Interes

MATEMATICA FINANCIERA

INTERES SIMPLE

El interés es el precio o rédito que se paga o se cobra por el uso del dinero, dependiendo de diferentes factores tales como:
El monto de capital entregado o recibido.
El tiempo de duración de la operación.
El riesgo de la inversión y del respaldo o garantía de la persona que usa el dinero.
La inflación.
El premio al ahorro o a la privación del disfrute del dinero. En consecuencia, el interés está en relación directa al capital, el tiempo y a la tasa que se fije en función de variables económicas, políticas y sociales.

TIEMPO. Está referido al plazo total de la operación. CAPITAL. CAPITAL. Es la suma prestada que permanece constante durante el plazo del préstamo, puede estar dado en cualquier moneda.

LA TASA DE INTERÉS. Suele expresarse en tanto por ciento (%) y se trabaja en las fórmulas financieras en tanto por uno.

RIESGO. Es la medida de la incertidumbre de la que el deudor honre al acreedor su compromiso.

AÑO BANCARIO SEGÚN EL BCRP. En la práctica todos los problemas de interés simple implican alguna fracción de año y se usan los mismos métodos para resolverlos. Para evitar las disputas entre deudores y acreedores por efecto de las irregularidades del calendario, puesto que todos los meses no tienen los mismos días, el BCRP ha normado que el año bancario se dé en un periodo de 360 días y será el que usemos en el curso.

Lic. Valerio C.

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UNIDAD

DÍAS

NÚMERO

SÍMBOLO

Año

360

1

n

Semestre

180

2

n/2

Cuatrimestre

120

3

n/3

Trimestre

90

4

n/4

Bimestre

60

6

n/6

Mes

30

12

n/12

Quincena

15

24

n/24

1

360

n/360

Día CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE

En una operación de interés simple, el capital que genera los intereses permanece constante durante el tiempo de vigencia de la transacción. La capitalización, que es la adición del interés ganado al capital original, se produce únicamente al término de la operación.

SIMBOLOGÍA:

I=Interés P=Principal, capital o stock inicial de efectivo, valor presente. S=Monto, capital o stock final de efectivo, valor futuro. n=Número de periodos de tiempo (día, meses, trimestres, etc.). i=Tasa de interés simple por unidad de tiempo. FORMULA GENERAL: I =Pi = in n= P= Lic. Valerio C.

Cálculo del interés. 

Número de años.



Capital principal.





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i=





Tasa de interés simple.

EJEMPLOS: 1) El banco el país paga el 9% sobre los depósitos en ahorros. ¿Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de S/. 100,000?

Solución

I = (Pin) P= 100,000 n = 1 año I = (100,000) (0.09) (1)

i = 9 % I=? I= 9000

2) Encontrar el interés de S/. 5000 al 12% desde el 20 de enero al 20 de abril del 2008.

Solución

I = (Pin) P= 5000

n = 91 días i = 12 % I= ? I = (5000) (0.12) (91/360) I= 156.60

3) María Pérez toma dinero prestado de MI BANCO al 11% de interés. Luego de dos años paga un interés de S/. 3300. ¿Cuál es el capital que se presto María de MI BANCO?

Solución

P= P=?





n = 2 años



P =   

i = 11 %

I= 3300

P = 15000

4) Si la financiera “SOL DE ORO” tuvo invertido s/.7800 durante un año a interés simple y gana S/. 6936000 de interés. ¿A qué tasa tuvo invertido su capital? Lic. Valerio C.

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Solución 

i=  P= 7800

n = 1 año

  

i = 

i = 11 %

I= 580

i = 12 %

 

5) El banco EL PAIS presto un capital de S/.78000,000 al 24% y ganó S/. 9 360, 000 ¿Cuánto tiempo tuvo invertido el capital?

