Integraly

Neurcˇity´ integra´l Robert Marˇ´ık 27. ledna 2006

Obsah 1

Definice neurcˇite´ho integra´lu

2

Za vzorce 7 Z ´ kladnı´√ 6 4 x (2x + 3 x + 3 − sin x + e ) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 x Z tg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

5

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x+2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 + 4x + 5 Z x+5 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2+4 x Z 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Z ( x + 6) Z

x2

f ( ax + b) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Z

3

x+5 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 x2 − 4x + 9

Parcia´lnı´ zlomky. Rozklad s neurcˇity´mi koeficienty. Z x2 + 1 dx . . . ( x − 1)( x + 2)( x − 2) Z 4 x −x+1 dx . . . . . . . . . . x3 + x2 Z x dx . . . . . . . . . . . . x3 − 8

4

Integrace per-parte´s

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 105 c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

( x + 1) ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 x sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

( x − 2) sin(2x ) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ( x2 + 1) sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ( x2 + 1)e− x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 x arctg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 ln2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 x3 sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

( x3 + 2x )e− x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5

Integrace pomocı´ substituce. 173 Z sin(ln x ) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Z

2

xe1− x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Z x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4 x √+ 16 Z e x +1 √ dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 x+1 Z tg3 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 (√2 + cos x ) sin x Z 3x + 2 − 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 x√+ 1 Z 1+ x−1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 x Z

6

Dals 251 Z ˇ ı´ . . . arcsin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

1

Definice neurcˇite´ho integra´lu Definice (neurcˇity´ integra´l, primitivnı´ funkce). Bud’ I otevrˇeny´ interval, f a F funkce definovane´ na I. Jestlizˇe platı´ F ′ ( x ) = f ( x ) pro vsˇechna x ∈ I,

(1)

nazy´va´ se funkce F primitivnı´ funkcı´ k funkci f , nebo te´zˇ neurcˇity´ integra´l funkce f na intervalu I. Zapisujeme Z

f ( x ) dx = F ( x ).

Existuje-li k funkci f neurcˇity´ integra´l na intervalu I, nazy´va´ se funkce f integrovatelna´ na I. Primitivnı´ funkce F ( x ) je vzˇdy spojita´ na I, plyne to z existence derivace. Veˇta 1 (postacˇujı´cı´ podmı´nka existence neurcˇite´ho integra´lu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

1

Definice neurcˇite´ho integra´lu Definice (neurcˇity´ integra´l, primitivnı´ funkce). Bud’ I otevrˇeny´ interval, f a F funkce definovane´ na I. Jestlizˇe platı´ F ′ ( x ) = f ( x ) pro vsˇechna x ∈ I,

(1)

nazy´va´ se funkce F primitivnı´ funkcı´ k funkci f , nebo te´zˇ neurcˇity´ integra´l funkce f na intervalu I. Zapisujeme Z

f ( x ) dx = F ( x ).

Existuje-li k funkci f neurcˇity´ integra´l na intervalu I, nazy´va´ se funkce f integrovatelna´ na I. Primitivnı´ funkce F ( x ) je vzˇdy spojita´ na I, plyne to z existence derivace. Veˇta 1 (postacˇujı´cı´ podmı´nka existence neurcˇite´ho integra´lu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

1

Definice neurcˇite´ho integra´lu Definice (neurcˇity´ integra´l, primitivnı´ funkce). Bud’ I otevrˇeny´ interval, f a F funkce definovane´ na I. Jestlizˇe platı´ F ′ ( x ) = f ( x ) pro vsˇechna x ∈ I,

(1)

nazy´va´ se funkce F primitivnı´ funkcı´ k funkci f , nebo te´zˇ neurcˇity´ integra´l funkce f na intervalu I. Zapisujeme Z

f ( x ) dx = F ( x ).

Existuje-li k funkci f neurcˇity´ integra´l na intervalu I, nazy´va´ se funkce f integrovatelna´ na I. Primitivnı´ funkce F ( x ) je vzˇdy spojita´ na I, plyne to z existence derivace. Veˇta 1 (postacˇujı´cı´ podmı´nka existence neurcˇite´ho integra´lu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Veˇta 2 (jednoznacˇnost primitivnı´ funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: • Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G ( x ) = F ( x ) + c, kde c ∈ R je libovolná konstanta nezávislá na x.

• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že F (x) = G(x) + c

pro všechna x ∈ I.

Bohuzˇel, ne vzˇdy neurcˇity´ integra´l doka´zˇeme efektivneˇ najı´t. Zatı´mco proble´m nalezenı´ derivace funkce slozˇene´ z funkcı´, ktere´ umı´me derivovat, spocˇ´ıva´ pouze ve spra´vne´ aplikaci vzorcu˚ pro derivova´nı´, proble´m nale´zt neurcˇity´ 2 integra´l i k funkci tak jednoduche´, jako je naprˇ´ıklad e− x je nerˇesˇitelny´ ve trˇ´ıdeˇ elementa´rnı´ch funkcı´.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Veˇta 2 (jednoznacˇnost primitivnı´ funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: • Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G ( x ) = F ( x ) + c, kde c ∈ R je libovolná konstanta nezávislá na x.

• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že F (x) = G(x) + c

pro všechna x ∈ I.

Bohuzˇel, ne vzˇdy neurcˇity´ integra´l doka´zˇeme efektivneˇ najı´t. Zatı´mco proble´m nalezenı´ derivace funkce slozˇene´ z funkcı´, ktere´ umı´me derivovat, spocˇ´ıva´ pouze ve spra´vne´ aplikaci vzorcu˚ pro derivova´nı´, proble´m nale´zt neurcˇity´ 2 integra´l i k funkci tak jednoduche´, jako je naprˇ´ıklad e− x je nerˇesˇitelny´ ve trˇ´ıdeˇ elementa´rnı´ch funkcı´.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Veˇta 2 (jednoznacˇnost primitivnı´ funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: • Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G ( x ) = F ( x ) + c, kde c ∈ R je libovolná konstanta nezávislá na x.

• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že F (x) = G(x) + c

pro všechna x ∈ I.

Bohuzˇel, ne vzˇdy neurcˇity´ integra´l doka´zˇeme efektivneˇ najı´t. Zatı´mco proble´m nalezenı´ derivace funkce slozˇene´ z funkcı´, ktere´ umı´me derivovat, spocˇ´ıva´ pouze ve spra´vne´ aplikaci vzorcu˚ pro derivova´nı´, proble´m nale´zt neurcˇity´ 2 integra´l i k funkci tak jednoduche´, jako je naprˇ´ıklad e− x je nerˇesˇitelny´ ve trˇ´ıdeˇ elementa´rnı´ch funkcı´.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

2

Za´kladnı´ vzorce

Veˇta 3. Nechť f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí Z

f ( x ) + g( x ) dx = Z

Z

c f ( x ) dx = c

f ( x ) dx + Z

Z

g( x ) dx,

f ( x ) dx.

Veˇta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Z 1 Pak f ( ax + b) dx = F ( ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na ina tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b ∈ I. Veˇta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na tomto intervalu platí ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

f ′ (x) dx = ln | f ( x )| . f (x) c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

2

Za´kladnı´ vzorce

Veˇta 3. Nechť f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí Z

f ( x ) + g( x ) dx = Z

Z

c f ( x ) dx = c

f ( x ) dx + Z

Z

g( x ) dx,

f ( x ) dx.

Veˇta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Z 1 f ( ax + b) dx = F ( ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na inPak a tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b ∈ I. Veˇta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na tomto intervalu platí ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

f ′ (x) dx = ln | f ( x )| . f (x) c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

2

Za´kladnı´ vzorce

Veˇta 3. Nechť f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí Z

f ( x ) + g( x ) dx = Z

Z

c f ( x ) dx = c

f ( x ) dx + Z

Z

g( x ) dx,

f ( x ) dx.

Veˇta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Z 1 f ( ax + b) dx = F ( ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na inPak a tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b ∈ I. Veˇta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na tomto intervalu platí ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

f ′ (x) dx = ln | f ( x )| . f (x) c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

√ 6 (2x + 3 4 + 3 − sin x + e x ) dx. x

I=

Z

=2

√ 6 (2x + 3 4 x + 3 − sin x + e x ) dx Z Z Z x x dx + 3

1

x 4 dx + 6

x −3 dx −

Z

sin x dx +

Z

e x dx

x2 x5/4 x −2 +3 +6 − (− cos x ) + e x + C 2 5/4 −2 1 12 = x2 + x5/4 − 3 2 + cos x + e x + C 5 x

=2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

√ 6 (2x + 3 4 + 3 − sin x + e x ) dx. x

I=

Z

=2

√ 6 (2x + 3 4 x + 3 − sin x + e x ) dx Z Z Z x x dx + 3

1

x 4 dx + 6

x −3 dx −

Z

sin x dx +

Z

e x dx

x2 x5/4 x −2 +3 +6 − (− cos x ) + e x + C 2 5/4 −2 1 12 = x2 + x5/4 − 3 2 + cos x + e x + C 5 x

=2

• Integra´l ze soucˇtu je soucˇet integra´lu˚. • Integra´l na´sobku funkce je na´sobek integra´lu. • Neˇktere´ funkce je mozˇno prˇepsat na mocninne´ funkce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

√ 6 (2x + 3 4 + 3 − sin x + e x ) dx. x

I=

Z

=2

√ 6 (2x + 3 4 x + 3 − sin x + e x ) dx Z Z Z x x dx + 3

1

x 4 dx + 6

x −3 dx −

Z

sin x dx +

Z

e x dx

x2 x5/4 x −2 +3 +6 − (− cos x ) + e x + C 2 5/4 −2 1 12 = x2 + x5/4 − 3 2 + cos x + e x + C 5 x

=2

⊳⊳

⊳

x n +1 n+1

•

Z

x n dx =

•

Z

sin x dx = − cos x

•

Z

e x dx = e x

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

√ 6 (2x + 3 4 + 3 − sin x + e x ) dx. x

I=

Z

=2

√ 6 (2x + 3 4 x + 3 − sin x + e x ) dx Z Z Z x x dx + 3

1

x 4 dx + 6

x −3 dx −

Z

sin x dx +

Z

e x dx

x2 x5/4 x −2 +3 +6 − (− cos x ) + e x + C 2 5/4 −2 1 12 = x2 + x5/4 − 3 2 + cos x + e x + C 5 x

=2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

tg x dx. I=

Z

tg x dx

sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x )′ dx =− cos x = − ln | cos x | + C

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

tg x dx. I=

Z

tg x dx

sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x )′ dx =− cos x = − ln | cos x | + C

=

Z

Pouzˇijeme definici funkce tangens. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

tg x dx. I=

Z

tg x dx

sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x )′ =− dx cos x = − ln | cos x | + C

=

Z

• Platı´ (cos x )′ = − sin x. Cˇitatel se tedy lisˇ´ı od derivace jmenovatele jenom konstantı´m na´sobkem. • Vyna´sobı´me a vydeˇlı´me integra´l tı´mto na´sobkem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

tg x dx. I=

Z

tg x dx

sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x )′ =− dx cos x = − ln | cos x | + C

=

Z

Forma´lneˇ pouzˇijeme vztah (cos x )′ = − sin x, abychom videˇli vzorec Z ′ f (x) dx = ln | f ( x )| + C. f (x) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

tg x dx. I=

Z

tg x dx

sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x )′ dx =− cos x = − ln | cos x | + C

