Integral Definida.docx

Integral Definida Sumatoria Comentando el uso del operador sigma 𝐦

∑[𝐬𝐢𝐧 𝐤 (𝐤𝐱) + 𝟐𝐤 ] 𝐤=𝟏

= (𝐬𝐢𝐧 𝐱 + 𝟐) + (𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟐𝐱 + 𝟐𝟐 ) + (𝐬𝐢𝐧 𝟑 𝟑𝐱 + 𝟐𝟑 ) + ⋯ + (𝐬𝐢𝐧 𝐦 𝐦𝐱 + 𝟐𝐦 )

Serie Frobenius alrededor del punto singular regular x=0 ∞

∑ 𝐀 𝐤 𝐱 𝐦+𝐤 = 𝐀 𝟎 𝐱 𝐦 + 𝐀 𝟏 𝐱 𝐦+𝟏 + 𝐀 𝟐 𝐱 𝐦+𝟐 + ⋯ + 𝐀 𝐤 𝐱 𝐦+𝐤 + ⋯ 𝐤=𝟎

Serie Frobenius alrededor del punto singular regular x=2 ∞

∑ 𝐁𝐤 (𝐱 − 𝟐)𝐦+𝐤 = 𝐤=𝟎

= 𝐁𝟎 (𝐱 − 𝟐)𝐦 + 𝐁𝟏 (𝐱 − 𝟐)𝐦+𝟏 + 𝐁𝟐 (𝐱 − 𝟐)𝐦+𝟐 + ⋯ + 𝐁𝐤 (𝐱 − 𝟐)𝐦+𝐤 + ⋯

Serie de potencias alrededor del punto ordinario X=1 ∞

∑ 𝐁𝐤 (𝐱 − 𝟏)𝐤 = 𝐤=𝟎

= 𝐁𝟎 + 𝐁𝟏 (𝐱 − 𝟏) + 𝐁𝟐 (𝐱 − 𝟏)𝟐 + 𝐁𝟑 (𝐱 − 𝟏)𝟑 + ⋯ + 𝐁𝐤 (𝐱 − 𝟏)𝐤 + ⋯

Doble sumatoria 𝟑

𝟑 𝐢+𝟏

𝟑 𝟒 ∑ ∑ √𝐤𝐱𝐬𝐞𝐧(𝐤𝐱)𝐢+𝟏 = √𝐱𝐬𝐞𝐧(𝐱)𝟐 + √𝐱𝐬𝐞𝐧(𝐱)𝟑 + √𝐱𝐬𝐞𝐧(𝐱)𝟒 +

𝐤=𝟏 𝐢=𝟏 𝟑

𝟒

+ √𝟐𝐱𝐬𝐞𝐧(𝟐𝐱)𝟐 + √𝟐𝐱𝐬𝐞𝐧(𝟐𝐱)𝟑 + + √𝟐𝐱𝐬𝐞𝐧(𝟐𝐱)𝟒 𝟑

𝟒

+ √𝟑𝐱𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱)𝟐 + √𝟑𝐱𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱)𝟑 + √𝟑𝐱𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱)𝟒

Resumen de aspectos importantes que se usan con el operador sigma 𝟏. ∑𝐧𝐤=𝐦 𝐛𝐅(𝐤) = 𝐛 ∑𝐧𝐤=𝐦 𝐅(𝐤); 𝐛 = 𝐜𝐭𝐞 𝐧

𝐧

𝐧

𝟐. ∑ [𝐛𝐅(𝐤) ± 𝐚𝐆(𝐤)] = 𝐛 ∑ 𝐅(𝐤) ± 𝐚 ∑ 𝐆(𝐤) : 𝒂 = 𝒄𝒕𝒆, 𝒃 = 𝒄𝒕𝒆 𝐤=𝐦

𝐤=𝐦

𝐤=𝐦

𝐪

𝐧

𝐧

𝟑. 𝐦 < 𝑞 < 𝑛; ∑ 𝐅(𝐤) = ∑ 𝐅(𝐤) + ∑ 𝐅(𝐤); 𝐪, 𝐦 𝐲 𝐧 ∈ 𝐍 𝐤=𝐦

𝐤=𝐦

𝐤=𝐪+𝟏

𝐧+𝐪

𝐧

𝟒. ∑ 𝐅(𝐤 + 𝐪) = ∑ 𝐅(𝐤); 𝐪 ∈ 𝐙 𝐤=𝐦

𝐊=𝐦+𝐪

𝟓. ∑𝐧𝐤=𝟏 𝐪 = 𝐧𝐪;q=constante 𝟔. ∑𝐧𝐤=𝐦 𝐂 = (𝐧 − 𝐦 + 𝟏)𝐂 ; C es una constante 𝐧

# 𝐝𝐞 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨𝐬 (∑ 𝐆(𝐤)) = 𝐧 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨𝐬 𝐤=𝟏 𝐧

#𝐝𝐞 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨𝐬 ( ∑ 𝐆(𝐤)) = (𝐧 − 𝐦 + 𝟏) 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨𝐬 𝐤=𝐦 𝐧

𝟕. ∑ [𝐆(𝐤) − 𝐆(𝐤 − 𝟏)] = 𝐆(𝐧) − 𝐆(𝐦 − 𝟏) 𝐤=𝐦 𝐧

𝟖. ∑ [𝐆(𝐤 + 𝟏) − 𝐆(𝐤 − 𝟏)] = 𝐆(𝐧 + 𝟏) + 𝐆(𝐧) − 𝐆(𝐦) − 𝐆(𝐦 − 𝟏) 𝐤=𝐦 𝐧 𝐤−𝟏

𝟗. ∑ 𝐚

𝟐

𝟑

= 𝟏 + 𝐚 + 𝐚 + 𝐚 + ⋯+ 𝐚

𝐤=𝟏 𝐧

𝟏𝟎. ∑ 𝐤 = 𝐤=𝟏

𝐧(𝐧 + 𝟏) 𝟐

𝐧

𝟏𝟏. ∑ 𝐤 𝟐 = 𝐤=𝟏

𝐧−𝟏

𝐧(𝐧 + 𝟏)(𝟐𝐧 + 𝟏) 𝟔

𝐚𝐧 − 𝟏 = 𝐚−𝟏

𝐧

𝟏𝟐. ∑ 𝐤 𝟑 = 𝐤=𝟏 𝐧

𝟏𝟑. ∑ 𝐤 𝟒 = 𝐤=𝟏

𝐧𝟐 (𝐧 + 𝟏)𝟐 𝟒 𝐧(𝐧 + 𝟏)(𝟔𝐧𝟑 + 𝟗𝐧𝟐 + 𝐧 − 𝟏) 𝟑𝟎

𝟏𝟒. 𝐬𝐢𝐧 𝐀 𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐁𝐱 =

𝟏 [𝐜𝐨𝐬(𝐀 − 𝐁)𝐱 − 𝐜𝐨𝐬(𝐀 + 𝐁)𝐱] 𝟐

𝟏𝟓. 𝐜𝐨𝐬 𝐀𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐁𝐱 =

𝟏 [𝐬𝐢𝐧(𝐀 + 𝐁)𝐱 − 𝐬𝐢𝐧(𝐀 − 𝐁)𝐱] 𝟐

𝟏𝟔. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝐀𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝐁𝐱 =

𝟏 [𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐀 + 𝐁)𝐱 − 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐀 − 𝐁)𝐱] 𝟐 𝟏

17. 𝐂𝐨𝐬𝐡 𝐀𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝐁𝐱 = 𝟐 [𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐀 + 𝐁)𝐱 − 𝐒𝐞𝐧𝐡(𝐀 − 𝐁)𝐱]

EJEMPLO: Halla la suma en términos de “n” 𝐧

∑ 𝐤=𝟏

𝐭𝐚𝐧𝐡 𝟕𝐤𝐱 = 𝐟(𝐧) 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝟕𝐤𝐱

Solución 𝐧

= ∑ 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐤𝐱 𝐤=𝟏 𝐧

𝐧

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝟏 ∑ 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐤𝐱. 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐱 = ∑ [𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕(𝐤 + 𝟏)𝐱 − 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕 (𝐤 − 𝟏)𝐱] 𝟐

𝐧

𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐱. ∑ 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐤𝐱 = 𝐤=𝟏

𝟏 𝐬𝐢𝐧𝐡𝟕𝐱𝐒 = [𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕(𝐧 + 𝟏)𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕𝐧𝐱 − 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕𝐱 − 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝟎)] 𝟐

𝐧

𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐱. ∑ 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐤𝐱 = 𝐤=𝟏 𝐧

∑ 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐤𝐱 = 𝐤=𝟏

𝟏 [𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕(𝐧 + 𝟏)𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕𝐧𝐱 − 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕𝐱 − 𝟏] 𝟐

𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕(𝐧 + 𝟏)𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕𝐧𝐱 − 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟕𝐱 − 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝟕𝐱

Ejemplo

Halla la suma en términos de “n” 2

𝑆 = ∑𝐧 𝐤=𝟏 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑘

Solución 2

2

1

2

2

𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑛 = 2 [𝑠𝑒𝑛 𝑛 (𝑘 + 1) − 𝑠𝑒𝑛 𝑛 (𝑘 − 1)] 2

