Inteligencia En Construcciones

Introducción Aplicación del análisis modal C a un problema sencillo de vibraciones torsionales

onsideremos el caso sencillo reprensentado en la figura 1 sabiendo que todo el conjunto gira según el eje E - E1. El elemento 1 puede representar un motor que genere un par variable, al girar 1

E

E1

A E 2

2

E1

Figura 1 su eje E1 con una velocidad angular , de valor: Mm= A+B sen

t

mN

[1]

La parte 2 de este sistema vamos a considerar que represente un generador u otro elemento de trabajo cualquiera que consuma un par Mr determinado, que vamos a suponer constante para que en el conjunto aparezca un par neto resultante variable con la posición del conjunto caracterizada por el valor de t. Es evidente que, para que el conjunto se mantenga en régimen, ha de ocurrir que: 2π/

(A+B sen t)dt = Mr .2π

[2]

por lo tanto:

Luis García Pascual Doctor ingeniero Electromecámico del ICAI y Diplomado en Organización Industrial. Desde 1957 a 1964 trabajó en la industria del automóvil, en el campo del mantenimiento. Entre 1964 y 1968 simultaneó su trabajo en la industria con su actividad académica en I.C.A.I. En 1968 comenzó a trabajar con dedicación exclusiva en I.C.A.I. Ha sido Director de las Escuelas Técnicas y de Vicerector de Investigación y Postgrado de la UPCO

a

24 anales de mecánica y electricidad

Mr= A

mN

[3]

Ambos elementos tienen sus ejes E1 y E2 conectados mediante el acoplamiento A; si la rigidez torsional de E1 vale k1, la de E2 es k2 y la del acoplamiento A tiene por valor kA, podemos sustituir la rigidez de E1, E2 y A por K1 siendo

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

o puestas en forma matricial:

1 = 1 + 1 + 1 K 1 k1 k2 kA

[4] I1 0 0 I2

(Por tratarse del análisis de un sistema trabajando a torsión todas estas rigideces estarán medidas en mN/radián). Por otro lado, suponemos que el rotor 1 (de momento de inercia I1 Kg .m2) es indeformable igual que el rotor 2 (de momento de inercia I2 Kg .m2) y que el conjunto E1, E2 y A tiene momento de inercia despreciable mientras que su rigidez vale K1 mN/rad. Bajo estas hipótesis simplicadoras, el sistema de la figura 1 queda reducido a un sistema de dos grados de libertad: 1. El ángulo 1 girado por el rotor de momento de inercia I1 2. El aángulo 2 girado por el rotor de momento de inercia I2 A+B sen

t

I1

I2 K1

-A

Figura 2 Sobre cada uno de estos rotores actúa respectivamente el par A+B sen t y el par -A como representamos en la figura 2. El problema que deseamos resolver persigue encontrar las vibraciones torsionales que aparecerán en este sistema y analizar su variación en función de los pares aplicados y de los valores de K1, I1 e I2.

1 K1 -K1 1 2 + -K K 2 = 1 1

= A+B sen t -A

[7]

Vemos que para conocer la respuesta del sistema, es decir los valores de 1 y 2, debemos resolver el sistema de ecuaciones representado por [5], [6], ó [7] sistema en el que las variables 1 y 2 a determinar aparecen interrelacionadas en ambas ecuaciones. Esto, en un caso tan sencillo como el que estamos considerando, no representa problema alguno; pero, si nos encontrásemos ante un sistema con un número N elevado de grados de libertad, aparecerían N ecuaciones con las N incógnitas a determinar acopladas entre sí que deberíamos resolver simultáneamente. Esta dificultad puede obviarse aprovechando la ortogonalidad de los modos naturales de vibración del sistema en estudio que nos permitirá, mediante un sencillo cambio de variables, encontrar N nuevas ecuaciones en las que figure una sola incógnita en cada una de ellas. Encontrado el valor de cada una de estas N nuevas incógnitas y deshaciendo el cambio previo resultará ya elemental encontrar los valores de las N variables iniciales que determinan la respuesta del que pretendemos conocer el sistema. Ello lo consigue el “Análisis Modal” como vamos a ver en los apartados siguientes.