Solución n= P= 78 000,000 n=





n=?  

i = 24 %

   

I= 9 360,000

n= 0 5 años

EL MONTO, VALOR FUTURO

La suma del capital más el interés se le conoce con el nombre monto y se le representa en las formulas financieras con la letra S mayúscula, es el valor futuro. S = P+I

I = P  n

S = P+ P  n S = P 1+  n P=

(

)

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Cálculo del monto o valor futuro Para calcular el principal

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(



*

 = --------n (



* 

n = ----------

Para calcular el interés

Cálculo del tiempo

Ejercicios propuestos 1)

Calcular el interés producido por un capital de S/ 5000 colocado durante 3 años al 9 % anual.

2)

Darío Pérez presta S/ 4000 a María Luna con el 5 % mensual de interés simple durante 3 bimestres. ¿Cuál es el interés ganado por el prestamista?

3)

Parla Pardo deposita sus ahorros en un banco al 8%

durante 3 años.

¿Indicar el capital si al final recibe S/ 2400 de interés por parte del banco? 4)

María Pérez toma dinero prestado de mi banco al 11% de interés. Luego de 2 años paga un interés de S/ 3300. ¿Cuál es el capital que se presto María de mi banco?

5)

Un capital de S/ 8000

generara un interés de S/ 500 en 2 bimestres.

Calcular la tasa de interés mensual. 6)

Si la financiera “Sol de Oro” tuvo invertido S/ 57 800,000 durante un año a interés simple y gano S/ 6 936 000 de interés. ¿A qué tasa tuvo invertido su capital?

7)

El banco el País presto un capital de S/ 78 000,000 al 24% y gano S/ 9 360 000. ¿Cuánto tiempo tuvo invertido el capital?

8)

Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 3000 $ que al ser depositado con una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de 400 $.

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9)

Un cierto capital se transformó en S/ 25000 en dos trimestres, si se aplicó un 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial?

10)

Un cierto capital se transformó en S/ 4600 en 4 cuatrimestres, si se aplicó un 1% mensual. ¿Cuál fue el capital inicial y el interés ganado?

11)

Indicar el valor del capital que al ser colocado al 6 % bimestral durante 3 años produjeron un monto de S/ 6900.

12)

Un hombre coloca S/ 8000 en un banco que le paga un 4 % bimestral en un año, luego retira la cuarta parte del monto y lo coloca en otro banco al 5 % bimestral durante medio año, con la plata que le sobraba gasta un 40 % en pasajes y un 30 % en indumentaria. ¿cuánta plata le queda para emprender el viaje?

13)

Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de S/ 3500

si se

obtuvo una ganancia de S/ 260 al ser colocado al 6% bimestral. 14)

Se depositan S/ 6000 el 1 de marzo y se retiran el 31 de julio. Si la razón era del 8 % bimestral. Calcular el interés y el monto.

15)

Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de S/ 12 000 si se obtuvo una ganancia de S/ 1200 al ser colocado al 8% anual.

16)

Un capital de S/ 800 se transformó en S/ 850 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual.

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Solución de ejercicios propuestos Ejercicio Nº 1 P= 5000

n = 3 años

i=9%

I = (5000) (0.09) (3) Ejercicio Nº 2 P = 4000

i = 5 % mensual

=

1350

n = 3 bimestres = 6 meses

I = (4000) (0.05)6 = 1200 Ejercicio Nº 3 P= ¿?

n = 3 años

i=8%

I=2400

P= (2400) = 10000 (0.08)(3) Ejercicio Nº 4 P= ¿?

n = 2 años

i = 11 %

P= (3300) (0.11)(2) Ejercicio Nº 5 P= 8000

I=3300

= 15000

n = 2 bimestres = 4 meses

i = ¿?

I=500

i= (500) = 0.0157= 1.57% mensual (8000)(4) Ejercicio Nº 6 P= 57 800,000

n = 1 año

i = ¿?