=

Z ⊳⊳

Z

f ′ (x) dx = ln | f ( x )| + C f (x) ⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+2 dx. + 4x + 5 x+2 dx + 4x + 5 Z 1 2x + 4 = dx 2 x2 + 4x + 5 Z ( x2 + 4x + 5)′ 1 dx = 2 x2 + 4x + 5 1 = ln( x2 + 4x + 5) + C 2

I=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x2

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+2 dx. + 4x + 5 x+2 dx + 4x + 5 Z 1 2x + 4 = dx 2 x2 + 4x + 5 Z ( x2 + 4x + 5)′ 1 dx = 2 x2 + 4x + 5 1 = ln( x2 + 4x + 5) + C 2

I=

Z

x2

• Platı´ ( x 2 + 4x + 5)′ = 2x + 4. Cˇitatel se tedy lisˇ´ı od derivace jmenovatele jenom konstantı´m na´sobkem. • Vyna´sobı´me a vydeˇlı´me integra´l tı´mto na´sobkem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+2 dx. + 4x + 5 x+2 dx + 4x + 5 Z 1 2x + 4 = dx 2 x2 + 4x + 5 Z ( x2 + 4x + 5)′ 1 dx = 2 x2 + 4x + 5 1 = ln( x2 + 4x + 5) + C 2

I=

Prˇepı´sˇeme do tvaru ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

Z

x2

f ′ (x) dx. f (x) c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+2 dx. + 4x + 5 x+2 dx + 4x + 5 Z 1 2x + 4 = dx 2 x2 + 4x + 5 Z ( x2 + 4x + 5)′ 1 dx = 2 x2 + 4x + 5 1 = ln( x2 + 4x + 5) + C 2

I=

Z ⊳⊳

Z

x2

f ′ (x) dx = ln | f ( x )| + C f (x) ⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx x2 + 4 Z 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 x 1 = ln( x2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2

I=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx x2 + 4 Z 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 x 1 = ln( x2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2

I=

Z

• Derivace jmenovatele je x, v cˇitateli vsˇak nenı´ na´sobek te´to funkce. • Vzorec

Z

f ′ (x) dx nelze prˇ´ımo pouzˇ´ıt. f (x)

• Rozdeˇlı´me zlomek na dva. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx x2 + 4 Z 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 x 1 = ln( x2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2

I=

Z

• V prvnı´m zlomku je v cˇitateli polovina derivace jmenovatele. • Proto prvnı´ zlomek vyna´sobı´me a vydeˇlı´me dveˇma. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx x2 + 4 Z 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 x 1 = ln( x2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2

I=

⊳⊳

⊳

Z

•

Z

f ′ (x) = ln | f ( x )| + C f (x)

•

Z

x 1 1 dx = arctg A A A2 + x 2

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

1 dx. ( x + 6)3 I=

Z

1 dx ( x + 6)3

=

Z

( x + 6)−3 dx

( x + 6 ) −2 −2 1 +C =− 2( x + 6)2

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

1 dx. ( x + 6)3 I=

Z

1 dx ( x + 6)3

=

Z

( x + 6)−3 dx

( x + 6 ) −2 −2 1 +C =− 2( x + 6)2

=

Jedna´ se o mocninnou funkci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

1 dx. ( x + 6)3 I=

Z

1 dx ( x + 6)3

=

Z

( x + 6)−3 dx

( x + 6 ) −2 −2 1 +C =− 2( x + 6)2 =

•

Z

f ( ax + b) dx =

1 F ( ax + b), kde F je integra´l z f . a

• V nasˇem prˇ´ıpadeˇ je f ( x ) = x −3 , F ( x ) = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x −2 a a = 1. −2 c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

1 dx. ( x + 6)3 I=

Z

1 dx ( x + 6)3

=

Z

( x + 6)−3 dx

( x + 6 ) −2 −2 1 +C =− 2( x + 6)2 =

Upravı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. 1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 (2 − 1 · x )−5 dx dx = (2 − x )5

Z

( 2 − x ) −4 1 · −4 −1 1 = +C 4(2 − x )4

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

e− x dx = −e− x + C

Z

e3x dx =

1 3x e +C 3

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. 1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 (2 − 1 · x )−5 dx dx = (2 − x )5

Z

( 2 − x ) −4 1 · −4 −1 1 = +C 4(2 − x )4

=

⊳⊳

⊳

Z

e− x dx = −e− x + C

Z

e3x dx =

•

Z

1 dx = ln | x | x

•

Z

f ( ax + b) dx =

⊲

⊲⊲

1 3x e +C 3

1 F ( ax + b), v nasˇem prˇ´ıpadeˇ a = 2. a c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. 1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 (2 − 1 · x )−5 dx dx = (2 − x )5

Z

( 2 − x ) −4 1 · −4 −1 1 = +C 4(2 − x )4 =

Z

e− x dx = −e− x + C

Z

e3x dx =

1 3x e +C 3

Prˇepı´sˇeme na mocninnou funkci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. 1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 (2 − 1 · x )−5 dx dx = (2 − x )5

Z

( 2 − x ) −4 1 · −4 −1 1 = +C 4(2 − x )4 =

⊳⊳

⊳

Z

e− x dx = −e− x + C

Z

e3x dx =

1 x n +1 n+1

•

Z

x n dx =

•

Z

f ( ax + b) dx =

⊲

⊲⊲

1 3x e +C 3

1 F ( ax + b), v nasˇem prˇ´ıpadeˇ a = −1. a c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. 1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 (2 − 1 · x )−5 dx dx = (2 − x )5

Z

( 2 − x ) −4 1 · −4 −1 1 = +C 4(2 − x )4

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

e− x dx = −e− x + C

Z

e3x dx =

1 3x e +C 3

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. 1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 (2 − 1 · x )−5 dx dx = (2 − x )5

Z

( 2 − x ) −4 1 · −4 −1 1 = +C 4(2 − x )4

=

⊳⊳

⊳

Z

e− x dx = −e− x + C

Z

e3x dx =

•

Z

e x dx = e x

•

Z

f ( ax + b) dx =

⊲

⊲⊲

1 3x e +C 3

1 F ( ax + b), v nasˇem prˇ´ıpadeˇ a = −1. a c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. 1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 (2 − 1 · x )−5 dx dx = (2 − x )5

Z

⊳⊳

⊳

•

Z

•

Z

⊲

e x dx = e x

( 2 − x ) −4 1 1 = · ˇ a = 3. f ( ax + b) dx = F ( ax + b), v nasˇem −4prˇ´ıpade −1 a 1 = +C 4(2 − x )4

⊲⊲

Z

e− x dx = −e− x + C

Z

e3x dx =

1 3x e +C 3

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i  1 1h 1  x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = sin2 x dx = 2 2 2 Z Z 2 Z 2 1 x −1+1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 x2 − x + ln | x + 1| + C = 2

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i  1 1h 1  x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = sin2 x dx = 2 2 2 Z Z 2 Z 2 1 x −1+1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 x2 − x + ln | x + 1| + C = 2

=

Upravı´me podle vzorce ( a + b)2 :

(e x + e− x )2 = e2x + 2e x e− x + e−2x = e2x + 2 + e−2x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i  1 1h 1  x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = sin2 x dx = 2 2 2 Z Z 2 Z podle 2 Integrujeme vzorcu ˚ 1 x −1+1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x Z+ 1 x+1 e x dx = e x , x2 − x + ln | x + 1| + C = 2 Z

=

1 dx = x ,

Z

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

f ( ax + b) dx =

1 F ( ax + b) , kde a

Z

f ( x ) dx = F ( x ).

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin x cos x dx = sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C 2 2 2 Z Z i  1 1h 1  2 x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = sin x dx = 2 2 2 Z Z 2 Z 2 1 x −1+1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 x2 − x + ln | x + 1| + C = 2

=

Pouzˇijeme vzorec sin(2x ) = 2 sin x cos x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin x cos x dx = sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C 2 2 2 Z Z i  1 1h 1  2 x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = sin x dx = 2 2 2 Z Z 2 Z 2 1 x −1+1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 Integrujeme podle vzorcu˚ 2 x − x + ln | x + 1| + C = 2 Z sin x dx = − cos x

=

a Z ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

f ( ax + b) dx =

1 F ( ax + b) , kde a

Z

f ( x ) dx = F ( x ). c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin x cos x dx = sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C 2 2 2 Z Z i  1 1  1h sin2 x dx = x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = 2 2 2 Z Z 2 Z 2 1 x −1+1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 x2 − x + ln | x + 1| + C = 2

=

Vzorec sin2 x = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 − cos(2x ) 2 c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin x cos x dx = sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C 2 2 2 Z Z  i 1  1 1h sin2 x dx = 1 − cos(2x ) dx = x − sin(2x ) + C 2 2 2 Z Z 2 Z 2 1 x −1+1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 x2 − x + ln | x + 1| + C = 2

=

Z Z ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

cos x dx = sin x

f ( ax + b) =

1 F ( ax + b) a c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin x cos x dx = sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C 2 2 2 Z Z i  1  1 1h sin2 x dx = x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x x −1+1 1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 x2 − x + ln | x + 1| + C = 2

=

Potrˇebujeme vydeˇlit. K tomu je mozˇno prˇeve´st cˇitatel na tvar, ktery´ pozdeˇji umozˇnı´ zkra´tit. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin x cos x dx = sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C 2 2 2 Z Z i  1  1 1h sin2 x dx = x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x x −1+1 1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 x2 − x + ln | x + 1| + C = 2

=

x2 − 1 + 1 x2 − 1 1 1 = + = x−1+ x+1 x+1 x+1 x+1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly. Z

(e x + e− x )2 dx =

Z

(e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x − e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin x cos x dx = sin(2x ) dx = · · (− cos 2x ) + C 2 2 2 Z Z i  1  1 1h sin2 x dx = x − sin(2x ) + C 1 − cos(2x ) dx = 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x x −1+1 1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 x2 − x + ln | x + 1| + C = 2

=

Z ⊳⊳

x n dx = ⊳

⊲

⊲⊲

1 x n +1 , n+1

Z

1 dx = ln | x |, x

Z

f ( ax + b) dx =

1 f ( ax + b) a c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9 x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 1 7 = ln | x2 − 4x + 9| + dx 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5

I=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x2

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9 x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 1 7 = ln | x2 − 4x + 9| + dx 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5

I=

Z

x2

“Zasˇifrujeme” derivaci jmenovatele, tj. vy´raz (2x − 4), do cˇitatele. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 1 7 = ln | x2 − 4x +aby 9| +se zlomky v2prvnıdx • Musı´me upravit zlomek tak, 2 ( x − 2) + 5 ´m a druhe´m integra´lu rovnaly. x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 1 5 5´ a aditivnı • K teˇmto u´prava´m pouzˇijeme jenom multiplikativnı ´ konstanty 1 velkou x−2 (nenadeˇlajı´ “moc neplechu” prˇ1i integraci). 2 = ln | x − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5 1 ma´me ve druhe´m zlomku v cˇitateli vy´raz • Prˇida´nı´m na´sobku 2 1 (2x − 4) = x − 2. Koeficient u x je v porˇa´dku. 2 I=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x2

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 1 7 = ln | x2 − 4x + 9| + dx 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 • (2x − 4) = x1− 2 2 1 x−2 2 = ln | x − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5 1 • (2x − 4) + 2 = x 2 I=

Z

x2

• Nynı´ je v cˇitateli jenom x. Chybı´ cˇ´ıslo 5. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 1 7 1 = ln | x2 − 4x + 9| + dx • (2x − 4) = x2− 2 ( x − 2)2 + 5 2 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 1 2 • (2x − 4) + 2 = x 5 5 1 2 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 1 2 5 5 • (2x − 4) + 2 + 5 = x + 5 2 I=

