Integrales_impropias (1).pdf

Tema 4.2: INTEGRALES IMPROPIAS 1. Introducci´on 2. Definici´on de integral impropia 3. Propiedades de las integrales impropias 4. Integrales impropias de integrando no negativo 5. Integrales impropias de integrando arbitrario

Introducci´ on Si f : [a, b] −→ R es una funci´on continua, entonces est´a acotada. La regi´on limitada por su gr´afica y el eje OX entre las abcisas x = a y x = b tambi´en est´a acotada y su ´area se calcula mediante una integral de Riemann. El concepto de integral se puede ampliar de modo natural a nuevos casos: aquellos en los que el intervalo de integraci´on no es acotado o aquellos en que la funci´on no est´a acotada. Sup´ongase por ejemplo, que el intervalo en el que se define la funci´on continua f es de la forma [a, +∞); como este intervalo no est´a acotado, tampoco lo est´a la regi´on comprendida entre la gr´afica de f y el eje OX. En particular, consid´erese f (x) = e−x definida en el intervalo [0, +∞). Su gr´afica y el eje OX determinan la regi´on A no acotada de la izquierda de la figura 1.

¿Puede ser finita el ´area de la regi´on no acotada A? En caso afirmativo, ¿C´omo se calcula su valor? Parece natural razonar del siguiente modo: dado cualquier punto Z s s ∈ R, −x puesto que f (x) = e es continua en [0, s] se tiene que la integral f (x) dx 0 equivale al ´area de regi´on As limitada por la gr´afica y el eje OX entre x = 0 y x = s. Es l´ogico pensar que el ´area de A, en caso de existir, es el l´ımite de las ´areas As cuando s → +∞: ´area(A) = l´ım ´area(As ) = l´ım s→+∞

Z s

s→+∞ 0

e−x dx = l´ım −e−x s→+∞

—s 0

= l´ım (1−e−s ) = 1. s→+∞

152

y=e-x A

y=e-x As s

Figura 1: Regi´on no acotada A (izquierda), regiones As acotadas (derecha) 1 Como segundo ejemplo, consid´erese la funci´on f (x) = √2−x en el intervalo [1, 2). El intervalo est´a acotado (aunque no es cerrado) y la funci´on es 1 continua, pero no est´a acotada, ya que l´ım− √2−x = +∞. La recta x = 2 es x→2 una as´ıntota de la gr´afica; la regi´on que delimitan la gr´afica y su as´ıntota (ver figura 2, izquierda) no est´a acotada.

Si se sigue el razonamiento anterior, en caso de existir, el ´area de la regi´on A es el l´ımite cuando s → 2 (por la izquierda) de las ´areas de las regiones As . Puesto que ´area(As ) =

Z s

√1 2−x 1

—s √ √ dx = −2 2 − x 1 = 2 − 2 2 − s

se concluye que √ ´area(A) = l´ım− ´area(As ) = l´ım− (2 − 2 2 − s) = 2. s→2

s→2

Definici´ on de integral impropia En los dos ejemplos anteriores se tiene una funci´on continua f definida en un intervalo de la forma [a, b). En el primer caso el intervalo no est´a acotado; 153

1 y= €€€€€€€€ €€€€€€€€€ !!!!!!!! !! 2-x A 1

2

1 y= €€€€€€€€ €€€€€€€€€ !!!!!!!! !! 2-x As 1

s2

Figura 2: Regi´on no acotada A (izquierda), regiones As acotadas (derecha) en el segundo el intervalo est´a acotado pero la funci´on no. En general, se tiene la siguiente definici´on: Sea f una funci´on continua en [a, b), donde ´o bien b = +∞ ´o bien b es finito y l´ım− f (x) = ∞. Se dice que f es integrable en sentido impropio en x→b

[a, b) si existe l´ım− s→b

Z s a

f (x) dx; en este caso, a dicho l´ımite se le llama integral

impropia de f en [a, b) y se denota: Z →b a

f (x) dx = l´ım− s→b

Z s a

f (x) dx.

Para referirse a que f es integrable en sentido impropio en [a, b) tambi´en es habitual expresar que la integral

Z →b a

f (x) dx existe o que es convergente.

