f(x,y)dxdy

2

1

dx

0

c.

∫

x

∫

x

x

2

− 2

f(x,y)dy

2

dx

∫

4−x

x

2

2

f(x,y)dy

15

54. Determinati limitele integralei duble

∫∫ f(x,y)dxdy daca D este triunghiul ale carui laturi au suport D

dreptele de ecuatii y = x,y = 2x,x + y = 6 2

a.

b.

2x

3

6 −x

∫ dx ∫ f(x,y)dy + ∫ dx ∫ f(x,y)dy 0

x

2

x

2

2x

3

6 −x

∫ dy ∫ f(x,y)dx + ∫ dx ∫ f(x,y)dy 0

x

2

x

3

2x

2

6 −x

∫ ∫

∫ ∫ f(x,y)dy

2

0

\c. dx f(x,y)dy + dx x

x

16

Analiza matematica Continuitate, derivate partiale puncte de extrem MULTIPLE CHOICE 1. Derivata partiala a lui f(x,y) = x + xy + 1 in raport cu variabila x este egala cu 2

*a. 2x + y b. 2x + y + 1

c. d.

2x + y 2 x +y

2. Derivata partiala la lui f(x,y) = x + xy + y in raport cu variabila x este egala cu 2

*a. 2x + y b. 2x + y + 1

c. d.

2x + y 2 x +y

3. Derivata partiala la lui f(x,y) = x + xy + 1 in raport cu variabila y este egala cu c. xy a. 2x b. 2x + y *d. x 2

4. Derivata partiala a lui f(x,y) = x y + xy + 1 in raport cu variabila y este egala cu 2

*a. x + x b. 2x + y + 1 2

c. d.

2x + y 2 x +y

5. Derivata partiala a lui f(x,y) = x + xy + y in raport cu variabila y este egala cu 2

2

*a. x + 2y b. 2x + y + 1

c. d.

2x + y 2 x +y

6. Derivata partiala de ordin 2 a lui f(x,y) = x + xy + 1 in raport cu variabila y, notata 2

cu a. 2x b. 2x + y

f ' ' 2 este egala y

c. xy *d. 0

7. Derivata partiala de ordin 2 a lui f(x,y) = x + xy + 1 in raport cu variabila x este egala cu c. xy *a. 6x b. 2x + y d. 0 3

1

8. Derivata partiala de ordin 2 a lui f(x,y) = x + xy + y in raport cu variabila y este egala cu c. xy a. 6x b. 2x + y *d. 6y 3

3

9. Derivata partiala de ordin 2 a lui f(x,y) = x + 2xy + y in raport cu variabila y este egala cu a. 6x c. xy b. 2x + y *d. 6y 3

3

10. Se considera functia f(x,y) = x + xy + y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

f 'xy' (x,y)

*c. 1 d. 6y

11. Se considera functia f(x,y) = x + xy + y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

2

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

f 'xy' (x,y)

c. 1 *d. 2y

12. Se considera functia f(x,y) = x + xy + y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

2

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

' f 'yx (x,y)

c. 1 *d. 2y

13. Se considera functia f(x,y) = x + xy + 7y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

2

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

f 'xy' (x,y)

c. 1 *d. 2y

14. Se considera functia f(x,y) = 5x + xy + y . Atunci derivata mixta de ordin 2 data de 3

2

3

este egala cu a. 6x b. 2x + y

c. 1 *d. 2y

2

f 'xy' (x,y)

15. Se considera functia f(x,y) = x + xy + y . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt *a. (0,0) c. (1,1,),(0,0) b. (1,0),(0,1) d. nu exista puncte stationare 2

2

16. Se considera functia f(x,y) = x − 2x + y − 4y + 11 . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) *c. (1,2) b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare 2

2

17. Se considera functia f(x,y) = x − 4x + y − 6y − 10 . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) *c. (2,3) b. (2,3),(0,0) d. nu exista puncte stationare 2

2

18. Se considera functia f(x,y) = x − 10x + y − 4y + 11 . Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) *c. (5,2) b. (1,2),(0,0) d. nu exista puncte stationare 2

2

19. Se considera functia f(x,y) = x + 2x + y − 4y + 11 . Atunci punctul (-1,2) este un punct *a. de minim local pentru f(x,y) c. nu e punct de extrem local b. de maxim local pentru f(x,y) 2