I=6 936,000

i = (6 936,000) (57 800,000)(1) Ejercicio Nº 7 P= 78 000,000 n=

Lic. Valerio C.

n = ¿?

i = 24%

(9 360,000) (78 000,000)(0.24)

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= 0.12 = 12% anual

I=9 360,000 = 0.5 = ½ año

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Ejercicio Nº 8 P= 3000

n = ¿? n=

Ejercicio Nº 9 P= ¿?

i = 0.09

(400) (3000)(0.09)

I=400

= 1.48 años

n = 2 trimestres = 6 meses P=

(moneda en $)

(25000) [1+ (0.03) (6)]

i = 3% S = 25000

= 21186.44

Ejercicio Nº 10 P= ¿? n = 4 cuatrimestres = 16 mese i = 1% mensual S = 4600 P=

(4600) = 3965.5 [1+ (0.01) (16)] Calculo del Interés I = (3965.5) (0.01) (16) = 634.5 Ejercicio Nº 11 P= ¿? n = 3 años = 18 bimestres i = 6% bimestral S = 6900 P=

(6900) [1+ (0.06) (18)]

Ejercicio Nº 12 P= 8000 n = 1 años = 6 bimestres

= 3317.3

i = 4% bimestral S = ¿?

S = (8000) [1+ (0.04) (6)] = 9920 S= 9920 ta La 4 parte del monto es retirado S= 9920/4 =2480 el cual es depositado en un banco al i=5% bimestral por n ½ año = 3 bimestres. 40% 2976 gasta en pasaje. Saldo del monto = 7440 30% 2232 indumentarias. Le queda 2232 el cual usa para emprender el viaje. Ejercicio Nº 13 P= 3500

n = ¿?

i = 6% bimestral n=

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(260) (3500)(0.06)

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I=260 = 1.2380 bimestres

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Ejercicio Nº 14 P= 6000 n = 1/marzo al 31/julio=2.5 bimestres i = 8% bimestral Calculo del Interés I = (6000) (0.08) (2.5) = 1200 S = (6000) + (1200) = 7200 Ejercicio Nº 15 P= 12000

n = ¿? n=

Ejercicio Nº 16 P= 800

i = 8%

(1200) (12000)(0.08)

I=1200 = 1.25 años

n = 2 bimestres =4 meses i=

(850)/ (800)-1 4 i= 1.57%

i = ¿?

S=850

= 0.0157

PROPUESTOS

1) Una persona recibe un préstamo de $/. 10,000 a Interés simple durante un año y medio, al 20%. Si el pago de interés se efectúa al final plazo pactado ¿Cuánto dinero recibe el prestamista?

2) Cuál será el capital cuyo monto ascenderá a $/. 18,000 colocados en 25 años al 18% de interés simple?

3) El Banco

El Chalaco compra acciones de la Financiera La Porteña por

$/.100, 000. Al cabo de dos años vende los acciones por el mismo precio que pago por ellas pero recibe $/.116, 000. La diferencia representa el valor de los dividendos acumulados. ¿Cuál fue la tasa que se recibió como dividendos?

4) ¿En cuánto tiempo $/. 100,000 se convertirá en $/ 127,000 el 9% de Interés simple anual? Lic. Valerio C.

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INTERÉS COMPUESTO Es el que se agrega al final de cada periodo al capital, es decir, que se capitaliza o reinvierte. NOMENCLATURA:

P = Capital inicial, principal o el valor presente de S.

n =Tiempo que dura una transacción, años, meses, semestres, bimestres, días, etc.

i = Tasa de interés, siempre se da en forma anual. r = veces que se capitaliza una inversión, a si tenemos que si la capitalización es mensual (r = 12), si es bimestral (r = 6), si e trimestral (r = 4), si es semestral (r = 2), si es diaria (r = 360), etc.

I = Interés, la diferencia del capital final cuando la capital final S y el inicial P, S-P esto es: I=S FÓRMULAS: Sirve para calcular el capital final cuando la capitalización es anual.

S= P (1 + i) n +

S =P 1+ , - P=

P=

,

Se utiliza para calcular el capital final cuando la capitalización se realiza más de una vez al año

.