Cuando el l´ımite anterior no existe se diceZque f no es integrable en sentido →b

impropio en [a, b), que la integral impropia f (x) dx no es convergente o a que la integral no existe. En particular, si el l´ımite es infinito se dice que la integral impropia diverge a infinito ´o que vale ∞. 154

Observaciones: (1) Notaci´on: Se pone “→ b” en el extremo de la integral para distinguirla de las integrales de funciones continuas en intervalos cerrados estudiadas hasta ahora. Si b = +∞ no hay peligro de confusi´on con las integrales ordinarias y se escribe simplemente Z +∞

a

f (x) dx.

(2) Generalizaci´on: El intervalo que aparece en la definici´on anterior es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. Una definici´on an´aloga se tiene para funciones definidas en intervalos de la forma (a, b], suponiendo que ´o bien a = −∞ ´o bien la funci´on diverge a infinito cuando x se aproxima a a (por la derecha): Z b →a

f (x) dx = l´ım+

Z b

s→a

s

f (x) dx.

(3) Denominaci´on: Las integrales impropias en las que el intervalo es de la forma (−∞, b] ´o [a, +∞) se denominan de primera especie. Aquellas en que el intervalo est´a acotado y la funci´on no, se denominan de segunda especie. Ejemplos (1) Es convergente (de primera especie) la integral del primer ejemplo de la introducci´on: Z +∞ 0

−x

e

dx = l´ım

Z s

s→+∞ 0

e−x dx = l´ım

s→+∞

€

−e−x

—s Š 0

= l´ım (1 − e−s ) = 1. s→+∞

(2) Es convergente (de segunda especie) la del segundo ejemplo de la introducci´on: Z →2 Z s € Š √ √1 √1 dx = l´ ım dx = l´ ım 2 − 2 2 − s = 2. 2−x 2−x − − 1

s→2

1

s→2

Z →π/2

(3) La integral impropia tg(x) dx diverge a +∞. 0 π La funci´on tg : [0, 2 ) −→ R es continua, pero no es acotada, pues l´ım tg(x) = +∞. Puesto que π−

x→ 2

Z s 0

tg(x) dx = − log(cos(x)]s0 = − log(cos(s)) + log(1) = − log(cos(s)), 155

se tiene que l´ım π−

Z s

s→ 2

0

tg(x) dx = l´ım − log(cos(s)) = +∞ π− s→ 2

Z →π/2

y por lo tanto la integral impropia tg(x) dx diverge a +∞. 0 Geom´etricamente, este resultado significa que el ´area de la regi´on sombreada de la figura 4 (izquierda) no es finita.

y=tgHxL 1 y=logHxL Π - €€€€ 2

Π €€€€ 2

Figura 3: Gr´aficas de y = tg(x) (izquierda) y de y = log(x) (derecha)

(4) La integral impropia l´ım+

s→0

Z 1 s

Z 1 →0

log(x) dx converge y vale -1 pues

log(x) dx = l´ım+ [x log(x) − x]1s = l´ım+ (−1 − s log(s) + s) = −1. s→0

s→0

En este caso el ´area de la regi´on Zsombreada de la figura 4 (derecha) vale 1. (5) Las integrales impropias

+∞

1

1 xα

dx con α > 0.

Si α > 0 la funci´on f (x) = x1α es continua en [1, +∞) y su gr´afica est´a representada en la figura. Z s Para estudiar la convergencia, debe calcularse 1/xα dx y estudiar la existencia de l´ım

Z s

s→+∞ 1

1

α

1/x dx. 156

1

Z s

Z s

α

Si α = 1 entonces 1/x dx = 1/x dx = log(s) − log(1) = log(s) y 1 1 por lo tanto Z s 1 dx = l´ım log(s) = +∞. l´ım x s→+∞

s→+∞ 1

Si α 6= 1 entonces Z s 1

–

x−α+1 1/x dx = −α + 1

™s

α

= 1

Š s−α+1 − 1 1 € = 1 − s−α+1 . −α + 1 α−1

Como l´ım s1−α vale 0 si α > 1 y +∞ si α < 1, s→+∞

l´ım

Z s

s→+∞ 1

1 xα

1 s→+∞ α−1

dx = l´ım

En resumen, la integral caso su valor es 1/(α − 1). Aplicaci´on geom´etrica:

Z +∞ 1

1 xα

8 < 1

si α > 1 (1 − s1−α ) = : α−1 +∞ si α < 1

dx converge si y s´olo si α > 1. En este

Z +∞

1 Cuando α = 1, como dx = +∞ resulta que el ´area de la regi´on x 1 limitada por la gr´afica de f (x) = 1/x y el eje OX no es finita.

