Integral Indefinida 1

COLEGIO DE BACHILLERES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

FASCÍCULO 2. LA INTEGRAL INDEFINIDA UNA VISIÓN ESTÁTICA

Autores: Luisa Guerrero Chávez Mauro Enrique Vázquez Muñoz

1

COLEGIO DE BACHILLERES

Colaboradores:

Asesoría Pedagógica:

Revisión de Contenido:

Diseño Editorial: Leonel Bello Cuevas Javier Darío Cruz Ortiz

2

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN PROPÓSITO

5

CAPÍTULO 1. INTEGRAL INDEFINIDA

9

7

1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA

12

1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

15

1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

19

1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE

23

1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA

28

1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

30

RECAPITULACIÓN

36

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

37

AUTOEVALUACIÓN

38

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

39

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

40

3

4

INTRODUCCIÓN

La integral definida

b

∫ f ( x )dx a

expresada como la suma

∑ f ( x )∆x

permite calcular el área

bajo una curva con base en el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual faculta la evaluación de una integral definida rápidamente. También ayudará a entender la diferencia y similitudes entre la integral indefinida y la integral definida. En algunos ejemplos se encontrará que el intervalo de integración es variable, por lo tanto, lo que se resolverá serán integrales indefinidas con base en lo aprendido en Cálculo Diferencial e Integral I, ya que deberás obtener una función antiderivada o primitiva F(x) tal que su derivada sea la función original, esto es: dF ( x ) = f (x) dx

5

6

PROPÓSITO

El cálculo diferencial y el cálculo integral son procesos inversos cuyo análisis de relación se alcanza con el contenido del presente fascículo, el cual pretende que al concluir su estudio:

¿QUÉ APRENDERÁS?

El Teorema Fundamental del Cálculo y a resolver integrales indefinidas y definidas.

¿CÓMO LO APRENDERÁS?

Mediante la relación existente entre ambas integrales y el procedimiento de evaluación y solución de dichas integrales

¿PARA QUE TE VA A SERVIR?

Para evaluar una integral definida (área bajo una curva) de funciones elementales y para determinar el valor de la constante de integración que se indica explícitamente en cada integral indefinida.

7

8

CAPÍTULO 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA Durante un recorrido en autobús, un estudiante observó que el velocímetro marcaba 15 km/h y que este trayecto se hizo en una hora; al llegar a una parte de subidas y curvas la velocidad era de 40 km/h, y al salir de éstas la velocidad era de 60 km/h. Al circular en la autopista, la velocidad era de 90 km/h. Con estos datos el observador hizo la siguiente gráfica. v (km/h) 80 60 40 20 t (h) 1

2

3

4

Figura 1.

Esta gráfica representa los cambios de velocidad en un intervalo de tiempo, pero no dice cuántos kilómetros son, ya que son resultados acumulados de razones de cambio, mas al tomar la suma de los productos de las razones de cambio multiplicados por el intervalo el resultado obtenido será la suma total de los procesos de cambio. Por consiguiente, para obtener la distancia total se tiene: 15 km/h(1h) + 40 km/h(1h) + 60 km/h(1h) + 90 km/h(1h); entonces la distancia resulta: 15 km + 40 km + 60 km + 90 km = 205 km.

9

La figura 2 representa la distancia total recorrida en 4 h. s (km)

205

205

115 55 15

t (h) 1

2

3

4

Figura 2.

De acuerdo con las gráficas se puede establecer que obtener la distancia que recorre el autobús implica sumar o integrar esa razón de cambio simbólicamente, por lo tanto,

∫ vdt = s

función desplazamiento

función velocidad o inversamente, Si es la distancia o desplazamiento lo que se tiene y deseas obtener la ds =v. velocidad, debes derivar la función desplazamiento dt Lo anterior es una explicación que te ayudará a entender el porqué de ciertas funciones continuas; por ejemplo: (1) ƒ(x) = x2, cuya gráfica es:

(2) ƒ(x) = x2 + 2, cuya gráfica es

10

(3) ƒ(x) = x2 – 2, cuya gráfica es

Al derivar obtienes otra función: ƒ’1(x) = 2x , ƒ’2(x) = 2x y ƒ3(x) = 2x , que al integrarlas se regresa a las funciones (1, (2) y (3).

