Integral Kel. 3.docx

INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu 1. Pengertian integral Definisi : Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang d ( F ( x)) kontinu pada interval [a, b] diperoleh = F’(x) = f(x). Antiturunan dx dari f(x) adalah mencari fungsi yang turunannya adalah f (x), ditulis  f(x) dx

Secara umum dapat kita tuliskan : ∫ f(x) dx = ∫F’(x) dx = F(x) + C

Catatan:  f(x) dx f(x) F(x) C

: disebut unsur integrasi, dibaca ” integral f(x) terhadap x” : disebut integran (yang diitegralkan) : disebut fungsi asal (fungsi primitive, fungsi pokok) : disebut konstanta / tetapan integrasi

Perhatikan tabel dibawah ini ! Pendiferensialan

F(x) x2 + 3x x2 + 3x + 2 x2 + 3x - 6 x2 + 3x + 3 x2 + 3x +C, dengan C = konstanta  R

F′(x) = f(x) 2x + 3 2x + 3 2x + 3 2x + 3 2x + 3

Pengintegralan

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 1

Berdasarkan tabel sebelumnya dapat kita simpulkan bahwa dari F(x) yang berbeda diperoleh F′(x) yang sama, sehingga dapat kita katakan bahwa jika F′(x) = f(x) diketahui sama, maka fungsi asal F(x) yang diperoleh belum tentu sama. Proses pencarian fungsi asal F(x) dari F′(x) yang diketahui disebut operasi invers pendiferensialan (anti turunan) dan lebih dikenal dengan nama operasi integral. Jadi, secara umum perumusan integrasi dasar sebagai berikut: Integral fungsi aljabar 1.

 k dx

= kx+C

x n 1  C , bila n ≠ -1 n 1 a x n 1`  c, dengan n  1 3.  ax n dx  n  1` 4.  ( f ( x)  g ( x)) dx   f ( x)dx   g ( x)dx 2.

n  x dx 

5.  a. f ( x)dx  a  f ( x)dx, dimana a konstanta sebarang. Integral fungsi trigonometri 1.  sin x dx   cos x  C 1 2.  sin( ax  b)dx   cos( ax  b)  C a 3.  cos x dx  sin x  C

4.

1

 cos(ax  b)dx  a sin( ax  b)  C

Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometri akan digunakan kesamaan-kesamaan sebagai berikut berikut ini: 1. sin2x +cos2x = 1 1 (1- cos 2x) 2 1 3. cos2x = (1 + cos 2x ) 2

2. sin2x =

JURUSAN ARSITEKTUR

1 sin 2x 2 1 5. 1 – cos x = 2 sin2 2 x 1 6. 1 + cos x = 2 cos2 2 x

4. sin x. cos x =

Page 2

Contoh soal :

x6 C 1.  x dx = 6 5

4

2.



3

1 3

4

x3 3 3  x C x dx =  x dx = 4 4 3

3.  4dx  4x + C

2. Kegunaan integral tak tentu Kegunaan integral tak tentu cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan, jarak, dan waktu. Perhatikan contoh berikut : Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan kecepatan moleku ltersebut ! Penyelesaian: Percepatan molekul a(t) = -12t +24 Sehingga : v =  a dt v =  (12t  24) dt v = -6t2 + 24t + C pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20 Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t2 + 24t + 20

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 3

B. Integral Tertentu Integral tertentu dinotasikan dengan b

 f ( x) dx = F ( x)

b a

= F(b) – F(a)

a

Keterangan: f(x) adalah integran, yaitu f(x) = F’(x) a, b adalah batas-batas pengintegralan [a, b] adalah interval pengintegralan Contoh soal : 2

1  1  1  1.  x dx =  x 4  =  (2) 4    (2) 4  = ( 4 – 4 ) = 0  4   4  2  4 2 2

3

Teknik Pengintegralan 1. Integral Substitusi Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut. du