Si se hace girar esta regi´on alrededor del eje OX el volumen del s´olido de revoluci´on obtenido (algo parecido a una “trompeta infinita”) ¡es finito! pues: Z Z V =π

+∞

1

f 2 (x) dx =

(6) Las integrales impropias

Z 1 →0

1 xα

+∞

1

1 x2

dx = π · 1 = π.

dx con α > 0.

Si α > 0 la funci´on f (x) = x1α es continua en (0, 1] y su gr´afica est´a representada en la figura. Como α > 0, f no est´a acotada. 157

1

Figura 4: Regi´on limitada y = 1/x (izquierda) y s´olido de revoluci´on al girarla alrededor de OX (derecha) Para estudiar la existencia de l´ım+

Z 1

s→0

Z 1

s

1/xα dx se distinguen dos casos:

Si α = 1, es l´ım+ 1/x dx = l´ım+ − log(s) = +∞. s→0 s→0 s Si α = 6 1, entonces Z 1 s

–

x−α+1 1/x dx = −α + 1

™1

α

= s

Š 1 € 1 − s−α+1 . 1−α

Por tanto

1

l´ım+

s→0

Z 1 s

1 xα

dx =

1 l´ım 1−α s→0+

€

Š

1 − s1−α . 158

El l´ımite l´ım+ (s1−α ) vale 0 si α < 1; en otro caso vale infinito. s→0

Resumiendo, f es integrable en sentido impropio en (0, 1] si y s´olo si α < 1; en este caso Z 1 1 1 dx = . xα →0 1−α √ Aplicaci´on geom´etrica: El ´area bajo la gr´afica de f (x) = 1/ x entre 0 y 1 vale 2 y que el volumen del s´olido que genera al girar alrededor del eje OX no es finito. ´ n: Las integrales del ejemplo (6) anterior son un caso partiObservacio cular de Z b 1 dx (x−a)α →a

donde α > 0. 1 La funci´on f (x) = (x−a) α es continua y no acotada en el intervalo (a, b]. La recta x = a es una as´ıntota vertical. Repitiendo los c´alculos del citado 1 ejemplo, se prueba que la integral de f (x) = (x−a) α en el intervalo (a, b] converge si y s´olo si α < 1. En este caso se tiene que Z b →a

1 (x−a)α

dx =

(b − a)1−α . 1−α

1 An´alogo resultado se obtiene para la integral de f (x) = (b−x) α en el intervalo [a, b). Propiedades de las integrales impropias Las siguientes propiedades son inmediatas a partir de la definici´on:

1. Si f y g son integrables en sentido impropio en [a, b) entonces f + g y λ f con λ ∈ R, tambi´en y Z →b a

(f + g)(x) dx = Z →b a

Z →b a

f (x) dx +

(λ f )(x) dx = λ

Z →b a

Z →b a

g(x) dx;

f (x) dx.

2. Si f y g son integrables en sentido impropio en [a, b) y f ≤ g entonces Z →b a

f (x) dx ≤

Z →b a

g(x) dx. 159

y=1Hx-aLΑ

a

b

y=1Hb-xLΑ

a

b

3. Dada f continua en [a, b), el car´acter de la integral impropia Z →b

Z →b a

f (x) dx

es el mismo que el de f (x) dx para cualquier c ∈ (a, b). Sin embargo c sus valores, en general, son diferentes. En efecto, para cualquier c ∈ (a, b) se tiene para s > c que Z s a

f (x) dx =

Z c a

f (x) dx +

Z s c

f (x) dx.