2

1

2

2

∑𝑛𝑘=1 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑠𝑒𝑛 = ∑𝑛𝑘=1[𝑠𝑒𝑛 (𝑘 + 1) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 − 1)] 𝑛 𝑛 2 𝑛 𝑛 1

2

2

∑𝑛 [𝑠𝑒𝑛 (𝑘 + 1) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 − 1)] = 2 𝑘=1 𝑛 𝑛 2

2

∑𝑛𝑘=1 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑠𝑒𝑛 = 𝑛 𝑛 2 𝑛

∑𝑛𝑘=1 𝑐𝑜𝑠 𝑘 =

2 𝑛

𝑠𝑒𝑛 (𝑛+1)+𝑠𝑒𝑛2−𝑠𝑒𝑛

2 𝑛

2 𝑛

2 𝑛

𝑠𝑒𝑛 (𝑛+1)+𝑠𝑒𝑛2−𝑠𝑒𝑛 −0 2

2 𝑛

2

𝑠𝑒𝑛 (𝑛+1)+𝑠𝑒𝑛2−𝑠𝑒𝑛 2 2𝑠𝑒𝑛 𝑛

2 𝑛

Ejemplo Halla la suma en términos de “n” ∑𝑛𝑘=1

2𝑘+3 (𝑘 2 +𝑘)3𝑘

Solución: 2𝑘+3 +𝑘)3𝑘

∑𝑛𝑘=1 (𝑘 2

3𝑘+3−𝑘 𝑘(𝑘+1)3𝑘

= ∑𝑛𝑘=1

3

1

= ∑𝑛𝑘=1 𝑘3𝑘 − 3𝑘 (𝑘+1)

∑𝑛𝑘=1

3 𝑘3𝑘

− 3𝑘+1 (𝑘+1)

3

∑𝑛𝑘=1

3 𝑘3𝑘

− 3𝑘+1 (𝑘+1) = −3 ∑𝑛𝑘=1 ((𝑘+1)3𝑘+1 − 𝑘3𝑘 )

3

1

1

1

1

1

1

1

−3 ∑𝑛𝑘=1 ((𝑘+1)3𝑘+1 − 𝑘3𝑘 ) = −3 ((𝑛+1)3𝑛+1 − 3) = 1 − (𝑛+1)3𝑛

∑𝑛𝑘=1

2𝑘+3 (𝑘 2 +𝑘)3𝑘

1

= 1 − (𝑛+1)3𝑛

Ejemplo 𝐧

𝟕 𝐤 𝟕 𝟕 𝐧 ∑ ( ) = [𝟏 − ( ) ] 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎

𝐤=𝟏

Ejemplo Halle la suma de términos de “n” 𝑛

2. 7𝑘 + 5. 3𝑘 ∑ 21𝑘

𝑘=1

Solución 𝑛

2. 7𝑘 5. 3𝑘 ∑ 𝑘 𝑘+ 𝑘 𝑘 7 .3 7 .3 1

1

1

2 ∑𝑛𝑘=1 3𝑘 + 5 ∑𝑛𝑘=1 7𝑘……………………………….(1) 𝑛

1𝑘 1 𝑘−1 1𝑛 ∑[ ] −[ ] =[ ] −1 3 3 3

𝑘=1 𝑛

𝑛

𝑘=1

𝑘=1

1𝑘 1𝑘 1𝑛 ∑[ ] −3∑[ ] = [ ] −1 3 3 3 𝑛

1𝑘 1𝑛 −2 ∑ [ ] = [ ] − 1 3 3 𝑘=1

1 𝑘

1

1 𝑛

∑𝑛𝑘=1 [ ] = [1 − [ ] ] …………………………………………….(2) 3 2 3 Por serie geométrica 1 ∑𝑛𝑘=1 𝑘 7

∑𝑛𝑘=1

1 7𝑘

=

1 1 𝑘−1 ∑𝑛𝑘=1 [ ] 7 7 1

=

1 1 𝑛 [[ ] −1] 7 7 1 −1 7

1 𝑛

1

1 𝑛

= 6 (1 − [7] )

= 6 (1 − [7] ) ……………………………………………………(3)

(3) y (2) reemplazando en (1)

𝑛

∑ 𝑘=1

2. 7𝑘 + 5. 3𝑘 21𝑘

𝑛

𝑛

𝑘=1

𝑘=1

1 1 2∑ 𝑘 + 5∑ 𝑘 3 7 1 𝑛

1

1 𝑛

1

S= 2. 2 [1 − [3] ] + 5. 6 (1 − [7] ) 1 𝑛

5

1 𝑛

𝑓(𝑛) = 6 (1 − [7] ) + [1 − [3] ] 𝑛

2. 7𝑘 + 5. 3𝑘 11 1𝑛 1𝑛 ∑ = −[ ] −[ ] 21𝑘 6 7 3

𝑘=1

Ejemplo 𝐧

∑ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐤 (𝟑𝐱) 𝐤=𝟏

SOLUCIÓN: 𝐧

∑ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐤 (𝟑𝐱) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝟑𝐱) + 𝐜𝐨𝐬 𝟒 (𝟑𝐱) + 𝐜𝐨𝐬 𝟔 (𝟑𝐱) + ⋯ 𝐤=𝟏 𝐧

𝐩𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝: ∑ 𝐚𝐤−𝟏 = 𝐤=𝟏

𝐚𝐧 − 𝟏 𝐚−𝟏

𝐧

𝐜𝐨𝐬

𝟐 (𝟑𝐱)

∑[𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝟑𝐱)]𝐤−𝟏 𝐤=𝟏

= 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝟑𝐱) (

(𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝟑𝐱))𝐧 − 𝟏 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝟑𝐱) − 𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝟑𝐱) (𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐧 (𝟑𝐱) − 𝟏) = 𝟐 − 𝐬𝐢𝐧 (𝟑𝐱) 𝐧

∑ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐤 𝟑𝐱 = 𝐜𝐭 𝐠 𝟐 (𝟑𝐱) (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐧 (𝟑𝐱) 𝐤=𝟏

Ejemplo

Calcula la suma en función de “n” 𝐧

∑ 𝐤=𝟏

𝐤+𝟐 𝐤(𝐤 + 𝟏)𝟐𝐤

SOLUCIÓN: 𝐧

𝐧

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝐤 𝟐 ∑ +∑ 𝐤 𝐤(𝐤 + 𝟏)𝟐 𝐤(𝐤 + 𝟏)𝟐𝐤 𝐧

𝐧

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝐧

𝐧

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝐧

𝐧

𝐧

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝐧

𝐧

𝐧

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝟏 𝟏 =∑ + ∑ (𝐤 + 𝟏)𝟐𝐤 𝐤(𝐤 + 𝟏)𝟐𝐤−𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 =∑ 𝐤 + ∑ 𝐤−𝟏 [ − ] 𝐤 𝐤+𝟏 𝟐 (𝐤 + 𝟏) 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 =∑ 𝐤 + ∑ 𝐤−𝟏 − ∑ 𝐤−𝟏 𝟐 (𝐤 + 𝟏) 𝟐 (𝐤) 𝟐 (𝐤 + 𝟏) 𝟏 𝟏 𝟏 =∑ 𝐤 + ∑ 𝐤−𝟏 − 𝟐. ∑ 𝐤 𝟐 (𝐤 + 𝟏) 𝟐 (𝐤) 𝟐 (𝐤 + 𝟏) 𝐧

𝐧

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝟏 𝟏 = ∑ 𝐤−𝟏 −∑ 𝐤 𝟐 (𝐤) 𝟐 (𝐤 + 𝟏) 𝐧

= −∑[ 𝐤=𝟏

𝟏 𝟏 − ] 𝟐𝐤 (𝐤 − 𝟏) 𝟐𝐤−𝟏 [(𝐤 − 𝟏) + 𝟏] 𝐧

𝐩𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝: ∑ [𝐆(𝐤) − 𝐆(𝐤 − 𝟏)] = 𝐆(𝐧) − 𝐆(𝟎) 𝐤=𝐦

𝟏 𝟏 = − [( 𝐧 )−( 𝐧 )] 𝟐 (𝐧 + 𝟏) 𝟐 (𝟎 + 𝟏) 𝐧

∑ 𝐤=𝟏

𝐤+𝟐 𝟏 =𝟏− 𝐧 𝐤 𝟐 (𝐧 + 𝟏) 𝐤(𝐤 + 𝟏)𝟐

Ejemplo Halla la suma en términos de “n” y el valor de la suma cuando 𝒏 → ∞ En la siguiente sumatoria. ∞

∑ 𝐤=𝟎

𝐤 (𝐤 + 𝟏)!

Solución 𝐧±𝐪

𝐩𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝: ∑ 𝐆(𝐤 ∓ 𝐪) 𝐤=𝐦±𝐪 𝐧

∑ 𝐤=𝟎

𝐤 (𝐤 + 𝟏)!

