Integral Teoria, Vzorce

8. Integrál 8.1. Neurčitý integrál Z geometrického významu derivácie vieme, že derivácia funkcie F (x) v bode x 0 je smernica dotyčnice ku grafu funkcie y = F (x) v dotykovom bode [ x0 , F ( x0 )] . Keď teda máme funkciu a dotykový bod, vieme pomocou derivácie vypočítať smernicu dotyčnice v tomto bode a teda aj rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode. Úloha by mohla byť aj opačná. Ktoré sú to funkcie, ktoré majú v danom bode x smernicu dotyčnice danú predpisom f (x) ? Z matematického hľadiska, pre danú funkciu f (x) treba nájsť funkciu F (x) takú, že F ′( x ) = f ( x ) . Definícia 8.1 (Definícia primitívnej funkcie) Funkcia F (x) sa nazýva primitívna funkcia k funkcii f (x) na intervale (a, b), ak pre každé x ∈ (a, b) platí, že F ′( x ) = f ( x )

Priamo z definície primitívnej funkcie a z toho, že derivácia konštanty je nula, je zrejmé, že aj funkcia F ( x) + c je primitívna funkcia k funkcii f (x) . Definícia 8.2 (Definícia neurčitého integrálu) Nech funkcia F (x) je primitívnou funkciou k funkcii f (x) , potom neurčitý integrál

∫ f ( x) dx = F ( x) + c Neurčitý integrál z funkcie f (x) je teda množina primitívnych funkcií, presnejšie, množina všetkých primitívnych funkcií k funkcii f (x) . Príklad 1. Nájdite primitívnu funkciu F (x) k funkcii f ( x) = 2 x a vypočítajte neurčitý integrál ∫ 2 x dx . Riešenie. Z toho, čo vieme o deriváciách nie je ťažké sa presvedčiť, že ( x 2 )′ = 2 x a preto • primitívna funkcia F ( x) = x 2 • neurčitý integrál ∫ 2 x dx = x 2 + c

Prirodzená otázka je, či ku každej funkcii f (x) existuje primitívna funkcia a teda aj neurčitý integrál. Dá sa dokázať, že nie. Ak je ale funkcia f (x) spojitá na intervale (a, b) potom k nej existuje primitívna funkcia aj neurčitý integrál na tomto intervale (aj keď nie vždy ich vieme nájsť). Uvedieme základné vzorce pre integrovanie, ktoré vyplývajú z definície neurčitého integrálu a zo vzorcov pre derivovanie.

Neurčité integrály niektorých elementárnych funkcií (základné vzorce) x n +1 +c n +1

•

n ∫ x dx =

•

∫ x dx

•

∫e

•

∫ sin x dx

= − cos x + c

•

∫ cos x dx

= sin x + c

•

∫ cos

•

∫ sin

•

∫

1

n ≠ −1

= ln x + c

dx = e x + c

x

1 2

x

2

x

1

dx = tg x + c

dx = − cot g x + c

f ′( x) dx = ln f ( x) + c f ( x)

Okrem týchto základných vzorcov je potrebné poznať aj základné vlastnosti neurčitých integrálov, ako sú integrál zo súčinu konštanty a funkcie a integrál zo súčtu dvoch (viac) funkcií. •

∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx

•

∫ ( f ( x) + f 1

2

( x) ) dx = ∫ f1 ( x) dx + ∫ f 2 ( x) dx

Príklad 2. Vypočítajte integrál



∫  2 x

3

−

3   dx . sin 2 x 

Riešenie. Použijeme základné vlastnosti integrálu a vzorce a dostaneme, že 3  1 x4 x4  3 3 2 x − dx = 2 x dx − 3 dx = 2 − 3 ( − cot g x ) + c = + 3 cot g x + c  ∫  ∫ ∫ sin 2 x 4 2 sin 2 x 

Či je výsledok správny sa presvedčíme tak, že zderivujeme neurčitý integrál (výsledok) a mali by sme dostať integrovanú funkciu. ′  x4  1 −1 3  + 3 cot g x + c  = 4 x 3 + 3 2 + 0 = 2 x 3 − 2 sin x sin 2 x  2 

Z vlastností neurčitého integrálu a zo vzorcov sa dajú počítať len veľmi jednoduché integrály. K výpočtu zložitejších integrálov potrebujeme poznať konkrétne metódy a z nich uvedieme len jednu, tzv. substitučnú metódu.