Como f es continua en [a, c], la integral del centro es una integral de Riemann ordinaria que no depende de s.Z Por lo tanto el l´ımite Z s s l´ım− f (x) dx existe si y s´olo si existe l´ım− f (x) dx; en este caso s→b s→b a c se tiene que Z →b a

f (x) dx =

Z c a

f (x) dx +

Z →b c

f (x) dx.

La regla de Barrow para integrales impropias Z →b

Consid´erese la integral impropia f (x) dx, donde f : [a, b) −→ R es a continua. Sea F una primitiva de f en [a, b), es decir, F es una funci´on continua en [a, b) y derivable en (a, b) con F 0 = f . Para cada s ∈ (a, b) se tiene que F es una primitiva de f en [a, s] y por lo tanto se puede aplicar la 160

regla de Barrow:

Z s a

f (x) dx = F (s) − F (a).

Utilizando esta igualdad es evidente que si existe F (b−) = l´ım− F (s) entonces s→b

f es integrable en sentido impropio en [a, b) y Z →b a

f (x) dx = l´ım− s→b

Z s a

f (x) dx = l´ım− (F (s) − F (a)) = F (b−) − F (a). s→b

De la misma igualdad tambi´en se deduce que si l´ım− F (s) = +∞ entonces s→b

la integral impropia diverge a +∞ y si l´ım− F (s) = −∞ entonces la integral s→b impropia diverge a −∞. En resumen: Regla de Barrow Si f es continua en [a, b) y F es una primitiva de f en [a, b) entonces Z →b a

f (x) dx = F (b−) − F (a),

donde F (b−) − F (a) representa a l´ım− F (s) − F (a) si l´ım− F (s) existe y representa ±∞ si l´ım− F (s) = ±∞.

s→b

s→b

s→b

´ n: Siguiendo la notaci´on de las integrales de Riemann es Observacio habitual escribir Z →b a

f (x) dx = F (x)]→b a = F (b−) − F (a).

Cuando b = +∞, por comodidad a veces se escribe: Z +∞ a

f (x) dx = F (x)]+∞ = F (+∞) − F (a). a

Ejemplos: (1)

Z 1

1 1/2 →0 x

√ 1 √ dx = 2 x]→0 = 2 − l´ım+ x = 2. s→0

Z +∞

1 (2) dx = arc tg(x)]+∞ = arc tg(+∞) − arc tg(0) = π2 , donde 0 1+x2 0 para abreviar se ha escrito arc tg(+∞) en lugar de l´ım arc tg(s). s→+∞

(3) (4)

Z 0 −∞

Z 1 →0

ex dx = ex ]0−∞ = e0 − l´ım es = 1. s→−∞

1 dx = log x]1→0 = log(1) − log(0+) = +∞, x 161

donde log(0+) significa l´ım+ log(s). s→0

Ampliaci´ on de la definici´ on Se ver´a a continuaci´on que el an´alisis de otros tipos de integrales puede reducirse al estudio de las integrales impropias ya definidas. Sea f : (a, b) −→ R continua donde los extremos del intervalo pueden ser infinitos; si alguno de ellos es finito, se supone adem´as que f no est´a acotada en ´el, es decir, f (x) diverge a ∞ cuando x se aproxima a dicho extremo (ver algunos ejemplos en la figura 5). Se dice que la integral convergente si para alg´ un c ∈ (a, b) las integrales impropias Z →b c

Z b

Z ac

f (x) dx es

→a

f (x) dx y

f (x) dx son convergentes; en este caso se define Z b a

f (x) dx =

Z c →a

f (x) dx +

Z →b c

f (x) dx.

Es f´acil comprobar (usando las propiedades ya conocidas de las integrales impropias) que esta definici´on es independiente del punto c: cada integral impropia del t´ermino derecho converge para todo c o para ninguno y, si convergen ambas, el resultado de la suma es el mismo. Ejemplo: La integral se tiene que Z 0

−∞

Z +∞ 0

Por lo tanto

Z +∞ −∞

−∞

e−|x| dx es convergente, pues tomando c = 0

e−|x| dx =

e−|x| dx =

Z 0 −∞

Z +∞ 0

ex dx = ex ]0−∞ = 1

e−x dx = −e−x ]+∞ = 1. 0

e−|x| dx = 2.