Frecuencias y modos naturales de vibración Solución clásica y solución mediante análisis modal

A

plicando la segunda ley de Newton a cada uno de los dos momentos de inercia tendremos: A+B sen t+K1(2-1 ) = I1  1 -A-K1(2-1 )=I2  2

[5]

ara conocer la respuesta natural de nuestro sistema liberémoslo de las acciones exteriores que aplicábamos sobre él, por lo que las ecuaciones [6] quedarán reducidas a:

P

I1  1 + K1 1 - K1 2 = 0 I2  2 - K1 1 + K1 2 = 0

[8]

ecuaciones que podemos escribir de la forma: o, puestas en forma matricial, a: I1  1 + K11 - K12 =A+B sen t I2  2 - K11+K12 = -A [6]

I1 0 0 I2

1 K1 -K1 1 2 + -K K 2 = 0 1 1

a

anales

de mecánica y electricidad

[9]

25

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

Las ecuaciones [9] podemos escribirlas en forma condensada de la forma: [M] [  ] + [K] [] = 0

1 t ¨ 1 = 2 ¨ 2  2 e

[15]

[10] ó,

siendo:

[] = 2 [] et

I 0 [M] = 1 0 I2

la matriz de masas, (que vemos resulta diagonal), [  ] = [  1  2]T

[16]

Para encontrar los valores de , 1 y 2 que permitan encontrar los valores 1 y 2 que satisfagan las ecuaciones de partida [8], [9] ó [10], y operando a partir de ahora con las ecuaciones en forma matricial, sutituyamos [12] y [15] en [7] y obtendremos:

es el vertor columna aceleraciones angulares. [K] =

K1 -K1 -K1 K1

K K 2 I1 0 + K1 -K1 K1 K 0 I2 -K K1

es la matriz de rigideces, (que vemos es simétrica respecto a la diagonal principal),

1 t 2 e =0 [17]

y, como sabemos que siempre et≠ 0, ha de ocurrir que:

[] = [1 2]T K K 2 I1 0 + K1 -K1 K1 K 0 I2 -K K1

es el vector columna giros de cada uno de los rotores.

1 2 =0 [18]

Por relacionarse linealmente los valores de las derivadas de los ángulos girados por los rótores con estos ángulos, es elemental ver que la solución de las ecuaciones diferenciales anteriores será de la forma: 1 = 1 et [11] 2 = 2 et

Para evitar la solución trivil 1 = 2 = 0, que por [12] conllevaría a que 1 = 2 = 0, ha de ser nulo el determinante de los coeficientes de 1 y 2, es decir:

que también podemos escribir:

equivalente a:

1 1 t 2 = 2 e

luego:

ó,

a

26 anales de mecánica y electricidad

4 I1 I2 + 2 (I1 K1+I2 K1)= 0

[13]

A partir de [11], [12] ó [13] podremos expresar:

¨ 1 = 2 1 et ¨ 2 = 2 2 et

[19]

-K1 ==0 2 I1 + K1 -K1 K1 2 I 2 + K

[12]

o en forma condensada: [] = [] et

K K 2 I1 0 + K1 -K1 =0 K1 K 0 I2 -K K1

[14]

y de aquí:

2(2 I1 I2+ K1 (I1 + I2))= 0 [20] ecuación que nos permite encontrar los dos únicos valores de 2 que hacen posible que 1 y 2 tengan valores distintos de cero. Estos valores de  en nuestro caso son:

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

21 = 0

[21]

 =2 2

K1 (I1+ I2)

equivalente a:

1=2

[22]

I1 I2

[26]

