Integrali

INTEGRALI • CONCETTO DI INTEGRALE INDEFINITO o Consideriamo l’operazione inversa della derivazione: data una funzione f ( x ) , vogliamo

trovare, se esiste, una funzione F ( x ) tale che: D x [F ( x )] = f ( x ) . Se una tale funzione esiste essa è detta una primitiva di f ( x ) .

o o

Ad esempio, data f ( x ) = 2 x , una sua primitiva è F ( x ) = x 2 .

Notiamo che, se F ( x ) è una primitiva di f ( x ) , allora anche F ( x ) + C , dove C è una costante arbitraria, lo sarà (ad esempio, riferendoci al caso appena considerato, anche la funzione x 2 + 9879 è una primitiva di f ( x ) , infatti la derivata della funzione

x 2 + 9879 è ancora uguale a 2 x ). o

Ciò significa che ci sono infinite funzioni primitive di una funzione data; l’intera famiglia di funzioni primitive, F ( x ) + C , di una funzione data f ( x ) si chiama integrale definito di f ( x ) e si indica con il simbolo

∫ f (x )dx

che si legge integrale di f ( x ) in

dx . o

L’esempio precedente può essere allora espresso formalmente nel seguente modo: 2 xdx = x 2 + C .

∫

• PROPRIETÀ DELL’OPERATORE INTEGRALE o L’operatore integrale è lineare, ossia valgono le seguenti proprietà:
La variabile di integrazione è muta, cioè f ( x )dx = f (t )dt


∫ k ⋅ f (x )dx = k ⋅∫ f (x )dx ⇒

∫

∫

si può “portare fuori” dal simbolo di integrale una

costante moltiplicativa


∫ [ f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx ⇒ l’integrale

di una somma algebrica di

due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle funzioni sommate (integrazione per scomposizione). • INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI o Tenendo presente le derivate delle funzioni elementari, possiamo costruire un’analoga tabella degli integrali indefiniti immediati delle funzioni elementari:




x n +1 ∫ x dx = n + 1 + C , con n ≠ −1 dx ∫ x = log x + C ax x da cui si ha: ∫ e x dx = e x + C a dx = +C ∫ ln a analogamente: ∫ cos x ⋅ dx = sin x + C ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C




∫




∫




∫






n

dx dx analogamente: ∫ = tan x + C = − cot x + C 2 cos x sen 2 x dx = arcsenx + C = − arccos x + C ′ 2 1− x dx = arctgx + C 1+ x2

• INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE o Definiamo innanzitutto (in modo unicamente formale) il differenziale di una funzione come il prodotto della derivata della funzione per il simbolo dx , cioè:

df ( x ) = f ′( x )dx




Ad esempio: • d x 3 = 3x 2 dx

( )

•

o

o

d (tan x ) =

1 dx cos 2 x d ( x ) = 1 ⋅ dx = dx

• il metodo di integrazione per sostituzione si basa sul fatto che spesso il calcolo di un integrale diventa più semplice (cioè si può ricondurre al calcolo di un integrale immediato) effettuando, appunto una sostituzione; supponiamo ad esempio di voler calcolare il seguente integrale:

∫ (3x

2

)

5

+ 2 6 xdx

dobbiamo riconoscere che 6 x è la derivata di 3 x 2 + 2 , pertanto se pongo: 3x 2 + 2 = t e calcolo il differenziale, ottengo: 6 xdx = dt , pertanto il mio integrale, espresso rispetto alla nuova variabile t = g ( x ) , diventa:

∫t

5

dt che è un integrale immediato; una volta

calcolato l’integrale in dt bisogna ovviamente ritornare alla variabile originale x , cioè:

∫t o

5

dt =

6 1 6 1 t +C = ( 3x 2 + 2 ) + C . 6 6

Praticamente si procederà nel seguente modo:
sia da calcolare il seguente integrale: f ( x )dx

∫





o

(o facciamo in modo che risulti*) nella funzione integranda il fattore g ′( x )dx ; il senso dei termini sostituzione “intelligente” usati al punto precedente sta proprio qui;
calcoliamo il nuovo integrale nella variabile t ;
ritorniamo alla variabile originale x Mediante tale metodo si possono ricondurre ad integrali immediati tutti gli integrali del seguente elenco:






*

individuiamo una sostituzione “intelligente”: t = g (x ) , dove g ( x ) deve essere invertibile (per poter eventualmente ricavare x in funzione di t ) calcoliamo il differenziale della nuova variabile: dt = g ′( x )dx e “riconosciamo”

n +1 f (x ) n ′ ( ) ( ) [ f x ] f x dx = ∫ n +1 f ′( x ) ∫ f (x ) dx = log f (x ) + C

+ C , con n ≠ −1

a f (x) da cui si ha: ∫ e f ( x ) f ′( x )dx = e f ( x ) + C +C ∫a ln a ∫ sin f (x ) ⋅ f ′(x )dx = − cos f (x ) + C f (x )

f ′( x )dx =

∫ cos f (x ) ⋅ f ′(x )dx = sin f (x ) + C

Ad esempio aggiungendo e togliendo qualche termine, oppure moltiplicando e dividendo per qualche fattore




∫




∫




∫




∫

f ′( x ) dx = ∫ 1 + tan 2 f ( x ) f ′( x )dx = tan f ( x ) + C cos 2 f ( x ) f ′( x ) dx = ∫ 1 + cot 2 f ( x ) f ′( x )dx = − cot f ( x ) + C sin 2 f ( x ) f ′( x ) dx = arcsin f (x ) + C = − arccos f ( x ) + C ′ 2 1 − f (x ) f ′( x ) dx = arctan f ( x ) + C 2 1 + f (x )

(

)

(

)

• INTEGRALE DEFINITO o Data una funzione f ( x ) continua e positiva in un dato intervallo [a, c ] allora essa è integrabile e l’integrale definito

∫ f (x )dx c

a

coincide con la misura dell’area S della

regione delimitata dal grafico della funzione e dall’asse delle x ; se la funzione ha segno variabile in [a, c ] si adotta la convenzione che le regioni al di sotto dell’asse delle

x contribuiscono con area negativa, ossia S = ∫ f ( x )dx . c

a

o

Il calcolo dell’integrale definito si effettua utilizzando la seguente formula:

∫ f (x )dx = F (x ) o

c

c

a

a

= F (c ) − F (a ) dove F ( x ) è una primitiva di f ( x )

Praticamente: si procederà nel seguente modo:
Si calcola l’integrale indefinito f ( x )dx

∫





Si risolve, nell’intervallo [a, c ] , la disequazione f ( x ) > 0 , per individuare in quali

sottoinsiemi di [a, c ] la funzione è positiva e in quali è negativa; Si calcola l’integrale spezzandolo in tanti integrali quanti sono i sottoinsiemi di [a, c] in cui la funzione cambia di segno, prendendo tali integrali con il segno positivo se f ( x ) > 0 , con il segno negativo se f ( x ) < 0 . Ad esempio, rispetto alla seguente figura:

+

— si eseguirà il calcolo nel seguente modo:

∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx c

b

c

a

a

b