Ejemplo: La integral c > 0 las integrales

Z c

→0

1 x

Z +∞ c

1 x2

Z +∞ 0

dx y

Ejemplo: La integral c > 0 la integral

Z +∞

1 dx no x Z +∞ 1 dx x c

Z +∞ 0

1 x2

es convergente, pues para cualquier divergen a +∞.

dx no es convergente, pues para cualquier

dx es convergente y

Z c

→0

1 x2

dx es divergente. 162

2

Figura 5: Gr´aficas de las funciones 1/(x − 2) en (2, +∞), arriba; e−x en (−∞, +∞), centro; 1/(x(1 − x)) en (0, 1), abajo.

y=e-ÈxÈ

De modo an´alogo se tiene que para cualquier α > 0 la funci´on 1/xα no es integrable en (0, +∞). Otras integrales se pueden reducir de modo natural a los casos ya estudiados. Por ejemplo, para estudiar si el ´area de la regi´on sombreada de la figura es finita, se estudiar´a la convergencia de las integrales impropias Z c →0

f (x) dx,

Z →2 c

f (x) dx,

Z d →2

f (x) dx,

Z +∞ d

Z →0 −1

f (x) dx,

f (x) dx

para cualesquiera c ∈ (0, 2), d > 2. Si todas son convergentes ´ Area =

Z +∞ −1

f (x) dx =

Z →0 −1

Z c

f (x) dx+

→0

Z →2

f (x) dx+

c

Z d

f (x) dx+

→2

Z +∞

f (x) dx+

En conclusi´on, el estudio de las integrales impropias se reduce a funciones 163

d

f (x) dx.

-1

0

c

2

d

definidas en intervalos de la forma [a, b) ´o (a, b]. Se detallar´a aqu´ı el primer tipo; los resultados obtenidos son f´acilmente modificables para el segundo. Integrales impropias de integrando no negativo Como en el caso de las series, las integrales impropias en las que la funci´on del integrando es no negativa presentan propiedades especiales y por ello se estudian por separado. Sea f : [a, b) −→ R continua tal que f ≥ 0; la funci´on ´area F (s) = f (x) dx es mon´otona creciente (y no negativa). Entonces cuando s → b− a s´olo caben dos posibilidades: (1) Que F (s) crezca indefinidamente. En este caso Z s

F (b−) = l´ım− (F (s)) = l´ım− s→b

s→b

Z s a

f (x) dx = +∞,

es decir, la integral impropia diverge a +∞. (2) Que F est´e acotada superiormente. En este caso por ser F mon´otona creciente y acotada superiormente, existe el l´ımite F (b−) = l´ım− (F (s)) = l´ım s→b

Z s

s→b a

f (x) dx

con lo que la integral impropia es convergente. Resumiendo: Si f : [a, b) −→ R es continua y no negativa entonces la integral impropia Z →b a

f (x) dx s´olo puede ser convergente o divergente a +∞. Adem´as es convergente

si y s´olo existe una constante M tal que

Z s a

f (x) dx ≤ M para todo s ∈ [a, b).

164

Ejemplos: Z +∞ sen2 (x) (1) La integral dx es convergente, ya que el integrando es no x2 1 negativo y la funci´on Z s sen2 (x) dx F (s) = x2 1

est´a acotada en [1, +∞): F (s) =

Z s 1

sen2 (x) x2

dx ≤

Z s 1

1 x2

”

dx = − x1

—s 1

=1−

1 s

≤1

para s ≥ 1. Z +∞

(2) La integral 3 negativo y la funci´on

log2 (x) dx diverge a +∞, ya que el integrando es no F (s) =

Z s 3

log2 (x) dx

no est´a acotada en [3, +∞): si x ≥ 3 entonces log(x) ≥ log(3) > log(e) = 1 y F (s) =