Z

x2

• Prvnı´ a druhy´ zlomek jsou stejne´, nedopustili jsme se zˇa´dne´ u´pravy, ktera´ by zmeˇnila hodnotu zlomku. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9 x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2x − 4 2+5 1 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 7 1 dx = ln | x2 − 4x + 9| + 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5

I=

Z

x2

Rozdeˇlı´me zlomek na dva. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9 x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 7 1 = ln | x2 − 4x + 9| + dx 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5

I=

Z ⊳⊳

Z

x2

f ′ (x) = ln | f ( x )| + C f (x) ⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9 x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 7 1 = ln | x2 − 4x + 9| + dx 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5

I=

Z

x2

Doplnı´me na cˇtverec ve jmenovateli druhe´ho zlomku. x2 − 4x + 9 = x 2 − 2 · 2 · x + 22 − 4 + 9 = ( x − 2)2 + 5 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9 x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 1 7 = ln | x2 − 4x + 9| + dx 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5

I=

Z ⊳⊳

A2 ⊳

⊲

Z

x2

√ 1 1 x dx = arctg , kde v nasˇem prˇ´ıpadeˇ A = 5 2 A A +x ⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9 x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 1 7 = ln | x2 − 4x + 9| + dx 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5

I=

Z ⊳⊳

f ( ax + b) dx = ⊳

⊲

⊲⊲

Z

x2

1 F ( ax + b), v nasˇem prˇ´ıpadeˇ a = 1 a c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x2

x+5 dx. − 4x + 9 x+5 dx − 4x + 9 Z 1 2 (2x − 4)+2+5 dx = x2 − 4x + 9 Z 2+5 1 2x − 4 + dx = · 2 x2 − 4x + 9 x2 − 4x + 9 Z 1 7 = ln | x2 − 4x + 9| + dx 2 ( x − 2)2 + 5 x−2 1 1 1 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · 2 5 5 1 1 1 x−2 = ln | x2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 5 5

I=

Z

x2

Upravı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

3

Parcia´lnı´ zlomky.

Motivace. Secˇtenı´m zlomku˚ se lze prˇesveˇdcˇit, zˇe platı´ 1 1 1 1 − − 2 = 2 x−1 x x x ( x − 1) Z leve´ na pravou stranu prˇejdeme prˇevedenı´m na spolecˇne´ho jmenovatele a secˇtenı´m zlomku˚. Napsat z vy´razu na leve´ strane vy´raz na straneˇ prave´ zatı´m neumı´me, ale bylo by vhodne´ se to naucˇit, protozˇe vy´raz nalevo je snadne´ integrovat, cozˇ se o vy´razu napravo rˇ´ıci neda´.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Pn ( x ) je raciona´lnı´ funkce. Je-li n ≥ m, nazy´va´ se Qm ( x ) funkce R( x ) neryze lomena´, v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ ryze lomena´. Definice. Necht’ R( x ) =

Veˇta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem). Pn ( x ) ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy Qm ( x ) Pn ( x ) a Qm ( x ) nemají společné kořeny a že polynom Qm ( x ) nemá násobné komplexní kořeny. Funkci R( x ) lze zapsat jako součet funkcí typu

Veˇta 7. Buď R( x ) =

A1 A2 Ak Bx + C , , ..., , a 2 , x−c ( x − c )2 x + Mx + N ( x − c)k kde Ai , B a C jsou vhodné konstanty (Jak? – viz. dále). Definice. Zlomky uvedene´ v prˇedchozı´ veˇteˇ nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Pn ( x ) je raciona´lnı´ funkce. Je-li n ≥ m, nazy´va´ se Qm ( x ) funkce R( x ) neryze lomena´, v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ ryze lomena´. Definice. Necht’ R( x ) =

Veˇta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem). Pn ( x ) ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy Qm ( x ) Pn ( x ) a Qm ( x ) nemají společné kořeny a že polynom Qm ( x ) nemá násobné komplexní kořeny. Funkci R( x ) lze zapsat jako součet funkcí typu

Veˇta 7. Buď R( x ) =

A1 A2 Ak Bx + C , , ..., , a 2 , x−c ( x − c )2 x + Mx + N ( x − c)k kde Ai , B a C jsou vhodné konstanty (Jak? – viz. dále). Definice. Zlomky uvedene´ v prˇedchozı´ veˇteˇ nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Pn ( x ) je raciona´lnı´ funkce. Je-li n ≥ m, nazy´va´ se Qm ( x ) funkce R( x ) neryze lomena´, v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ ryze lomena´. Definice. Necht’ R( x ) =

Veˇta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem). Pn ( x ) ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy Qm ( x ) Pn ( x ) a Qm ( x ) nemají společné kořeny a že polynom Qm ( x ) nemá násobné komplexní kořeny. Funkci R( x ) lze zapsat jako součet funkcí typu

Veˇta 7. Buď R( x ) =

A1 A2 Ak Bx + C , , ..., , a 2 , x−c ( x − c )2 x + Mx + N ( x − c)k kde Ai , B a C jsou vhodné konstanty (Jak? – viz. dále). Definice. Zlomky uvedene´ v prˇedchozı´ veˇteˇ nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Pn ( x ) je raciona´lnı´ funkce. Je-li n ≥ m, nazy´va´ se Qm ( x ) funkce R( x ) neryze lomena´, v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ ryze lomena´. Definice. Necht’ R( x ) =

Veˇta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem). Pn ( x ) ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy Qm ( x ) Pn ( x ) a Qm ( x ) nemají společné kořeny a že polynom Qm ( x ) nemá násobné komplexní kořeny. Funkci R( x ) lze zapsat jako součet funkcí typu

Veˇta 7. Buď R( x ) =

A1 A2 Ak Bx + C , , ..., , a 2 , x−c ( x − c )2 x + Mx + N ( x − c)k kde Ai , B a C jsou vhodné konstanty (Jak? – viz. dále). Definice. Zlomky uvedene´ v prˇedchozı´ veˇteˇ nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇ´ıtejte). B C x2 A = + + ( x − 1) x ( x + 3) x−1 x x+3 Bx + C x A + = x − 1 x2 + x + 1 x3 − 1 B D C 3x − 2 A + = + + 2 x − 1 ( x − 1)2 x ( x − 1)2 x 2 x D C x2 + 2x + 1 Ax + B + = 2 + x + 2 ( x + 2)2 + 1)( x + 2)2 x +1

( x2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇ´ıtejte). B C x2 A = + + ( x − 1) x ( x + 3) x−1 x x+3 Bx + C x A + = x − 1 x2 + x + 1 x3 − 1 B D C 3x − 2 A + = + + 2 x − 1 ( x − 1)2 x ( x − 1)2 x 2 x D C x2 + 2x + 1 Ax + B + = 2 + x + 2 ( x + 2)2 + 1)( x + 2)2 x +1

( x2

• Prvnı´ zlomek obsahuje trˇi rea´lne´ jednoduche´ korˇeny. • Dostaneme trˇi parcia´lnı´ zlomky s konstantou v cˇitateli a linea´rnı´m vy´razem ve jmenovateli. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇ´ıtejte). A B C x2 = + + ( x − 1) x ( x + 3) x−1 x x+3 Bx + C x A + = x − 1 x2 + x + 1 x3 − 1 B D C 3x − 2 A + = + + 2 x − 1 ( x − 1)2 x ( x − 1)2 x 2 x D C x2 + 2x + 1 Ax + B + = 2 + x + 2 ( x + 2)2 + 1)( x + 2)2 x +1

( x2

Nejprve rozlozˇ´ıme na soucˇin ve jmenovateli. Rozklad je x3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇ´ıtejte). A B C x2 = + + ( x − 1) x ( x + 3) x−1 x x+3 Bx + C x A + = x − 1 x2 + x + 1 x3 − 1 B D C 3x − 2 A + = + + 2 x − 1 ( x − 1)2 x ( x − 1)2 x 2 x D C x2 + 2x + 1 Ax + B + = 2 + x + 2 ( x + 2)2 + 1)( x + 2)2 x +1

( x2

• Rozklad ( x − 1)( x 2 + x + 1) ukazuje, zˇe jmenovatel ma´ jeden rea´lny´ jednoduchy´ korˇen a dva komplexneˇ sdruzˇene´ korˇeny. • Parcia´lnı´ zlomek prˇ´ıslusˇny´ ke komplexnı´m korˇenu˚m obsahuje v cˇitateli linea´rnı´ funkci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇ´ıtejte). A B C x2 = + + ( x − 1) x ( x + 3) x−1 x x+3 x Bx + C A + = x − 1 x2 + x + 1 x3 − 1 B D C 3x − 2 A + = + + 2 x − 1 ( x − 1)2 x ( x − 1)2 x 2 x D C x2 + 2x + 1 Ax + B + = 2 + x + 2 ( x + 2)2 + 1)( x + 2)2 x +1

( x2

Jmenovatel ma´ dva rea´lne´ korˇeny. Oba jsou na´sobnosti dva. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇ´ıtejte). A B C x2 = + + ( x − 1) x ( x + 3) x−1 x x+3 x Bx + C A + = x − 1 x2 + x + 1 x3 − 1 B D A C 3x − 2 + = + + 2 x − 1 ( x − 1)2 x ( x − 1)2 x 2 x D C x2 + 2x + 1 Ax + B + = 2 + x + 2 ( x + 2)2 + 1)( x + 2)2 x +1

( x2

Jmenovatel ma´ jeden jednoduchy´ rea´lny´ korˇen a dva komplexneˇ sdruzˇene´ korˇeny. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C + + = ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Napı´sˇeme rozklad s neurcˇity´mi koeficienty. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C + + = ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0 5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

⇒

A=−

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Vyna´sobı´me rovnici spolecˇny´m jmenovatelem ( x − 1)( x + 2)( x − 2). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

⇒

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Dosadı´me x = 1 do cˇervene´ho vztahu. Z Z ⊳ ⊲ ⊲⊲ 2 1 5

⊳⊳

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

⇒

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0 5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0 5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒ ⇒ ⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 Dosta´va´me rovnici neobsahujı´cı´ ani B, ani C. Tuto rovnici rˇesˇ´ıme vzhledem k A. Z Z Z c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Marˇ´ık, 2006 × 2 1 5 1 5 1

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Dosadı´me x = −2 do cˇervene´ho vztahu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Vy´sledna´ rovnice obsahuje pouze koeficient B. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Vypocˇteme koeficient B. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

⇒

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Dosadı´me x = 2 do cˇervene´ho vztahu. Z Z ⊳ ⊲ ⊲⊲ 2 1 5

⊳⊳

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0 5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

x=2

⇒ ⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Vy´sledna´ rovnice obsahuje pouze koeficient C. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 x2 + 1 = A( x + 2)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 2) x=1

⇒

x = −2

⇒

x=2

2 = A3(−1) + B · 0 + C · 0

⇒

5 = A · 0 + B (−3) (−4) + C · 0

⇒

⇒

5 = A · 0 + B · 0 + 4C

⇒

2 3 5 B= 12 5 C= 4

A=−

2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

Vypocˇteme C. Nynı´ zna´me vsˇechny neurcˇite´ koeficienty. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

Z

1

5

Z

1

5

Z

1

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

2 I1 = − 3

Z

5 1 dx + x−1 12

Z

5 1 dx + x+2 4

Z

1 dx x−2

5 5 2 ln | x + 2| + ln | x − 2| + C = − ln | x − 1| + 3 12 4 2 5 5 aC= Pouzˇijeme vypocˇtene´ hodnoty koeficientu˚ A = − , B = 3 12 4 v cˇervene´m vztahu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I1 =

