Interval Konfidensi

Suryo Guritno

ESTIMASI Salah satu bentuk inferensi statistika (pengambilan kesimpulan) terhadap parameter populasi adalah estimasi. Dalam estimasi yang dilakukan adalah menduga/memperkirakan parameter dengan penduga yang sesuai (“terbaik”). Misalnya : populasi

sampel

mean

µ

x

peny. std

σ

variansi

σ2

s s2

proporsi

p

ESTIMASI

INTERVAL TITIK

x n

Estimasi titik adalah statistik yang sesuai (“baik”) untuk menduga/memperkirakan/mengestimasi parameter Misalnya : parameter statistik/penduga / estimasi mean

µ

x

variansi

σ2

s2

dev.std

σ

s

p

x n

beda mean

µ1- µ2

x1 − x 2

beda proporsi

p1-p2

perbandingan variansi

2 σ 1 2 σ 2

proporsi

x1 x 2 − n1 n 2 s12 s2 2

Estimasi Interval adalah suatu interval tertentu yang memuat parameter dengan probabilitas/keyakinan cukup besar dan ditentukan oleh statistik yang sesuai untuk parameter * Interval yang diharapkan adalah yang terpendek * Misalkan X1, X2, …, Xn adalah sampel random yang diambil dari populasi dengan parameter θ. Interval yang akan dicari adalah a ≤ θ ≤ b dengan

P(a ≤ θ ≤ b) = 1 - α

interval konfidensi (1 – α)

tingkat konfidensi / keyakinan dipilih →100%

a,b harganya ditentukan oleh

biasanya 90%, 95%, 99%

X1, X2, …, Xn

0 < α < 1, α → 0%

dibedakan dua macam estimasi interval, yaitu : * Untuk sampel besar (n ≥ 30) * Untuk sampel kecil (lebih dikenal sebagai estimasi interval untuk parameter populasi dengan /berdistribusi tertentu) ESTIMASI INTERVAL SAMPEL BESAR * Estimasi interval untuk µ (n ≥ 30) Penduga terbaik untuk µ adalah X

X berdistribusi normal dengan µx = µ

dan

2 σ σ2x = n

Interval yang dicari adalah a ≤ µ ≤ b dengan P(a ≤ µ ≤ b) = 1 - α a,b tertentu oleh X1, X2, …, Xn dalam hal ini X

1 =n

(X1 + X2 + … + Xn)

atau

σx =

σ n

c

45 %

µ

50% ←c

50 %

45% µ

47,5% c

x d→

d

x

d

x

47,5% µ

diketahui/dapat dicari interval c ≤ X ≤ d terpendek yang

P(c ≤ X ≤ d) = 95% yaitu

µ

c

d

Jarak µ x ke c harus sama dengan jarak µ x ke d

x

dengan transformasi X − µx σx normal standar z=

X normal biasa

mean = 0 variansi = 1

P(-zo ≤ z ≤ zo) = 95% dari tabel normal -zo

0

zo

zo = 1,96

JADI : P(-1,96 ≤ z ≤ 1,96) = 95% x −µ P(-1,96 ≤ σ ≤ 1,96) = 95% n

P(

x -1,96 . σ ≤ µ ≤ x + 1,96 . σ ) = 95% n

n

Interval konfidensi 95% untuk µ adalah : (n ≥ 30)

x -1,96 . σ

n

≤ µ ≤

x+ 1,96 . σ

n

(1)

jika σ tidak diketahui, diganti dengan s yaitu penyimpangan standar sampel.

 Untuk n cukup besar , hampir semua distribusi sampling harga statistik berdistribusi mendekati normal. Dalam hal ini x , s dan X n berdistribusi normal.  Apabila anda perhatikan dengan cermat rumus (1), dengan langkah yang sama akan dapat dicari interval konfidensi (1 - α) untuk σ ataupun p.  Perhatikan rumus (1) kembali

μ

adalah

parameter yang akan diestimasi

(= P)

X

adalah

(= s)

σ n

Statistik yang digunakan untuk mengestimasi µ

adalah

Penyimpangan standar distribusi sampling harga statistik (dalam hal ini X )

1,96 adalah

(= σ s )

angka dari tabel normal yang sesuai dengan tingkat keyakinan 95% karena X berdistribusi normal

Dengan demikian, jika ukuran sampel cukup besar, tabel berikut dapat digunakan untuk mencari interval konfidensi (1-α) untuk parameter yang dikehendaki Parameter

Statistik

(=P)

(=s)

1

μ

X

2

σ

s

3

p

4

μ1 - μ 2

5

p1 − p 2

σ1 − σ 2

s

σ n σ 2n x x 1 −  n n n

X n

σ12 σ 22 − n1 n2

X1 − X 2 X1 n1

6

Peny. Std. Dist. Samp. Harga (= stat σ)

−

X2 n2

s1 − s 2

x1 n1

 x1  1 −n 1  n1

 x2   n + 2

σ12 σ2 + 2 2n 1 2n 2

 x2  1 −n 2  n2

   

Ket.