Análogamente,si sustituímos en [18] 2 por el valor

La ecuación [12], conocidos los valores de 1 y 2, nos permite escribir: 1 1  t 1  t e + e = = 2 2 2 1

=

1 1 e  1+ 2 2

-

K1 (I1+ I2) I1 I2

2

K(I1+I2 ) t I1+I2

obtendremos el segundo modo que, en nuestro caso, será:

[23] I1+I2 K I +K I1 I2 1 1

-K1

Las ecuaciones [23] permiten encontrar 1 y 2 una vez que conozcamos

-K -K1

-K I +I -K K1 -K1 1 2 I2+K I1 I2

1 = 2 0

equivalente a: 1 = 1 2 2

T

1-

I1+I2 I2

-1

y

1 T = 1 2 2

de donde es elemental deducir que:

Conocer estos valores es inmediato aplicando la ecuacion [18] para cada uno de los dos valores de . En efecto, y dado que e 0= e0= 1, de [23] obtenemos: .

(1 ) t=0 =1 0 =1+1

[24]

(2 ) t=0 =2 0 =2+2

[25]

Y sabiendo, además, que mediante la ecuación [18] encontramos para 1 una relación entre 1 y 2 y análogamente para 2 otra relación entre 1 y 2. Estas relaciones son los llamados modos de vibración natural y que podemos encontrar como hacemos a continuación. Para obtener el primer modo nos basta sustituir en [18]  por 1 obteniendo: K -K + K1 -K1 -K1 K1

1 =0 2

1 = 2 0

-1 I +I 1- 1 2 I1

2= -

I1 I2

1

[27]

Las ecuaciones [26] y [27] son los dos modos naturales de vibración del sistema que venimos considerando, correspondiendo cada uno a cada una de las frecuencias naturales del mismo. La matriz formada por los dos modos   [] = 1 1 2 2

[28]

es la llamada “Matriz Modal” del sistema. Ya vemos como las ecuaciones [24], [25], [26], [27] permiten encontrar con total facilidad los valores de 1, 2, 1 y 2. como pretendiamos. Creemos interesante, pretendiendo facilitar la interpretación física de cada modo de vibración, explicar como podríamos excitar en nuestro sistema cada uno de estos modos viendo que, al hacerlo correctamente, la frecuencia con que los rotores se moverí-

a

anales

de mecánica y electricidad

27

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

an coincidiría con la frecuencia correspondiente al modo excitado. En nuestro caso las dos posibilidades serían: 

naturales de los sistemas de las figuras 4 y 5 serán, respectivamente: k11 I1



k21 I2

• Para el primer modo (1 =2 ), correspondiente a la primera frecuencia ω1* = 1 = 0, los dos rotores giran exactamente el mismo ángulo por lo que no se deforma el eje de constante K1 que los conecta y todo el conjunto se comportará como un sólido rígido, por lo tanto sin ninguna oscilación.

y vamos a demostrar como ambas son iguales y de valor

• Para el segundo modo

En efecto, sabemos que:

 2

( = -

I1 I2

ω2 =

-2

l I k11 = 2= 1 l1 I2 k21

 )

KK1

=

l2

l1

[29]

Por lo tanto: k11 k 1 k 1 + k21 = 2 = 1 I1 I2 I1 + I2

I1+I2 I1+I2

los dos rotores giran en sentido contrario ángulos inversamente proporcionales a sus respectivos momentos de inercia. Por lo tanto, en este modo de vibración, el punto c (figura 3) I1

K(I 1 1+I2 ) I1 I2

 1

correspondiente a la segunda frecuencia *

y

I2

c

Por otro lado, también sabemos que: 1 1 1 k 1+ k 1 = 1 1 21 1 + 1 = k1 k2 K1 k1 k2

[31]

De [30] y de [31] deducimos inmediatamente que:

figura 3

k11 + k21 = k11

a distancias l1 y l2 respectivamente de I1 e I2 siendo: k21

l1 I = 2 l2 I1

[30]