Z

x2 + 1 dx. ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

x2 + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2 2 5 5 x2 + 1 = − 3 + 12 + 4 ( x − 1)( x + 2)( x − 2) x−1 x+2 x−2

2 I1 = − 3

Z

1 5 dx + x−1 12

Z

1 5 dx + x+2 4

Z

1 dx x−2

2 5 5 ln | x + 2| + ln | x − 2| + C = − ln | x − 1| + 3 12 4

Vypocˇteme integra´l pomocı´ za´kladnı´ch vzorcu˚. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

I2 =

= ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x−1+

x1 :

−1 = A + B,

x0 :

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x

x2 1 − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

B x2 − x + 1 A C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

x1 :

−1 = A + B,

x0 :

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x Raciona´lnı´ funkce nenı´ ryze lomena´. Nejprve proto vydeˇlı´me (zde deˇlenı´ x2´ da´me znalost 1 vynecha´va´me, prˇedpokla operace). = − x − − 2 lnte|´xto| + 3 ln | x + 1| + C 2 x I2 =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x−1+

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

B x2 − x + 1 A C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

x1 :

−1 = A + B,

x0 :

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x Uvazˇujeme jenom ryze 2lomenou funkci. Napı´sˇeme forma´lnı´ tvar rozkladu na x ´ mi koeficienty. 1 parcia´lnı´ zlomky s neurc = ˇ ity − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x I2 =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x−1+

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

x1 :

−1 = A + B,

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x Vyna´sobı´me spolecˇny´m2jmenovatelem x 2 ( x + 1). x 1 = − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ I2 =

Z

x0 :

1=A

x−1+

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

I2 =

Z

x−1+

x1 :

−1 = A + B,

⊳

⊲

⊲⊲

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x

x2 1 Dosadı´me x = 0 do= cˇervene −´xho−vztahu. − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x ⊳⊳

x0 :

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

I2 = Nalezneme A. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

=

Z

x−1+

x1 :

−1 = A + B,

x0 :

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x

x2 1 − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

I2 =

Z

x−1+

x1 :

−1 = A + B,

⊳

⊲

⊲⊲

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x

x2 1 Dosadı´me x = −1 do ho vztahu. = cˇervene − x´− − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x ⊳⊳

x0 :

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

I2 = Nalezneme C. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

=

Z

x−1+

x1 :

−1 = A + B,

x0 :

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x

x2 1 − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

I2 =

Z

x−1+

x1 :

−1 = A + B,

x0 :

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x

Zby´va´ najı´t B. Rozna´sobı ´me soucˇiny v cˇervene´ rovnici a obdrzˇ´ıme modrou x2 1 rovnici. = − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

x1 :

−1 = A + B,

x0 :

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x Porovna´me koeficienty 2u jednotlivy´ch mocnin. Koeficienty, ktere´ stojı´ nalevo x 1 ´ by´t stejne´. a napravo u stejny´ch musı =mocnin −x− − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x I2 =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x−1+

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

x2 − x + 1 = A( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx 2 x=0 x = −1

1 = A + 0B + 0C; 3 = 0A + 0B + 1C;

A=1 C=3

x2 − x + 1 = Ax + A + Bx 2 + Bx + Cx 2

x2 : 1 = B + C, B = −2 A = 1, B = −2, C = 3

I2 =

Z

x−1+

x1 :

−1 = A + B,

⊳

⊲

⊲⊲

1=A

2 3 1 − + dx 2 x x+1 x

x2 A do1 druhe´ rovnice a nalezneme B. Dosadı´me C do prvnı =´ nebo − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x ⊳⊳

x0 :

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x4 − x + 1 x2 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

A = 1, B = −2, C = 3

I2 =

=

Z

x−1+

2 1 3 − + dx x x+1 x2

1 x2 − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x

Ma´me vypocˇteny hodnoty koeficientu˚. Tyto hodnoty pouzˇijeme v rozkladu na soucˇin. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte I2 =

Z

x4 − x + 1 dx. x3 + x2

x2 − x + 1 x4 − x + 1 = x − 1 + x3 + x2 x3 + x2

x2 − x + 1 A B C = 2+ + x x+1 x 2 ( x + 1) x

A = 1, B = −2, C = 3

I2 =

=

Z

x−1+

1 2 3 − + dx x x+1 x2

1 x2 − x − − 2 ln | x | + 3 ln | x + 1| + C 2 x

Zintegrujeme pomocı´ vzrocu˚. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Bx + C A x + = x − 2 x2 + 2x + 4 ( x − 2)( x2 + 2x + 4) x = A( x 2 + 2x + 4) + ( Bx + C )( x − 2) Vypocˇteˇte I3 =

x=2

Z

2 = 12A,

A=

1 6

x = Ax 2 + 2Ax + 4A + Bx 2 − 2Bx + Cx − 2C 0 = A + B, 1 = 2A − 2B + C, 0 = 4A − 2C 1 1 B=− ,C= 6 3 Z Z − 1 x + 13 1 1 1 x−2 1 + 2 6 I3 = dx = ln | x − 2| − dx 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 dx = ln | x − 2| − 6 6Z x2 + 2x + 4 1 −3 1 1 2x + 2 = ln | x − 2| − + 2 dx 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 1 x+1 1 1 = ln( x − 2)2 − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Bx + C A x + = x − 2 x2 + 2x + 4 ( x − 2)( x2 + 2x + 4) x = A( x 2 + 2x + 4) + ( Bx + C )( x − 2) Vypocˇteˇte I3 =

x=2

Z

2 = 12A,

A=

1 6

x = Ax 2 + 2Ax + 4A + Bx 2 − 2Bx + Cx − 2C 0 = A + B, 1 = 2A − 2B + C, 0 = 4A − 2C 1 1 B=− ,C= 6 3 Z Z − 1 x + 13 1 1 1 x−2 1 + 2 6 I3 = dx = ln | x − 2| − dx 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 dx = ln | x − 2| − 6 6Z x2 + 2x + 4 1 −3 1 1 2x + 2 = ln | x − 2| − + 2 dx 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 1 x+1 1 1 = ln( x − 2)2 − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Bx + C A x + = x − 2 x2 + 2x + 4 ( x − 2)( x2 + 2x + 4) x = A( x 2 + 2x + 4) + ( Bx + C )( x − 2) Vypocˇteˇte I3 =

x=2

Z

2 = 12A,

A=

1 6

x = Ax 2 + 2Ax + 4A + Bx 2 − 2Bx + Cx − 2C 0 = A + B, 1 = 2A − 2B + C, 0 = 4A − 2C 1 1 B=− ,C= 6 3 Z Z − 1 x + 13 1 1 1 x−2 1 + 2 6 I3 = dx = ln | x − 2| − dx 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 dx = ln | x − 2| − 6 6Z x2 + 2x + 4 1 −3 1 1 2x + 2 = ln | x − 2| − + 2 dx 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 1´ sobı´me spolec x+1 1 m jmenovatelem. 1 Vyna = ln( x − 2)2 − ˇ ny´ln | x2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Bx + C A x + = x − 2 x2 + 2x + 4 ( x − 2)( x2 + 2x + 4) x = A( x 2 + 2x + 4) + ( Bx + C )( x − 2) Vypocˇteˇte I3 =

x=2

Z

2 = 12A,

A=

1 6

x = Ax 2 + 2Ax + 4A + Bx 2 − 2Bx + Cx − 2C 0 = A + B, 1 = 2A − 2B + C, 0 = 4A − 2C 1 1 B=− ,C= 6 3 Z Z − 1 x + 13 1 1 1 x−2 1 + 2 6 I3 = dx = ln | x − 2| − dx 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 dx = ln | x − 2| − 6 6Z x2 + 2x + 4 1 −3 1 1 2x + 2 = ln | x − 2| − + 2 dx 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 1 x+1 1 1 Dosadı ´me x 2=)22− = ln (x − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Bx + C A x + = x − 2 x2 + 2x + 4 ( x − 2)( x2 + 2x + 4) x = A( x 2 + 2x + 4) + ( Bx + C )( x − 2) Vypocˇteˇte I3 =

x=2

Z

2 = 12A,

A=

1 6

x = Ax 2 + 2Ax + 4A + Bx 2 − 2Bx + Cx − 2C 0 = A + B, 1 = 2A − 2B + C, 0 = 4A − 2C 1 1 B=− ,C= 6 3 Z Z − 1 x + 13 1 1 1 x−2 1 + 2 6 I3 = dx = ln | x − 2| − dx 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 dx = ln | x − 2| − 6 6Z x2 + 2x + 4 1 −3 1 1 2x + 2 = ln | x − 2| − + 2 dx 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 1 x+1 1 1 2 Rozna´ln sobı me. = ( x´− 2)Hleda − ´ me ln |Bx 2a+C.2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Bx + C A x + = x − 2 x2 + 2x + 4 ( x − 2)( x2 + 2x + 4) x = A( x 2 + 2x + 4) + ( Bx + C )( x − 2) Vypocˇteˇte I3 =

x=2

Z

2 = 12A,

A=

1 6

x = Ax 2 + 2Ax + 4A + Bx 2 − 2Bx + Cx − 2C 0 = A + B, 1 = 2A − 2B + C, 0 = 4A − 2C 1 1 B=− ,C= 6 3 Z Z − 1 x + 13 1 1 1 x−2 1 + 2 6 I3 = dx = ln | x − 2| − dx 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 dx = ln | x − 2| − 6 6Z x2 + 2x + 4 1 −3 1 1 2x + 2 = ln | x − 2| − + 2 dx 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 ´ nı´m koeficientu 12 ˚ u odpovı´dajı´cı´6ch si(mocnin x + 1)2 + 3 ˇ ´ıme rovnice pro Porovna obdrz 1 x+1 1 1 koeficienty = ln( x −B2a)2C. − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Bx + C A x + = x − 2 x2 + 2x + 4 ( x − 2)( x2 + 2x + 4) x = A( x 2 + 2x + 4) + ( Bx + C )( x − 2) Vypocˇteˇte I3 =

x=2

Z

2 = 12A,

A=

1 6

x = Ax 2 + 2Ax + 4A + Bx 2 − 2Bx + Cx − 2C 0 = A + B, 1 = 2A − 2B + C, 0 = 4A − 2C 1 1 B=− ,C= 6 3 Z Z − 1 x + 13 1 x−2 1 1 1 + 2 6 dx = ln | x − 2| − dx I3 = 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 dx = ln | x − 2| − 6 6Z x2 + 2x + 4 1 −3 1 1 2x + 2 = ln | x − 2| − + 2 dx 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 x+1 1 1 2 Vyrˇ1esˇ´ıln me = ( x tyto − 2)rovnice. − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Bx + C A x + = x − 2 x2 + 2x + 4 ( x − 2)( x2 + 2x + 4) x = A( x 2 + 2x + 4) + ( Bx + C )( x − 2) Vypocˇteˇte I3 =

x=2

Z

2 = 12A,

A=

1 6

x = Ax 2 + 2Ax + 4A + Bx 2 − 2Bx + Cx − 2C 0 = A + B, 1 = 2A − 2B + C, 0 = 4A − 2C 1 1 B=− ,C= 6 3 Z Z − 1 x + 13 1 x−2 1 1 1 + 2 6 dx = ln | x − 2| − dx I3 = 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 dx = ln | x − 2| − 6 6Z x2 + 2x + 4 1 −3 1 1 2x + 2 = ln | x − 2| − + 2 dx 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 1 ´me hodnoty x+1 1 1 Dosadı ˚ do = ln( x − 2)2 − koeficientu ln | x 2 + 2x + rozkladu. 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Z Z − 1 x + 13 x−2 1 1 1 1 + 2 6 dx = ln | x − 2| − dx I3 = 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 = ln | x − 2| − dx 6 6Z x2 + 2x + 4 1 1 2x + 2 −3 1 + 2 dx = ln | x − 2| − 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 x+1 1 1 1 = ln( x − 2)2 − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 Vypocˇteˇte I3 =