11

1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA A lo largo de tu formación académica has observado que en Matemáticas existen operaciones y funciones inversas, algunos ejemplos se especifican en la siguiente tabla: Operación o función Suma Multiplicación Función exponencial

Símbolo + x y = ax

Operación o función Resta División Función logarítmica

Símbolo + y = logax

Respecto a la derivada y la antiderivación, éstas se manejarán como procesos inversos. En relación con la derivada y antiderivada se tiene una función continua F(x) y por dF ( x ) ; por consiguiente, al dx derivar la función primitiva obtenemos otra función ƒ(x), mas si a ésta se le aplica el proceso inverso, la antiderivación guardaría una función primitiva u original, es decir, la que le dio origen. técnicas ya conocidas se determina la derivada, o sea

En los conceptos estudiados en Cálculo Diferencial hay uno que plantea el siguiente problema: dada una función, encontrar su derivada, que en Cálculo Integral estudiaremos como el problema inverso: dada la derivada de una función, hallar la función original o primitiva. Supongamos que deseamos encontrar una función F(x) que tiene como derivada a: dF ( x ) = 3x 2 dx Con base en la derivada se diría que: F ( x ) = x 3 porque

dF ( x ) dx 3 = = 3x 2 dx dx

o podemos decir que: F ( x ) = x 3 + 4 porque

12

dF ( x ) = 3x 2 dx

Sus gráficas serían: y

y

x3

2

3x

x

0

x

0

Figura 3.

De acuerdo con lo anterior, si llamamos a la función F(x) antiderivada o primitiva de decimos que x3 es antiderivada o primitiva de 3x2.

,

La derivación y la antiderivación, que se consideran procesos inversos, podemos esquematizarlas como sigue: ƒ(x) es una función que da una razón de cambio.

Integración

Integrando la razón de cambio se obtienen sus efectos acumulados, F(x).

Derivación

Derivando los efectos cumulados se obtiene la razón De cambio original, ƒ(x).

De acuerdo con el esquema, F(x) es una antiderivada o primitiva de ƒ(x) en un lugar de la antiderivada o primitiva de ƒ(x). ¿Por qué? Una antiderivada o primitiva de ƒ(x) = 2x es F(x) = x2, puesto que

dF ( x ) = 2x dx

Incluso podemos decir que F1(x) = x2 – 1 y F2(x) = x2 + 10 son antiderivadas o primitivas de ƒ(x) = 2x, puesto que

dF1 ( x ) dF2 ( X ) = = f (x) dx DX

13

Si F(x) es un antiderivada (primitiva) de una función ƒ(x), entonces G(x) = F(x) + C también lo es. Aquí C representa una constante (valor independiente de x) y G(x) es otra función cualquiera. ¿Por qué G(x) también es una antiderivada o primitiva? Si suponemos que G(x) es una antiderivada o primitiva entonces concluimos que: dG( x ) = f (x) dx Hemos dicho que G(x) = F(x) + C, mas si derivamos se tendrá: dG( x ) dF ( x ) + C dF ( x ) dC dF ( x ) = = + = + 0 = f (x) dx dx dx dx dx Por lo tanto,

dG( x ) = f ( x ) . Por consiguiente, G(x) es una antiderivada o función primitiva dx

de ƒ(x). De esto concluimos que la antiderivada (o primitiva) de ƒ(x) debe tener la forma G(x) = F(x) + C, es decir, dos antiderivadas de la misma función pueden diferir cuando más en una constante. En adelante se hará referencia a F(x) + C como la antiderivada de ƒ(x). Además, F(x) + C representa un conjunto de funciones del cual cada miembro tiene por derivada a ƒ(x), y C tendrá valores diferentes.