Z s 3

2

log (x) dx ≥

Z s 3

dx = s − 3;

como la funci´on s − 3 no est´a acotada en [3, +∞), F (s) tampoco. Criterios de convergencia para integrales de integrando no negativo En ocasiones no es posible o no interesa conocer el valor de una integral impropia, sino s´olo conocer su car´acter, es decir, saber si es convergente o no. Los criterios de comparaci´on permiten estudiar la convergencia de una integral impropia utilizando otra integral de car´acter conocido. Criterio de comparaci´ on directa Sean f, g : [a, b) −→ R continuas y no negativas. Si existe M > 0 tal que f (x) ≤ M g(x) para todo x ∈ [a, b), entonces: (a) Si g es integrable en sentido impropio en [a, b), tambi´en lo es f . (b) Si f no es integrable en sentido impropio en [a, b), g tampoco. ´ n Recordar Demostracio que f es integrable en sentido impropio si y Z s s´olo si la funci´on F (s) = f (x) dx est´a acotada y una propiedad similar se a

verifica para g con la funci´on G(s) = Dado s ∈ [a, b) se tiene que F (s) =

Z s a

f (x) dx ≤

Z s a

Z s a

g(x) dx.

M g(x) dx = M

Z s a

g(x) dx = M G(s). 165

Si g es integrable, la funci´on G(s) est´a acotada y entonces F (s) tambi´en, con lo que f es integrable. Si f no es integrable en sentido impropio entonces F no est´a acotada, con lo que G tampoco y por lo tanto g no es integrable. ¤ ´ n Es suficiente que se cumpla la condici´on f (x) ≤ M g(x) Observacio para todo x ∈ [c, b) con a < c < b, pues la convergencia de la integral Z →b

Z →b

f (x) dx equivale a la de cualquier f (x) dx. c a Ejemplos: 2 (1) La funci´on senx2(x) es integrable en [1, +∞) ya que para todo x ∈ [1, +∞) es sen2 (x) 1 ≤ 2 2 x x 1 y, como ya ha sido estudiado, x2 es integrable en sentido impropio en [1, +∞). (2) La integral diverge a +∞. (3) La integral

Z 1 →0

x+1 x2

Z +∞ 1

dx diverge a +∞ pues

1 x2 +5x−11/2

x+1 x2

≥

1 x2

en (0, 1] y

dx es convergente. Se compara con

Z 1 →0

1 x2

Z +∞ 1

dx

1 x2

dx,

1 pero hay que observar que la condici´on x2 +5x−11/2 ≤ x12 se cumple para x ≥ 2; aunque no se cumple para x ≥ 1, el criterio es aplicable.

1

(4) La integral es convergente.

2

Z 1 →0

1√ x+ x

dx converge, pues

Ejercicio: Probar que

Z +∞ 0

1√ x+ x

≤

√1 x

en (0, 1] y

Z 1 →0

√1 x

dx

e−x dx es convergente. Despu´es utilizar el

criterio de comparaci´on directa para probar que vergente.

Z +∞ 0

2

e−x dx tambi´en es con-

166

Criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite Sean f, g : [a, b) −→ R dos funcio(x) nes continuas y no negativas tales que existe l = l´ım− fg(x) . Z →b

x→b

Z →b

(a) Si l 6= 0 entonces f y g tienen el mismo car´acter; a a (b) Si l = 0 y g es integrable, f tambi´en lo es. ´ n Si l 6= 0, entonces l > 0; dado ε ∈ (0, l) existe c ∈ [a, b) Demostracio tal que f (x) l−ε<
y

g(x) <

1 f (x); l−ε

estas dos desigualdades y el criterio de comparaci´on directa permiten concluir (a). f (x) Si l = 0, dado ε > 0 existe c ∈ [a, b) tal que < ε para todo x ∈ [c, b); g(x) como f (x) < ε g(x), de nuevo se concluye por el m´etodo de comparaci´on directa. Ejemplos: Z ∞ dx es convergente. (1) La integral x2 +x+1 1 En efecto, la funci´on del integrando es no negativa y 1 x2 +x+1 1 x→+∞ x2

l´ım

como

Z ∞ 1

dx x2

es convergente, la del enunciado tambi´en.

(2) La integral

Z 1 →0

x+1 x2

dx diverge a +∞ pues

x+1 x2 x→0 12 x

l´ım

como

Z 1 →0

1 x2

x2 = 1; x→+∞ x2 + x + 1

= l´ım

= l´ım x + 1 = 1; x→0

dx = +∞, la estudiada tambi´en.