Z

Prvnı´ cˇlen integrujeme pomocı´ vzorce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Z Z − 1 x + 13 x−2 1 1 1 1 + 2 6 dx = ln | x − 2| − dx I3 = 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 = ln | x − 2| − dx 6 6Z x2 + 2x + 4 1 1 2x + 2 −3 1 + 2 dx = ln | x − 2| − 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 x+1 1 1 1 = ln( x − 2)2 − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 Vypocˇteˇte I3 =

Z

• Ve druhe´m zlomku “zasˇifrujeme” do cˇitatele derivaci jmenovatele. • K tomu mu˚zˇeme pouzˇ´ıt multiplikativnı´ a aditivnı´ konstanty. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Z Z − 1 x + 13 x−2 1 1 1 1 + 2 6 dx = ln | x − 2| − dx I3 = 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 = ln | x − 2| − dx 6 6Z x2 + 2x + 4 1 1 2x + 2 −3 1 + 2 dx = ln | x − 2| − 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 x+1 1 1 1 = ln( x − 2)2 − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 Vypocˇteˇte I3 =

Z

Rozdeˇlı´me zlomek. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Z Z − 1 x + 13 x−2 1 1 1 1 + 2 6 dx = ln | x − 2| − dx I3 = 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 = ln | x − 2| − dx 6 6Z x2 + 2x + 4 1 1 2x + 2 −3 1 + 2 dx = ln | x − 2| − 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 x+1 1 1 1 = ln( x − 2)2 − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 Vypocˇteˇte I3 =

Z

• Prvnı´ zlomek ma´ v cˇitateli derivaci jmenovatele. • V druhe´m zlomku doplnı´me jmenovatel na cˇtverec. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

x dx. x3 − 8 Z Z − 1 x + 13 x−2 1 1 1 1 + 2 6 dx = ln | x − 2| − dx I3 = 2 6 x − 2 x + 2x + 4 6 6 x + 2x + 4 Z 1 1 1 2 (2x + 2) − 1 − 2 = ln | x − 2| − dx 6 6Z x2 + 2x + 4 1 1 2x + 2 −3 1 + 2 dx = ln | x − 2| − 2 6 6 2 x + 2x + 4 ( x Z+ 2x + 1) + 3 2 1 3 1 = ln | x − 2| − ln | x 2 + 2x + 4| + dx 12 12 6 ( x + 1)2 + 3 x+1 1 1 1 = ln( x − 2)2 − ln | x 2 + 2x + 4| + √ arctg √ + C 12 12 2 3 3 Vypocˇteˇte I3 =

Z

Dokoncˇ´ıme integraci pouzˇitı´m vzorce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

4

Integrace per-parte´s

Veˇta 8. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí Z

u( x )v ′ ( x ) dx = u( x )v( x ) −

Z

u′ ( x )v( x ) dx,

(2)

pokud integrál na pravé straně existuje.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Veˇta 8. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí Z

u( x )v ′ ( x ) dx = u( x )v( x ) −

Z

u′ ( x )v( x ) dx,

(3)

pokud integrál na pravé straně existuje. Du˚kaz:

(uv)′ = u′ v + uv′ Z

uv −

(uv)′ dx =

Z

uv =

Z

u′ v dx +

u′ v dx =

Z

uv′ dx

Z

derivace soucˇinu

u′ v dx +

Z

uv′ dx

zintegrova´nı´ a linearita integra´lu

Z

uv′ dx

integra´l odstranı´ derivaci algebraicka´ u´prava

Integra´ly typicke´ pro vy´pocˇet metodou per-parte´s. P( x ) je polynom. Z

P( x )eαx dx, Z

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

P( x ) sin(αx ) dx,

P( x )arctg x dx,

Z

Z

P( x ) cos(αx ) dx,

P( x )lnm x dx. c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

( x + 1) · ln x dx u = ln x

Z

u′ =

1 x

( x + 1) ln x dx = x2 +x 2   Z   2 1 x2 x +x − + x dx = ln x 2 x 2    2 Z  1 x + x ln x − x + 1 dx = 2 2  2    x 1 x2 = + x ln x − · +x 2 2 2   2 1 x + x ln x − x2 − x + C = 2 4 v′ = x + 1

v=

Funkce je soucˇinem polynomu a logaritmicke´ funkce → per-parte´s. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

( x + 1) · ln x dx u = ln x

Z

u′ =

1 x

( x + 1) ln x dx =

x2 +x 2   Z   2 1 x2 x +x − + x dx = ln x 2 x 2    2 Z  1 x + x ln x − x + 1 dx = 2 2  2    x 1 x2 = + x ln x − · +x Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce 2 2 2   Z Z 1 2 x2 ′ + x ln −x+C = u · v dx2= u · v − x − u′ 4· vx dx v′ = x + 1

v=

prˇi u = ln x a v ′ = x + 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

( x + 1) · ln x dx u = ln x

Z

u′ =

1 x

( x + 1) ln x dx =

x2 +x 2   Z   2 1 x2 x +x − + x dx = ln x 2 x 2    2 Z  1 x + x ln x − x + 1 dx = 2 2  2    x 1 x2 = + x ln x − · +x Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce 2 2 2   Z Z 1 2 x2 ′ + x ln −x+C = u · v dx2= u · v − x − u′ 4· vx dx v′ = x + 1

v=

prˇi u = ln x a v ′ = x + 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

( x + 1) · ln x dx u = ln x

Z

u′ =

1 x

( x + 1) ln x dx =

x2 +x 2   Z   2 1 x2 x +x − + x dx = ln x 2 x 2    2 Z  1 x + x ln x − x + 1 dx = 2 2  2    x 1 x2 = + x ln x − · +x Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce 2 2 2   Z Z 1 2 x2 ′ + x ln −x+C = u · v dx2= u · v − x − u′ 4· vx dx v′ = x + 1

v=

prˇi u = ln x a v ′ = x + 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

( x + 1) · ln x dx u = ln x

Z

u′ =

1 x

( x + 1) ln x dx = x2 +x 2   Z   2 1 x2 x +x − + x dx = ln x 2 x 2    2 Z  x 1 + x ln x − x + 1 dx = 2 2  2    x 1 x2 = + x ln x − · +x 2 2 2   2 1 x + x ln x − x2 − x + C = 2 4 v′ = x + 1

v=

Rozna´sobı´me za´vorku. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

( x + 1) · ln x dx u = ln x

Z

u′ =

1 x

( x + 1) ln x dx = x2 +x 2   Z   2 1 x2 x +x − + x dx = ln x 2 x 2    2 Z  x 1 + x ln x − x + 1 dx = 2 2  2    x 1 x2 = + x ln x − · +x 2 2 2   2 1 x + x ln x − x2 − x + C = 2 4 v′ = x + 1

v=

Dokoncˇ´ıme integraci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

( x + 1) · ln x dx u = ln x

Z

u′ =

1 x

( x + 1) ln x dx = x2 +x 2   Z   2 1 x2 x +x − + x dx = ln x 2 x 2    2 Z  1 x + x ln x − x + 1 dx = 2 2  2    x 1 x2 = + x ln x − · +x 2 2 2   2 1 x + x ln x − x2 − x + C = 2 4 v′ = x + 1

v=

Upravı´me a prˇida´me integracˇnı´ konstantu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x sin x dx

Z

u=x x · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 1 v = − cos x

= − x cos x −

Z

1 · (− cos x ) dx

= − x cos x +

Z

cos x dx

= − x cos x + sin x + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x sin x dx

Z

u=x x · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 1 v = − cos x

= − x cos x −

Z

1 · (− cos x ) dx

= − x cos x +

Z

cos x dx

= − x cos x + sin x + C

Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce Z

′

u · v dx = u · v −

Z

u′ · v dx

prˇi u = x a v ′ = sin x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x sin x dx

Z

u=x x · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 1 v = − cos x

= − x cos x −

Z

1 · (− cos x ) dx

= − x cos x +

Z

cos x dx

= − x cos x + sin x + C

Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce Z

′

u · v dx = u · v −

Z

u′ · v dx

prˇi u = x a v ′ = sin x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x sin x dx

Z

u=x x · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 1 v = − cos x

= − x cos x −

Z

1 · (− cos x ) dx

= − x cos x +

Z

cos x dx

= − x cos x + sin x + C

Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce Z

′

u · v dx = u · v −

Z

u′ · v dx

prˇi u = x a v ′ = sin x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x sin x dx

Z

u=x x · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 1 v = − cos x

= − x cos x −

Z

1 · (− cos x ) dx

= − x cos x +

Z

cos x dx

= − x cos x + sin x + C

Upravı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x sin x dx

Z

u=x x · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 1 v = − cos x

= − x cos x −

Z

1 · (− cos x ) dx

= − x cos x +

Z

cos x dx

= − x cos x + sin x + C

• Integruje druhou cˇa´st:

Z

cos x dx = sin x

• Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x − 2) · sin(2x ) dx u = x−2

u′ = 1

( x − 2)sin(2x ) dx =

1 v′ = sin(2x ) v = − cos 2x 2  Z    1 1 = ( x − 2) · − cos(2x ) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + cos 2x dx 2 2 1 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + · sin(2x ) + C 2 2 2 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + sin(2x ) + C 2 4

Funkce je soucˇinem polynomu a sinu → per-parte´s. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x − 2) · sin(2x ) dx u = x−2

u′ = 1

( x − 2)sin(2x ) dx =

1 v′ = sin(2x ) v = − cos 2x 2  Z    1 1 = ( x − 2) · − cos(2x ) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + cos 2x dx 2 2 1 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + · sin(2x ) + C 2 2 2 1 1 − 2) cos(2x ) + sin(2x ) + C = − (´xvzorce Integrujeme per-parte´s pomocı 2 4 Z

′

u · v dx = u · v −

Z

u′ · v dx

prˇi u = x − 2 a v ′ = sin(2x ). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x − 2)sin(2x ) dx =

1 v′ = sin(2x ) v = − cos 2x 2  Z    1 1 = ( x − 2) · − cos(2x ) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + cos 2x dx 2 2 1 1 1 Z = − 2 ( x −Z2) cos(2x ) + 2 · 2 sin(2x ) + C 1 v = v′ ( x ) dx 1 − 2 cos(2x ), 1 = sin(2x ) dx = = − ( x − 2) cos(2x ) + sin(2x ) + C 2 4

protozˇe Z ⊳

u′ = 1

u = x−2

Platı´

⊳⊳

( x − 2) · sin(2x ) dx

⊲

⊲⊲

sin x dx = − cos x

a

Z

f ( ax + b) =

1 F ( ax + b). a c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x − 2) · sin(2x ) dx u = x−2

( x − 2)sin(2x ) dx =

1 v′ = sin(2x ) v = − cos 2x 2  Z    1 1 = ( x − 2) · − cos(2x ) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + cos 2x dx 2 2 1 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + · sin(2x ) + C 2 2 2 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + sin(2x ) + C 2 4

Z ⊳⊳

⊳

u′ = 1

⊲

⊲⊲

′

u · v dx = u · v −

Z

u′ · v dx c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x − 2) · sin(2x ) dx u = x−2