14

1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA Si F(x) y G(x) son antiderivadas o primitivas de ƒ(x) que difieren cuando más en una constante, podemos decir que al derivar la función primitiva obtendremos la función original, esto es: F’(x) = ƒ(x), O bien dF ' ( x ) = f (x) dx Lo anterior puede expresarse como: dF’(x) = ƒ(x)dx o dF’(x) = F’(x)dx. La operación para encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior se llama antiderivación o integración, y se representa por

∫

, que es una sigma mayúscula

estilizada. Así, podemos representar la solución como

∫ f ( x )dx = F(x) + C, ∫

donde f ( x )dx se lee como la integral o antiderivada de ƒ(x) respecto a x. De acuerdo con la simbología: ƒ(x) es el integrando ƒ(x)dx es el elemento de integración

∫

es el signo de integral

C es la constante de integración

Recuerda que F1(x) = x2 − 1 y F2(x) = x2 + 10 son dos antiderivadas o primitivas de la función ƒ(x), pero ¿son las únicas? Para responder, de la función ƒ(x) = x obtengamos sus antiderivadas o primitivas.

15

antiderivada de x es

x2 2

porque la derivada de

x2 es x 2

antiderivada de x es

x2 +1 2

porque la derivada de

x2 + 1 es x 2

antiderivada de x es

x2 −7 2

porque la derivada de

x2 − 7 es x 2

antiderivada de x es

x2 + 11 2

porque la derivada de

x2 + 11 es x 2

antiderivada de x es

x2 + 4π 2

porque la derivada de

x2 + 4π es x 2

¿Hay otras antiderivadas o primitivas de la función ƒ(x) = x ? ¿Podrías demostrar que hay otras expresiones antiderivadas de x ? Haz el ejercicio anterior con base en la derivación como comprobación. Nos referimos a: Una antiderivada de x es

2 d x2  d x2 [8] = x + 0 = x + 8 , porque +   2 dx  2  dx 2

Para los ejemplos anteriores se debe entender que aunque la función ƒ(x) = x tiene un número infinito de antiderivadas o primarias, hay una parte de todas ellas que permanece: x2 2 Así podemos escribir todas las antiderivadas o primitivas de x con base en la siguiente notación. Antiderivada de x es

x2 +C , 2

donde C es un número que llamaremos constante de integración. La ecuación anterior se expresa en forma simbólica como:

∫ xdx =

x2 + C es la antiderivada o integral indefinida. 2 16

Es decir, para indicar una antiderivada o primitiva o integral indefinida de una función general ƒ(x) es común encontrarla con la siguiente simbología:

∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ,

llamada integral indefinida de la función ƒ(x).

Pero, ¿por qué una función puede tener un número infinito de antiderivadas? Se darán dos respuestas: una analítica y otra geométrica. La primera es simple, pues la hemos estado usando: por ejemplo, recuerda que habíamos mencionado a: x2 −7 2

x2 − 11 2

y

Como algunas de las antiderivadas de la función ƒ(x) = x. Esto se comprueba derivando ambas fórmulas, como ya se había indicado. De éstos dos ejemplos se deduce que podemos añadir una constante arbitraria de integración porque la derivada de la constante es cero. Cualquiera que sea el valor de la constante, no tiene efecto al calcular la derivada. La respuesta geométrica está en razón de la interpretación de la derivada como una pendiente. La figura 4 muestra tres diferentes curvas, cada una de las cuales tiene la misma derivada, mostrada en la figura 5. Así, la antiderivada de x representa una familia x2 +C . de funciones, todas de la forma 2 f(x) x2 +1 2 x2 f (x) = 2 x2 −1 f (x) = 2 f (x) =

2 1

-2

-1

x

0

1

-1 -2 Figura 4.