I1 + I2 = I1

I1 + I2 k11 . k21 = I2 K1

[32]

y de [32] ya es inmediato deducir que: quedará en reposo y podremos considerar el movimiento de I1 como el del sistema de la figura 4 de un grado de libertad y el movimiento de I2 I1 c

k21

k11

I1 + I2 = I2

[33]

k21 == kK1

I1 + I2 = I1

[34]

c

figura 4

I2

figura 5

como el del sistema de la figura 5 tambien de un grado de libertad. Es evidente que las frecuencias * Sabemos que, en este caso, que no hay amortiguamiento i=±jwi

a

k11 += kK1

28 anales de mecánica y electricidad

Por lo tanto las frecuencias naturales de los sistemas de un grado de libertad de las figuras 4 y 5 serán, como habíamos preconizado, ambas iguales y de valor:

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

Si transponemos ambos miembros de la ecuación [37] y dado que tanto [M] como [K] son simétricas obtendremos:

KK(I 1 1+I2 ) I1 I2

i2[ ]T[M][ ]=-[ ]T[K][ ] [39] j

i

Ortogonalidad de los modos naturales de vibración

j

i

Restando a [39] la ecuación [38] vemos que: (i2-j2)[ ]T[M][ ]=0 j

i



 T 2

os modos naturales de vibración, [(1  ) y (1 2)T] en nuestro caso, tienen la propiedad de ser ortogonales tanto respecto a la matriz de masas.

L

[40]

y como: i ≠ j necesariamente ha de ocurrir que:

I1 0 0 I2

[ ]T[M][ ]=0 j

i

como respecto a la matriz de rigideces que, en el caso elemental que venimos considerando, vale K1 -K1 -K1 K1

Para demostrar esta ortogonalidad consideremos un caso genérico para el que:

[41]

De [41] vemos como el modo correspondiente a la frecuencia i es ortogonal respecto a la matriz de masas con el modo natural correspondiente a la frecuencia j. De [38] deducimos como también ocurre que: [ ]T[K][ ]=0 j

i

[42]

• [M] sea la matriz de masas • [K] sea la matriz de rigideces

luego también los modos son ortogonales respecto a la matriz de rigideces.

• 1, 2……i [19]

Podemos constatar como en nuestro caso (si hacemos 1=1= 1):

los valores de  que cumplan

• , …… los N modos naturales de vibración Por [18] es evidente que, en este caso general, podemos escribir: i2[M][ ]=-[K][ ]

[35]

j2[M][ ]=-[K][ ]

[36]

i

i

= [I1 I2]

1

I1 0 0 I2

[1 1 ]

1 -

-

I1 I2

=

=[II11 - I2] = 0

I1 I2

y análogamente: j

j

Si ahora premultiplicamos [35] por [ ]T y [36] por [ ]T tendremos: j

i

i2[ ]T[M][ ]=-[ ]T[K][ ] [37] j

j

j

i

1

K K1 -K -K1 [1 1] -K -K K K 1

-

1

= [KK-K 1 -K1] 1 -K1 KK-K

I1 I2

1 -

I1 I2

=

=0

y: j2[ ]T[M][ ]=-[ ]T[K][ ] [38] i

j

i

j

Si en el proceso anterior hiciésemos i = j la ecuación [40] se convertiría en

a

anales

de mecánica y electricidad

29

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

(i2-i2)[ ]T[M][ ]=0 i

i

[43]

Análisis modal i en la ecuación [7], reprentativa del movimiento en nuestros dos rotores, sustituimos 1 y 2 por:

pero como

S

i2-i2=0

1 1 1 q1 = 2 2 2 q2

no tiene que por qué cumplirse que [ ] [M][ ]=0 T

i

i

[44] o, puesto en forma condensada, hacemos el cambio de variable:

sea nulo. Tampoco ocurrirá que: [ ]T[K][ ]=0 i

i

[46]