2

20. Se considera functia f(x,y) = x + 4x − y − 4y + 11 . Atunci punctul (-2,-2) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) *c. nu este punct de extrem local b. de maxim local pentru f(x,y) 2

2

21. Se considera functia f(x,y) = −x + 2x − y − 4y + 11 . Atunci punctul (1,-2) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) c. nu este punct de extrem local *b. de maxim local pentru f(x,y) 2

2

22. Se considera functia f(x,y) = x + y . Atunci punctul (0,0) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) *c. b. de maxim local pentru f(x,y) 2

4

3

nu este punct de extrem local

23. Care din urmatoarele functii are o o infinitate de puncte stationare a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y *b.

f(x,y)=sin(x)

d.

f(x, y) = x2 + y2

24. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationare a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y *b.

f(x, y) = x3 − 3x + y2

d.

f(x, y) = x2 + y2

25. Se considera functia f(x,y) = x + 10x − y − 4y + 11 . Atunci punctul (-5,-2) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) b. de maxim local pentru f(x,y) *c. nu este puncte de extrem local 2

2

26. Să se găsească punctele de extrem ale funcŃiei următoare:

f(x, y) = x2 + y2 – 10x – 10y + 5 (x, y) ∈ R2 P(5,5) punct de maxim

c.

P(5,-5) punct de maxim

*b. P(5,5) punct de minim

d.

M(5,-5) punct de maxim

a.

27. Se da functia f(x,y) = 2xy + y . Cat este 3

,'

f x (1,2)

*a. 4 b. 5

c. d.

28. Se da functia f(x,y) = 2xy + x . Cat este 3

,'

f y (1,2)

*a. 2 b. 3

c. d.

29. Se da functia f(x,y) = 4xy + 5x . Cat este 3

6 7

4 5

,'

f y (1,2)

*a. 4 b. 5

c. d.

4

6 7

30. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul întâi pentru următoarea funcŃie: f ( x, y ) = x 2 + 2 xy − y 2 /

/

/

/

*a. f x ( x, y ) = 2 ( x + y ) ; f y ( x, y) = 2 ( x − y )

c.

f x ( x , y ) = 2 ( x + 2 y ) ; f y ( x, y ) = 2 ( x − y )

d.

/

f x ( x, y ) = 2 ( x − 2 y ) ; f y ( x, y ) = 2 ( x + y ) /

b.

alt răspuns.

31. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul întâi pentru următoarea funcŃie: f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ) 2 /

/

/

f x ( x, y) = x( x 2 + y 2 ); f y ( x, y) = y( x 2 + y 2 ) /

a.

c. d.

/

/

*b. f x ( x, y) = 4 x( x 2 + y 2 ); f y ( x, y) = 4 y ( x 2 + y 2 ) f x ( x, y) = 2 x( x2 + y 2 ); f y ( x, y ) = y ( x 2 + y 2 )

alt răspuns.

32. Să se calculeze derivatele parŃiale de ordinul al doilea pentru următoarea funcŃie:

f ( x, y ) = ln

x = ln x − ln( x + y ) x+ y

1 1 *a. f " 2 ÊÁË x,y ˆ˜¯ = − 2 + ÊÁ x + y ˆ˜ 2 x x Ë ¯ ′′ ( x, y ) = f yx f y′′2 ( x, y ) =

b.

f x′′2 ( x, y ) = ′′ ( x, y ) = f yx

c.

f x′′2 ( x, y ) =

1 x

2

′′ ( x, y ) = − f yx

1 ( x + y)2 1 ( x + y) 1 x

2

−

2

f y′′2 ( x, y ) =

, 1

d.

( x + y)2

1 ( x + y)2

f y′′2 ( x, y ) = −

1 ( x + y )2

,

5

+

1 ( x + y )2 1

( x + y )2 −1

( x + y )2

alt răspuns.

,

33. Să se găsească punctele staŃionare ale funcŃiei următoare:

f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2 *a. M(2,1) b.

M(2,-1)

c.

M(-2,1)

d.

M(-1,2)

34. Să se găsească punctele de extrem ale funcŃiei următoare:

f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2 M(2,1) punct de maxim

c.

M(-2,1) punct de maxim

*b. M(2,1) punct de minim

d.

M(-1,2) punct de maxim

a.

