Integrales Impropias Ej01

C´alculo 10001 - Ingenier´ıa Civil Ejercicios de integrales impropias

Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile

1. Demuestre que las siguientes integrales convergen e interprete geom´etricamente . (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m)

Z +∞ 0

Z +∞ 0

Z +∞ 0

Z +∞ −∞ Z +∞ 0

1 dx x2 + 1 1 dx 4 x +1 x2 dx x4 + 1 1 dx 2 x +1 2

xe−x dx

Z +∞

1 dx (x + 1)(x + 2) 0 Z +∞ 1 dx 2 + 4)2 (x 0 Z 1 1 √ dx 1−x 0 Z 1 1 p dx (1 + x2 )(1 − x) 0 Z 1 1 p dx (1 − x2 )(1 + x2 ) −1 Z π/2 1 √ dx sen x 0 Z +∞ dx √ dx (1 + x) x 0 Z +∞ −∞

2

ex dx

2. Demuestre que las siguientes integrales divergen e interprete geom´etricamente . (a) (b) (c)

Z +∞ 0

Z +∞ 2

Z +∞

x dx +1 ln x dx x 1 dx x2

(d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Z +∞ 0

Z +∞ 0

x+3 dx (x + 1)(x + 2) 1 √ dx (1 + x

Z +∞ −x e 0

dx

x

Z +∞ 1 0

Z +∞ 0

Z +∞ 0

√ dx x ex √ dx x3

sen x dx

Z π sen x 0

x3

dx

3. Demuestre que Z +∞

0

e−x xn dx = n!

Indicaci´on: use la f´ormula de reducci´on 9, p´ag. 392 del Texto. 4. Demuestre que Z +∞

0

e−x cos(αx) dx =

1 1 + α2

5. Demuestre que Z

1 dx = 4+1 x √ " √ √ 1 + x 2 + x2 2 √ ln 2 + 1)+ + 2 arctan(x 8 1 − x 2 + x2 i √ 2 arctan(x 2 − 1) + c . Indicaci´on: 1 + x4 = 1 + x4 + 2x2 − 2x2 = (1 + x2 )2 − 2x2 = √ √ (1 − x 2 + x2 )(1 + x 2 + x2 ). √ Z +∞ 1 2π dx = (b) 4 x +1 4 0 (a)

6. Demuestre que

Z

x2 12. dx = 4 √ x" + 1 √ 2 1 − x 2 + x2 √ + ln 8 1 + x 2 + x2 i √ √ 2 arctan(x 2 + 1) + 2 arctan(x 2 − 1) + 13. c. √ Z +∞ 1 2π (b) dx = 4 x +1 4 0 (a)

7. Demuestre que Z +∞ π 1 dx = 2 + x4 + x6 1 + x 4 0 Indicaci´on: Observe que 1 + x2 + x4 + x6 = (1 + x2 )(1 + x4 ) y use los ejercicios 1a,5b, 6b . 8. Demuestre que Z b 1 p dx = π (x − a)(b − x) a Indicaci´on: Use el cambio de variable u = x − a y a continuacion use una nueva variable v de modo que u − 12 (b − a) = 12 (b − a)v. No se olvide que al cambiar de variable debe cambiar los l´ımites de integraci´ on. 1 − cos x 9. (a) Calcule lim .¿ Qu´e puede x→0 x2 Z π 1 − cos x decir de la integral dx ? x2 0 1 − cos x √ . (b) Calcule lim x→0 x Z +∞ 1 − cos x (c) Demuestre que dx x2 0 converge usando criterio de com1 paraci´on al l´ımite con g(x) = p , x eligiendo un p apropiado. x2 . x→0 1 − cos x

10. (a) Calcule lim

(b) Demuestre que verge.

Z π 0

dx dx di1 − cos x

11. Demuestre que las siguientes integrales convergen: (a) (b) (c)

Z π 0

ln(sen x) dx

Z π/2 0

ln(tan x) dx

Z +∞ ln x 2

dx

Demuestre la ¶ que Z 1 µ 1 ln dx, converge. 1−x 0 1 cambio de variable: y = . 1−x

integral Use el

Dada la curva y = xex , demuestre que el ´area A acotada asint´ oticamente por la parte negativa del eje X y la curva vale 1.

14. Demuestreque el volumen del s´olido de revoluci´ on que resulta al girar en torno al eje X la regi´on acotada por dos semiejes positivos, la recta y = 1 y la curva y = 3 cotanh x − 1, vale π(1 + 2 ln 2 − ln 3). 2

Bibliograf´ıa consultada 1. A.A. Blank : Problemas de c´ alculo y an´ alisis matem´ atico. Limusa-Wiley, M´exico, 1971. 2. G. W. Bluman: Problem Book for First Year Calculus. Springer-Verlag, 1984. 3. REA ’s Problem Solvers: Advanced Calculus.1999. 4. R. Rothe : Mat´ematica superior. Tomos I y II. Editorial Labor ,1959.