Integrales Dobles

Integrales dobles

Prof: Nancy Andrades

Repaso de la situación en una variable Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud ∆x. Si xj es el extremo izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define: b n lim ∑ f(xj )Δx= ∫ f(x)dx = F(b)- F(a)

n→∞ j= 1

a

xj

xj+1

a

b

Gráficamente representa el área bajo la gráfica de f en [a,b] Cálculo III (A, C y E)

La integral doble Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área ∆A. Sea (xj,yj) un pto del jesimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:

n lim ∑ f(xj , yj )ΔA

∫∫ f(x,y)dA = n→∞ j=1 R

( xJ, xj+1)

Cálculo III (A, C y E)

Interpretación gráfica La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.

z = f(x,y)

Región R

Cálculo III (A, C y E)

Cálculo de integrales dobles La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas.

d b

b d

c

a c

∫∫ f(x,y)dA = ∫ ∫ f(x,y)dxdy= ∫ ∫ R

a

f(x,y)dydx

Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R. Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable. Cálculo III (A, C y E)

Propiedades

∫∫ K.f(x,y)dA = K∫∫ f(x,y)dA

a)

R

R

∫∫ f(x,y) ± g(x,y)dA = ∫∫ f(x,y)dA± ∫∫ g(x,y)dA

b)

R

R

R

c) Si f(x,y) > 0, ∀ (x,y) ∈ R,

∫∫ f(x,y)dA > 0 R

d) Si R = R1 ∪ R2 , dondeR1y R2 no se sobreponen

∫∫ f(x,y)dA = ∫∫ f(x,y)dA+ ∫∫ f(x,y)dA R

R1

R2

Cálculo III (A, C y E)

Límites de integración Secciones transversales verticales: La región R está limitada por las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por R: a ≤ x ≤ b ,

g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

y = g2(x) R a

y = g1(x) b

b g2 (x)

∫∫ f(x,y)dA =∫ ∫ R

Cálculo III (A, C y E)

a g1(x)

f(x,y)dydx

Límites de integración Secciones transversales horizontales: La región R está limitada por las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por d

x = h1(x)

R: c ≤ y ≤ d ,

h1(y) ≤ x ≤ h2(y)

x = h2(x) c

R d h2 (y)

∫∫ f(x,y)dA = ∫ ∫ R

Cálculo III (A, C y E)

c

h1(y)

f(x,y)dxdy