35. Să se găsească punctele de extrem ale funcŃiei următoare

f ( x , y) =

1 1 + cu condiŃia x+y=1 definit pe R2\{(0,0) x y

ÊÁ 1 1 ˆ˜ Á ˜ *a. PÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ pentru λ = 4 punct de minim ÁË 2 2 ˜¯ b.

1 1 1 P  ,  pentru λ = − punct de maxim 2 2 4  

c.

1  1 1 P  − , −  pentru λ = punct de minim 2 2 4  

d.

1 1 1 d) P  , −  pentru λ = punct de maxim 2

2

4

36. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei

f(x,y) = x+3y+2(x2+y2-5) *a. df ÊËÁ x,y ˆ¯˜ = (4x + 1)dx + ÊËÁ 4y + 3ˆ¯˜ dy b. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = (4x − 1)dx + ÊÁË y + 3ˆ˜¯ dy

c. d.

6

df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = (x + 1)dx + ÊÁË 4y + 3ˆ˜¯ dy df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = (x + 1)dx + ÊÁË y + 3ˆ˜¯ dy

37. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei f ( x, y ) =

1 1 + + 2( x + y − 1) x y

ÁÊÁ 1 ˜ˆ˜ ÁÊÁ 1 ˜ˆ˜ *a. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÁÁÁÁ − 2 + 2˜˜˜˜ dx + ÁÁÁÁ − 2 + 2˜˜˜˜ dy ÁË x ˜¯ ÁË y ˜¯ ÊÁ 1 ˆ˜ ÊÁ 1 ˆ˜ Á ˜ Á ˜ b. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÁÁÁÁ 2 + 2˜˜˜˜ dx + ÁÁÁÁ − 2 + 2˜˜˜˜ dy ÁË x ˜¯ ÁË y ˜¯

c. d.

ÁÊÁ 1 ˜ˆ˜ ÁÊÁ 1 ˜ˆ˜ df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÁÁÁÁ 2 + 2˜˜˜˜ dx + ÁÁÁÁ 2 + 2˜˜˜˜ dy ÁË x ˜¯ ÁË y ˜¯ ÊÁ 1 ˆ˜ ÊÁ 1 ˆ˜ Á ˜ Á ˜ df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÁÁÁÁ 2 − 2˜˜˜˜ dx + ÁÁÁÁ − 2 − 2˜˜˜˜ dy ÁË x ˜¯ ÁË y ˜¯

38. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y

Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: a. b.

f ′x = 2x − y f ′x = −y

*c. f ′x = 2x − y − 3 d. f ′x = 2x

39. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y

Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: *a. f ′y ÁÊË x,y ˜ˆ¯ = −x + 2y + 3 b. f ′y ÊÁË x,y ˆ˜¯ = 2y + 3

c. d.

f ′y ÁÊË x,y ˜ˆ¯ = −x + 3 f ′y ÊÁË x,y ˆ˜¯ = −x + y

40. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y . f are punct stationar pe:

M(1,-1)

*a.

M(-1,1)

b.

c.

M(0,0)

d.

M(3,0)

41. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y .Derivata parŃială de ordinul

al doilea a lui f în raport cu x este: / /

/ /

b.

f

x2

( x, y ) = −1

7

c.

f

d.

f

x2

( x, y ) = 0

x2

( x, y ) = −2 x

/ /

/ /

*a. f 2 ( x, y ) = 2 x

42. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y . Derivata parŃială de ordinul

al doilea a lui f în raport cu y este:

f

c.

f

d.

f

y2

( x, y ) = − y

y2

( x, y ) = x

/ /

( x , y ) = −1

/ /

y2

/ /

/ /

a.

*b. f y 2 ( x, y ) = 2

/ /

43. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y .Alege valoarea corectă pentru f xy ( x, y ) / /

/ /

c.

f xy ( x, y ) = xy

b.

f xy ( x, y ) nu există

*d. f xy ( x, y ) = −1

/ /

f xy ( x, y ) = 0 / /

a.

x

y2

(

(1, −1) − f xy (1, −1)

)

2

/ /

f 2 (1, −1) f

/ /

/ /

/ /

44. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 3 x + 3 y . Estimând valoarea expresiei

şi Ńinând cont de valoarea f x2 (1, −1) , stabileşte natura punctului

critic M(1,-1): *a.

punct de minim local

c.

nu se poate spune nimic despre natura punctului M(1,-1)

b.

punct de maxim local

d.

nu este punct de extrem local

45. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2

Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: /

/

c.

f x ( x, y ) = 2 x

b.

f x ( x, y ) = y + 6

*d. f x ( x, y ) = 2 ( x − 1)

/

f x ( x, y ) = 2 x − 1 /

a.

46. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 .

Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

*b. f y ( x, y ) = 2 ( y + 6 )

8

c.

f y ( x, y ) = 2 y

d.

f y ( x, y ) = x − 1

/

f y ( x, y ) = y + 6 /

a.

47. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . FuncŃia f ÊÁË x,y ˆ˜¯ are punct stationar pe: *a. M(1,-6)

c.

M(0,0)

M(-1,6)

d.

M(1,0)

b.

48. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Derivata parŃială de ordinul al

doilea a lui f în raport cu x este: / /

/ /

c.

f

*b. f 2 ( x, y ) = 2 x

d.

f

x2

/ /

f

x2

( x, y ) = 0

x2

( x, y ) = 2 x

/ /

( x, y ) = 1

a.

49. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Derivata parŃială de ordinul al

doilea a lui f în raport cu y este: f

c.

f

d.

f

y2

( x, y ) = − y

y2

( x, y ) = x

/ /

( x , y ) = −1

/ /

y2

/ /

/ /

a.

*b. f 2 ( x, y ) = 2 y

/ /

50. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Alege valoarea corectă pentru f xy ( x, y ) / /

/ /

f xy ( x, y ) nu există

b.

c.

f xy ( x, y ) = 2

d.

f xy ( x, y ) = 1

/ /

/ /

*a. f xy ( x, y ) = 0

y2

(

(1, −6) − f xy (1, −6)

)

2

/ /

x

/ /

f 2 (1, −6) f

/ /

/ /

51. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + ( y + 6) 2 . Estimând valoarea expresiei

şi Ńinând cont de valoarea f x 2 (1, −6) , stabileşte natura punctului

critic M(1,-6): a.

punct de maxim local

*c. punct de minim local

b.

nu este punct de extrem local

d.

9

nu se poate spune nimic despre natura punctului (1,-6)

52. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy

Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: /

/

*c. f x ( x, y ) = y

b.

f x ( x, y ) = x

d.

/

f x ( x, y ) = 1 /

a.

f x ( x, y ) = 0

53.

Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

400 , x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt: xy

400  '  f x ( x, y ) = 10 + 2 y − x 2 y *a.  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x − 2  xy

b.

c.

 f x' ( x, y ) = 10 x + 4 y + 2   f ' ( x, y ) = 10 x + 2 y + 400  y x2 y2

d.

400  '  f x ( x, y ) = 10 + 2 y + x 2 y 2  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x + 2 2  x y 400  '  f x ( x, y ) = 10 + 2 y + xy 2  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x + 2  xy

54.

Punctul stationar pentru functia: 400 f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + cu x >0, y >0 este xy *a. b.

M(2, 5) M(2, 3)

55. Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

c. d.

M(-2, -5) nu exista

400 cu x >0, y >0 admite xy

punct de maxim local M(2, 5)

c.

nu admite puncte de extreme local

*b. punct de minim local M(2, 5)

d.

punct de minim local M(2, 3)

a.

10

56. Rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I rezulta: a.

puncte de maxim local

*c. puncte stationare

b.

puncte de minim local

d.

matricea hessiana

57. Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 – xy + x - 2z,

(x, y, z) ∈ R 3 este *a. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y – x)dy + (2z – 2)dz b.

d f(x, y, z) = (2x 2 - xy + x)dx + y 2 dy + (z 2 -2z)dz

c.

d f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )dx + (1-xy)dy + (x-2z)dz

d.

d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y - xy)dy+(2z - 2)dz

58. Functia f (x,y)= arctg(x 2 + y 2 ) verifica

a.

y f 'x (x ,y) + xf 'y (x ,y) = 0 '

*b. y f x (x ,y) - xf 'y (x ,y) = 0 c.

f 'x (x ,y) + f 'y (x ,y) = 0

d.

2x f 'x (x ,y) - 2yf 'y (x ,y) = 0

59. Functia f (x,y) = x 3 + y 3 - 3xy definita pe R2

*a. b. c. d.

admite punct de minim local M(1, 1) admite punct de maxim local M(-1, 1) nu admite puncte de extrem admite punct de minim local M(1, 1)si N(-1, 1)

11

60. Functia f (x,y) = x 3 + y 3 - 3xy definita pe R2

a. are valoarea minimului egala cu -1 *b. are valoarea maximului egala cu 1

c. d.

are 3 puncte stationare nu are puncte de extreme local

61.

Functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 2x – 4y – 6z definita pe R 3 are: a. toate derivatele de ordin 2 nule *b. toate derivatele mixte de ordin 2 nule

c. d.

toate derivatele de ordin 2 egale cu 2 toate derivatele de ordin 2 strict pozitive

62. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy

Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

f y ( x, y ) = y

*b. f y ( x, y ) = x

d.

f y ( x, y ) = 0

/

c.

/

f y ( x, y ) = 1

a.

63. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = xy .

DiferenŃiala de ordinul I a lui f este a. b.

df = dx + dy df = dx + xdy

c. df = ydx + dy *d. df = ydx + xdy

64. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2

Derivata parŃială a lui f în raport cu x este: /

/

f x ( x, y ) = 2 y

*b. f x ( x, y ) = 2 x

d.

f x ( x, y ) = x 2

/

c.

/

f x ( x, y ) = y 2

a.

65. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2

Derivata parŃială a lui f în raport cu y este: /

/

*c. f y ( x, y ) = 2 y

b.

f y ( x, y ) = 2 x

d.

/

f y ( x, y ) = x2 /

a.

12

f y ( x, y ) = y 2

66. Se dă funcŃia de două variabile f ( x, y ) = x 2 + y 2

DiferenŃiala de ordinul I a lui f este a. b.

c. df = 0 *d. df = 2 xdx + 2 ydy

df = x 2 dx + y 2 dy df = dx + dy

67. ScrieŃi diferenŃiala de ordinul intai a funcŃiei f ÁÊË x,y ˜ˆ¯ = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3y *a. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÊÁË 2x − y − 3ˆ˜¯ dx + ÊÁË −x + 2y + 3ˆ˜¯ dy b. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÊÁË x − y − 3ˆ˜¯ dx + ÊÁË −x + 2y − 3ˆ˜¯ dy c. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÊÁË 2x − y − 3ˆ˜¯ dx + ÊÁË x + y + 3ˆ˜¯ dy d. df ÊÁË x,y ˆ˜¯ = ÊÁË x + 2y − 3ˆ˜¯ dx + ÊÁË x + 2y − 3ˆ˜¯ dy 68. Punctele de extrem local ale functiei f:ò2 → ò, f(x,y) = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12y sunt a. (2,1) punct de maxim local, (-2,-1) punct de minim local; *b. (2,1) punct de minim local, (-2,-1) punct de maxim local; c. (-2,1) punct de maxim local, (2,-1) punct de minim local; d. (2,-1) punct de maxim local, (-2,1) punct de minim local.

ÁÊÁ 9 ˜ˆ˜ 69. Pentru functia f:ò2 → ò, f(x,y) = 2x 2 + y 3 − 6xy + 1, AÁÁÁÁ ,3˜˜˜˜ este ÁË 2 ˜¯ a. punct de maxim local; *b. punct de minim local; c. punct sa. 70. Pentru functia f:ò2 → ò, f(x,y) = (x − 1) 2 + 2y 2 , punctul A(1,0) este *a. punct de minim local; b. punct de maxim local; c. punct sa;

71. Pentru functia f:(0,∞) 2 → ò, f(x,y) = xy +

50 x

+

a. punct sa; b. punct de maxim local; *c. punct de minim local.

