Integrali

Integrali

Giacomo Palazzi

27 Ottobre 2008

1

Proprietà dell’integrale

Alcune proprietà importanti dell’integrale sono: 1. Linearità; 2. Isotonia; 3. Disuguaglianza fondamentale.

1.1

Linearità

Un integrale è una R R funzione R lineare, cioè valgono le relazioni seguenti. (f + g) = f + g R RR RR ( f ) = f , 2 R R R R R R Esempi. 1) R(x2 + x3 )dxR = x2 dx + x3 dx; 2) R 4xdx = 4 xdx; R R 3) 2x5 + 7x8 dx = 2 x5 dx + 7 x8 dx.

1.2

Isotonia

L’integrale conserva l’andamento R R delle funzioni, cioè se f; g : R ! R integrabili, f g, allora si ha che R f g. R

1.3

Disuguaglianza fondamentale

Se R f : R ! R è una funzione integrabile, allora vale la disuguaglianza jf j. R

1

R

R

f

2

Integrazione

1. Integrali inde…niti; 2. Integrazione delle funzioni razionali; 3. Integrazione per parti; 4. Integrazione per sostituzione; 5. Integrali de…niti; 6. Integrali generalizzati.

2.1

Integrali inde…niti

Vediamo come si calcolano alcuni integrali di uso comune. R (a+1) x dx = x(a+1) + c, 6= 1 R 1 x dx R =x ln jxj +x c, x 6= 0 e dx = e + c R lna jxj ln(a+1) jxj = (a+1) + c, 6= 1, x 6= 0 x dx R cos(x)dx = sin(x) + c R sin(x)dx +c R p 1 dx = arcsin(x) +c R 11 x2 2 dx = arctan(x) + c R 1 1+x 1 1+x 1 x2 dx = 2 ln 1 x + c, jxj 6= 1

Al posto dell’incognita x potrebbero anche comparire delle funzioni u(x). In tal caso bisogna riconoscere la presenza dentro l’integrale della derivata prima u0 (x). R (a+1) (u(x)) u0 (x)dx = (u(x)) + c, 6= 1 (a+1) R u0 (x) dx = ln ju(x)j + c, u(x) 6= 0 u(x) R u(x) 0 e u (x)dx = eu(x) + c R lna ju(x)ju0 (x) ln(a+1) ju(x)j + c, 6= 1, u(x) 6= 0 u(x) R dx = (a+1) 0 cos(u(x))u (x)dx = sin(x) + c R sin(u(x))u0 (x)dx + c R 0 p u (x) 2 dx = arcsin(u(x)) + c 1 (u(x)) R u0 (x) 1+(u(x))2 dx = arctan(u(x)) + c R u0 (x) 1+u(x) 1 6 1 1 (u(x))2 dx = 2 ln 1 u(x) + c, ju(x)j =

2.2

Integrazione delle funzioni razionali

L’integrazione di polinomi non presenta problemi. R (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ::: + am xm dx = a0 x + a21 x2 + a32 x3 + a43 x4 + ::: + am (m+1) + c. (m+1) x R Poichè per quanto visto al paragrafo precedente si ha che (x 1 a) dx = ln jx aj + c, a 2 R, allora tutte le frazioni che hanno a denominatore un polinomio di primo grado sono facili da calcolare. 2

R P (x) Vogliamo calcolare (x a) dx. Allora si fa divisione P (x)=(x a) (magari usando la regola di Ru¢ ni). R P (x) Si trova quoziente Q(x) e resto r = P (a). Dunque si ha che (x a) dx = i Rh R R r R R 1 r Q(x) + (x a) dx = Q(x)dx + (x a) dx = Q(x)dx + r (x a) dx = R Q(x)dx + r ln jx aj + c.

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