Integraly Niektorych Funkcii

Integrály niektorých funkcií Integrovanie niektorých racionálnych funkcií: dx

∫ (x − α )

k

=−

1 + C pre k ≠ 1 . Ak je k = 1 (k − 1)(x − α )k −1

dx

∫ (x − α ) = ln x − α + C Výsledok platí na každom intervale, ktorý neobsahuje bod α . dx dx p pre p 2 − 4q < 0 použijeme substitúciu x + = t a , ∫ x 2 + px + q = ∫  p  2 2 p2 x +  + q − 2 4  p2 . Dostávame kde a = q − 4 p x+ dx 1 2 . = arctg ∫  p 2 2 a a p x+  + q − 2 4  Mx + N M (2 x + p )dx  Mp  dx ∫ x 2 + px + q dx = 2 ∫ x 2 + px + q +  N − 2 ∫ x 2 + px + q + C . dx potom pre n > 1 platí Položme I n = ∫ (x 2 + px + q )n p x+ 1 2n − 3 2 In = + I n −1 . n −1 2 2   p  (x + px + q ) p2    2(n − 1) q − 2(n − 1) q − 4  4    Integrovanie iracionálnych funkcií: 1 1   k k ax b ax b + + 1    n  x,  R ,...,    ∫   cx + d   cx + d  dx , kde k1 ,...k n sú prirodzené čísla, a, b, c, d sú reálne čísla   1

 ax + b  k a platí ad − bc ≠ 0 , môžeme riešiť pomocou substitúcie t =   , pričom k je najmenší  cx + d  spoločný násobok čísel k1 ,...k n .

∫ R(x,

)

ax 2 + bx + c dx , kde a ≠ 0 možno pomocou Eulerových substitúcií prepísať na

integrál z racionálnej funkcie. Ak a > 0 , položíme t = ax 2 + bx + c ± x a . Ak c ≥ 0 , položíme xt = ax 2 + bx + c ± c .

Ak α , β sú reálne korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 , položíme t = a

Príklad Vypočítajme

∫

dx x2 + a

x−β . x −α

.

Riešenie. Ak použijeme substitúciu x 2 + a = t − x , po úpravách dostaneme dx dt 2 ∫ x 2 + a = ∫ t = ln t + C = ln x + x + a + C .

∫ x (a + bx ) dx , m

n p

kde m, n, p sú racionálne čísla, sa nazýva m +1 m +1 p, , + p je celé číslo položíme: n n q r • x = t s , ak p je celé číslo a m = , n = ; s s m +1 • a + bx n = t , ak je celé číslo; n m +1 • ax − n + b = t , ak + p je celé číslo. n

binomický integrál. Keď jedno z čísiel

Metóda neurčitých koeficientov Nech P : R → R je polynóm n -tého stupňa, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 . Potom platí P(x ) dx 2 ∫ ax 2 + bx + c dx = Q(x ) ax + bx + c + k ∫ ax 2 + bx + c , kde koeficienty polynómu Q stupňa n − 1 a číslo k určíme metódou neurčitých koeficientov ′ z rovnosti polynómov P(x ) = ax 2 + bx + c Q(x ) ax 2 + bx + c + k , ktorú sme dostali

(

derivovaním poslednej rovnice a násobením odmocninou

)

ax 2 + bx + c .

Integrovanie trigonometrických funkcií:

∫ R(sin x, cos x )dx , x kde R(u , v ) je racionálna funkcia, možno upraviť substitúciou t = tg , x ∈ (− π , π ) na neurčitý 2 2t 1− t 2 2 integrál z racionálnej funkcie. Pritom platí sin x = , cos x = , dx = dt pre 2 2 1+ t 1+ t 1+ t2 t ∈ (− ∞, ∞ ) . Príklad Vypočítajme

dx

∫ sin x ,

x ∈ (0, π )

Riešenie. Po zavedení substitúcie t = tg

x dostaneme 2

2 dt x dx 1+ t2 ∫ sin x = ∫ 2t dt =∫ t = ln t + C = ln tg 2 + C . 1+ t2 Ak má funkcia R(u , v ) špeciálny tvar, môžeme použiť aj iné substitúcie:  π π
Ak R(u , v ) , kde u = sin x, v = cos x je nepárna v premennej v pre každé x ∈  − ,  , tak  2 2  π π použijeme substitúciu t = sin x, x ∈  − ,  .  2 2
Ak R(u , v ) , kde u = sin x, v = cos x je nepárna v premennej u pre každé x ∈ (0, π ) , tak použijeme substitúciu t = cos x, x ∈ (0, π ) .
Ak R(u , v ) , kde u = sin x, v = cos x je párnou funkciou v oboch premenných pre každé  π π  π π x ∈  − ,  , tak použijeme substitúciu t = tgx, x ∈  − ,  . V tomto prípade niekedy je  2 2  2 2 1 1 výhodnejšie použiť vzorce cos 2 x = (1 + cos 2 x ), sin 2 x = (1 − cos 2 x ) . 2 2 Príklad Vypočítajme ∫ sin 2 x cos 4 x dx . Riešenie. Daný integrál môžeme upraviť takto 1 1 + cos 2 x 2 2 4 2 2 ∫ sin x cos x dx = ∫ (sin x cos x ) cos x dx = 4 ∫ sin 2 x 2 dx = 1 = ∫ sin 2 2 x dx + ∫ sin 2 2 x cos 2 x dx . 8 1 1 1  Pre prvý z integrálov platí ∫ sin 2 2 x dx = ∫ (1 − cos 4 x )dx =  x − sin 4 x  + C 2 4 2  a pri výpočte druhého integrálu položíme sin 2 x = t , teda 2 cos 2 xdx = dt a dostaneme 1 2 1 3 2 ∫ sin 2 x cos 2 x dx = 2 ∫ t dt = 6 sin 2 x + C 1 1  1 Teda ∫ sin 2 x cos 4 x dx =  x − sin 4 x  + sin 3 2 x + C . 2 4  6

(

)

Integrály ∫ sin ax cos bxdx ,

∫ sin ax sin bxdx , ∫ cos ax cos bxdx ,

1 [sin (α + β ) + sin (α − β )], 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α − β )], 2 1 sin α sin β = [cos(α − β ) − cos(α + β )] . 2 sin α cos β =

upravíme pomocou vzorcov