𝐧

𝒏

𝐤=𝟏

𝐤=𝟏

𝐤−𝟏 𝟏 𝟏 ∑ = ∑[ − ] (𝐤 − 𝟏)! 𝐤! 𝐤! 𝐧

𝐒 = −∑( 𝐤=𝟏

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 − ) = −( − ) 𝐤! (𝐤 − 𝟏)! 𝒏! 𝟎! 𝐧

𝐩𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝: ∑[𝐆(𝐤) − 𝐆(𝐤 − 𝟏)] = 𝐠(𝐧) − 𝐆(𝟎) 𝐤=𝟏 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝐒 = − (𝐧! − 𝟎!) = 𝟏 − 𝐧 = 𝟏 − ∞ = 𝟏 𝐤

∑∞ 𝐤=𝟎 (𝐤+𝟏)! = 𝟏

Ejemplo 𝒌 −𝒌 𝟐 𝟏−𝒌 1) Si ∑𝒏 + 𝟑𝒌−𝟏 )𝟐 , entonces halla la suma en 𝒌=𝟏(𝟑 + 𝟑 ) +(𝟑 función de n.

S = ∑𝑛𝑘=1 32𝑘 + 3−2𝑘 − 32−2𝑘 − 32𝑘−2

S= ∑𝑛𝑘=1 32𝑘 + 3−2𝑘 − 32 . 3−2𝑘 − 32𝑘 . 3−2 1

U= ∑𝑛𝑘=1 32𝑘 (1 − ) + 3−2𝑘 (1 − 9) 9

U=

8 9

∑𝑛𝑘=1 32𝑘 − 8 ∑𝑛𝑘=1 3−2𝑘

Partición de un intervalo En el intervalo cerrado [a,b]. Se dice que el conjunto de puntos: P={x0;x1;x2;x3;...xK-1;xK;...xn} es una partición del segmento [a,b]. Si solo si: a= x0 < x1 < x2 < x3 < ......... < xn1 < xn =b

P={ xi, con i = 0,1,2,3 .., n. / a= x0 < x1 < x2 < x3 < ......... < xn1 < xn =b Es una partición del segmento [a,b]. Geométricamente los (n+1) puntos sobre el intervalo cerrado [a,b], determinan n sub-intervalos: [𝑥0 , 𝑥1 ]; [𝑥1 , 𝑥2 ]. [𝑥2 , 𝑥3 ]. [𝑥3 , 𝑥4 ]…………. [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 ]

𝑥0 = 𝑎 𝑥1  𝑥2

𝑥3 ...

𝑥𝑛−1  𝑥𝑛=𝑏

Longitud de cada sub-intervalo: 𝑥1 =𝑥1 − 𝑥0; 𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1 ;𝑥3 =𝑥3 − 𝑥2 … … ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1; … … … … … … … … . . , ∆𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 Si las longitudes de todos los sub intervalos son iguales es conocido como partición regular u homogénea. Calculando la longitud de cada sub-intervalo que tienen la misma longitud en términos de “n”: ∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 = ∆𝑥4 ∆𝑥𝑘 =…∆𝑥𝑛 =

𝑏−𝑎 𝑛

Y el conjunto de puntos de la partición P regular en términos de “n” se calcula por: 𝑥0 =a 𝑥1 = a +

𝑏−𝑎 𝑛 𝑏−𝑎

𝑥2 = a + 2( 𝑛 )

𝑏−𝑎

𝑥3 =a + 3( 𝑛 ) ⋮ 𝑏−𝑎

𝑥𝑘−1 = a + (𝑘 − 1)( 𝑛 ) 𝑏−𝑎

𝑘( 𝑛 )

𝑥𝑘 = a +

Si la longitud de los sub-intervalos es de diferentes tamaños la partición P es conocida como irregular. Si sumamos la longitud de todos los sub-intervalos se obtiene la longitud del segmento [a,b] ∆𝑥1 + ∆𝑥2 + ∆𝑥3+ … … … ∆𝑥𝑘  …….+∆𝑥𝑛 = ∑𝑛 𝑘=1 ∆𝑥𝑘

∑𝑛𝑘=1 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥0 = 𝑏 − 𝑎 Que la longitud del segmento [a,b] Definición: La norma de partición P se denota por: ||P|| o || Y se define por: ||P|| = max {∆𝑥1 , ∆𝑥2 , ∆𝑥3 ,…, ∆𝑥𝑘 ,.. ∆𝑥𝑛 } ó ||max { ∆𝑥𝑘 / k= 1,2,3 .., n} Función acotada Se dice que f(x) es acotada en [a,b] . Si existen los números: m y M, tal que se verifica m f(x) M Ejemplo El segmento [1,5] se puede formar las siguientes particiones 3

7

1. 𝑃1 = {1,2,2,3, 2 ,4,

19 4

,5 }

3

5

7 18

9 19

2

2

2 5

2 4

2. 𝑃2 = {1, ,2, , 3, 3 7

9 5

,4, ,

7 18

3. 𝑃3 = {1, 2, 4, 2, 4, 2, 3, 2 ,

5

, 5}

, 4,

17 9 19

,

4 2

4

, 5}

Se puede decir que 𝑃2 es un refinamiento de 𝑃1 por que 𝑃1 𝐶𝑃2 y que 𝑃3 es un refinamiento de 𝑃2 por que 𝑃2 𝐶𝑃3 . Ejemplo

 1 3 3 9   4 5 2 5 

Se tiene la partición P = 0; ; ; ; ;2 del segmento [0; 2]. Halla:  Solución: 1.- ∆𝑥1 =

1 1 0  4 4

2.- ∆𝑥2 =

3 1 7   5 4 20

3.- ∆𝑥3 =

3 3 9   2 5 10

4.- x4 =

9 3 3   5 2 10

5.- ∆𝑥5 = 2 

9 1  5 5

De todos estos sub intervalos longitud, por lo tanto seria





(norma de la partición P) es el sub intervalo de mayor

=∆𝑥3 =

9 10

Suma inferior y superior Si f es una función continua en [a; b] y P={x0;x1;x2;x3;...xK-1;xK;...xn} Una partición del segmento [a; b] mK: es el mínimo de f en el sub-intervalo [xK-1,xK] MK: es el máximo de f en el sub-intervalo [xK-1, xK] Si f es una función definida y acotada en [a; b] y P={x0;x1;x2;x3;...xK-1;xK;...xn} Una partición del segmento [a; b]. mK =

inf {f(x)/ x  [xK-1; xK]

MK = sup{f(x)/x  [xK-1; xK]

Suma inferior Si P={𝑥0 ; 𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ;... 𝑥𝑘−1 ; 𝑥𝑘−1 ;... 𝑥𝑛 } es una partición del segmento [a; b] y f está definida y acotada en dicho intervalo, la Suma Inferior de f según la partición P , se denota por: Sn = 𝐼(𝑓; 𝑃)= S y su valor está dado por: 𝐼(𝑓; 𝑃) = 𝑚1 ∆𝑥1 + 𝑚2 ∆𝑥2 + 𝑚3 ∆𝑥3 + ⋯ + 𝑚𝑘 ∆𝑥𝑘 + ⋯ + 𝑚𝑛 ∆𝑥𝑛 n

𝐼(𝑓; 𝑃)=

m k 1

K

.xK

𝐼(𝑓; 𝑃) Representa la suma de las áreas de todos los rectángulos cuya altura es el mínimo de f en cada sub-intervalo y su base es ∆𝑥𝑘 Suma superior Si P={𝑥0 ; 𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ;... 𝑥𝑘−1 ; 𝑥𝑘−1 ;... 𝑥𝑛 } es una partición del segmento [a; b] y f definida y acotada en dicho intervalo, la Suma Superior de f según la partición P , se denota por: U ( f , P)  S n Y su valor está dado por: 𝑈(𝑓; 𝑃) = 𝑀1 ∆𝑥1 + 𝑀2 ∆𝑥2 + 𝑀3 ∆𝑥3 + ⋯ + 𝑀𝑘 ∆𝑥𝑘 + ⋯ + 𝑀𝑛 ∆𝑥𝑛 n U ( f , P)   M .x k k 1 k

𝑈(𝑓; 𝑃) Representa la suma de las áreas de todos los rectángulos cuya altura es el máximo de f en cada sub-intervalo y su base es ∆𝑥𝑘 Interpretación geométrica Y  f (x)

Geométricamente 𝑈(𝑓, 𝑝) representa la suma de todas las áreas de los rectángulos cuya altura es el máximo en cada sub-intervalo y su base ∆𝑥𝑖 Suma de Riemann La suma de Riemann de f según la partición 𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 … , 𝑥𝑘… , 𝑥𝑛 } de [a,b] y los puntos de muestra: 𝐶1 ; 𝐶2 ; 𝐶3 ; 𝐶4 ; … ; 𝐶𝑘 ; … ; 𝐶𝑛 ubicados en cada sub-intervalo del segmento [𝑎, 𝑏] se denota por: 𝑆𝑅(𝑓; 𝑃; 𝐶𝑘 ) y se define por: 𝑆𝑅(𝑓; 𝑃; 𝐶𝑘 ) = 𝑓(𝐶1 )∆𝑥1 + 𝑓(𝐶2 )∆𝑥2 + 𝑓(𝐶3 )∆𝑥3 + ⋯ + 𝑓(𝐶𝑘 )∆𝑥𝑘 + ⋯ + 𝑓(𝐶𝑛 )∆𝑥𝑛 𝑆𝑅(𝑓; 𝑃; 𝐶𝑘 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝐶𝑘 )∆𝑥𝑘