17

2

f’(x) f’(x) 2 1 x -2

-1

0

1

-1 -2 Figura 5.

18

2

1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN En la figura 4 se observa que C de la antiderivada puede tomar diferentes valores, que dependen de la función original Recuerda que en Cálculo Diferencial se daban, por ejemplo, las siguientes funciones: ƒ(x) = x + 4 ƒ(x) = x − 10 ƒ(x) = x + 1, que al derivarlas obtenías: ƒ’(x) = x ƒ’(x) = x ƒ’(x) = x ¿Qué pasaba con los valores 4, −10 y 1? Estos valores, que si bien valen cero en la función derivada, son de gran importancia en Cálculo Integral, si queremos obtener las funciones originales a partir de las funciones derivadas. Para entender lo anterior, además del término constante de integración, pasaremos a las funciones planteadas en el Cuestionamiento guía, esto es: ƒ(x) = x2

(1)

ƒ(x) = x2 + 2

(2)

ƒ(x) = x2 – 2

(3)

Analizando veremos que: En la función (1) la constante no existe, por lo tanto, es cero. En la función (2) la constante vale 2. En la función (3) la constante vale – 2. Para un mejor análisis recurramos al aspecto gráfico, esto es, hacer la gráfica de cada función (figura 6), Tabularemos la primera función y tú harás las restantes. ƒ(x) = y = x2

y = x2

19

o

ƒ(x) = x2

Tabulación x −3 −2 −1 0 1 2 3

Gráfica y = x2 9 4 1 0 1 4 9

f(x)

8 6 4 2 1 -3 -2 -1

0

x 1 2 3

-2 -3 Figura 6.

Obsérvese la posición sobre los ejes x y y de cada una de las gráficas, ¿qué diferencias y similitudes hay? Para una mejor comprensión de lo que es Cálculo Diferencial e Integral hagamos lo siguiente: Al derivar la función (1)

tendremos

dx 2 = 2x dx

(1’)

Al derivar la función (2)

tendremos

d (x 2 + 2) = 2x dx

(2’)

Al derivar la función (3)

tendremos

d (x 2 − 2) = 2x dx

(3’)

Estas derivadas tienen la misma expresión matemática, aun cuando prevengan de diferente función; mas si recurrimos al proceso inverso, es decir, integramos la función derivada, entonces: Se integra la función (1’)

∫ 2xdx = x

2

+ C , porque

20

dx 2 = 2x . dx

Se integra la función (2’)

∫

2 xdx = x 2 + C , porque

dx 2 = 2x . dx

Se integra la función (3’)

∫ 2xdx = x

2

+ C , porque

dx 2 = 2x . dx

Como la integración es un proceso inverso de la derivación se infiere que al integrar las funciones (1’), (2’) y (3’) tendríamos las funciones (1), (2) y (3); sin embargo, en los resultados de la integración no se cumple, ¿por qué?, ¿Qué hace falta para obtener las funciones (1), (2) y (3)? Se debe agregar a la integral indefinida una constante, C que al calcularse podremos determinar las funciones (1), (2) y (3), respectivamente. Por lo tanto, lo correcto es escribir la integración de la siguiente forma:

∫ 2xdx = x ∫ 2xdx = x

2

2

∫ 2xdx = x

2

+C ,

donde c = 0

+C ,

donde c = 2

+C ,

donde c = −2

Se advierte que el valor de C es fácil inferirlo porque ya conocíamos las funciones (1), (2) y (3); sin embargo, no ocurre así en todos los casos, pues las más veces debemos indicar la constante, C, cuando efectuamos una integral indefinida. En otros casos se nos dan algunas condiciones iniciales de la función para determinar el valor de C. Antes de determinar el valor de la constante es importante ver en forma gráfica la relación entre la integración y diferenciación. Para esto vemos el siguiente ejemplo. De la función (1), ƒ(x) = x2 sabemos que su gráfica es una parábola cuyo vértice es el origen y concavidad hacia arriba; al obtener la derivada resulta otra función que es de primer grado (una recta). Este proceso se estudió en Cálculo Diferencial (Figura 7), pero en Cálculo Integral se tiene el proceso inverso, porque a la función derivada hay que aplicarle el proceso de integración (Figura 7b).