Kalau interval konfidensi (1-α) untuk P adalah S − z α .σs ≤ P ≤ S + z α.σs 2

2

Dengan z α adalah harga yang sesuai dengan (1-α) dari tabel distribusi 2

Normal (1,96=z.025 sesuai dengan 95%). maka interval konfidensi 90% untuk σ adalah s – z.05 . σ ≤ σ ≤ s + z.05 . σ 2n 2n s s ≤σ≤ z z 1 + .05 1 + .05 2n 2n

dan Interval konfidensi 90% untuk σ 2 adalah 2

        s s   ≤ σ2 ≤   z.05  z.05    1+  1+  2 n 2 n    

2

Estimasi parameter jika sampel berukuran kecil sangat bergantung pada distribusi populasi dan juga parameter yang akan diestimasi Sebagai contoh, untuk ,mengestimasi µ, σ , µ1- µ2 , 2

σ12 σ22

populasi harus berdistribusi normal, tetapi estimasi untuk µ atau µ1- µ2 ditentukan oleh

distribusi

t

σ2 atau µ1- µ2 ditentukan oleh

distribusi

χ2

σ12 σ22

distribusi

F

atau µ1- µ2 ditentukan oleh

Untuk mengestimasi p tidak diperlukan asumsi populasi berdistribusi normal. Estimasi dapat dilakukan menggunakan distribusi binomial.

ESTIMASI INTERVAL SAMPEL DARI POPULASI NORMAL  Interval konfidensi (1-α) untuk µ adalah : jika σ diketahui : X − zα . 2

σ σ ≤ µ ≤ X + zα . n n 2

 σ2  karena X ~ N µ, n   

jika σ tidak diketahui : X − tα 2

tα 2

= persentil

; ( n −1)

.

s s ≤ µ ≤ X + tα . ; ( n −1) n n 2

α  1 −  2 

untuk distribusi t dengan

derajat bebas (n-1) (dicari dengan tabel t) X−µ karena : s n

~ tn-1 distribusi t dengan der. bebas (n-

 Interval konfidensi (1-α) untuk µ1-µ2 adalah : jika σ1 dan σ2 diketahui : σ 12 σ 22 σ 12 σ 22 ( x1 − x 2 ) − z α . + ≤ µ 1 − µ 2 ≤ ( x1 − x 2 ) + z α . + n1 n 2 n1 n 2 2 2

karena :

x1 − x 2

~ N( µ x − x , σ x − x 2

1

2

1

2

)

µ x1 − x 2 = µ 1 − µ 2 σ x1 − x 2

σ 12 σ 22 = + n1 n 2

jika σ1 dan σ2 tidak diketahui : σ1 diganti s1 dan σ2 diganti s2 jika σ1 = σ2 = σ , σ diganti sp dengan sp =

sehingga

( n1 − 1) s12 + ( n 2 − 1) s 22 n1 + n 2 − 2

( x 1 − x 2 ) − t α ;( n + n − 2 ) . s p 2

1

2

1 1 + ≤ µ1 − µ 2 n1 n 2

≤ ( x1 − x 2 ) + t α 2

;( n1 + n 2 − 2 )

.sp

1 1 + n1 n 2

( x1 − x 2 ) − ( x1 − x 2 )

karena =

1 1 + n1 n 2

sp

~ tn +n 1

2

−2

, σ1 diganti s1 dan σ2 diganti s2

jika σ1 ≠ σ2

s12 s 22 s12 s 22 ( x 1 − x 2 ) − t α;γ . + ≤ µ1 − µ2 ≤ ( x 1 − x 2 ) + t α . + ;γ n n n n2 1 2 1 2 2

dengan ν=

 s12 s 22   +  n n 2   1 2

2

 s12   s 22      n  1  +  n2  n1 n2

karena :

2

( x1 − x 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) 2 1

2 2

s s + n1 n 2

~ tν

* Untuk estimasi σ2, digunakan s2 tetapi jika sampel berukuran kecil distribusi sampling harga-harga s2 tidak diketahui bentuknya. Jalan keluarnya usahakan transformasi ke variabel baru yang distribusinya sudah dikenal. * Jika populasi berdistribusi normal,

( n − 1) s 2 σ2

berdistribusi x2 dengan derajat bebas (n - 1)

* distribusi x2 dengan derajat bebas (n-1) adalah distribusi Gamma dengan

α=

n −1 dan β = 2 2

Sayangnya distribusi x2 bukan distribusi yang simetri, sehingga kriteria interval terpendek akan sulit untuk diperoleh.

α 2

α 2

(1-α) χ2

χ2α

α 1− ;( n −1)  2

2

;( n −1)

Sebagai pengganti interval terpendek, interval yang dikehendaki ditentukan oleh pembagian luas daerah di bawah kurva menjadi 3 bagian α α masing-masng dengan luas , (1-α) dan 2

sehingga dari

2

 2  ( n − 1) s 2 2   =1− α P χ α ≤ ≤ χα  2  1− ; ( n −1)  ; ( n −1)  σ 2    2 

didapat Interval konfidensi (1-α) untuk σ2 adalah

( n − 1) s 2 ≤ σ 2 ≤ ( n − 1) s 2 χ 2α

2

;( n − 1)

χ 2

α  1−  ;( n − 1)  2

α 2

α 2

(1-α) χ2

χ2α

α 1− ;( n −1)  2

2

;( n −1)

2  2  ( ) n − 1 s 2   P χ α  ≤ ≤ χ α = (1 − α ) 2   1−   σ 2 2    

( n − 1) s 2 χ

2 α 2

≤σ

2

( n − 1) s 2 ≤ χ 2

α  1−   2