[]=[][q]

[45]

[47]

en que: A las expresiones [44] y [45] se las conoce como “Masa i-ésima Generalizada” y como “Rigidez i-ésima Generalizada”, respectivamente. En el caso sencillo que venimos estudiando ocurre que:

• [] es el vector columna de los giros de I1 e I2 • [] es la matriz modal como la definimos en [28]

• La primera masa modal generalizada es: I1 + I2

• [q] es un vector columna de dos nuevas variables funciones del tiempo

• La segunda masa modal generalizada es:

tendremos en forma matricial que:

I1 (I1+ I2) I2

[M][][¨q]+[K][][q]=[P] [48] si llamamos

• La primera rígidez modal generalizada es: 0 • La segunda rígidez modal generalizada es: K1

( I +I ) I 1

2

2

2

Nótese cómo: 0 = 0 = ω1 I1+I2

y cómo:

[P]=

P1 = A+B sent senωt P2 -A

Si premultiplicamos ambos miembros de [48] por la traspuesta de la matriz modal tendremos: []T[M] [] [¨q]+[]T[K][][q]=[]T[P] [50] La ecuación [50] en nuestro caso sería:

1

1

2

( I +I ) I 1

2

2

I +I I1 1 2 I2

2

=

KK(I 1 1+I2 ) = ω2 I1 I2

valores que coinciden con las frecuencias naturales de cada uno de los dos modos naturales de vibración de nuestro problema.

2

-K1 1 1 q1 + 1 1I K1 = 1 - I -K1 K1 1 - II q2 1

1

2

2

= 1 1I A+B sen t 1 -I -A 1

2

a

30 anales de mecánica y electricidad

q¨ 1 + q¨ 2

I1 0 1 1 0 I2 1 - II

1 1 1 - II K1

[49]

[51]

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

y, operando, está última expresión se convierte en: 0 0 q¨ 1 q¨ 2 + 0

I1 +I2

0

I1

I1 +I2 I2

KK1

I1+I2 q I2

K

0 q1 = ( I +I ) q2 I 1

B I2 B sen t I1+I2

A+

I1 figura 7

2

2

2

Los valores de q1 y q2, en régimen permanente, solución de estos sistemas serán:

B sen t

= A+B sen t + I A = I 1

2

=

B sen t sen t

q1 = -

[52]

I +I A 1 2 +B I2

en donde vemos como todas las matrices del primer miembro son diagonales como tenía que ocurrir recondando la ortogonalidad de los modos naturales de vibración. Por ser diagonales las matrices del primer miembro las dos ecuaciones del sistema [52] se convierten en dos ecuaciones con las variables q1 y q2 completamente desacopladas con lo que el sistema de dos grados de libertad inicial queda configurado como dos sistemas cada uno de un grado de libertad (q1 y q2).

B I2 I1+I2 I +I KK1 1 2 -I1 I2

+

t

B sen

t

figura 6

2

Es decir:

+

I1 (I1+I2 ) I +I 2 q¨ 2+ KK1 1 2 q = 2 I2 I2

=A

(

I1+I2 + B sen t I2

)

[54]

q1 q2

1

2=q1 -

-

B (I1+I2 )

2

B I +I KK1 1 I 2 2

(

•

sen t [56] 2

1 1 1 2 = 1 - II

1=q1+q2=

I1+I2

[55]

sen t

Por lo tanto, los ángulos 1 y 2 girados por cada uno de los dos rotores, podremos ya encontrarlos recordando que

[53]

sistema que podemos reprentar como hacemos en la figura 6.