21

f(x)

f(x) x2

2x

8

8

4

-3 -2 -1

0

x 1

2

Derivación

3

-2

x

0

1 2

3

4

Figura 7a.

f(x)

f(x) 2x

8

8

4

-2

0

x 1 2

3

Integración

4

-3 -2 -1

0

x 1

2

3

¿Puedes inferir qué gráfica obtendrás? Figura 7b.

22

1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE Se ha visto que evaluar una integral indefinida implica que hay una constante de integración C, la cual, al evaluarla, obtendremos la función original. Si retomamos las funciones ƒ(x) = x2, ƒ(x) = x2 + 2 y ƒ(x) = x2 – 2, de manera general podemos indicar que y = ƒ(x) = x2 + C representa una familia de parábolas y cada valor de C corresponde a una de ellas; por ejemplo: y = x2 + 2 y = x2 – 2 y = x2 – 3 y = x2 + C ó y = x2 – C y = x2 + 1/4 y = x2 + 10 y = x2 – 1/16 Se observa que C toma diferentes valores, incluso cero, y toma la forma y = x2. A continuación se indican ciertas condiciones iniciales para determinar el valor de la constante, C. Si queremos que una de las parábolas descritas por la ecuación y = x2 + C pase por el punto P(2,1), al sustituir tendremos: y = x2 + C 1 = 22 + C 1=4+C C=1–4 C = −3.

si P(2,1) que es condición de la función

Entonces se estará hablando de la parábola y = x2 – 3. Veamos otro ejemplo: Si y = x2 + C y uno de sus puntos es P(1,3) tendremos: y = x2 + C 3 = 12 + C 3=1+C C = 2, Y la parábola será y = x2 – 2 23

Adicionalmente calcula la constante de y = x2 + C si queremos que los siguientes puntos pertenezcan a las parábolas. Comprueba lo anterior trazando las parábolas. P(3,1) P(3,−2) P(−2,5)

P(4,3) P(3,−4) P(−3,−2)

Cuando se conoce esta constante de integración podemos llegar a la función primitiva que dio origen a la derivada. Veamos cómo determinar la constante de integración a partir de otro enfoque. Para ello recuerda lo estudiado en el Fascículo 1, de Cálculo Diferencial e Integral II, donde se indica que debes: x

∫ f ( x )dx

si

f ( x ) ≥ 0 en [a, x ]

∫ f ( x )dx = A( x )

si

f ( x ) ≥ 0 en [a, x ]

A( x ) =

a

o bien, x

a

es decir, en estas circunstancias la integral definida representa geométricamente el área bajo la curva ƒ(x) cuando x varía en [a, x]. En este fascículo se llegó a la expresión de integral indefinida como:

∫ f ( x )dx = F ( x ) . De estas dos expresiones se deduce que las integrales de la misma función difieren únicamente en una constante, ya que A(x) y F(x) son dos integrales de ƒ(x): A(x) = F(x) + C ; Por lo tanto, el siguiente paso es determinar el valor de C, consideremos el área sombreada bajo ƒ(x) entre las líneas verticales sobre (a,0) y (x,0) de la figura 8. f(x)

0

a Figura 8.

