Interpolacion

Interpolación Polinómica

Interpolación Polinómica ◆ Un problema de interpolación ✔Interpolación lineal y cuadrática

◆ Forma normal del polinomio de interpolación. ◆ Forma de Lagrange. ◆ Forma de Newton. ✔Tabla de diferencias divididas ✔Evaluación y error del polinomio de interpolación

◆ Conclusiones y alternativas

Un problema de interpolación ◆ Evolución de la temperatura diurna

Grado s

2 2 01 81 61 41 21 08 6

4

6

8

1 0

1 1 H 2 4 ora

1 6

1 8

2 0

2 2

Gráfico de la temperatura en Matlab % Hora t = [6 8 10 12 14 16 18 20]' % Temperatura T = [7 9 12 18 21 19 15 10]' plot(t,T,'*'), grid xlabel('Horas'), ylabel('Grados')

Interpolación lineal 2 5 20 1 5

Grados

Recta que pasa por los puntos (x0,y0) y (x1,y1)

1 0 5 5

1 0H ora

1 5

2 0

Interpolación cuadrática

X=10:2:14 Y=[12 18 21]' A=vander(X) cond(A) p=A\Y

polyval(p,X) x=5:0.1:22; y=polyval(p,x); plot(x,y)

Desplazamiento del origen

A=[4 -2;4 2]; c=[-6,3]'; » cond(A) » p=(A\c) » p=[p' 18]; polyval(p,X-12)

Forma normal del polinomio de interpolación ◆

◆ ◆ Dados n+1 puntos de abscisas distintas (x0,y0),..., (xn,yn), existe un único polinomio de grado no superior a n tal que P(xi) = yi, i=1,2,...,n

Forma de Lagrange del polinomio de interpolación ◆Polinomios de Lagrange

◆Existencia del polinomio de interpolación.

Forma de Newton del polinomio de interpolación

◆ Determinación algebraica

◆ Ventajas ◆ El sistema es triangular

Tabla de diferencias divididas

Tabla de diferencias divididas

Evaluación del polinomio de interpolación

Error de interpolación

Conclusiones ◆ El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla. ◆ El aumento de grado no siempre mejora la aproximación. ◆ El polinomio es muy sensible a los errores de los datos. Alternativas ✔ Método de Mínimos Cuadrados ✔ Interpolación polinómica segmentaria. Splines