Geométricamente 𝑆𝑅(𝑓; 𝑃; 𝐶𝑘 ) representa la suma de todas las áreas de los rectángulos cuya altura es el valor de𝑓(𝑐𝑘 ) en cada sub-intervalo y su base ∆𝑥𝑘

Problema Calcula el área de la región R limitada por las gráficas de:

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 , 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0 , utilizando partición homogénea con rectángulos Circunscritos y un proceso de límite cuando 𝑛 → ∞ Solución

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 f(0)=0;D(f)=< −∞, ∞ > Calculando la asíntota horizontal

lim 𝑥𝑒 𝑥 =

𝑥→−∞

−∞ 𝑒∞

=0

𝑦 lim 𝑥𝑒 𝑥 = ∞𝑒 ∞ = ∞ 𝑥→∞

A. H: 𝑦 = 0 Calculando primera y segunda derivada de la función 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1) → 𝑓 ′ (𝑥) = 0 → 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1) = 0; 𝑥 = −1 𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 + (𝑥 + 1)𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 2) 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 𝑒 𝑥 (𝑥 + 2) = 0 ↔ 𝑥 = −2 1

𝑓 ′′ (−1) = > 0 𝑒

𝑓min (−1) =

−1 𝑒

𝑓 ′′ (𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈< −∞, −2 >, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈< −2, ∞ >, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 Entonces hay punto de inflexión en A (-2,

−2 𝑒2

)

Identificando la región al cual se calculara su área.

𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 … . . 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘, … . . 𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1 } 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 [1,2] ∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 =. . . = ∆𝑥𝑘 = ⋯ = ∆𝑥𝑛 = 𝑥0 =1 𝑥1 = 1 +

1 𝑛 1

𝑥2 = 1 + 2( ) 𝑛

1

𝑥3 = 1 + 3( ) 𝑛 1

𝑥4 = 1 + 4( ) 𝑛

. . . 𝑥𝑘−1 = 1 +

(𝑘−1) 𝑛

2−1 𝑛

=

1 𝑛

𝑥𝑘 = 1 +

𝑘 𝑛

𝑓(𝑥𝑘 ) = (1 +

𝑘 1+𝑘 )𝑒 𝑛 𝑛

Calculando el área de la región R sumando las áreas de los “n” rectángulos 𝐴(𝑅) ≅ 𝑓(𝑥1 )∆𝑥1 + 𝑓(𝑥2 )∆𝑥2 + 𝑓(𝑥3 )∆𝑥3 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 + … 𝐴(𝑅) ≅ ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 𝑘

𝑘

𝑘

1

1

𝑘

𝑘

1

𝐴(𝑅) ≅ ∑𝑛𝑘=1 (1 + ) (𝑒 1+𝑛 ) ≅ ∑𝑛𝑘=1 𝑒𝑒 𝑛 + ∑𝑛𝑘=1 𝑒 𝑒 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑘

𝑒

𝑛 𝑒

1

𝑘

𝑒

𝐴(𝑅) ≅ ∑𝑛𝑘=1 𝑒 𝑛 +

𝑛

∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛 2

1

∑𝑛𝑘=1(𝑒 𝑛 )𝑘−1 + 𝐴(𝑅) ≅ 𝑒 𝑛 ⏟ 𝑛

𝑘

𝑒

∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛 ……………………….(1) ⏟ 2 𝑛

𝑀

𝑀= 𝑀=

1

1

∑𝑛𝑘=1(𝑒 𝑛 )𝑘−1 𝑒−1 1

𝑄

=

(𝑒 𝑛 )𝑛 −1 1

𝑒 𝑛 −1

……………………………………………………………………….(2)

𝑒 𝑛 −1 𝑘

𝑄 = ∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛 𝑘

∑𝑛𝑘=1(𝑘𝑒 𝑛 − (𝑘 − 1)𝑒

𝑘−1 𝑛

) = 𝑛𝑒

𝑘

∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛 − ∑𝑛𝑘=1(𝑘 − 1)𝑒 𝑘

∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛 − ∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑘

∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛 − 1

𝑒 𝑛 −1

1 𝑒𝑛

𝑘−1 𝑛 1

= 𝑛𝑒

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑘−1 = 𝑛𝑒 1 ∑𝑘=1 𝑘𝑒 + ∑𝑘=1(𝑒 )

𝑒𝑛 𝑘

𝑒𝑛 1

= 𝑛𝑒

+ ∑𝑛𝑘=1 𝑒

𝑘

1

𝑛 𝑛 1 ∑𝑘=1 𝑘𝑒

𝑒 𝑛 −1

𝑘−1 𝑛

𝑘−1 𝑛

𝑘

+

𝑒−1 1

= 𝑛𝑒

𝑒 𝑛 −1

∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛 = 𝑛𝑒 −

𝑒−1 1

𝑒 𝑛 −1

𝑘

∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛 𝑄=

=

1

1

𝑛𝑒𝑒 𝑛

(𝑒−1)𝑒 𝑛

1

−

𝑒 𝑛 −1 𝑘

∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑒 𝑛

=

1

(𝑒 𝑛 −1)2 1

1

𝑛𝑒𝑒 𝑛

(𝑒−1)𝑒 𝑛

−

1

1

(𝑒 𝑛 −1)2

𝑒 𝑛 −1

…………………………………….(3)

(2) y (3) en (1) 1

𝐴(𝑅) ≅

𝑒 (𝑒−1)𝑒 𝑛 𝑛

1

𝑒

+

𝑛2

(𝑒 𝑛 −1)

(

1

1

𝑛𝑒𝑒 𝑛

(𝑒−1)𝑒 𝑛

1

1

𝐴(𝑅) ≅

𝑒 (𝑒−1)𝑒 𝑛 𝑛

1

(𝑒 𝑛 −1)

+

𝑒 𝑛2

(

−

𝑒 𝑛 −1

1

(𝑒 𝑛 −1)2

1

1

𝑛𝑒𝑒 𝑛

(𝑒−1)𝑒 𝑛

1

−

𝑒 𝑛 −1

1

(𝑒 𝑛 −1)2

)

)

Aplicando un proceso de límite cuando la cantidad de rectángulos circunscritos:𝑛 → ∞ para tener el valor del área exacta. 1

𝐴(𝑅) = lim (

𝑒 (𝑒−1)𝑒 𝑛

1 𝑛→∞ 𝑛 (𝑒 𝑛 −1)

+

𝑒 𝑛2

1

𝐴(𝑅) =

(

𝑒(𝑒−1) lim 𝑒 𝑛 𝑛→∞ 1 (𝑒𝑛 −1) lim 1 𝑛→∞ 𝑛 1

𝐴(𝑅) =

𝑒(𝑒−1)𝑒 ∞ 𝐿𝑛𝑒

(

1

1

𝑛𝑒𝑒 𝑛

(𝑒−1)𝑒 𝑛

1

−

𝑒 𝑛 −1

))

1

+(

𝑒 2 lim 𝑒 𝑛 𝑛→∞ 1 𝑒𝑛 −1 lim 𝑛→∞ 1 𝑛

1

+(

1

(𝑒 𝑛 −1)2

𝑒 2𝑒 ∞ 𝐿𝑛𝑒

1

−

𝑒(𝑒−1) lim 𝑒 𝑛 𝑛→∞ 1 𝑒𝑛 −1 2 ( lim 1 ) 𝑛→∞ 𝑛

1

−

𝑒(𝑒−1)𝑒 ∞ (𝐿𝑛𝑒)2

)

𝐴(𝑅) = 𝑒 (𝑒 − 1)+𝑒 2 − 𝑒(𝑒 − 1) = 𝑒 2 𝐴(𝑅) = 𝑒 2 𝑢2 Ahora calculando por cálculo introductorio 2

𝐴(𝑅) = ∫1 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 − 1)| 21=𝑒 2 − 0 = 𝑒 2 Ejemplo

Se tiene la función definida por:

))

3𝑥 5 + 5𝑥 4 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 − 4𝑥 −2𝑥 + 10 { −3|𝑥 − 8| + 4

y una partición P = {-1.5, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6,

3 ,− ≤ 𝑥 < 1 2 ,1 ≤ 𝑥 < 4 ,4 ≤ 𝑥 ≤ 6 , 6 < 𝑥 ≤ 10

20

, 8, 10} del intervalo [-1.5, 10]. Hacer 10 su representación geométrica y aproxime ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 indicando una cota −1.5 superior para el error cometido en la aproximación. 3

Solución Para: 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 + 5𝑥4 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 15𝑥 4 + 20𝑥 3 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑓 ′ (𝑥) = 0

15𝑥 4 + 20𝑥 3 = 0 → 𝑥 3 (15𝑥 + 20) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ó 𝑥 = − 𝑓 ′′ (𝑥) = 60𝑥 3 + 60𝑥 2 4

𝑓 ′′ (− ) < 0 → 𝑓𝑚𝑎𝑥 (− 3

4 3

)=

256 81

≅ 3.16

𝑓 ′ (−1 ) < 0 𝑦 𝑓 ′ (1 ) > 0 → 𝑓𝑚𝑖𝑛 (0) = 0

Ínfimo: Supremo:

4 3

Y 8

I

4

4

J

3.16 A B

C

F2

E

D G −

𝟑 -1 𝟐

1

2

3

4

5

H 6

-2

𝟐𝟎 7 𝟑

8

9

10

X

-2

-3 -4

Con la ayuda de la gráfica podemos completar la siguiente tabla de valores para el cálculo de las sumas inferior y superior.

