Integral Dengan Pecahan Parsial: Irdhiani, St. Mt

INTEGRAL DENGAN PECAHAN PARSIAL

IRDHIANI, ST. MT.

Kaidah – kaidah pecahan parsial : 1. pembilang dari fungsi harus lebih rendah derajatnya daripada derajat penyebutnya. 2. faktorkanlah penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya 3. faktor linear  ax  b  , akan memberikan pecahan parsial yang berbentuk

4. faktor  ax  b  , memberikan pecahan parsial yang berbentuk 2

5. faktor  ax  b  , memberikan pecahan parsial 3





A  ax  b 

A B   ax  b   ax  b 2

A B C   2 ax  b    ax  b   ax  b 3

2 6. faktor ax  bx  c , memberikan pecahan parsial



Ax  B ax 2  bx  c



Bandingkan persamaan berikut : Persamaan 01.

x5  2 x3  x  1 x3  5 x

a b

Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi : b x3  5 x

x2  3

c

x5  2 x3  x  1 x5  5 x3

a

3x 3  x 3 x 3  15 x

14 x  1

d

a d c b b x5  2 x3  x  1  14 x  1  2  x  3     3  x3  5 x  x  5x 

Persamaan 02. 3x  1 , 2 x  x6

maka dapat diuraikan dalam bentuk pecahan parsial seperti berikut :

3x  1 3x  1 A B    x 2  x  6  x  2  x  3  x  2   x  3 Kalikan kedua ruas dengan  x  2 x  3 , maka diperoleh :

3x 1  A  x  3  B  x  2 Ambil

 x  2

= 0, maka x  2

3  2   1  A   2   3  B   2   2  7  A  5   0 A7 5

Ambil

 x  3 = 0, maka

x 3

3  3  1  A   3  3  B   3   2  8  0  B  5 B 8 5 Maka :

3x  1 3x  1 A B    x 2  x  6  x  2  x  3  x  2   x  3

3x  1 3x  1 75 85    x 2  x  6  x  2  x  3  x  2   x  3 Atau dapat digunakan persamaan simultan berikut : 3 x  1  A  x  3  B  x  2  3 x  1  Ax  Bx  3 A  2 B 3 x  1   A  B  x   3 A  2 B 

Perhatikan persamaan ini

Diuraikan lagi :

konstanta 3x 1   A  B  x   3 A  2B  Variable x Untuk variabel x 3x   A  B  x

 A  B  3 Untuk konstanta 1   3 A  2 B  3 A  2 B  1

Dalam bentuk persamaan simultan

A B  3 3 A  2B  1

3 A  3B  9 3 A  2B  1

5B  8 Maka A  3  8 5

B 8 5

A7 5

3x  1 3x  1 A B    x 2  x  6  x  2  x  3  x  2   x  3

3x  1 3x  1 75 85    2 x  x  6  x  2  x  3  x  2   x  3

Penyelesaian Integrasi Pecahan Parsial Soal 01.

3x  1  x2  x  6dx

 75 3x  1 85  75 85 dx   dx  dx    2  x  x  6    x  2   x  3    x  2    x  3 dx  

75 7 dx dx    x  2 5   x  2 Ingat integral berbentuk

1  x dx  ln x  c

Misal :

a  x  2 , maka

da  dx 7 dx 7 da  5   x  2 5  a 7 dx 7 7  ln a  ln  x  2    5   x  2 5 5

85 8 dx dx    x  3 5   x  3  Misal :

b  x  3 , maka db  dx 8 dx 8 db  5   x  3 5  b 8 dx 8 8  ln b  ln  x  3   5   x  3 5 5 Hasil akhir :

 75 3x  1 85  75 85 dx   dx  dx   x2  x  6    x  2   x  3    x  2    x  3 dx   3x  1 7 8 dx  ln x  2  ln  x  3    x2  x  6 5 5

Soal 02.

𝑥+ 1 𝑥2

− 3𝑥 +2

𝑑𝑥

x 1 x 1 A B    x 2  3x  2  x  1 x  2   x  1  x  2 

Kalikan kedua ruas dengan

 x 1 x  2 , maka diperoleh :

x  1  A  x  2  B  x 1 Ambil

 x 1 = 0, maka

x 1

1  1  A 1  2   B 1  1 2  A  1  0 A  2

Ambil

 x  3 = 0, maka

x 3

Maka :

x 1 x 1 2 3    x 2  3x  2  x  1 x  2   x  1  x  2   2 x 1 3  2 3 dx   dx  dx     x 2  3x  6    x  1  x  2     x  1   x  2  dx ,  

2   x 1 dx Misal :

a  x 1 , maka da  dx 2

dx da  2 a  x 1

2

dx  2ln  a   2ln  x  2   x  1

3   x  2 dx

Misal :

b  x  2 , maka

db  dx 3

dx db  3 b  x  2

3

dx  3ln  b   3ln  x  2   x  2

Hasil akhir :

x 1  x 2  3x  6dx  2 ln  x  2   3ln  x  2   c

Soal 03.

x2

  x  1 x  1 dx 2

Ditulis dalam bentuk

x2

 x  1 x  1

2



A B C    x  1  x  1  x  12

Untuk ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan factor  x  1 x  1 , maka akan 2

diperoleh :

Ruas Kiri

Ruas Kanan

   x2 B C  2 2    A  x  1 x  1    x  1 x  1         2 2 x  1 x  1     x  1 x  1 x  1           x 2  A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1 2

THANK YOU