Substitučná metóda Substitučnou metódou sa najčastejšie riešia integrály zo súčinu dvoch funkcií (integrál zo súčinu nie je súčin integrálov), z ktorých jedna je zložená funkcia a druhá je derivácia jej vnútornej zložky ϕ ( x) = t

∫ f (ϕ ( x)) ϕ ′( x) dx = ϕ ′( x) dx = dt = ∫ f (t ) dt = F (t ) + c = F (ϕ ( x)) + c Substituovali sme vnútornú zložku zloženej funkcie a využili sme tú skutočnosť, že primitívna funkcia k funkcii f (t ) je F (t ) a vrátili sme sa k pôvodnej premennej. Príklad 3. Vypočítajte integrály

∫

sin x cos x dx ,

∫

3

5 x + 1 dx

Riešenie. Použijeme substitučnú metódu a prvý zo základných vzorcov

∫

sin x cos x dx =

sin x = t t 3/ 2 2 = ∫ t dt = ∫ t 1 / 2 dt = +c = sin 3 x + c cos x dx = dt 3/ 2 3

∫

3

5x + 1 = t 1 1 = 5 x + 1 dx = dx = dt 5 ∫ 5

3

1 1/ 3 1 t 4/3 3 3 t dt = ∫ t dt = (5 x + 1) 4 + c +c = 5 5 4/3 20

8.2. Určitý integrál Neurčitý integrál bol definovaný ako množina všetkých primitívnych funkcií k integrovanej funkcii, čiže nejaká trieda funkcií. Určitý integrál b

∫ f ( x) dx a

je reálne číslo, ktoré predstavuje plochu krivočiareho lichobežníka, daného nerovnicami a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x) Otázka je ako definovať takúto plochu (určitý integrál). Jedna z možností je, že rozdelíme interval [a, b] na n rovnakých subintervalov (deliace body sú a = x0 , x1 , x 2 , ..., x n −1 , x n = b ) x1 − x0 = x 2 − x1 = ... = x n − x n −1 =

b−a = ∆x n

a v každom z nich zvolíme jedno číslo. V prvom ξ1 , v druhom ξ 2 , atď. a nakoniec v n-tom ξ n .

Vypočítame súčet plôch n obdĺžnikov (Sf), ktorý v prípade, že n je veľké, sa veľmi nelíši od hľadanej plochy krivočiareho lichobežníka n

S f = ∆x f (ξ1 ) + ∆x f (ξ 2 ) + ... + ∆x f (ξ n ) = ∑ ∆x f (ξ i ) i =1

Súčet Sf sa nazýva integrálny súčet. Závisí od rozdelenia intervalu [a, b] na subintervaly a od voľby bodov ξ i v jednotlivých subintervaloch. Definícia 8.3 (Definícia určitého integrálu) Nech funkcia f (x) je definovaná na intervale [a, b] a nech pre každé delenie tohto intervalu (na n subintervalov) a pre každý výber bodov ξ i je lim S f rovnaká, potom určitý integrál n →∞

b

∫ f ( x) dx = lim S n →∞

a

f

Prirodzená otázka opäť je, či vždy existuje určitý integrál b

∫ f ( x) dx a

Odpoveď je nie, ale ak funkcia f (x) je napríklad spojitá na intervale [a, b], tak tento určitý integrál existuje. Počítať určitý integrál priamo z definície je veľmi zložité. Pre jeho výpočet budeme používať Newtonov – Leibnizov vorec. Veta 8.1 (Newtonov – Leibnizov vzorec pre výpočet určitého integrálu) Ak funkcia f (x) má na intervale [a, b] primitívnu funkciu F (x) , potom b

∫ f ( x) dx = [F ( x)]

b a

= F (b) − F (a)

a

π /2

Príklad 4. Vypočítajte určitý integrál

∫

sin x cos x dx

0

Riešenie. Z príkladu 3 vieme, že

∫

sin x cos x dx =

2 sin 3 x + c 3

Poznáme teda primitívnu funkciu a z Newtonovho –Leibnizovho vzorca ľahko dostaneme, že

π /2

∫ 0

π /2

2  sin x cos x dx =  sin 3 x  3 0

=

2 2 π 2 sin 3 − sin 3 0 = = 0,667 3 3 2 3

8.3. Geometrické aplikácie určitého integrálu Pomocou určitých integrálov sa dajú počítať obsahy rovinných útvarov, objemy priestorových útvarov, dĺžky kriviek a veľa iných úloh. Uvedieme niektoré z najznámejších aplikácií určitého integrálu.

• Obsah rovinných útvarov Nech funkcie f (x) a g (x) sú spojité na intervale [a, b] a nech na intervale (a, b) je f ( x) < g (x) , potom pre obsah P rovinného útvaru, definovaného nerovnicami a≤ x≤b

g ( x) ≤ y ≤ f ( x)

platí, že b

P = ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx a

• Objem rotačných telies Nech funkcie f (x) a g (x) sú spojité a nezáporné na intervale (a, b)a nech na tomto intervale je f ( x) < g (x) , potom pre objem V rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinného útvaru, definovaného nerovnicami a≤ x≤b g ( x) ≤ y ≤ f ( x)

okolo osi x platí, že b

(

)

V = π ∫ f 2 ( x) − g 2 ( x) dx a

• Dĺžka rovinnej krivky Nech krivka k je grafom funkcie f (x) na intervale [a, b] a nech funkcia f (x) je spojitá a má spojitú deriváciu na tomto intervale, potom pre dĺžku s krivky k platí, že b

s = ∫ 1 + f ′( x) 2 dx a

Príklad 5. Vypočítajte obsah rovinného útvaru ohraničeného krivkami y = e x , y = e − x , x = ln 2 . Riešenie. Z grafu uvedených troch kriviek nie je ťažké sa presvedčiť, že rovinný útvar, ktorého plochu hľadáme, je definovaný nerovnicami 0 ≤ x ≤ ln 2 e −x ≤ y ≤ e x

a preto pre jeho obsah platí b

P = ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx = a

ln 2

∫ (e

)