𝑚𝑘

𝑅𝑘

Longitud de l a base del rectángulo (∆𝑥𝑖 )

A

0.5

2

3.16=

B

1

0

2

0

2

C

1

0

8

0

8

D

2

-4

-3

-8

-6

E

1

-3

0

-3

0

F

1

0

2

0

2

G

1

-2

0

-2

0

H

2 3

-2

0

I

4 3

0

4

0

16 3

J

2

-2

4

-4

8

Rectángulo

𝐼(𝑓; 𝑝)

𝑀𝑘

𝑚𝑘 ∆𝑥𝑘

256

1

81

−

−

4 3

𝑀𝑘 ∆𝑥𝑘

128 81

=1.58

0

52 3

= −17.33

3137 = 20.91 150

𝑈(𝑓; 𝑝)

10

Aproximando la integral ∫−1.5 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

10

1

1

∫−1.5 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 (𝐼(𝑓, 𝑃) + 𝑈(𝑓, 𝑃)) = 2 (−

52 3

+

3137 150

537

) = 300=1.79

Para esta aproximación consideramos un error con la siguiente cota superior:

1

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 ≤ 2 (𝑈(𝑓, 𝑃) − 𝐼(𝑓, 𝑃))

Ejemplo:

Sea la función definida por: √−𝑥 + 1 , 2𝑥 − 2 , 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 5)2 + 1 , 2 { −(𝑥 − 9) ,

−3 ≤ 𝑥 ≤ 1 1<𝑥≤4 4<𝑥≤7 7 < 𝑥 ≤ 11

Con una partición 𝑃 = {−3, −1, 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11} del segmento [-3,11] 11

Calcule: 𝑈(𝑓; 𝑝),𝐼(𝑓; 𝑝) y estime ∫−3 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Solución:

Y

Graficando

Ínfimo: Supremo: 9

6

3

rectángulo

Longitud de la base del rectángulo

𝑚𝑘

𝑀𝑘

𝑚𝑘 ∆𝑥𝑘

𝑀𝑘 ∆𝑥𝑘

A

2

√2

2

2√2

4

B

1

1

√2

1

√2

C

1

0

1

0

1

D

1

0

2

0

2

E

2

2

6

4

12

F

2

1

3

2

6

G

1

3

9

3

9

H

1

-4

-1

-4

-1

I

2

-1

0

-2

0

J

1

-4

-1

-4

-1

𝐼(𝑓; 𝑝) 𝑈(𝑓; 𝑝)

2√2 32 + √2

𝐼(𝑓; 𝑝) = 2√2 𝑈(𝑓; 𝑝) = 32 + √2 Aproximando la integral definida 11

∫−3 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈

𝐼(𝑓;𝑝)+𝑈(𝑓;𝑝) 2

≈

32+3√2 2

Ejemplo Para la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 4)2 , 𝑥 ∈ [0; 8] con una partición regular de longitud una unidad 8

calcula : 𝐼(𝑓; 𝑝), 𝑈(𝑓; 𝑝) 𝑦 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑒 ∫0 (𝑥 − 4)2 𝑑𝑥 Solución

𝑃 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Rectángulo 𝑅𝑘

Longitud de la base del rectángulo

𝑚𝑘

𝑀𝑘

𝑚𝑘 ∆𝑥𝑘

𝑀𝑘 ∆𝑥𝑘

1

1

9

16

9

16

2

1

4

9

4

9

3

1

1

4

1

4

4

1

0

1

0

1

5

1

0

1

0

1

6

1

1

4

1

4

7

1

4

9

4

9

8

1

9

16

9

16

𝐼(𝑓; 𝑝)

28

𝑈(𝑓; 𝑝)

60

𝐼(𝑓; 𝑝) = 28 𝑈(𝑓; 𝑝) = 60 : 8

∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈

𝐼(𝑓;𝑝)+𝑈(𝑓;𝑝) 2

≈

Una cota para el Error ≤

28+60 2

≈44

𝑈(𝑓;𝑝)−𝐼(𝑓;𝑝) 2

Problema 4. Calcular: 3

El área de la región defina por 𝑦 = 2 √𝑥 ; 𝑥 =, 0 𝑥 = 8, mediante límite y suma de Riemann. Solución: El grafico muestra la región y el k-ésimo rectángulo circunscrito. Dividiendo el intervalo [0,8] en “n” subintervalos de longitud ∆𝑥 = 𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘 ∆𝑥 =

8−0 8 = 𝑛 𝑛

Aplicando la definición de suma de Reimann: 𝑛

8 3

3

𝑙𝑖𝑚 ∑(2 √𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 = ∫ 2 √𝑥𝑑𝑥

𝑛→∞

0

𝑘=1

Del gráfico: 𝑥𝑘 = ∆𝑥. 𝑘 Reemplazando en la sumatoria. 𝑛

𝑙𝑖𝑚 ∑

𝑛→∞

𝑘=1

3 8 (2 √𝑛 . 𝑘 ) 8

𝑛

4 𝑛

8 3 3 = 𝑙𝑖𝑚 2 ( ) ∑ √𝑘 𝑛→∞ 𝑛 𝑘=1

3

Dado que ∑𝑛𝑘=1 √𝑘 es convergente no será posible determinarlo para un el término n3 ésimo, entonces se hallara la equivalencia al área mediante la función inversa de 2 √𝑥. 3

𝑓(𝑥) = 2 √𝑥 → 𝑓 ∗ (𝑥) =

Sea R el área f*, entonces

𝑥3 8

del rectángulo y S el área debajo de 8

3

numéricamente R-S = ∫0 2 √𝑥𝑑𝑥

Desarrollando en la suma de Riemann de f*: 𝑛

4

𝑥3 𝑆=∫ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ). ∆𝑥𝑘 𝑛→∞ 0 8 𝑘=1

∆𝑥𝑘 =

4−0 4 = 𝑛 𝑛

𝑥𝑘 = 0 +

𝑘4 𝑘4 → 𝑥𝑘 = 𝑛 𝑛

4𝑘 3 𝑛 ( ) 4 𝑥𝑘 𝑥𝑘 1 4 4 𝑛 𝑓(𝑥𝑘 ) = → 𝑙𝑖𝑚 ∑ ( ) ∆𝑥𝑘 = 𝑙𝑖𝑚 ∑ ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( . ( ) ∑(𝑘 3 )) 𝑛→∞ 𝑛→∞ 8 8 8 𝑛 𝑛→∞ 8 𝑛 3

𝑛

𝑘=1

Resolviendo:

3

𝑛

𝑘=1

𝑘=1

𝑛

∑(𝑘 3 ) = 𝑘=1

𝑛2 (𝑛 + 1)2 4

Reemplazando el límite: 1 2 1 4 4 𝑛2 (𝑛 + 1)2 64 (1 + 𝑛) 𝑙𝑖𝑚 ( . ( ) . ( )) = 𝑙𝑖𝑚 .( ) = 8𝑢2 𝑛→∞ 8 𝑛 𝑛→∞ 8 4 1 →𝑆=8 8 3

𝑅 = 4.8 = 32𝑢2 →= 𝑅 − 𝑆 = ∫ 2 √𝑥𝑑𝑥 = 24𝑢2 0

Problema 1. Sea la función definida por: 9

3

+ √−3 − 2𝑥 , − 3 ≤ 𝑥 < − 2 8 3

𝑥 3 − 3𝑥

𝑓(𝑥) =

1

{

3

, −2 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥−2

,

3 2

<𝑥≤3 3

1 1 3

Y considerando la partición: 𝑃 = {−3; −2; − 2 ; − 2 ; 2 ; 2 ; 2; 3}del segmento [-3,3] Calcula 𝐼(𝑓, 𝑝), 𝑈(𝑓, 𝑝) Solución Graficando la función en cada intervalo 1. − 𝑓1 =

9 + √−3 − 2𝑥 , 8

−3≤𝑥 <−

3 2

Es una función decreciente dado que: 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥2 ) < 𝑓(𝑥1 ) 3

−3 − 2𝑥 ≥ 0 → 𝑥 ≤ − 2 Evaluando en sus puntos de la partición 𝑓1 (−3) =

9 + √3 8

𝑓1 (−2) =

17 8

2. − 𝑓2 = 𝑥 3 − 3𝑥 ,

3 3 ≤𝑥≤ 2 2

Es una función continua en el intervalo analizado, calculando máximos y mínimos

𝑓2′ = 3𝑥 2 − 3, haciendo 𝑓2′ = 0 para ubicar los puntos críticos 3𝑥 2 − 3 = 0 → x = ±1 Máximo 𝑠𝑖 𝑓2′′ < 0 , mínimo si 𝑓2′′ > 0 𝑓2′′ = 6𝑥 → 𝑓2′′ (1) = 6 > 0 𝑒𝑛 𝑥 = 1 ℎ𝑎𝑦 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑓2′′ (−1) = −6 < 0 → 𝑒𝑛 𝑥 = −1 ℎ𝑎𝑦 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 Evaluando en puntos extremos de cada sub-intervalo de la partición 𝑓2 (−1.5) =