24

x

x

Aquí A(a) = 0 es el área del segmento con extremos en (a,0) y (a,ƒ(a)). Usando A(x) = F(x) + C y cuando x = a: A(a) = F(a) + C; pero A(a) = 0 0 = F(a) + C ∴C = −F(a) De la ecuación anterior recuerda que: A(x) es el área bajo la curva ƒ(x) en el intervalo [a,x] F(x) es la integral indefinida

∫ f ( x )dx

F(a) es F(x) evaluada en a. Encontremos ahora el área bajo la curva y = x2 desde 0 hasta x (figura 9). f(x)

0

1 2 x

Figura 9.

Como sabemos

∫x

2 dx

=

x3 + C = F(x) 3

A(x) = F(x) – F(0); Pero F ( x ) = y F (0 ) =

x3 +C 3

03 +C ; 3

25

x

Por lo tanto, al sustituir en A(x),  x3   03  A( x ) =  + C −  + C  3   3  ∴ A( x ) =

x3 . 3

Observa que la constante, C, se elimina al encontrarse la expresión F(x) – F(a); así, podemos omitir sencillamente C, como en el siguiente ejemplo: ¿Puedes encontrar el área bajo la curva y = 2x2, entre los puntos (2,0) y (3,0) de la figura 10? f(x)

0

x 1

2

3

Figura 10.

Solución A(x) = F(3) – F(2),

∫

Donde F(x) = 2 x 2 dx = 2(3 ) = 18 3

2x 3 3

3

Así, F(3) =

2(2) 16 = 3 3 3

y

F(2) =

Al sustituir en la primera expresión, el área es: A(x) = 18 −

16 38 = . 3 3

26

4

Se concluye que si se pide el área limitada por la curva ƒ(x) cuyo intervalo es [a,b] (figura 11), podemos encontrarla con: A=

b

∫ f ( x )dx a

o bien

∫

A = F(b) – F(a), siempre que F’(x) = ƒ(x) ó F(x) = F ( x ) f ( x )dx .

La última expresión de A indica que el área también puede encontrarse en términos de la integral indefinida. f(x)

x 0

a

b

Figura 11.

De acuerdo con lo anterior tenemos la relación b

∫ f ( x )dx = F (b) − F (a) , si F ( x ) = ∫ f ( x )dx . a

En consecuencia, la integral definida puede expresarse en términos de una integral indefinida evaluada en los límites. Este resultado suele llamarse Teorema Fundamental de Cálculo.

27

1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA Es importante establecer la relación entre integrales indefinidas y definidas, ya que son muy diferentes aun cuando existe una relación estrecha entre ellas.

La integral definida

b

∫ f ( x )dx se define en términos del límite de una suma: a

[ƒ(x)∆x] o bien ∑ [ƒ(x)∆x]. La integral definida es un número (frecuentemente en dimensiones como cm2 o m2) que se aproxima por términos de sumas cuyo número de rectángulo se hace infinito y el ancho de la base de los mismos se aproxima a cero.

La integral indefinida

∫ f ( x )dx

es una función cuya derivada es ƒ(x).

Como ejemplo de distinción entre la integral definida e indefinida tenemos:

∫

3

0

∫

3

x2 2

xdx = 3

0

= 0

32 02 − 2 2 9 2

xdx

cuya gráfica se muestra en la figura 12. f(x)

f(x) = x

9/2 0

x

4 Figura 12.

28

En cuanto a la integral indefinida

³

x2 C, 2

xdx

La gráfica correspondiente es la figura 13, que es una familia específica de funciones donde la diferencia entre cada una es la constante. y

x

Figura 13.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Verifica y evalúa lo siguiente: 1.

2.

∫

x 3 dx

2

³x 1

3.

3 dx

4.

3

³q 1

5.

3 dq

³ \G\

6.

