Integrales Impropias Ej02

C´alculo 10001 - Ingenier´ıa Civil Complementos de integrales impropias

Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile

Los criterios m´as generales estudiados en clase no son suficientes para todas las distintas posibilidades que pueden darse, por ejemplo la integral Z +∞ sen x

x

0

dx,

no puede ser estudiada con dichos criterios. Para ello se necesitan teoremas m´as espec´ıficos como el siguiente. Teorema: Si f y g son funciones tales que: 1. f es continua en [a, ∞[. 2. g’ es continua en [a, ∞[ , g 0 (x) ≤ 0 y lim g(x) = 0. x→+∞

3. F (x) =

Z x a

f (t)dt es acotada para x ≥ a,

entonces

Z +∞ a

f (x)g(x) dx,

es convergente. Aplique este teorema para demostrar que las siguientes integrales son convergentes: 1.

R +∞ sen x 0 x dx.

2.

R +∞ sen x √ dx. 0 x

3. 4.

R +∞ 0

sen x2 dx. Use el cambio de variable u =

R +∞ sen x 0 xp dx, si 0 < p < 2.

√ x.