9 8

𝑓2 (−1) = 2 1 11 𝑓2 (− ) = 2 8 𝑓2 (0) = 0 1 11 𝑓2 ( ) = − 2 8 𝑓2 (1) = −2 3 9 𝑓2 ( ) = − 2 8 3. − 𝑓3 = 𝑥 −

1 , 2

3 <𝑥≤3 2

Es una función lineal creciente, evaluando en puntos extremos de cada sub-intervalo de la partición. 3 𝑓3 ( ) = 1 2 𝑓3 (2) =

3 2

𝑓3 (3) =

5 2

Con estos datos obtenidos se obtiene el siguiente tabla:

Intervalo

∆𝑥𝑘

𝑚𝑘

𝑀𝑘

𝑚𝑘 ∆𝑥𝑘

𝑀𝑘 ∆𝑥𝑘

−3 ≤ 𝑥 < −2

1

17 8

9 + √3 8

17 8

9 + √3 8

−2 ≤ 𝑥 < −1.5

1 2

9 8

17 8

9 16

17 16

−1.5 ≤ 𝑥 < −0.5

1

9 8

2

9 8

2

−0.5 ≤ 𝑥 < 0.5

1

11 8

−

11 8

11 8

−

0.5 ≤ 𝑥 < 1.5

1

−2

−

9 8

−2

−

1.5 ≤ 𝑥 < 2

1 2

1

3 2

1 2

3 4

2≤𝑥≤3

1

3 5

5 2

3 2

5 2

𝐼(𝑓, 𝑝)

83 16

11 8 9 8

79 + 16√3 16

𝑈(𝑓, 𝑝) 3

La aproximación de ∫−3 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 será: 𝐼(𝑓, 𝑝) + 𝑈(𝑓, 𝑝) 81 + 8√3 = 2 8 El error cometido será: 𝑈(𝑓, 𝑝) − 𝐼(𝑓, 𝑝) −1 + 4√3 = 2 8

Integrabilidad Sea f una función definida y acotada en el segmento [a;b], entonces f es integrable en [a;b] si para cada 𝜀>0 existe una partición P tal que: |𝑈(𝑓; 𝑃) − 𝐼(𝑓; 𝑃)| < 𝜀 Integral inferior Sea el conjunto 𝑃 = {𝑃1 ; 𝑃2 ; 𝑃3 ; … ; 𝑃𝑛 } particiones del segmento [a;b], y f una función definida y 𝑏

acotada en [a;b], entonces la integral inferior de f entre a y b se representa por ∫𝑎 𝑓𝑑𝑥 y su valor 𝑏

está dado por: ∫𝑎 𝑓𝑑𝑥 = 𝑆𝑢𝑝{𝐼(𝑓; 𝑝)/𝑝 ∈ 𝑃} Integral superior Sea el conjunto 𝑃 = {𝑃1 ; 𝑃2 ; 𝑃3 ; … ; 𝑃𝑛 } particiones del segmento [a;b], y f una función definida y 𝑏̅

acotada en el segmento [a;b], entonces la integral superior de f entre a y b se representa por ∫a 𝑓𝑑𝑥 𝑏̅

y se define por:∫𝑎 𝑓𝑑𝑥 = 𝐼𝑛𝑓{𝑈(𝑓; 𝑝)/𝑝 ∈ 𝑃} Teorema Una función f definida y acotada en el segmento [a;b] es integrable si se 𝑏

𝑏̅

verifica:

b

∫𝑎 𝑓𝑑𝑥 = ∫a 𝑓𝑑𝑥 = ∫a 𝑓𝑑𝑥 (Integral de Riemann) Definición Si f es integrable en el segmento [a;b] la integral definida o la integral de Riemann de f entre a y b b

𝑏

𝑏̅

b

se representa por: ∫a 𝑓𝑑𝑥 y se define por: ∫𝑎 𝑓𝑑𝑥 = ∫a 𝑓𝑑𝑥 = ∫a 𝑓𝑑𝑥 Relación entre la integral de Riemann y la suma inferior y superior. 𝑏

b

𝑏̅

𝐼(𝑓; 𝑝) ≤ ∫𝑎 𝑓𝑑𝑥 ≤ ∫a 𝑓𝑑𝑥 ≤ ∫a 𝑓𝑑𝑥 ≤ 𝑈(𝑓; 𝑝) Ejemplo

Para la función definida por f(x) = 5 en [a; b], calcula  b 5dx y ab 5dx a Solución: n

m

I (f; p1) =

K

K 1

n

n

k 1

K 1

xK   5xK 5 xK  5(b  a)

n

n

K 1

K 1

I (f;p2) =  5 K  5  K  5(b  a ) …........................................ .......................................... n

I (f;pn) =

 5 K 1

K

 5(b  a)

b

a 5dx = Sup {I(f; p) /p P} = 5(b-a)   b 5dx  5(b  a) a

Calculando la integral superior n

n

K 1

K 1

 M K xK   5xK = 5(b-a)

U (f; p1) =

n

U (f;p2) =

 5x K 1

K

 5(b  a )

………………………………….. ………………………………….

n

U (f; pn) =

 5xK  5(b  a)

K 1

a 5dx = Inf {U (f; p)/p  P} b

=5(b-a)

b   5dx  5(b  a) a

b b b 5 dx  5 dx  a a a 5dx  5(b  a)

Definición de la integral definida como un proceso de límite Sea f

una función definida y acotada en [a,b] y existe

lim n  f (ck )xk = n k 1

n lim f (ck ) xk se dice que f es integrable ente a y b que se representa  0  k 1

por:



b

a

f ( x)dx y su valor está dada por:

lim n b f ( x ) dx   f (ck )xk  a n k 1

n lim f (ck )xk  0  k 1

b a f ( x)dx  Se lee integral definida de f(x) diferencial de x entre el límite inferior “a” y el límite superior “b”

Ejemplo: Le tiene la región R limitada las gráficas de:

f ( x)  3x 2 , x  0, x  2, y  0 1) Halle el área aproximada de la región R, utilizando 100 rectángulos inscritos (suma inferior) con partición homogénea. 2) Halle el área aproximada de la región R, utilizando 100 rectángulos circunscritos (suma superior) con partición homogénea. 3) Halle el área exacta como un proceso de límite a la suma de Rieman. Solución

y 12

0

x1x2 x3 x4 xk 1xk ..xn  2

f ( x)  3 x 2

El conjunto de puntos

P  x0 , x1, x2 , x3,....xk 1, xk ,....xn1, xn

Es una partición del segmento [0;2],considerando partición regular o homogénea. x1  x2  x3...

 xk ....  xn 

Encontrando el valor de la abscisas en términos de “n”

x0  0 2 x1  0    n 2 x2  0  2  n 2 x3  0  3  n 2 xk 1  0  (k  1)  n 2 xk  0  k   n

20 2  n n

2 4 12 f ( xk 1 )  f ((k  1) )  3(k  1) 2 2  2 (k  1) 2 n n n

 ( R )  A1  A2  A3  A4  ......  Ak  ....  An A ( R )  f ( x 0 ) x1  f ( x1 ) x 2  f ( x 2 ) x 3 ..  f ( x k 1 ) x k  f ( x n 1 ) x n n A ( R )   f ( x k 1 ) x k k 1

12 (k  1) 2 2 n n2

n

A( R )  

k 1

24 n 24 n 1 2 24 (n  1)n(2n  1) 2 A( R )  3  (k  1)  3  k  3 6 n k 1 n k 0 n 4(n  1)(2n  1) A( R )  n2 4.99.199 2 A( R )   7 , 8804 u 1002 n

I ( f , p )   mk xk k 1

I ( f , p )  S  Sn  78804 Es conocido como suma inferior

4(n  1)(2n  1) n2 I ( f , p)  A(rectángulo inscritos )  A( R) I ( f , p) 

2) Ahora calculando el área aproximada con rectángulos circunscritos

n

A( R)   M k xk k 1

U ( f , p)  S  S n  A(rectángulo circunscri tos)

 A( R)

Suma superior

ck = xk n n n 2 4 2 U ( f , p)   f ( xk )xk   f (k ( ))   3k 2 ( 2 ) n n n k 1 k 1 k 1 n

A( R)   k 1

12k 2 2 . n2 n

24 n 24 n(n  1)( 2n  1) A( R)  3  k 2  3. n k 1 n 6 4(n  1)( 2n  1) A( R)  n2 4(101)( 201) A( R)   8,1204u 2 2 100 A( R)  U ( f , p) I ( f , p)  AR  U ( f , p)

3) Calculando el área exacta A( R ). A( R) 

n lim  f (Ck )xk n k 1

Si tomamos el punto de muestra a la izquierda de cada sub-intervalo

Ck  xk 1 A( R ) 

n lim  f ( x k 1 ) x k n   k 1

A( R ) 