Se emplea para calcular el valor presente o actual cuando la capitalización es anual.

)+/

Esta se emplea cuando la capitalización se realiza más de una vez al año y para determinar el valor actual o presente.

.

0 1

) / 1

.

.

i=2 3 * 15 = 6- * 1 /

4

Lic. Valerio C.

4

Fórmula para calcular la tasa de interés cuando la capitalización es anual.

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.

.

i=2 3 * 15 7 = 8 6- , * 19 7 / 1

n=

n=

4

4

> ?

:;<= @

Sirve para determinar el tiempo que dura una transacción cuando la capitalización es anual.

:;< )+ > ?

ABC= @

0 ABC=) @ 1

6 r

I=P 8 1+i n-19 +

Es útil cuando la capitalización se realiza una más de una vez al año.

I=P 8 1+,- , -19

Fórmula que se emplea cuando la capitalización se realiza más e una vez al año.

Fórmula que sirve para calcular el interés, cuando la capitalización es anual. Éste se emplea cuando la capitalización ocurre más de una vez al año.

EJEMPLOS: 1) El señor Patricio Ramos, deposito S/.20,000.00 en un Banco que paga una tasa de interés de 8%. ¿Cuánto tendrá el Señor Ramos dentro de 10 años, si la capitalización es anual? 2) El señor Miramón, depósito en una cuenta de inversión $50,000.00 a 6 años, si el Banco paga una tasa de interés de 12% y la capitalización es semestral, ¿Cuánto tendrá el Señor Miramón dentro de 6 años? 3) La señora Alejandra deposito en un Banco, $ 25,000.00 a un plazo de 4 años, si el Banco paga una tasa de interés de 18% y la capitalización es cuatrimestral, ¿Cuánto recibirá la señora Alejandra a los 4 años? 4) La señor Alejandro Hernández invertido en una situación financiera, S/ 80,000.00 a un plazo de 5 años, a una tasa de interés de 15%

con

capitalización trimestral, ¿Cuánto recibirá el señor Alejandro al final de ese tiempo? 5) La señor Adolfo deposito en un Banco, en una cuenta de inversión $ 30,000.00, a 2 años, a una tasa de interés de 24% y la capitalización es bimestral, ¿Cuánto recibirá la señor Adolfo al final de los 2 años? Lic. Valerio C.

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6) El señor Benítez invertido $ 75,000.00 a 3 años, con una tasa de interés de 18% y la capitalización es mensual, ¿Cuánto tendrá al final de los 3 años? 7) El señor Suarez invirtió

$ 40,000.00 a 2 años, a una tasa de interés de

12% y la capitalización diaria, ¿Cuánto tendrá dentro de 2 años? 8) La señora Ana invirtió $ 60,000.00 a 4 años, a una tasa de interés de 24% y la capitalización mensual, ¿Cuánto recibirá una al final de los de 4 años? 9) El señor Raymundo debe $ 50 000 00, cantidad que tendrá que pagar dentro de 3 años, si la tasa es del 12% y al capitalización es anual. ¿Cuál es el valor de la deuda, es decir, su valor al día de hoy? 10) Siguiendo el ejemplo anterior, ¿Cuál sería el importe de al deuda el día de hoy, si al capitalización es bimestral? 11) ¿Cuál es el tiempo en que se pactó una inversión por $ 80 000 00, si la tasa de interés fue de 15%, con capitalización trimestral, si al final se recibieron $ 165 052.16 12) Andrea invirtió $ 200 000 00 a 4 años, cobrando una tasa de interés de 18%con capitalización mensual. ¿Cuánto ganó de interés Andrea? 13) Un refrigerador se vende a crédito, dando de enganche $ 2000.00 y cuatro pagos trimestrales de $ 1000.00 cada uno. Si la tasa de interés que se carga por el crédito es de 9% y la capitalización es trimestral. ¿Cuál es el precio de contado del refrigerador?

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