29

1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS De la siguiente serie de funciones obtener su antiderivada o primitiva para observar y deducir su comportamiento. 1. Antiderivada de 1 = x

2. Antiderivada de x =

x2 2

3. Antiderivada de x 2 =

4. Antiderivada de x 3 =

x4 4

5. Antiderivada de x 4 =

x5 5

x3 3

¿Puedes dar el patrón de éstas fórmulas? Hay una fórmula para una antiderivada de cualquier función de la forma xn, que siempre es una constante multiplicada por xn+1. Entonces, cuando derivamos ésta función llegamos a otra función cuyo exponente es uno menos que el de la función original. Por lo tanto, si antiderivamos una función, llegamos a una nueva función cuyo exponente es más uno que la función original. Esto nos lleva a las siguientes fórmulas: Función 1

Derivada 0

Función 1

x

1

x

x2

2x

x2

x3

3x2

x3

x4

4x3

x4

x5

5x4

x5

. . .

. . .

. . .

xn

nxn − 1

xn

30

Antiderivada x+C x2 +C 2 x3 +C 3 x4 +C 4 x5 +C 5 x6 +C 6 . . . x n +1 +C n +1

Por lo tanto, antiderivada de x n = x3 =

x n +1 + C . Por ejemplo, si n = 3, antiderivada de n +1

x3 + 1 x4 = . 3 +1 4

Que está de acuerdo con el resultado de la tabla. Si n = 7, entonces de acuerdo con la fórmula antiderivada de x 7 +1 x 8 = 7 +1 8

x7 =

Para comprobar la fórmula general de antiderivada o función primitiva basta con derivar la siguiente función: x n +1 y = n +1 de la cual resulta y ' = (n + 1)

x n +1−1 = xn n +1

que es la función con la cual empezamos y muestra que la fórmula general es correcta. La integral de las funciones ƒ(x) = 1 y ƒ(x) = x permite ver el comportamiento de la integral definida con el de la integral definida o antiderivada. f(x)

2 1

A1

0

A2 1

A3 2

An 3

xn

x

Figura 14.

El área bajo una curva en un intervalo cerrado se calcula por medio de la integral definida. b

∫ f ( x ) = área a

Respecto a la figura 14 tenemos ƒ(x) = 1 y el área de un rectángulo es bh (base por altura), por lo tanto: 31

b

∫ f ( x )dx = bh a

1

∫ dx = (1)(1) = 1 ,

que es el área del rectángulo A1

0

2

∫ dx = (2)(1) = 2 ,

que es el área del rectángulo A2

0

∫

xn

0

dx = ( x n )(1) = x n , que es el área del rectángulo n –simo

De esta integral definida resulta el área del n –simo rectángulo. Para la misma función la integral indefinida es:

∫ dx = x + C En el caso de la integral indefinida para la misma función el resultado no es un número, es una familia de funciones de la forma x + C. f(x)

f(x) = x

0

x

1 2 xn Figura 15.

El área está definida por: b

∫ f ( x )dx = área a

En este caso ƒ(x) = x, y el área

bh (área de un triángulo). 2

32

Por lo tanto, b

∫ f ( x )dx = a

1

∫ xdx = 0

∫

2

∫

xn

0

0

xdx =

bh 2

(1)(1) 1 = 2 2 (2)(2) 4 = 2 2

xdx =

( x n )( x n ) (x n ) . = 2 2 2

De la integral definida resulta un valor numérico, que en este caso representa el área del triángulo n-simo. Para la integral indefinida de la función ƒ(x) = x se tiene:

∫ xdx = Que representa una familia de funciones

x2 +C 2

x2 + C donde C es el valor que caracteriza a 2

una de esas funciones.

En los siguiente ejercicios encontramos la integral indefinida. 1. ƒ(x) = x4

4. ƒ(x) = x

2. ƒ(x) = 1

5. ƒ(x) = x3

3. ƒ(x) = cos x

6. ƒ(x) = sen x

Como la integral indefinida es equivalente de antiderivada podemos indicar como: 1. Antiderivada de x4

4. Antiderivada de x

2. Antiderivada de 1

5. Antiderivada de x3

3. Antiderivada de cos x

6. Antiderivada de sen x

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Si lo anterior lo indicamos con una simbología más adecuada, de hecho lo que nos pide es: 1.