1 1 lim 4 ( n  1)( 2 n  1) lim 2  4 (1  )( 2  )  8u 2 n n n n n

Si tomamos el punto de muestra a la derecha de cada sub-intervalos

Ck  xk

lim n A( R)   f ( xk )xk n k 1 lim 4(n  1)( 2n  1) lim 1 1 A( R)   4(1  )( 2  )  8u 2 n n n n n2 2 2 A( R)   3x 2dx   x3   8  0  8u 2   0 0 Ejemplo Sea la función definida por: f ( x) 

1 2 x

 

del segmento [-1 ; 2] Halla U ( f , p) , 2

1

I ( f , p)

dx 2 x

Solución: f ( x) 

1 1/2 -1  1 2

1 1 2

3 2

2

1 2

1 2

1 2

3  2 

y una partición P   1, ,0, ,1, ,2

y estime la siguiente integral indefinida:

𝚫𝐱 𝐤 𝐦𝐤

Rectángulos

𝚫𝐱 𝐤

𝐦𝐤

𝐌𝐤

1

1 2

-1

1

1 2

2

1 2

−

2 3

1 3

3

1 2

0

1 2

1 4

4

1 2

1 2

2 5

1 5

5

1 2

1

1 3

1 6

6

1 2

3 2

2 7

1 7

1 2

𝐒(𝐟; 𝐏; 𝐂𝐤 ) =

1 1 1 1 1 1 223 + + + + + = 2 3 4 5 6 7 140

Ejemplo Para el conjunto de puntos: 1 1 3 𝑃 = {−1; − ; 0; ; 1; ; 2} que es una particion del segmento [−1; 2]. Halla el área 2 2 2 de laregion R aproximadamente por la suma de Riemann, Si la region R está limitada 1 por: f(x) = ; x = −1 ; x = 2 ; y = 0 x+2 Solución: Haciendo la gráfica para identificar la región y poder construir los rectángulos y ubicar los puntos de muestra para la suma de Riemann como se puede ver en la siguiente figura.

f(x) =

1 x+2

f ( x) 

1

1 2

1/2 -1  1 2

Considerando el punto arbitrario

3 2

1 1 2

2

Ck  xk 1  f (ck )  f ( xk 1 )

Rectangulo

𝚫𝐱 𝐤

𝐂𝐤

𝐟(𝐂𝐤 )

𝐟(𝐂𝐤 ). 𝚫𝐱 𝐤

1

1 2

-1

1

1 2

2

1 2

−

2 3

1 3

3

1 2

0

1 2

1 4

4

1 2

1 2

2 5

1 5

5

1 2

1

1 3

1 6

6

1 2

3 2

2 7

1 7

1 2

𝐒(𝐟; 𝐏; 𝐂𝐤 ) =

1 1 1 1 1 1 223 + + + + + = 2 3 4 5 6 7 140

𝟏) 𝐄𝐯𝐚𝐥𝐮𝐚: 𝟐

∫ (𝐱 𝟑 + 𝟐)𝐝𝐱 ; 𝐩𝐨𝐫 𝐮𝐧 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞 𝐚 𝐥𝐚 𝐬𝐮𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐑𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧 , 𝐬𝐢 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐚𝐫𝐛𝐢𝐭𝐫𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐧 𝐚 𝐥𝐚 𝟎

𝐢𝐳𝐪𝐮𝐢𝐞𝐫𝐝𝐚 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐝𝐚 𝐬𝐮𝐛𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨. Solución

Ck = xk−1

;

∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = ⋯ = ∆xn =

2−0 2 = n n

Ck = xk−1 , considerando que el punto de muestra está a la izquierda de cada sub-intervalo x0 = 0 ; x1 = 0 +

2 1 1 2 ; x2 = 0 + 2 ( ) ; x3 = 0 + 3 ( ) ; … … ; xk−1 = (k − 1) ( ) n n n n 3

2 8 f(xk−1 ) = ((xk−1 )3 + 2) = ((k − 1) ( )) + 2 = 3 (k − 1)3 + 2 n n 2

I=∫ 0

(x 3

n

n

n

k=1

k=1

k=1

8 2 16 4 + 2)dx = lim [∑ f(Ck ). Δxk ] = lim [∑ ( 3 (k − 1)3 + 2) ] = lim [∑ ( 4 (k − 1)3 + )] n→∞ n→∞ n→∞ n n n n n

n

k=1

k=1

n−1

16 4 16 4 16 (n − 1)2 n2 4 I = lim [ 4 ∑(k − 1)3 + ∑ 1] = lim [ 4 ∑(k)3 + (n)] = lim [ 4 + (n)] n→∞ n n→∞ n n→∞ n n n 4 n k=0

2

4 1 I = lim [ 2 (n − 1)2 + 4] = lim [4 (1 − ) + 4] = 4(1) + 4 = 8 n→∞ n n→∞ n

Problema 1: 1 𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 12𝑥 𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛 3 𝑃 = {−6; −5; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−6; 5] 5

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝐼(𝑓; 𝑃), 𝑈(𝑓; 𝑃) 𝑦 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑒 ∫ ( −6

1 2 𝑥 − 12𝑥) 𝑑𝑥 3

Solución: Calculando intercepto con el eje “x”;y=0 1

1

1

3

3

3

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 12𝑥 = 𝑥 ( 𝑥 2 − 12) = 0 → 𝑥 = 0 ó 𝑥 2 − 12 = 0

los puntos de interceptos con el eje "x": (−6; 0), (0; 0) 𝑦 (6; 0) Calculando la primera y segunda derivada 𝑓´(𝑥 ) = 𝑥2 − 12 → 𝑓′′ (𝑥) = 2𝑥 𝑆𝑖 𝑓´(𝑥 ) = 0 → 𝑥2 − 12 = 0 → 𝑥 = ∓2√3 𝑓 ′′ (−2√3) = −4√3 < 0 → 𝑓𝑚𝑎𝑥 (−2√3) = 16√3 𝑓 ′′ (2√3) =

4√3 > 0 → 𝑓𝑚𝑖𝑛 (2√3) = −16√3

𝑓 ′′ (𝑥) = 2𝑥 → 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 → 2𝑥 = 0 → 𝑥 = 0 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 𝑒𝑛 < −∞, 0 >, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 𝑒𝑛 < 0, ∞ >, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

Graficando la función:

Rectángulo ΔXk

mk

Mk

mkΔk

MkΔk

A

1

0

55/3

0

55/3

B

2

55/3

16√3

110/3

32√3

C

1

64/3

27

64/3

27

D

1

35/3

64/3

35/3

64/3

E

1

0

35/3

0

35/3

F

1

-35/3

0

-35/3

0

G

1

-64/3

-35/3

-64/3

-35/3

H

1

-27

-64/3

-27

-64/3

I

1

-16√3

-80/3

-16√3

-80/3

J

1

-80/3

-55/3

-80/3

-55/3

-17- 16√3

𝐼(𝑓; 𝑃)

32√3- 1/3

𝑈(𝑓; 𝑃) I(f; P) = −17 − 16√3

y

U(f; P) = 32√3 −

1 3

Estimando el valor de la integral definida 5

1

∫−6 (3 𝑥2 − 12𝑥) 𝑑𝑥

≅

I(f;P)+U(f;P) 2

≅ 8√3 −

26 3

≅ 5.18974

Ejemplo: Utilizando suma de Riemann con un proceso de límite calcula:

 1 2  x  1dx 4 3  3



Solución: Calculando los Intersección de la curva con el eje “x”

y0 

1 2 x  1  0  x  2; x  2 4

V(0,1)

-3

-2

0

2

3

2

xk  1 ; f(x ) = f(x ) = 4 k

k

x0 = -3 x1 =- 3 +

3 n

3 n

x2 =- 3 + 2  

3 n

xk-1 = -3 + (k-1)  

3 n

xk = -3 + k  

2

1  3  f(xk) = -   3  k     1 4  n  1 18k 9k 2  f(xk) = -  9   2   1 4 n n 

5 9k 9k 2    f(xk) = 4 2n 4n 2

x1  x2  ....  xk 

3 n

 5 9k 9k 2  3     2n  4n 2  n lim n  k 1  4  n

27  15 n lim   4n  1  2n 2 n   k 1

n

k  k 1

27 4n 3

n

k k 1

2

  

 15

27 n(n  1) 27 n(n  1)( 2n  1)   3 2  2 6 4n

 15

27 n(n  1) 27 n(n  1)( 2n  1)   3 2  2 6 4n

lim  4  2n n 

lim  4  2n n 

 15 27  1  9  1  1  3  1    1   2    4 4  n  8  n  n  2

lim  n 

Por cálculo introductorio:

 x2   x3 3 3  1dx  2  x      4 3    12 0 2 3

Problema:

Para f(x)=

( x  2) 2  1, x  1  3 x 2   x  4,1  x  1 3  2  x  1, x  1 

i) Calcule U(f,P) y I(f,P) con una partición:

P={-5/2 , -3/2,-1,1,2, 7/2, 5 }

5

ii)Aproxime

 f ( x)dx y encuentre una cota de error cometido

5 / 2

SOLUCION:

x3 f 2 ( x)   x2  4 3

f2 ' ( x )  x2  2x f ' ' ( x )  2x  2 Puntos críticos x(x-2)=0  x=0,x=2 signo de la segunda derivada