 [ f (u) dx ]dx   f (u)du

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 4

Contoh soal : a. Tentukan  2 x( x 2  3) 4 dx ! Penyelesaian: du du  2 x atau dx  dx 2x du Sehingga diperoleh,  2 x( x 2  3) 4 dx =  2 x u 4 2x 4 =  u du

a. Misalkan u = x 2  3 , maka

1 5 u C 5 1 = ( x 2  3) 5  C 5

=

C. Integral Parsial Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. Prinsip dasar integral parsial adalah sebagai berikut. y = u .v 

dy = du.v + u.dv  dy =  v du +  u dv y =  v du +  u dv u.v =  v du +  u dv  u dv = u.v -  v du

pengintegralan parsial integral tak tentu



u v′ = uv

-



pengintegralan parsial integral tertentu b

u′v



u v′ = uv b a





b

v du

 a

JURUSAN ARSITEKTUR



u′v

a

a

u dv = uv -

b

u dv = uva b

b



v du

a

Page 5

Contoh soal : Tentukan  x 2 sin x dx ! Penyelesaian: Cara 1: dengan menggunakan rumus



u dv = uv -  v du

Misal : u = x2,  du  2xdx dv = sin x dx  v   sin xdx = - cos x

x

sehingga diperoleh,

2

sin x dx = x2. (-cos x) -  ( cos x)2 xdx = x2. (-cos x) +  cos x.2 xdx = - x2.cos x + 2 (x.sin x -  sin xdx ) = - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C

Selain cara di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut : untuk menentukan integral parsial bentuk  udv, yang turunan ke-k dari u adalah 0 dan integral ke- k dari v selalu ada. Cara 2: Diturunkan

Diintegralkan

x2

sin x

- 2x

- cos x

+

+ 2

- sin x

- 0

cos x

Deferensialkan sampai nol Sehingga diperoleh,

x

2

 sin xdx = - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C

Penggunaan Integral Tertentu.

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 6

1. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung Luas Daerah. Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y y y

y = f(x) x=a

x=b

0

0

x=a

x=b

x

x y =f(x)

(a)

( b)

y

y1 = f(x)

y

y= sin x y2 = g(x) 0

a

b

x

0

a

(c)

b

x

(d)

Keterangan: (a) Luas daerah di atas sumbu x (b) Luas daerah di bawah sumbu x (c) Luas daerah dibatasi oleh dua kurva (d) Luas daerah dibatasi oleh y = sinx Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir : b

LA =



f ( x) dx

a

b

LC =  ( y1  y 2 )dx a

JURUSAN ARSITEKTUR

b

a

a

b

LB =   f ( x)dx   f ( x)dx b

LD =  sin xdx a

Page 7

Contoh soal : Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh: 1. y =2x - 2, untuk 0  x  2 2. y1= x2 dan y2 = 2x +3  3 3. y = cos x, untuk  x  2 2 Penyelesaian: 1. y =2x - 2 Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2 y= 2x-2 y L = L1 + L2

0

1

2

x

-1 -2 2









L1=  (2 x  2)dx  x 2  2x 1  ( 22-12)-(2.2 – 2.1)= (4-1)-(4-2)=3-2=1 1 1

2

L2=  (2 x  2)dx  x 2  2 x 0  12  2.1  1 1

0

Jadi luas L=1+  1 = 2 satuan luas 2. y1 = x2 dan y2 = 2x + 3 Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y1 = x2 dan y2 = 2x + 3 y=2x+3 y 9

-1

0

y=x2

menentukan batas-batasnya y1 - y2 = 0 jadi diperoleh x2 - 2x-3=0 x1= -1 dan x2= 3 (x +1)(x – 3 )=0 (-1) sebagai batas bawah dan (3) sebagai batas atas.

3

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 8

3

L=

 (2 x  3)  x

2

dx

1

3

1   1 1     =  x 2  3x  x 3  = 3 2  3.3  .33    12  3.(1)  .(13 ) 3   3 3  1    1   = 9  (1  3  ) 3   2 = 10 satuan luas 3 atau dengan menggunakan cara cepat ( khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva yang belum diketahui batas-batasnya). L=