(3) La integral

Z 1 →0

dx √ x+ x

es finita. 167

En este caso se compara con g(x) =

√1 , x

que es integrable en (0, 1]; como

√ √ ‚ Œ 1/(x + x) x 1 √ √ = l´ım− √ l´ım = l´ım− = 1, x→0− x→0 x + 1/ x x x→0 x+1 la integral buscada es finita. Observar que si se compara con 1/x el criterio no decide, pues l = √ x l´ım− x+x√x = l´ım− √x+1 = 0.

x→0

x→0

Criterio que relaciona las integrales impropias y las series Sea f : [1, +∞) −→ R una funci´on continua, decreciente, positiva y tal que l´ım f (x) = 0; entonces f es integrable en sentido impropio si y s´olo si la serie gente. Adem´as en este caso ∞ X

f (n) ≤

n=2

Z ∞ 1

f (x)dx ≤

∞ X

X x→+∞

f (n) es conver-

f (n).

n=1

´ n Dado n ∈ N, por ser f decreciente, si x ∈ [n, n + 1] Demostracio ser´a f (n) ≥ f (x) ≥ f (n + 1), luego f (n) =

Z n+1 n

f (n) dx ≥

Z n+1 n

f (x) dx ≥

Z n+1 n

f (n + 1) dx = f (n + 1);

sumando estas desigualdades para n = 1, . . . , N se obtiene (1)

N X

f (n) ≥

Z N +1

n=1

1

f (x) dx ≥

N +1 X

f (n).

n=2

Estas desigualdades junto con el resultado de la p´agina 164 y su an´alogo para series permiten concluir: Si la serie es convergente, sus sumas parciales est´an P acotadas: N n=1 f (n) ≤ M para todo natural N ; entonces dado s tomando Z s

Z N0 +1

cualquier natural N0 + 1 > s se tiene que f (x) dx ≤ f (x) dx ≤ M . 1 1 De aqu´ı se concluye que la integral es convergente. Rec´ıprocamente, si la integral converge, de la desigualdad de la derecha de (1) se deduce que la serie tiene las sumas parciales acotadas, por lo que es convergente. Finalmente, la desigualdad del enunciado se obtiene tomando l´ımite en (1). ¤ Ejemplo: La integral

Z ∞ 1

1 xα

dx y la serie

∞ X n=1

1 nα

tienen el mismo car´acter. 168

Ejemplo: Para estudiar la convergencia de la integral comprueba que la funci´on f (x) =

Z ∞

1 (log(x))x

2

1 (log(x))x

dx se

es continua, decreciente, positiva ∞ X 1 y se y tal que l´ım f (x) = 0. Despu´es se considera la serie n x→+∞ n=1 (log(n)) comprueba, por el criterio de la ra´ız, que converge: l´ım

n→∞

√ n

1 = 0 < 1; n→∞ log(n)

an = l´ım

se concluye entonces que la integral estudiada tambi´en converge. Z ∞

1 Ejemplo: La integral dx diverge a +∞, pues log(log(x)) es x log(x) 2 una primitiva del integrando, con lo que

Z ∞ 2

1 x log(x)

Z s

1 s→∞ 2 x log(x)

dx = l´ım

Entonces la serie

∞ X n=2

1 n log(n)

dx = l´ım (log(log(s)) − log(log(2))) = +∞. s→∞

tambi´en es divergente.

´ n: Todo lo hecho para integrales impropias con f ≥ 0 es Observacio aplicable si f ≤ 0, pues basta considerar −f . Quedan as´ı estudiadas las integrales impropias en las que el integrando no cambia de signo en [a, b). Integrales impropias de integrando arbitrario Si la funci´on continua f tiene un n´ umero finito de ceros en el intervalo [a, b) entonces a la derecha del u ´ltimo cero f no cambia su signo. En otras palabras, si c es el mayor cero de f se tiene que o bien f ≥ 0 o bien f ≤ 0 en Z [c, b). Esto implica que el estudio de la integral impropia reduce al de

Z →b c

→b a

f (x) dx, que se

f (x) dx, cae dentro de los apartados anteriores.