∫x

4.

∫ xdx

2.

∫ dx

5.

∫x

3.

∫ cos x dx

6.

∫ senx dx

4 dx

3 dx

Para resolver las integrales recuerda que debemos encontrar una función F(x) tal que: dF ( x ) = f (x) . dx A fin de resolver la integral 1 podemos hacer uso de la tabla de antiderivadas, por lo tanto: x 4 +1 x 5 x 4 dx = = +C 4 +1 5

∫

Con objeto de comprobar que es correcto hacemos: 4 d x5  d x5  d [C ] = 5 x + 0 = x 4 . + C = +    dx  5 5  dx  5  dx

Entonces:

∫x

4 dx

=

x5 +C. 5

La integral indefinida de la función 3 es:

∫ cos x dx = senx + C , Porque d [senx + C ] = d [senx ] + d [C ] = cos x + 0 = cos x dx dx dx

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ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

1. Resuelve los ejercicios 2, 4, 5 y 6 La dificultad para encontrar la integral indefinida de una función se resuelve particularmente para cada función, ya que no hay un método general para resolverla. No obstante, en ciertos casos es sencillo encontrarla, mediante las derivadas de las funciones. En las siguientes propiedades de la integral indefinida se indican dos fórmulas que pertenecen a la tabla de integrales inmediatas que estudiarás más adelante. Es fácil comprobar que las igualdades indicadas son válidas mediante la derivación, es decir, se puede verificar que la derivada del segundo miembro es igual al integrando. Las propiedades generales de las integrales indefinidas pueden también deducirse de las propiedades homólogas de las derivadas. 1. La integral de una suma es igual a la suma de las integrales.

∫ [f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx . 2. La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función.

∫ kf ( x )dx

∫

k f ( x )dx .

3. La integral de una potencia es igual a la potencia más uno entre la potencia más uno. x n 1 x n dx  C , si n ≠ −1. n 1

³

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RECAPITULACIÓN

Antiderivada o Función primitiva

Concepto de Integral Indefinida

Constante de Integración

Determinación de la Constante de integración

Comparación entre Integral Indefinida y Definida

Algunos casos básicos de integrales indefinidas

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ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

Responde los siguientes ejercicios. 1. Sea la función y = ƒ(x) = x3 (a) (b) (c) (d) (e) (f)

Grafica la función ƒ(x) Obtén la derivada de ƒ(x) Grafica la función derivada ƒ’(x) Integra la función derivada Grafica el resultado del inciso anterior para cuando C = 1,C = 0 y C = −2 ¿A qué conclusión llegas de acuerdo con tus respuestas?

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AUTOEVALUACIÓN

1. a) Es una función polinomial de grado 3 cuyo punto de inflexión es el origen. b) ƒ’(x) = 3x2 c) Es una parábola con vértice en el origen y concavidad hacia arriba. d) Familia de curvas polinomiales de grado 3. e) La integración es el proceso inverso de la derivación, ya que esto se observa gráficamente; además, se puede tener un número infinito de antiderivadas.

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ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

Para complementar lo aprendido en este fascículo te recomendamos visitar el Museo “Universum” de Ciudad Universitaria, donde encontrarás aplicaciones y conceptos del Cálculo Diferencial e Integral. Haz una lista de aplicaciones de las integrales indefinidas con base en diferentes libros de cálculo.

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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

BOSCH, Guerra, et. al. Cálculo Diferencial e Integral. Publicaciones Cultural, México, 1987. DEL GRANDE, Duff. Introducción al Cálculo Elemental. Harla, México, 1972. FRANK, Ayres, Jr. Cálculo Diferencial e Integral. (Serie Schaum). Mc. Graw-Hill, México. KLEPPNER, David Ramsey. Curso rápido de Cálculo Diferencial e Integral. Limusa, México, 1975.

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