( x − 2)sin(2x ) dx =

1 v′ = sin(2x ) v = − cos 2x 2  Z    1 1 = ( x − 2) · − cos(2x ) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + cos 2x dx 2 2 1 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + · sin(2x ) + C 2 2 2 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + sin(2x ) + C 2 4

Vytkneme konstantu ⊳⊳

⊳

u′ = 1

⊲

⊲⊲



1 − 2



z integra´lu. c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x − 2) · sin(2x ) dx u′ = 1

u = x−2

( x − 2)sin(2x ) dx =

1 v′ = sin(2x ) v = − cos 2x 2  Z    1 1 = ( x − 2) · − cos(2x ) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + cos 2x dx 2 2 1 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + · sin(2x ) + C 2 2 2 1 1 Z 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + sin(2x ) + C 2 ), protozˇe 4 Platı´ cos(2x ) dx = sin(2x 2 Z ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

cos x dx = sin x

a

Z

f ( ax + b) =

1 F ( ax + b). a c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x − 2) · sin(2x ) dx u = x−2

u′ = 1

( x − 2)sin(2x ) dx =

1 v′ = sin(2x ) v = − cos 2x 2  Z    1 1 = ( x − 2) · − cos(2x ) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + cos 2x dx 2 2 1 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + · sin(2x ) + C 2 2 2 1 1 = − ( x − 2) cos(2x ) + sin(2x ) + C 2 4

Upravı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x

v = sin x Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x )

= (1 − x2 ) cos x + 2x sin x + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x v = sin x • Funkce je soucˇinem polynomu a funkce sinus. Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx • Budeme integrovat per-parte´s podle vzorce   Z= −( x 2 + 1) cos x +Z2 x sin x − (− cos x ) u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx = (1 − x2 ) cos x + 2x sin x + C prˇi volbeˇ u = ( x 2 + 1) a v ′ = sin x.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x

v = sin x Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x ) ( x2 + 1)′ = 2x =Z(1 − x2 ) cos x + 2x sin x + C sin x dx = − cos x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x

Z

v = sin x Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x )

−= x 2 )ucos x + 2x x+C u= · v(′ 1dx ·v− u′ sin · v dx Z

Konstantnı´ na´sobek 2 a zname´nko minus da´me prˇed integra´l. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x

v = sin x Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x )

= (1 − x2 ) cos x + 2x sin x + C

Jesˇteˇ jednou integrujeme per-parte´s. Nynı´ u = x a v ′ = cos x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x

v = sin x Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x ) x′ = 1 = Z(1 − x2 ) cos x + 2x sin x + C cos x dx = sin x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x

v = sin x Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x )

Z ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z 2x sin x + C = (1 − x2 ) cos x + ′ u · v dx = u · v − u′ · v dx

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x

v = sin x Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x ) Integrujeme sinus: ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

= (1 − x2 ) cos x + 2x sin x + C sin x dx = − cos x

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

( x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1

2

( x + 1) · sin x dx

v′ = sin x

u′ = 2x v = − cos x

= −( x2 + 1) cos x + 2 u=x

Z

x · cos x dx

u′ = 1

v′ = cos x

v = sin x Z   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx   = −( x2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x )

= (1 − x2 ) cos x + 2x sin x + C Upravı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

Z

( x2 + 1)e− x dx.

( x + 1)·e

−x

u′ = 2x

u = x2 + 1 dx v ′ = e− x

2

= −( x + 1)e

−x

v = −e− x

+2

Z

u=x xe

−x

u′ = 1

dx v ′ = e− x

v = −e− x

Z   = −( x2 + 1)e− x + 2 − xe− x + e− x dx

= −( x2 + 1)e− x + 2(− xe− x − e− x ) = −e− x ( x2 + 2x + 3) + C,

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

Z

( x2 + 1)e− x dx.

( x + 1)·e

−x

u′ = 2x

u = x2 + 1 dx v ′ = e− x

2

= −( x + 1)e

−x

v = −e− x

+2

Z

u=x xe

−x

u′ = 1

dx v ′ = e− x

v = −e− x

Z   = −( x2 + 1)e− x + 2 − xe− x + e− x dx

= −( x2 + 1)e− x + 2(− xe− x − e− x ) = −e− x ( x2 + 2x + 3) + C, Integruje soucˇin polynomu a exponencia´lnı´ funkce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

Z

( x2 + 1)e− x dx.

( x + 1)·e

−x

u′ = 2x

u = x2 + 1 dx v ′ = e− x

2

= −( x + 1)e

−x

v = −e− x

+2

Z

u=x xe

−x

u′ = 1

dx v ′ = e− x

v = −e− x

Z   • Integrujeme s.x + 2 − xe− x + e− x dx = −(per-parte x 2 + 1)e´−

• Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat. = −( x2 + 1)e− x + 2(− xe− x − e− x ) = −e− x ( x2 + 2x + 3) + C, • Nezapomenˇme, zˇe ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

e− x dx = −e− x . c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

Z

( x2 + 1)e− x dx.

( x + 1)·e

−x

u′ = 2x

u = x2 + 1 dx v ′ = e− x

2

= −( x + 1)e

−x

v = −e− x

+2

Z

u=x xe

−x

u′ = 1

dx v ′ = e− x

v = −e− x

Z   = −( x2 + 1)e− x + 2 − xe− x + e− x dx

Vzorec je

= −( x2 + 1)e− x + 2(− xe− x − e− x ) = −e− x ( x2 + 2x + 3) + C, Z

′

u · v dx = u · v −

Z

u′ · v dx

. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

Z

( x2 + 1)e− x dx.

( x + 1)·e

−x

u′ = 2x

u = x2 + 1 dx v ′ = e− x

2

= −( x + 1)e

−x

v = −e− x

+2

Z

u=x xe

−x

u′ = 1

dx v ′ = e− x

v = −e− x

Z   = −( x2 + 1)e− x + 2 − xe− x + e− x dx

= −( x2 + 1)e− x + 2(− xe− x − e− x ) = −e− x ( x2 + 2x + 3) + C, • Opeˇt polynom kra´t exponencia´lnı´ funkce. • Opeˇt integrujeme per-parte´s. Opeˇt derivujeme polynom. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

Z

( x2 + 1)e− x dx.

( x + 1)·e

−x

u′ = 2x

u = x2 + 1 dx v ′ = e− x

2

= −( x + 1)e

−x

v = −e− x

+2

Z

u=x xe

−x

u′ = 1

dx v ′ = e− x

v = −e− x

Z   = −( x2 + 1)e− x + 2 − xe− x + e− x dx

= −( x2 + 1)e− x + 2(− xe− x − e− x ) = −e− x ( x2 + 2x + 3) + C, Vzorec pro cˇervenou cˇa´st je ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

uv′ dx = uv −

Z

u′ v dx, zbytek zu˚stane. c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

Z

( x2 + 1)e− x dx.

( x + 1)·e

−x

u′ = 2x

u = x2 + 1 dx v ′ = e− x

2

= −( x + 1)e

−x

v = −e− x

+2

Z

u=x xe

−x

u′ = 1

dx v ′ = e− x

v = −e− x

Z   = −( x2 + 1)e− x + 2 − xe− x + e− x dx

= −( x2 + 1)e− x + 2(− xe− x − e− x ) = −e− x ( x2 + 2x + 3) + C, Z ⊳⊳

e− x dx = −e− x ⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

Z

( x2 + 1)e− x dx.

( x + 1)·e

−x

u′ = 2x

u = x2 + 1 dx v ′ = e− x

2

= −( x + 1)e

−x

v = −e− x

+2

Z

u=x xe

−x

u′ = 1

dx v ′ = e− x

v = −e− x

Z   = −( x2 + 1)e− x + 2 − xe− x + e− x dx

= −( x2 + 1)e− x + 2(− xe− x − e− x ) = −e− x ( x2 + 2x + 3) + C, Vytkneme (−e− x ). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

=

x arctg x dx v′ = x

⊳⊳

⊳

1 1 + x2

⊲

⊲⊲

v=

x2 1 arctg x − 2 2

x2 dx 1 + x2

x2 2

=

1 x2 arctg x − 2 2

=

 1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2

Z

Z

1−

1 dx 1 + x2

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

1 1 + x2

=

x arctg x dx v′ = x

v=

x2 1 arctg x − 2 2

x2 dx 1 + x2

x2 2

=

1 x2 arctg x − 2 2

=

 1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2

Z

Z

1−

1 dx 1 + x2

Jedna´ se o soucˇin polynomu a funkce arkustangens. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

1 1 + x2

=

x arctg x dx v′ = x

v=

x2 1 arctg x − 2 2

x2 dx 1 + x2

x2 2

=

1 x2 arctg x − 2 2

=

 1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2

Z

Z

1−

1 dx 1 + x2

Budeme integrovat metodou per-parte´s. Budeme integrovat polynom a derivovat arkustangens. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

=

x arctg x dx v′ = x

Z ⊳⊳

⊲

⊲⊲

v=

x2 1 arctg x − 2 2

x2 1 arctg x − 2 2

=

 1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2

Z

Z

Z

x2 dx 1 + x2

x2 2

=

uv′ dx = uv − ⊳

1 1 + x2

1−

1 dx 1 + x2

u′ v dx c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

1 1 + x2

=

x arctg x dx v′ = x

=

x2 1 arctg x − 2 2

v= Z

x2 1 arctg x − 2 2

Z

x2 dx 1 + x2

x2 2

1−

1 dx 1 + x2

 1 x2 Musı´me integrovat ´ nenı x −ktera arctg x ´+ryze C. lomena´. Provedeme arctg´ lnı x ´−funkci, = raciona 2 2 deˇlenı´:

( x 2 + 1) − 1 x2 + 1 1 1 x2 = = − = 1− 2 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x +1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

1 1 + x2

=

x arctg x dx v′ = x

v=

x2 1 arctg x − 2 2

x2 dx 1 + x2

x2 2

=

1 x2 arctg x − 2 2

=

 1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2

Z

Z

1−

1 dx 1 + x2

K dokoncˇenı´ zby´va´ integrovat jednicˇku a jeden parcia´lnı´ zlomek. To provedeme pomocı´ prˇ´ıslusˇny´ch vzorcu˚. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

= x ln x −

Z

1 dx

v=x

= x ln x − x = x (ln x − 1) + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

= x ln x −

Z

1 dx

v=x

= x ln x − x = x (ln x − 1) + C

Ve funkci je “zasˇifrovany´” soucˇin polynomu a logaritmicke´ funkce: Z

1 · ln x dx.