Queda as´ı por estudiar el caso de integrales impropias en los que la funci´on cambia de signo en el intervalo [a, b) un n´ umero infinito de veces. Tal es el sen(x) caso, por ejemplo, de la funci´on f (x) = x en [a, +∞) representada en la figura 6 (derecha) ´o la funci´on f (x) = sen(x2 ). Convergencia absoluta de una integral impropia Sea f una funci´on continua en [a, b), donde b = +∞ ´o b es finito y l´ım− f (x) = ∞. x→b

169

a

a

Figura 6: Funci´on continua con un n´ umero finito de ceros(izquierda); gr´afica de f (x) = sen(x)/x (derecha). Z →b

Se dice que la integral impropia

a

Z →b

f (x) dx es absolutamente conver-

gente si |f (x)| dx es convergente. En otras palabras, f es absolutamente a integrable en sentido impropio en [a, b) si |f | es integrable en [a, b). Ejemplo: La integral

Z +∞

sen(x) x2

1 sen(x) x2

dx es absolutamente convergente. Z +∞

1 En efecto, se tiene que ≤ y que dx es convergente; por el x2 1 criterio de comparaci´on directa (los integrandos son no negativos), la integral Z +∞ 1

sen(x) x2

1 x2

dx es convergente.

Proposici´ on Si una integral impropia es absolutamente convergente entonces es convergente. ´ n Dada f continua en [a, b), son tambi´en continuas f + = Demostracio m´ax{f, 0} (su parte positiva) y f − = m´ax{−f, 0} (la parte positiva de −f ). 170

Observar que f + y f − son positivas. Adem´as se verifica que f = f+ − f− |f | = f + + f − . Si f es absolutamente integrable, como |f | es integrable y f + ≤ |f | y f − ≤ |f |, por el criterio de comparaci´on directa se tiene que f + y f − son integrables, por lo que su diferencia f tambi´en es integrable. ¤ Criterio de Dirichlet Sean f, g : [a, b) −→ R continuas y tales que: (a) La funci´on g es decreciente, tiene derivada continua y l´ım− g(x) = 0. (b) La funci´on F (x) = Entonces la integral

Z x

Z →ba

x→b

f (t) dt est´a acotada en [a, b).

f (x)g(x) dx es convergente.

a

´ n Observar que de las condiciones del enunciado se deduce Demostracio que g ≥ 0 y que g 0 ≤ 0. Para s ∈ [a, b), integrando por partes con u = g(x) y dv = f (x)dx se tiene que Z s a

f (x)g(x) dx =

Z s

g(x)F (x)]sa −

a

Z s

0

F (x)g (x) dx = g(s)F (s)−g(a)F (a)−

a

F (x)g 0 (x) dx.

Z s

Puesto que se trata de probar la existencia del l´ımite l´ım− f (x) dx, seg´ un la s→b a igualdad anterior basta probar que los tres sumandos de la derecha convergen cuando s → b− . El del centro es una constante. Como g(s) → 0 si s → b− y F est´a acotada, es l´ım− g(s)F (s) = 0. Finalmente, que el sumando de la s→b

derecha tenga l´ımite equivale a que la funci´on F (x)g 0 (x) sea integrable y lo es, pues es absolutamente integrable como se deduce de la acotaci´on Z s a

0

|F (x)g (x)| dx ≤ M

Z s a

0

|g (x)| dx = −M

Z s a

g 0 (x) dx = M (g(a)−g(s)) ≤ M g(a),

donde M es una cota de |FZ (x)|. ¤ Ejemplo: La integral

+∞

1

sen(x) x

dx es convergente.

Z →b

Es de la forma f (x)g(x) dx con f (x) = sen(x) y g(x) = x1 . Adem´as a se verifican las hip´otesis del criterio de Dirichlet: 171

(a) La funci´on g(x) = y l´ım g(x) = 0.

1 x

es decreciente, tiene derivada continua en (1, +∞)

x→+∞

(b) La funci´on F (x) = [1, +∞):

Z x 1

sen(t) dt = cos(1) − cos(x) est´a acotada en

|F (x)| = | cos(1) − cos(x)| ≤ | cos(1)| + | cos(x)| ≤ 1 + 1 = 2.

172