[

− e − x dx = e x + e − x

x

]

ln 2 0

= e ln 2 + e −ln 2 − e 0 − e 0 = 0,5

0

Príklad 6. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou časti roviny, ohraničenej krivkami y = e x , y = 0, x = 0, x = 1 okolo osi x. Riešenie. Z grafu uvedených štyroch kriviek nie je ťažké sa presvedčiť, že rovinný útvar, ktorý bude rotovať okolo osi x, je definovaný nerovnicami 0 ≤ x ≤1 0 ≤ y ≤ ex

a preto pre objem vzniknutého telesa, podľa vzorca, platí b

V =π∫ a

(

1

 e2x  e2 −1 f ( x) − g ( x) dx = π ∫ e dx = π   = π 2  2 0 0 2

2

)

1

2x

Príklad 7. Vypočítajte dĺžku reťazovky y =

(

)

1 x e + e − x pre x ∈ [0, 2]. 2

Riešenie. Výhodou týchto príkladov je, že nemusím vedieť ako daná funkcia vyzerá na intervale [0, 2], ale nevýhodou je, že často treba riešiť ťažký integral (integral z odmocniny, pozri vzorec). Skôr než dosadíme do vzorca, vypočítame deriváciu f ′( x) = b

2

s = ∫ 1 + f ′( x) dx = ∫ 2

a

0

(

1 x e − e −x 2

) 2

(e x − e − x ) 2 4 + e 2 x − 2 + e −2 x dx = ∫ = 1+ 4 4 0 2

2 2  e x − e−x  e 2 − e −2 − 1 + 1 e 2 − e −2 1 1 x −x 2 x −x e + e dx = e + e dx = = = ( ) ( )   2 ∫0 2 ∫0 2 2 2  0

Cvičenia 8.1 Zistite, či funkcia F (x) je primitívna k funkcii f (x) v intervale I f ( x) = cos x, F ( x) = − sin x, I = (−∞, ∞) −x b) f ( x ) = , F ( x) = 1 − x 2 , I = (−1, 1) 2 1− x 2x , F ( x) = 2 + ln( x 2 + 4), I = (−∞, ∞) c) f ( x) = 2 x +4 2 2 d ) f ( x) = e − x (1 − 2 x 2 ), F ( x) = x e − x , I = (−∞, ∞) a)

8.2 Vypočítajte neurčité integrály a)

∫ (2 x

c)

∫ (2 x +

2

)

− 3x + x dx x

(

)

2

dx

2x x + x x3

e)

∫

g)

∫  3 sin x − sin

3



x 2 2

) dx   dx x

b) d)



∫  5 x

−3

∫ x (x 2

2

+ 2x3 + 3

+ x + 1 dx

x3 −1 f) ∫ dx x −1 h)

∫ tg

2

)

1   dx x

x dx

1 ∫ sin 2 x cos 2 x dx 1 k) ∫ dx x ln x i)

j)

x2 ∫ x 3 + 5 dx

l)

∫ (tg x + cot g x ) dx

8.3 Substitučnou metódou vypočítajte integrály a) c)

∫ (x − 3) dx 2x + 4 ∫ x + 4 x − 2 dx 8

3

2

e)

∫ (x

g)

∫e

2

x dx + 3) 3

−2 x + 3

dx

d)

∫ 2 x x + 5dx ∫ 5 x + 3 dx

f)

∫x

h)

∫xe

b)

2

x 3 + 2 dx

2

− x2

dx

8.4 Substitučnou metódou vypočítajte integrály a)

x x ∫ e e + 2 dx

c)

∫ sin 5x dx ∫ sin x cos x dx ∫ cos x dx

e) g)

3

3

ln 4 x ∫ x dx d ) ∫ sin x 3 + cos x dx b)

f) h)

∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx 2

2

3

8.5 Vypočítajte obsah roviny ohraničenej krivkami a) y = 6 x − x 2 , y = 0 b ) y = x 2 − 2 x, y = x

c) y = x 2 , y = x d ) y = x 2 , y = 2x 2 , y = 1 2 e) y = sin x, y = x

π

f) g)

y = e x , y = e, x = 0 1 y = e −2 x , y = , x = 0 2

8.6 Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou časti roviny ohraničenej krivkami okolo osi x a) y = x 2 + 2, y = 2 x 2 + 1 b) y = 1 − x 2 , y = x 2

c)

y = x2 , y = x

d)

y = 1− x2 , y = 0 2 y = sin x, y = x

e)

π

f ) y = e , y = e, x = 0 g ) y = e −2 x , y = 0, x = 0, x = 2 x

8.7 Odvoďte vzorec pre objem gule. 8.8 Odvoďte vzorec pre objem kužeľa. 8.9 Vypočítajte dĺžku krivky y = 2 + ln sin x, x ∈ [π / 4, π / 2] , ak viete, že 1

x

∫ sin x dx = ln tg 2 + c