Integral Ida

EL CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

1.- La Integral Indefinida es una FAMILIA DE FUNCIONES que poseen la misma FUNCION DERIVADA. De ahí que los nombres más apropiados para este conceptos son los de: FUNCION PRIMITIVA o ANTIDERIVADA. 2.- Las Primitivas de la función y ' = 3 x 2

son las curvas de la Familia de Curvas y = x 3 + C

3.- En atención a que, según el Teorema Fundamental del Cálculo, la Primitiva de una función permite calcular una INTEGRAL DEFINIDA; Leibniz, adoptó el símbolo ∫ f ( x ) dx para designar a la familia de funciones cuya derivada es y ' = f ( x ) . 4.- En consecuencia:

∫ f ( x)dx

= g ( x ) +C es una PRIMITIVA de la función y = f (x ) dado que

d ( g ( x) + C ) = f ( x) . dx

5.- Las Primitivas de las función y = ∆y ∆x

6.- Si

tiende a

g ( x) = se c

En otras palabras

∫sec

2

2

1 , decir x

1

∫ x dx

Entonces

( x)

, son las funciones y = ln x + c .

y = f ( x) = t a n

( x) + C

( x ) dx = tan ( x ) +C .

7.- Algunas Primitivas importantes de recordar: n ∫ x dx =

∫sec

2

x n +1 +C n +1

∫sen

( x ) dx = tan ( x ) +C

dx dx = x

∫2

∫

∫cos

xdx = −cos x + C

dx = ln x + C x

∫e

x

xdx = sen x + C

dx = e x +C

x +C

8.- Integración por sustitución Si tenemos que calcular: I =

xdx

∫1+ x

En este caso d u = 2 xdx o sea xdx =

I =∫

2

dx . Podemos considerar u = 1 + x 2

du . Reemplazando tenemos 2

du / 2 1 du 1 = ∫ = ln u + C u 2 u 2

Finalmente podemos afirmar que I =

1 ln 1 + x 2 + C 2

9.- Integración por partes Recordemos que la derivada de un producto es:

d ( f ⋅ g ) df dg = ⋅g + f ⋅ dx dx dx

Las Primitivas de cada uno de los términos de la igualdad son iguales:

∫

d ( f ⋅ g) df dg dx = ∫ ⋅ gdx + ∫ f ⋅ dx dx dx dx

Luego, podemos concluir que: f ⋅ g = ∫ g ⋅ df + ∫ f ⋅ dg luego:

∫ f ⋅ dg

= f ⋅ g −∫ g ⋅ df

10.- Ejemplo: Obtener el valor de I = ∫ln x dx , mediante una integración por partes.

Sea

u = ln x ⇒ du = dv = dx ⇒ v = x

1 dx Luego: x

I = x ln x − ∫ x ⋅

1 dx = x ln x − x + C x