Intervalo Para La Media R2.pptx

Estimación por Intervalo • Estimación por Intervalo de una Media de Población: Muestra Grande Muestra Pequeña 

[---------------------

x

x ---------------------]

[--------------------- x ---------------------] [--------------------- x ---------------------]

Error de Muestreo • El valor absoluto de la diferencia entre un estimador puntual insesgado y el parámetro poblacional que está estimando se denomina error de muestreo. • Para una media muestral estimando una media de población, el error de muestreo es: Error de Muestreo = | x  |

Declaraciones de Probabilidad Sobre el Error de Muestreo • El conocimiento de la distribución muestral de x permite establecer declaraciones sobre el error de muestreo, aunque la media de población  sea desconocida. • Una declaración de probabilidad sobre el error de muestreo es una declaración de precisión.

• Declaración de Precisión Existe una probabilidad 1 -  de que el valor de una media muestral proporcione un error de muestreo de z /2  x o menos Distribución Muestral de

/2

x 1 -  de todos Los valore de x



/2 x

Intervalo de Estimación de una Media de Población: Muestra Grande(n > 30) x  z /2

 n

• Con  Conocida donde: x es la media de muestra 1 - es el coeficiente de confianza z/2 es el valor z que corresponde al nivel de confianza deseado  es la desviación estándar de la población n es el tamaño de muestra

Intervalo de Estimación de una Media de Población Muestra Grande (n > 30) • Con  Desconocida En la mayoría de las aplicaciones el valor de la desviación estándar de población es desconocido.

x  z /2

s n

Usamos simplemente el valor de la desviación estándar de la muestra s, como estimador puntual de la desviación estándar de la población .

Ejemplo: National Discount, Inc. National Discount tiene 260 puntos de venta al detalle en Estados Unidos. National toma en consideración el ingreso anual promedio de los individuos en el área de mercado para una nueva localización. Mediante el muestreo se puede desarrollar un intervalo de estimación del ingreso promedio anual de los individuos en el área de mercado potencial de National Discount. Se tomó una muestra de tamaño n = 36. La media de muestra, x es $21,100 y la desviación estándar de muestra, s, es $4500. Se usará un coeficiente de confianza de 0,95 en el intervalo de estimación.

Ejemplo: National Discount, Inc. Declaración de Precisión Existe una probabilidad de 0,95 de que el valor de una media muestral para National Discount tenga un error de muestreo de $1,470 o menos……. determinado en la siguiente forma: 95% de las medias muestrales observadas se encuentren dentro de + 1.96  x de la media de población . n

Si

x  s

 4,500

n 36 entonces 1.96  x = 1,470.

 750

Ejemplo: National Discount, Inc.

• Intervalo de Estimación de la Media de Población:  Desconocida El Intervalo Estimado de  es: $21,100 + $1,470 or $19,630 to $22,570 Se tiene una confianza de 95% de que el intervalo contiene la media de población.

Intervalo de Estimación de la Media de Población. Muestra Pequeña (n < 30) • Si la Población no está Normalmente Distribuida. Ls única opción es incrementar el tamaño de muestra a n > 30

Si la Población está Normalmente Distribuida y  es Conocida. Usar la distribución normal estándar (Z)

• Si la Población está Normalmente Distribuida y  es Desconocida • Usar la distribución de probabilidad t.

Distribución t • La distribución t es una familia de distribuciones de probabilidad similares. • Una distribución t específica depende de un parámetro conocido como grados de libertad. • Al incrementarse los grados de libertad, la diferencia entre la distribución t y la distribución normal estándar de probabilidad se hace cada vez más pequeña. • Una distribución t con más grados de libertad tiene menos dispersión. • La media de la distribución t es cero.

Intervalo de Estimación de una Media de Población: Muestra pequeña (n<30) con  Desconocida

• Estimación de Intervalo x  t /2

s n

donde 1 - = coeficiente de confianza t/2 = valor de t que corresponde al nivel de confianza deseado, con n - 1 grados de libertad s = desviación estándar de la muestra

Ejemplo: Renta de Departamentos • Intervalo de Estimación de una Media de Población: Muestra Pequeña (n < 30) con  Desconocida Un reportero de un periódico estudiantil escribe un artículo sobre el costo del hospedaje cerca de la universidad. Una muestra de 10 departamentos de una recámara ubicados a media milla de la universidad resultó en una media muestral de $550 mensuales con desviación estándar muestral de $60. Obtendremos una estimación de intervalo de 95% de confianza para la media de la renta mensual de la población de departamentos de una recámara, ubicados a media milla de la universidad. Se asume que esta población tiene distribución normal.

• Valor t Con 95% de confianza, 1 -  = .95,  = .05, y /2 = .025. t.025 se basa en n - 1 = 10 - 1 = 9 grados de lbertad. En la tabla de la distribución t vemos que t.025 = 2.262. Grados de

Area en el extremo derecho

Libertad

.10

.05

.025

.01

.005

.

.

.

.

.

.

7

1.415

1.895

2.365

2.998

3.499

8

1.397

1.860

2.306

2.896

3.355

9

1.383

1.833

2.262

2.821

3.250

10

1.372

1.812

2.228

2.764

3.169

.

.

.

.

.

.

• Intervalo de Estimación de una Media de Población: Muestra Pequeña (n < 30) con  Desconocida s x  t.025 n 550  2.262

o

60 10

550 + 42.92 $507.08 to $592.92

Se tiene una confianza de 95% de que la media de la renta mensual para la población de departamentos de una recámara ubicados a media milla de la universidad se encuentra entre $507.08 y $592.92.

Tamaño de Muestra para un Intervalo de Estimación de la Media de Población • Sea E = el error máximo de muestreo mencionado en la declaración de precisión. E es la cantidad sumada y restada del estimador puntual para obtener un intervalo de estimación. • E es conocido como el margen de error.

• Se tiene

E  z /2

 n

• Resolviendo para n tenemos

( z / 2 ) 2  2 n E2

Ejemplo: National Discount, Inc. • Tamaño de Muestra para un Intervalo de Estimación de la Media de Población. Suponga que la administración de National desea un estimado de la media de población con una probabilidad de .95 de que el error de muestreo es $500 o menos. ¿Qué tamaño de muestra se necesita para cumplir con la precisión requerida?

• Tamaño de Muestra para Intervalo de Estimación de la Media de Población.

(1.96)2 (4,500)2 n  311.17 2 (500)

Se necesita una muestra tamaño 312 para lograr la precisión deseada de + $500 con 95% de confianza.