Integrujeme per-parte´s prˇi volbeˇ u = ln x a v ′ = 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

ln x dx

Z

u = ln x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1

1 x

= x ln x −

Z

1 dx

v=x

= x ln x − x = x (ln x − 1) + C

(ln x )′ = Z ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 x

1 dx = x c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

ln x dx

Z

u = ln x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1

1 x

= x ln x −

Z

1 dx

v=x

= x ln x − x = x (ln x − 1) + C

Z

Uzˇijeme vztah ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

u · v ′ dx = u · v −

Z

u′ · v dx

1 x = 1. x c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

= x ln x −

Z

1 dx

v=x

= x ln x − x = x (ln x − 1) + C

Z ⊳⊳

1 dx = x ⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

= x ln x −

Z

1 dx

v=x

= x ln x − x = x (ln x − 1) + C

Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x 2

= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x • Je zde “zasˇifrova´n” soucˇin polynomu a druhe´ mocniny logaritmu. = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C • Upravı´me funkci ln2 x na soucˇin (1) · (ln2 x ) a integrujeme per-parte´s prˇi volbeˇ u = ln2 x a v ′ = 1 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x 1 (ln2 x )′ = 2 ln x (ln x )′ = 2 ln x = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C x Z 2

1 dx = x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x 2

= Zx ln2 x − 2x ln x + 2xZ+ C u · v ′ dx = u · v −

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

u′ · v dx c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x 2

= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C

Tento trik jizˇ zna´me: Napı´sˇeme funkci ln x jako soucˇin (1) · ln x a integrujeme per-parte´s prˇi volbeˇ u = ln x a v ′ = 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x 1 (ln x )′ = = x ln2 x − 2x ln x + 2x x +C Z 2

1 dx = x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x 2

= Zx ln2 x − 2x ln x + 2xZ+ C u · v ′ dx = u · v −

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

u′ · v dx c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x 2

= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C Dopocˇ´ıta´me integra´l z jednicˇky. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

ln2 x dx

1 · ln2 x dx

u = ln2 x v′ = 1 u = ln x

u′ =

2 ln x x

= x ln2 x − 2

Z

ln x dx

v=x u′ =

1 x

v′ = 1

v=x Z   = x ln x − 2 x ln x − 1 dx   = x ln2 x − 2 x ln x − x 2

= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C Upravı´me. Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

Z

x3 sin x dx. u = x3

3x 2

6x

6

0

v′ = sin x

− cos x

− sin x

cos x

sin x

x3 sin x dx =

= − x3 cos x − (−3x2 sin x ) + 6x cos x − 6 sin x

= (− x3 + 6x ) cos( x ) + (3x2 − 6) sin x + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x3 sin x dx. derivace

u = x3 Z

x3 sin x dx =

integrace

v′

derivace

3x 2

= sin x

derivace

6x integrace

− cos x

derivace

6 integrace

− sin x

0 integrace

cos x

sin x

= − x3 cos x − (−3x2 sin x ) + 6x cos x − 6 sin x

= (− x3 + 6x ) cos( x ) + (3x2 − 6) sin x + C

• Trˇikra´t integrujeme per-parte´s, ale vsˇechno zapı´sˇeme do jednoho schematu. ˇ luta´ sˇipka reprezentuje derivova´nı´. Derivujeme azˇ na nulu. • Z • Cˇervena´ sˇipka reprezentuje integrova´nı´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

x3 sin x dx. u = x3

Z

x3 sin x dx = v′ = sin x

so ucˇ in

3x 2

− cos x

so ucˇ in

6x

− sin x

so ucˇ in

6

cos x

so ucˇ in

0

sin x

= − x3 cos x − (−3x2 sin x ) + 6x cos x − 6 sin x = (− x3 + 6x ) cos( x ) + (3x2 − 6) sin x + C

Na´sobı´me ve smeˇru sˇipek. Soucˇinu˚m ve smeˇru zˇluty´ch sˇipek zname´nko ponecha´me, soucˇinu˚m ve smeˇru cˇerveny´ch sˇipek zname´nko zmeˇnı´me a vsˇechny soucˇiny secˇteme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte

Z

Z

x3 sin x dx. u = x3

3x 2

6x

6

0

v′ = sin x

− cos x

− sin x

cos x

sin x

x3 sin x dx =

= − x3 cos x − (−3x2 sin x ) + 6x cos x − 6 sin x = (− x3 + 6x ) cos( x ) + (3x2 − 6) sin x + C

Upravı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte Z

Z

( x3 + 2)e− x dx.

( x3 + 2x )e− x dx u = x 3 + 2x

3x 2 + 2

6x

6

0

v ′ = e− x

−e− x

e− x

−e− x

e− x

=

= −( x3 + 2x )e− x − (3x2 + 2)e− x + (−6xe− x ) − 6e− x = −e− x ( x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6) = −e− x ( x3 + 3x2 + 8x + 8)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte Z

Z

( x3 + 2)e− x dx.

( x3 + 2x )e− x dx derivace

u = x 3 + 2x

=

derivace

3x 2 + 2

integrace

v′

=

e− x

derivace

6x

derivace

6

0

integrace

−e− x

integrace integrace − x − x e −e e− x

= −( x + 2x )e− x − (3x2 + 2)e− x + (−6xe− x ) − 6e− x 3

= −e− x ( x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)

e−´ tx (integrujeme x3 + 3x 2 + 8x + 8) ´ s, ale vsˇechno zapı´sˇeme do jednoho sche•= Trˇ− ikra per-parte matu. ˇ luta´ sˇipka reprezentuje derivova´nı´. Derivujeme azˇ na nulu. • Z • Cˇervena´ sˇipka reprezentuje integrova´nı´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte Z

Z

( x3 + 2)e− x dx.

( x3 + 2x )e− x dx u = x 3 + 2x

= v ′ = e− x

so ucˇ in

3x 2 + 2

−e− x

so ucˇ in

6x

e− x

so ucˇ in

6

−e− x

so ucˇ in

0

e− x

= −( x3 + 2x )e− x − (3x2 + 2)e− x + (−6xe− x ) − 6e− x = −e− x ( x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6) = −e− x ( x3 + 3x2 + 8x + 8)

Na´sobı´me ve smeˇru sˇipek. Soucˇinu˚m ve smeˇru zˇluty´ch sˇipek zname´nko ponecha´me, soucˇinu˚m ve smeˇru cˇerveny´ch sˇipek zname´nko zmeˇnı´me a vsˇechny soucˇiny secˇteme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Najdeˇte Z

Z

( x3 + 2)e− x dx.

( x3 + 2x )e− x dx u = x 3 + 2x

3x 2 + 2

6x

6

0

v ′ = e− x

−e− x

e− x

−e− x

e− x

=

= −( x3 + 2x )e− x − (3x2 + 2)e− x + (−6xe− x ) − 6e− x = −e− x ( x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6) = −e− x ( x3 + 3x2 + 8x + 8)

Upravı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

5

Integrace pomocı´ substituce.

Veˇta 9. Nechť f (t) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce φ( x ) má derivaci na intervalu J a platí φ( J ) = I. Potom na intervalu J platí Z

′

f (φ( x ))φ ( x ) dx =

Z

f (t) dt,

(4)

dosadíme-li napravo t = φ( x ). Schematicky: φ( x ) = t

φ′ ( x ) dx = dt

Veˇta 10. Nechť f ( x ) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce φ(t) má nenulovou derivaci na intervalu J a platí φ( J ) = I. Potom na intervalu I platí Z

f ( x) dx =

Z

f (φ(t))φ′ (t) dt,

(5)

dosadíme-li napravo t = φ−1 ( x ), kde φ−1 ( x ) je funkce inverzní k funkci φ( x ). Schematicky: x = φ(t) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

dx = φ′ (t) dt c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

sin(ln x ) dx x

sin(ln x ) dx = x

Z

1 sin(ln x ) dx x

ln x = t 1 dx = dt x

=

Z

sin t dt

= − cos t = − cos(ln x ) + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

sin(ln x ) dx x

sin(ln x ) dx = x

Z

1 sin(ln x ) dx x

ln x = t 1 dx = dt x

=

Z

sin t dt

= − cos t = − cos(ln x ) + C

• Vnitrˇnı´ slozˇka je ln x. • Derivace funkce ln x je • Tato derivace, ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 . x

1 , je v soucˇinu s integrovanou funkcı´. x c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

sin(ln x ) dx x

sin(ln x ) dx = x

Z

1 sin(ln x ) dx x

ln x = t 1 dx = dt x

=

Z

sin t dt

= − cos t = − cos(ln x ) + C

Zavedeme substituci ln x = t. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

sin(ln x ) dx x

sin(ln x ) dx = x

Z

1 sin(ln x ) dx x

ln x = t 1 dx = dt x

=

Z

sin t dt

= − cos t = − cos(ln x ) + C

Nalezneme vztah mezi dx a dt. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

sin(ln x ) dx x

sin(ln x ) dx = x

Z

1 sin(ln x ) dx x

ln x = t 1 dx = dt x

=

Z

sin t dt

= − cos t = − cos(ln x ) + C

Dosadı´me substituci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

sin(ln x ) dx x

sin(ln x ) dx = x

Z

1 sin(ln x ) dx x

ln x = t 1 dx = dt x

=

Z

sin t dt

= − cos t = − cos(ln x ) + C

Integrujeme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

sin(ln x ) dx x

sin(ln x ) dx = x

Z

1 sin(ln x ) dx x

ln x = t 1 dx = dt x

=

Z

sin t dt

= − cos t = − cos(ln x ) + C

Pouzˇijeme substituci k na´vratu k promeˇnne´ x a prˇida´me integracˇnı´ konstantu. Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

xe1− x dx.

Z

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

xe

1− x 2

1 − x2 = t

dx

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1 − x 2

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

xe1− x dx.

Z

xe

1− x 2

1 − x2 = t

dx

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1 − x 2

2

Zkusı´me substituovat za vnitrˇnı´ slozˇku slozˇene´ funkce e1− x . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

xe1− x dx.

Z

xe

1− x 2

1 − x2 = t

dx

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1 − x 2

Hleda´me vztah mezi diferencia´ly. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

xe1− x dx.

Z

xe

1− x 2

1 − x2 = t

dx

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1 − x 2

Derivujeme obeˇ strany substituce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

xe1− x dx.

Z

xe

1− x 2

1 − x2 = t

dx

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1 − x 2

Vyja´drˇ´ıme odsud vy´raz x dx, ktery´ figuruje uvnitrˇ integra´lu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

xe1− x dx.

Z

xe

1− x 2

1 − x2 = t

dx

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1 − x 2

Dosadı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

xe1− x dx.

Z

xe

1− x 2

1 − x2 = t

dx

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1 − x 2

Vypocˇteˇte integra´l pomocı´ vzorce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

2

xe1− x dx.

Z

xe

1− x 2

1 − x2 = t

dx

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1 − x 2

Pouzˇijeme substituci pro na´vrat k pu˚vodnı´ promeˇnne´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x dx x4 + 16 x2 = t Z

2x dx = dt x dx 1 x4 + 16 x dx = dt 2 4 x = t2

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 = 2

Z

1 dt t2 + 16

t 1 x2 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x dx x4 + 16 x2 = t Z

2x dx = dt x dx 1 x4 + 16 x dx = dt 2 4 x = t2

=

1 = 2

Z

1 dt t2 + 16

t 1 x2 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4

• Substituce x 4 + 16 = t, nebo x 4 = t, nejsou u´plneˇ sˇikovne´, protozˇe vztah mezi diferencia´ly prˇi te´to substituci je 4x 3 dx = dt, avsˇak cˇlen x 3 dx nikde v integra´lu nenı´. • Cˇlen x dx napovı´da´, pouzˇ´ıt substituci x 2 = t. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x dx x4 + 16 x2 = t Z

2x dx = dt x dx 1 x4 + 16 x dx = dt 2 4 x = t2

=

1 = 2

Z

1 dt t2 + 16

t 1 x2 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4

Hleda´me vztah mezi diferencia´ly a vyja´drˇ´ıme z neˇj vy´raz x dx. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x dx x4 + 16 x2 = t Z

2x dx = dt x dx 1 x4 + 16 x dx = dt 2 4 x = t2

=

1 = 2

Z

1 dt t2 + 16

t 1 x2 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4

Substituce x 2 = t vede k relaci x 4 = ( x 2 )2 = t2 . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x dx x4 + 16 x2 = t Z

2x dx = dt x dx 1 x4 + 16 x dx = dt 2 4 x = t2

=

1 = 2

Z

1 dt t2 + 16

t 1 x2 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4

Dosadı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x dx x4 + 16 x2 = t Z

2x dx = dt x dx 1 x4 + 16 x dx = dt 2 4 x = t2

=

1 = 2

Z

1 dt t2 + 16

t x2 1 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4

Uzˇijeme vzorec Z

x2

1 1 x dx = arctg 2 A A +A

prˇi A = 4. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

x dx x4 + 16 x2 = t Z

2x dx = dt x dx 1 x4 + 16 x dx = dt 2 4 x = t2

=

1 = 2

Z

1 dt t2 + 16

t x2 1 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4

Uzˇijeme zpeˇtnou substituci t = x 2 . Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

√

e √

x +1

x+1

dx

√

x+1 = t 1 Z √ Z √ 1 dx = dt e x +1 √ dx = e x +1 √ dx 2 x + 1 x+1 x+1 1 √ dx = 2 dt x+1 √

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

x +1

+C

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

√

e √

x +1

x+1

dx

√

x+1 = t 1 Z √ Z √ 1 dx = dt e x +1 √ dx = e x +1 √ dx 2 x + 1 x+1 x+1 1 √ dx = 2 dt x+1 √

= Vnitrˇnı´ slozˇka je

√

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

x +1

+C

x + 1. Derivace te´to vnitrˇnı´ slozˇky je

√ 1 1 1 ( x + 1)′ = ( x + 1)−1/2 = · √ . 2 2 x+1 1 uvnitrˇ integra´lu (a v soucˇinu) napovı´da´, zˇe prove´st x+1 tuto substituci bude snadne´.