D D 6a 2

Sehingga luas menjadi : y = 2x + 3 - x2, L=

D = b2-4.a.c = 4- 4.(-1).3 =16

16 16 64 2   10 satuan luas 2 3 6.(1 ) 6

3. y = cos x 3 2

3 2

L = -  cos xdx = - sin x = -(sin

y



2

3  – sin ) 2 2

2

= - (-1 - 1) = 2 satuan luas 1 0

y = cos x

 2

3 2

JURUSAN ARSITEKTUR

x

Page 9

INTEGRAL PECAHAN PARSIAL Sebuah polinomial dalam x adalah fungsi dalam bentuk : a0xn + a1xn-1 + .... + an-1x + an , di mana semua a adalah konstanta a0 ≠ 0 dan n adalah bilangan bulat positif termasuk nol . Jika dua polinomial dengan derajat sama adalah sama untuk semua nilai peubah , koefisien peubah dengan pangkat sama dalam kedua polinomial tersebut adalah sama . Tiap polinomial dengan koefisien real dapat dinyatakan ( paling sedikit , secara teoritis ) sebagai hasil kali faktor linear real dengan bentuk ax + b dan faktor kuadratik real yang tak dapat direduksi dengan bentuk ax2 + bx + c. Sebuah fungsi F(x) = f(x)/g(x) , di mana f(x) dan g(x) adalah polinomial disebut Pecahan rasional. Jika derajat f(x) lebih kecil dari derajat g(x) , disebut F(x) yang baik , bila tidak disebut F(x) yang tidak baik . Suatu pecahan rasional yang tidak baik dapat dinyatakan sebagai jumlah polinomial dan sebuah pecahan rasional yang baik. Jadi : x3/(x2 + 1 ) = x - x/(x2 + 1 ). Tiap pecahan rasional yang baik dapat dinyatakan ( paling sedikit , secara teoritis ) sebagai jumlah pecahan yang lebih sederhana ( pecahan parsial ) yang penyebutnya berbentuk (ax + b )n dan ( ax2 + bx + c )n , n adalah bilangan bulat positif . Empat kasus , yang tergantung pada wujud faktor-faktor dalam penyebut . Kasus 1 : FAKTOR LINEAR BERBEDA . Untuk tiap faktor linear ax + b yang muncul sekali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik , terdapat sebuah pecahan parsial tunggal berbentuk A/(ax + b) , di mana A adalah konstanta yang harus ditentukan. Kasus 2 : FAKTOR LINEAR BERULANG . Untuk tiap faktor linear ax + b yang muncul n kali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik , terdapat suatu penjumlahan n buah pecahan parsial berbentuk : A1/(ax+b) + A2/(ax +b)2 + ....... + An/(ax+b)n Di mana semua A adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan . Kasus 3 : FAKTOR KUADRATIK BERBEDA Untuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax 2+bx +c yang muncul sekali dalam penyebut pecahan rasional yang baik , terdapat pecahan parsial tunggal berbentuk (Ax+B)/(ax2 + bx + c) , di mana A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan .

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 10

Kasus 4 : FAKTOR KUADRATIK BERULANG Untuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2 + bx + c yang muncul n kali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik , terdapat suatu penjumlahan dari n pecahan parsial berbentuk : (A1x + B1)/(ax2 + bx + c ) + ( A2x + B2)/(ax2 + bx + c )2 + ..... + (Anx+Bn)/(ax2+bx+c)n Di mana semua A dan B adalah konstanta yang harus ditentukan . INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, 4, ….n. b

 f ( x) dx 

n

lim

n 

a

 f(x

k

) x k

k 1

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk dan bentuklah jumlah : n

 f ( x , y ) k

k

kA

f ( x1 , y1 )1 A  f ( x2 , y 2 ) 2 A  .......  f ( xn , y n ) n A

k 1

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan : n

 f ( x, y)dA  lim  f ( x , y ) n 

R

k

k

kA

k 1

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 11

a.

 f ( x, y)dA   f ( x, y)dxdy R

R

y f ( y )    2      f ( x, y ) dx dy  a   y  f1 ( y )  b

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y. b

 f ( x, y)dA   f ( x, y)dydx  

b.

R

R

a

 y  f 2 ( y)    f ( x, y ) dy dx   y  f ( y)  1  



dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x. Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG Bentuk umum :

 f ( x, y)dA   f ( x, y)dxdy R

dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d } a,b,c dan d adalah konstanta

Contoh : 1

1.

2

  dxdy 0 1

4 2

2. 

2 2 ( x  y ) dxdy 

2 1

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 12

4 2

  ( xy  3 y

3.

2

) dydx

2 1

4

4.



2

  (sin   r cos 2 )ddr 2

0

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG b

a.

 f ( x, y)dA  

f 2 ( x)

 f ( x, y)dy dx

x  a y  f1 ( x )

R

dimana : R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

d

b.

 f ( x, y)dA  

f 2 ( y)

 f ( x, y)dx dy

y  c x  f1 ( y )

R

dimana : R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

Contoh : 1

1.

x

  xy

2

dydx

0 x2

2 3y

2.

  ( x  y)dxdy 1

y

2 x2  x

3.

  x dydx 0 2 x2

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 13



4.