2

A I2 + +I ) KK(I 1 1 2

q2 =

Estos dos sistemas serán: • (I1+I2) q¨ 1=B sen

B (I1+I2 )

I1 I2

2

) -I

1

+

A I2 K(I1+I2 )

sen t [57]

I1+I2 I2

2

I1 B q= I2 2 (I1+I2 )

2

-

A I1 K(I1+I2 )

B I +I K 1 2 I2

(

[58]

I1+I2

2

) -I

1

equivalente a: I +I B I2 B sen t I1 q¨ 2+ K1 1 2 q2 = A+ I1+I2 I2

sistema que podemos representar según la figura 7.

La deformación a torsión del eje evidentemente será:

I T=1- 2= A + 1 + 1 K I K1 2

(

a

anales

).

de mecánica y electricidad

31

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

.

B K

(

sen t =

I1+I2 2 I1+I2 -I1 I2 I2

)

B

I +I = A+ 1 2 I2 K

K

I1+I2 2 I1 - I (I1+I2 ) I2 2

(

ParK=∞=

2

)

= 2

B I2 sen t I1+I2

[61]

como podemos deducir aplicando al sistema en estudio las ecuaciones de la mecánica del Sólido rígido • Sería infinita la amplitud del par para

B

= A+

K

K

sen t

I1+I2 - I1 I2

2

[59]

La interpretación física de cada uno de los términos de la ecuación [59] es elemental:

K(I1+I2 ) I1 I2

=

• Si

’= 22 ω2 es decir si ’=

El término

2

A+ K

KK(I 1 1+I2 ) I1 I2

el par tendría por expresión: es la deformación torsional elástica debido al par constante que, generado en el motor y consumido en la máquina, mantiene el sistema en régimen.

Par=

KK1 B I +I K2 K(I +I ) K1 1 2 - I1 1 1 2 I2 I1 I2

El término =-

B KK1 I1+I2 - I1

sen t =

es la deformación variable en el eje como consecuencia del par variable que se transmite a través del mismo, deformación cuya amplitud sería nula si K valiera infinito y sería infinita si =

KK(I 1 1+I2 )

K1 B K

sen t 2

[60]

De la expresión [60] deducimos que: • Este par para K=∞, valdría

a

[62]

En este caso el módulo del par coincide en valor con el transmitido para K1=∞ pero está decalado 180°.

Conclusiones

Por otro lado, el par variable transmitido por el eje sería:

KK1 I1+I2 - I1 I2

B I2 sen( t-π) I1 + I2

I1 I2

(por estar en resonancia con ω2).

P=

B I2 sen t= I1 + I2

2

I2

2

sen t

32 anales de mecánica y electricidad

emos visto como un sistema de 2 grados de libertad lo hemos resuelto, gracias al análisis modal, mediante el estudio de dos sistemas totalmente desacoplados de un grado de libertad cada uno. En el caso de que deseásemos estudiar un sistema general con Ngrados de libertad el proceso sería exactamente el mismo apareciendo los cambios siguientes:

H

APLICACIÓN

DEL ANÁLISIS MODAL A UN PROBLEMA SENCILLO DE VIBRACIONES TORSIONALES

1- Las matrices [M] y [K], diagonal la primera y simétrica la segunda, tendrían N filas y N columnas. 2- Aparecerían N frecuencias naturales y N modos naturales de vibración. Estos seguirían siendo ortogonales respecto a la matriz de masas y respecto a la matriz de rigideces. 3- La matriz modal, [] definida por los N modos naturales, tendría N columnas y cada una constaría de N elementos.

5- El problema quedaría reducido, al hacer el cambio de variables [][][q], a resolver N ecuaciones de las que deduciríamos en cada una de ellas el valor q i correspondiente y encontraríamos los valores correspondientes de las variables a determinar [i ], mediante la transformación []=[][q] siendo: [] el vector columna a encontrar.

4- El número de masas generalizadas sería N y análogamente sería N el número de rigideces generalizadas.

[] la matriz modal ya definida en el proceso. [q] el vector columna calculado en 5.

a

anales

de mecánica y electricidad

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