13

20 y

, punctul M(5,2) este

72. Functia f:ò2 → ò, f(x,y) = x 2 − xy + y 2 − 2x − y ÊÁ 5 4 ˆ˜ Á ˜ *a. are punctul de minim localM ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ; ÁË 3 3 ¯˜ ÊÁ 5 4 ˆ˜ Á ˜ b. are punctul de maxim local M ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ; ÁË 3 3 ¯˜ ÊÁ 5 4 ˆ˜ Á ˜ c. are punctul sa M ÁÁÁÁ , ˜˜˜˜ ; ËÁ 3 3 ¯˜ d. nu are puncte de extrem. 73. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = 4(x − y) − x 2 − y 2 . Determinati punctele stationare ale lui f. a. (-2,2); b. (2,2); c. (-2,-2); *d. (2,-2). 74. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = x 2 + xy + y 2 + x − y + 1. Determinati punctele stationare ale lui f. a. (-1,-1); *b. (-1,1); c. (1,-1); d. (1,1). 75. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 . Determinati punctele stationare ale lui f. ÊÁ 5 ˆ˜ Á ˜ *a. (-1,2), (-1,-2), (0,0) siÁÁÁÁ − ,0˜˜˜˜ ; ÁË 3 ˜¯ ÊÁ 5 ˆ˜ Á ˜ b. (1,2), (-1,-2), (0,0) si ÁÁÁÁ − ,0˜˜˜˜ ; ÁË 3 ˜¯ ÁÊÁ 5 ˜ˆ˜ c. (-1,2), (1,-2), (0,0) si ÁÁÁÁ − ,0˜˜˜˜ ; ÁË 3 ˜¯ ÊÁ 5 ˆ˜ Á ˜ d. (1,0) si ÁÁÁÁ − ,0˜˜˜˜ ; ÁË 3 ˜¯ 76. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = x 3 + y 3 − 3xy. Pentru functia f a. (0,0) este punct de maxim; b. (0,0) este punct de minim; *c. (0,0) este punct sa.

14

77. Fie functia f:ò2 → ò definita prin f(x,y) = x 3 + y 2 − 6xy − 39x + 18y + 20. Functia f a. are (1,-6) punct de maxim si (5,6) punct de minim; b. are (1,-6) punct de minim si (5,6) punct de maxim; *c. are (1,-6) si (5,6) puncte de minim; d. are (5,6) punct de minim;

78.

lim

( x , y )→(1,2 )

( 4 xy + 3)

a. exista si este egala cu 1 b. exista si este egala cu 10 c. nu exista *d. exista si este egala cu 11

79.

xy 3 ( x , y ) →( 0,0 ) x 2 + y 2 lim

a. nu exista b. exista si este egala cu -1 *c. exista si este egala cu 0 d. exista si este egala cu 2

80.

lim

( x , y )→( 0,1)

y ⋅ sin

1 x

*a. nu exista b. exista si este egala cu -1 c. exista si este egala cu 0 d. exista si este egala cu 1

81.

lim

( x , y )→( 0,0 )

x ⋅ sin

1 1 + y ⋅ cos y x

a. nu exista b. exista si este egala cu 1 c. exista si este egala cu 2 *d. exista si este egala cu 0

82.

lim

( x , y ) →( 0,0 )

y ⋅ sin 2 x x2 + 4 y 2

*a. nu exista b. exista si este egala cu -1 c. exista si este egala cu 2 d. exista si este egala cu 0

15

83. Fie f ( x, y , z ) = x 2 y + yz + 32 x − z 2 , a. *b. c. d.

( x,y,z ) ∈ ℜ3 . Atunci:

M(2,-8,-4) nu este punct de extrem M(2,-8,-4) este punct de maxim local functia are doua puncte critice alta varianta

84. Fie f ( x, y ) = x 4 − 8 x 3 + 18 x 2 − 8 x + y 3 − 3 y 2 − 3 y,

( x, y ) ∈ ℜ2 si fie punctele

M1 ( 2 − 3,1 − 2 ) , M 2 ( 2 − 3,1 + 2 ) , M 3 ( 2 + 3,1 − 2 ) M 4 ( 2 + 3,1 + 2 ) , M 5 ( 2,1 − 2 ) , M 6 ( 2,1 + 2 ) . Atunci

M1 este punct sa, M 5 este punct de minim local b. M 3 este punct de minim local, M 5 este punct de minim local *c. M 1 este punct sa, M 5 este punct de maxim local d. alt raspuns

a.

a a a f ( x, y , z ) = xy 2 z 3 ( a − x − 2 y − 3 z ) , ( x, y , z ) ∈ ℜ3 . si a > 0. Daca M  , ,  este 7 7 7 punct critic pentru functia data, atunci: a. M este punct de minim local b. Minorii matricei hessiene sunt:

85. Fie

5

10

10

a a a ∆1 = 2   ∆ 2 = 8   ∆3 = 18   7 7 7

si deci punctul M este punct de minim local *c. Minorii matricei hessiene sunt: 5 10 10 a a a ∆1 = −2   ∆ 2 = 8   ∆3 = −18   7 7  7  si deci punctul M este punct de maxim

local.

16