2

 

sin 2

 2drd

cos 2

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :

 f ( x, y) dA R

dapat dijelaskan sbb : 1.

LUAS Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :

A

 dA

atau A 

R

 dxdy   dydx R

R

Dalam koordinat polar :

A

 dA R

2 



2

 d d      1

JURUSAN ARSITEKTUR

1

Page 14

CONTOH-CONTOH SOAL INTEGRAL BESERTA PENYELESAINNYA :

1. 2.

2  (2 x  5x  3)dx 

 sin

2

2 x 3 5x 2   3x  C 3 2

1 1 1 xdx   (1` cos 2 x)dx  x  sin 2 x  C 2 2 4 2

2 1  1  1  3.  ( x 2  4 x) dx =  x 3  2 x 2  =  (2) 3  2(2) 2    (0) 3  2(0) 2   3  3 0 3 0 2 = (8/3 + 8 ) – ( 0 + 0 ) = 10 3

 2

4.





1 1 1 2 2 0 cos x dx= 0 2 (1  cos 2 x) dx =  2 x  4 sin 2 x 0   1  1  1  1 =  .  sin 2( ) = (  0)  (0  0)  4 4 2  2 2 2 2 4 2

5. .Tentukan  sin 3 x.cos x dx ! Misalkan u = sin x, maka

du du  cos x atau dx  dx cos x

Sehingga diperoleh,

 sin

3

x.cos x dx =  u 3 cos x

du cos x

=  u 3 du 1 4 u C 4 1 = sin 4 x  C 4

=

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 15

6.Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y

Jawab :

2 2- y

A 

 dA    R

dxdy 

0 2y - 4

 ( 2  y  2 y  4)dy 0

2- y

0

2y - 4

 x  dt

2



2

2



 (6  3y)dy 0

2

3  (6y y 2 )   (12  6)  6 2 0

7. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :

1,0  x  3,0  y  1  f(x,y) = 2,0  x  3,1  y  2 3,0  x  3,2  y  3  hitung

 f ( x, y)dA dengan R = { ( x, y) : 0  x  3,0  y  3} R

jawab : misal persegi panjang R1, R2, R3 R1 = { ( x, y ) : 0  x  3,0  y  1} R2 = { ( x, y ) : 0  x  3,1  y  2} R3 = { ( x, y ) : 0  x  3,2  y  3} , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua, sehingga :

 f ( x, y)dA   f ( x, y)dA +  f ( x, y)dA +  f ( x, y)dA R

R1

R2

R3

= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3) = 1.3 + 2.3 + 3.3 = 18

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 16

3 2

8.  [  (2 x  3 y)dx]dy 0 1

Jawab: 3 2 = ∫ [𝑥 2 + 3𝑥𝑦 |] 𝑑𝑦 1 0 3

= ∫[{22 + 3(2)𝑦} − {12 + 3(1)𝑦}]𝑑𝑦 0 3

3 3 3 1 = ∫ 5 + 3𝑦 𝑑𝑦 = 5𝑦 + 𝑦 2 | = {5(3) + (3)2 } = 28 2 0 2 2 0

9. Hitung:

8

4

∫0 ∫0 (𝑥 2 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

Jawab: Terlebih dahulu kita hitung integral sebelah dalam, yaitu: 4

4 1 6 ∫(𝑥 2 + 𝑦)𝑑𝑥 = [ 𝑥 2 + 𝑦𝑥] = + 4𝑦 3 4 0 0

Selanjutnya kita hitung integral lipat duanya, yaitu: 8 4

8

8 64 64 512 2 2 ∫ ∫(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ( + 4𝑦) 𝑑𝑦 = [ 𝑦 + 2𝑦 ] = + 128 = 298 3 3 3 3 0 2

0 0

0

10. Cari volume 𝑉 dari benda pejal yang sebelah atasnya dibatasi oleh 𝑧 = 2 − 𝑥 + 𝑦 2 dan sebelah bawah dibatasi oleh persegi panjang 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}. Jawab: 2 1

2

1 1 𝑉 = ∬(2 − 𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝐴 = ∫ ∫(2 − 𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [2𝑥 − 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥] 𝑑𝑦 2 0 𝑅

0 0

0

3

3 3 1 3 3 27 2 = ∫ ( + 𝑦 ) 𝑑𝑦 = [ 𝑦 + 𝑦 ] = 2 2 3 2 0 0

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 17

JURUSAN ARSITEKTUR

Page 18