Vy´skyt te´to cˇlene √ ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

√

e √

x +1

x+1

dx

√

x+1 = t 1 Z √ Z √ dx = dt e x +1 1 √ dx = e x +1 √ dx 2 x + 1 x+1 x+1 1 √ dx = 2 dt x+1 √

=

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

x +1

+C

Pouzˇijeme navrzˇenou substituci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

√

e √

x +1

x+1

dx

√

x+1 = t 1 Z √ Z √ dx = dt e x +1 1 √ dx = e x +1 √ dx 2 x + 1 x+1 x+1 1 √ dx = 2 dt x+1 √

=

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

x +1

+C

Najdeme vztah mezi diferencia´ly dx a dt. Dosta´va´me 1 1 √ dx = dt 2 x+1 a tuto relaci vyna´sobı´me cˇ´ıslem 2. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

√

e √

x +1

x+1

dx

√

x+1 = t 1 Z √ Z √ dx = dt e x +1 1 √ dx = e x +1 √ dx 2 x + 1 x+1 x+1 1 √ dx = 2 dt x+1 √

=

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

x +1

+C

Dosadı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

√

e √

x +1

x+1

dx

√

x+1 = t 1 Z √ Z √ 1 dx = dt e x +1 √ dx = e x +1 √ dx 2 x + 1 x+1 x+1 1 √ dx = 2 dt x+1 √

=

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

x +1

+C

Zintegrujeme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

√

e √

x +1

x+1

dx

√

x+1 = t 1 Z √ Z √ 1 dx = dt e x +1 √ dx = e x +1 √ dx 2 x + 1 x+1 x+1 1 √ dx = 2 dt x+1 √

=

Uzˇijeme substituci t = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

x +1

+C

x + 1 k na´vratu k pu˚vodnı´ promeˇnne´. Hotovo. c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

• Rozepı´sˇeme funkci tg x pomocı´ funkcı´ sin x a cos x. • Licha´ mocnina je i v cˇitateli, i ve jmenovateli. Vybereme si tu v cˇitateli. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

“Vyta´hneme” jednu mocninu funkce sin x z cˇitatele. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Sudou mocninu prˇevedeme na funkci cos x. Uzˇijeme identitu sin2 x + cos2 x = 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Dosadı´me cos x = t. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Nalezneme vztah mezi diferencia´ly dx a dt. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Prˇepı´sˇeme vy´raz sin x dx do novy´ch promeˇnny´ch. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

3

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Dosadı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Upravı´me ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Obdrzˇena´ raciona´lnı´ funkce je ryze lomena´. Protozˇe je jmenovatel jednocˇlenny´, nemusı´me rozkla´dat na parcia´lnı´ zlomky, ale stacˇ´ı vydeˇlit cˇitatele vy´razem t3 . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Nynı´ integrujeme pomocı´ vzorcu˚. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

3

Z

tg3 x dx.

tg x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

cos x = t

− sin x dx = dt sin x dx = − dt

=

Z

−

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

1 − t2 dt = t3

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 +C = ln |t| + t−2 = ln | cos x | + 2 2 cos2 x

Po integraci provedeme na´vrat k pu˚vodnı´ promeˇnne´ a prˇida´me integracˇnı´ konstantu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

Licha´ mocnina je ve jmenovateli. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3

Z

Vyna´sobı´me a soucˇasneˇ vydeˇlı´me vy´razem sin x. Tı´m se funkce nezmeˇnı´ a licha´ mocnina je v cˇitateli. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3

Z

Prˇevedeme druhou mocninu funkce sin x na cos x. Pouzˇijeme vzorec sin2 x + cos2 x = 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

Budeme pouzˇ´ıvat substituci cos x = t. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

Najdeme vztah mezi diferencia´ly. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt =− = 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

Dosadı´me ze substituce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt =− = 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 + + dt = − 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

Rozlozˇ´ıme jmenovatel na soucˇin. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 + + dt = − 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

Rozlozˇ´ıme na parcia´lnı´ zlomky (tato pasa´zˇ je zde prˇeskocˇena, vyzˇaduje dalsˇ´ı a delsˇ´ı pocˇ´ıta´nı´). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

Uzˇijeme vzorce k integraci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte Z

Z

1 dx. (2 + cos x ) sin x

1 dx = (2 + cos x ) sin x

Z

sin x dx = (2 + cos x ) sin2 x

1 cos x = t sin x dx sin x dx = − dt (2 + cos x )(1 − cos2 x ) Z Z 1 1 dt dt = =− 2 (2 + t)(1 + t)(t − 1) (2 + t)(1 − t ) Z 1 1 1 1 1 1 = − + + dt 21+t 6t−1 32+t 1 1 1 = − ln |1 + t| + ln |t − 1| + ln |2 + t| 2 6 3 1 1 1 = − ln(1 + cos x ) + ln(1 − cos x ) + ln(2 + cos x ) + C 2 6 3 Z

Pomocı´ substitucˇnı´ho vztahu se vra´tı´me k pu˚vodnı´ promeˇnne´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

Z

Z

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ • Cˇlen 3x + 2 je pod odmocninou. Uz ˇ ijeme substituci, ktera´ umozˇnı´ tuto 2+C = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + odmocninu odstranit.

=2

Z

Z

Z

• Budeme dosazovat 3x + 2 = t2 . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

Nalezneme vztah mezi dx a dt. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

Vyja´drˇ´ıme dx. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

Vyja´drˇ´ıme promeˇnnou x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

Prˇichysta´me si zpeˇtnou substituci. Vyja´drˇ´ıme t pomocı´ x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

Provedeme substituci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

−t − 1 t−1 t2 − t dt = 2 1 + 2 dt · t dt = 2 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C =2

Z

Z

Z

Upravı´me. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t−1 t2 − t −t − 1 · t dt dt = 2 1 + 2 dt = 2 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

Prˇevedeme na jeden zlomek. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t t−1 −t − 1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   t 1 1 = 2 1− 2 − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C 2 t +1 t +1 √ ˇ e funkce nenı´ ryze lomena´√. Vydeˇlı´me, protoz = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

t2 − t (t2 + 1) + (−t − 1) −t − 1 = = 1+ 2 t2 + 1 t2 + 1 t +1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 t 1 = 2 1− 2 − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C 2 t +1 t +1 √ √ 2ˇ´ı− lnparcia |3x +´ lnı 3|´−zlomek. 2 arctg Tento 3x +typ 2 +zlomku C 2 3xje+pr Zı´skana´ = funkce mo integrujeme

=2

Z

Z

Z

rozdeˇlı´me na soucˇet zlomku, ktery´ ma´ v cˇitateli derivaci jmenovatele, a zlomku, ktery´ ma´ v cˇitateli jen konstantu. Oba zlomky pak snadno zintegrujeme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   t 1 1 − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

Integrace je jizˇ snadna´. Uzˇijeme vztah Z Z 1 1 t 2t dt = dt = ln(t2 + 1). 2 2 2 2 t +1 t +1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z √

3x + 2 − 1 dx. x+1

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z √ 2 3x + 2 − 1 dx = t dt dx 3 x+1 1 2 x = ( t − 2) 3 √ t = 3x + 2

=

Z

1 2 3 (t

t−1 2 · t dt − 2) + 1 3

t2 − t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 2 t +1 t +1 t +1 Z   1 1 t − 2 dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C = 2 1− 2 2 t +1 t +1 √ √ = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

=2

Z

Z

Z

Rozna´sobı´me za´vorku a provedeme zpeˇtnou substituci pro na´vrat k promeˇnne´ x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

Funkce obsahuje odmocninu z linea´rnı´ho vy´razu – zavedeme substituci na odstraneˇnı´ odmocniny. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

Vy´raz pod odmocninou je druha´ mocnina nove´ promeˇnne´. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   Nalezneme vztah mezi diferencia ´ ly 1dx a dt √ √ =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C • ( x − 1)′ = 1 (derivace podle x)2

=2

Z

Z

Z

• (t2 )′ = 2t (derivace podle t) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Nalezneme x a ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√

Z

Z

Z

x − 1 ze substitucˇnı´ho vztahu. c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

t2 + t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

Dosadı´me podle substituce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

t−1 1+t t2 + t · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

Odmocnı´me t2 a vytkneme konstantu prˇed integra´l. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

Prˇevedeme na jeden zlomek – na´sobı´me cˇitatele. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

Vydeˇlı´me cˇitatel jmenovatelem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

Rozdeˇlı´me zlomek na dva jednodusˇsˇ´ı. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

“Vytvorˇ´ıme” v cˇitateli derivaci jmenovatele pomocı´ multiplikativnı´ konstanty 2. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 − 2 dt = 2 1+ · 2 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Zintegrujeme podle vzorcu˚ a podle vztahu ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

Z

Z

f ′ (x) dx = ln | f ( x )|. f (x) c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

1+

Z

Z

1+

√

x−1 dx. x

√

x−1 dx = x

x − 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 √ x−1 = t

=

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

1+t t2 + t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + 2 dt 2 t +1 t2 + 1 t +1 Z 1 2t 1 = 2 1+ · 2 − 2 dt 2 t +1 t +1   1 = 2 t + ln |t2 + 1| − arctg t 2   √ √ 1 =2 x − 1 + ln | x | − arctg x − 1 + C 2

=2

Z

Z

Z

Pouzˇijeme zpeˇtnou substituci pro na´vrat k promeˇnne´ x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

6

Dalsˇı´ . . .

Jednotlive´ metody je pochopitelneˇ neˇkdy nutno kombinovat.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

Vypocˇteˇte

Z

Z

arcsin x dx

u′ = √

u = arcsin x arcsin x dx v′ = 1

=

= = =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 1 − x2

v=x

1 − x2 = t x x arcsin x − √ dx −2x dx = dt 1 − x2 1 x dx = − dt 2 Z  1 1 − √ dt x arcsin x − 2 t √ x arcsin x + t p x arcsin x + 1 − x 2 + C Z

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×

KONEC

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Marˇ´ık, 2006 ×