.

f 2 ' ' (0 )  2  0,  max . f 3 ' ' (2 )  2  0,  min K

x k

mk

Mk

mk xk

M k xk

1

1

F(-2)=1

5 4

1

5 4

2

1/2

5 4

2

5 8

1

3

2

8 3

4

16 3

8

4

1

2

3

2

3

5

3

3

4

9

12

F(- 2)=

I(f,P) 

5

 m x k 1

U(f,P) 

k

5

M k 1

k

k

 1+ 5/8+16/30+2+9= 431 24

x k  5/4+1+8+3+12= 101 4

5

 f ( x)dx = (U 2 I ) =26,604

5 / 2

ERROR: E=

(U  I ) =3,645 2

Ejemplo Sea la función definida por: √−𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = { 𝑥 4 − 4𝑥 2 12 − 𝑥 2 + 8𝑥

, 𝑥 < −2 , −2≤𝑥 ≤2 , 𝑥<2 6

Calcula aproximadamente ∫−7 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Considerando la partición 𝑃 = {−7, −3, −2, −1,0,1,2,3,5,6} del intervalo [-7,6] Solución:

Y

4 3 2 x -7

-2 -1 0 1

2

4

6

-4

𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

∆𝑥𝐾

𝑚𝐾

𝑀𝐾

𝑚𝐾 . ∆𝑋𝐾

𝑀𝐾 . ∆𝑥𝐾

1

4

√5

3

4√5

12

2

1

2

√5

2

2√5

3

1

-4

0

-4

0

4

1

-3

0

-3

0

5

1

-3

0

-3

0

6

1

-4

0

-4

0

7

1

0

3

0

3

8

2

3

4

6

12

9

1

0

3

0

3

I(f,P)

4√5 − 6

U(𝑓, 𝑃)

30+2√5

6

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −7

6

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −7

𝐼(𝑓, 𝑃) + 𝑈(𝑓, 𝑃) 2

6√5 + 24 = 18.7082 2

Ejemplo 2

1

Calcula ∫0 ((7)𝑥 + 𝑥 4 )𝑑𝑥 utilizando suma de Riemann y un proceso de límite Solución 1

𝑓(𝑥) = (7)𝑥

1 49

𝟎

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 2

𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 … . . 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘, … . . 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 } 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 [0,2] Considerando una partición homogénea del segmento [0,2]

∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 =. . . = ∆𝑥𝑘 = ⋯ = ∆𝑥𝑛 = 𝑥0 =0 𝑥1 =

2 𝑛 2

𝑥2 = 2( ) 𝑛

2

𝑥3 = 3( ) 𝑛

2

𝑥4 = 4( ) 𝑛

. . . 2

𝑥𝑘−1 = (𝑘 − 1)( ) 𝑛

2

𝑥𝑘 = 𝑘( ) 𝑛

Considerando 𝑥𝑘 1

𝑓(𝑥) = (7)𝑥 + 𝑥 4

= 𝑐𝑘 = 𝜀𝑘 =𝑥𝑘

2−0 𝑛

=

2 𝑛

2

1 𝑘(𝑛) 𝑓(𝑐𝑘 ) = 𝑓(𝑥𝑘 ) = (7) + (𝑘 (𝑛2))

4

2

𝑘

=

1 (𝑛) [(7) ]

=

1 (𝑛) lim ∑𝑛𝑘=1([( ) ] 7 𝑛→∞

+ 16 𝑘 𝑛4

4

2 1

∫0 (7)𝑥 + 𝑥 4 𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓( 𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 𝑛→∞

2

2 1 ∫0 (7)𝑥

+ 𝑥 4 𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓( 𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 𝑛→∞

lim

∑𝑛𝑘=1 𝑓(

lim

∑𝑛𝑘=1 𝑓(

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 = 𝑛→∞ lim

𝑛→∞

2 1 lim [( 𝑛 7 𝑛→∞

=

)

2 ( ) 𝑛

2 ( ) 𝑛

2 ( ) 𝑛

+ 16 𝑘 𝑛4

4 2

)

𝑛

𝑘

) ]

2 1 lim ∑𝑛𝑘=1[(7 𝑛→∞ 𝑛

𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 =

lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓( 𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘

1 ∑𝑛𝑘=1([( 7

𝑘

2 𝑛

4

16 2 + 𝑛→∞ lim ∑𝑛𝑘=1[ 4 𝑘 ] 𝑛 𝑛

𝑘

32 ) ] + 𝑛→∞ lim 5 ∑𝑛𝑘=1 𝑘 𝑛 2

( ) ] ∑𝑛𝑘=1[(17) 𝑛 ]

4

𝑘−1 32 + 𝑛→∞ lim 5 ∑𝑛𝑘=1 𝑘 𝑛

4

Aplicando formulas conocidas en términos de “n” 2 1 2 ( ) 𝑛 ([( )(𝑛) ]𝑛 − 1 1 𝑥 2 1 32 𝑛(𝑛 + 1)(6𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1) 7 ∫ ( ) + 𝑥 4 𝑑𝑥 = lim . ( ) + lim . 𝑛→∞ 𝑛 7 𝑛→∞ 𝑛 5 30 1 (𝑛2 ) 0 7 (7) − 1 2

1 (2) 1 𝑥 2 1 (2 ) ([(7) ] − 1 32 𝑛(𝑛 + 1)(6𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1) 4 ∫ ( ) + 𝑥 𝑑𝑥 = lim ( ) 𝑛 . + lim . 𝑛→∞ 𝑛 7 𝑛→∞ 𝑛 5 30 1 (2 ) 0 7 (7) 𝑛 − 1 2

1 𝑥 1 (2 ) ∫ ( ) + 𝑥 4 𝑑𝑥 = lim ( ) 𝑛 . 𝑛→∞ 7 0 7 2

1 1 1 1 1 (1 + 𝑛) (6 + 9 𝑛 + 2 − 3 ) (49 − 1) 𝑛 𝑛 + lim 32 . 𝑛→∞ 30 1 (𝑛2 ) ( ) −1 lim 7 2

𝑛→∞

𝑛 2 1 𝑥

48

(− )

49 + ∫0 (7) + 𝑥 4 𝑑𝑥 = 1. −𝐿𝑛7

2 1 𝑥

48

( )

49 + ∫0 (7) + 𝑥 4 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛7

32 5

32 5

Ejemplo Encuentre el área de la región limitada por la gráfica de : 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ; 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥); 𝑥 = 0; 𝑥=

𝜋 4

Utilizando suma de Riemann con partición regular y un proceso de límite.

Solución:

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

A = A1 – A2 Calculando A1

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝐶𝑘 = 𝑥𝑘 → 𝑓(𝐶𝑘 ) = 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝜋 −0 𝜋 ∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 = ⋯ = ∆𝑥𝑘 = ⋯ = ∆𝑥𝑛 = 4 = 𝑛 4𝑛 X0=0 X1=0+

𝜋

4𝑛 2𝜋

X2=0+

4𝑛 3𝜋

X3=0+

4𝑛

. . . 𝑘𝜋

Xk=0+

4𝑛

A1 ≈ ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝐶𝑘 )∆𝑥𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘 ) = cos(

𝑘𝜋 ) 4𝑛 𝑘𝜋

A1 ≈ ∑𝑛𝑘=1 cos( )

𝜋

4𝑛 4𝑛

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝐶𝑘 = 𝑥𝑘 → 𝑓(𝐶𝑘 ) = 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝜋 −0 𝜋 ∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 = ⋯ = ∆𝑥𝑘 = ⋯ = ∆𝑥𝑛 = 4 = 𝑛 4𝑛 X0=0 X1=0+

𝜋

4𝑛 2𝜋

X2=0+

4𝑛 3𝜋

X3=0+

4𝑛

. . . 𝑘𝜋

Xk=0+

4𝑛

A2 ≈ ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝐶𝑘 )∆𝑥𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘 ) = sen(

𝑘𝜋 ) 4𝑛 𝑘𝜋

A2 ≈ ∑𝑛𝑘=1 sen( )

𝜋

4𝑛 4𝑛

𝑘𝜋

𝜋

𝑘𝜋

𝜋

A ≈ lim ∑𝑛𝑘=1 cos ( ) − lim ∑𝑛𝑘=1 sen( ) 4𝑛 4𝑛 4𝑛 4𝑛 𝑛→∞

𝑛

∑ cos ( 𝑘=1

𝑛→∞

𝑘𝜋 ) = 𝑓(𝑛) 4𝑛

𝑛

𝑛

𝑘=1

𝑘=1

𝑘𝜋 𝜋 1 𝜋(𝑘 + 1) 𝜋(𝑘 − 1) ) − 𝑠𝑒𝑛( )] ∑ cos ( ) sen ( ) = ∑[𝑠𝑒𝑛( 4𝑛 4𝑛 2 4𝑛 4𝑛

1 𝜋 𝑛+1 𝜋 𝜋 [𝑠𝑒𝑛 ( ( )) + 𝑠𝑒𝑛 ( ) − 𝑠𝑒𝑛 ( )] 2 4 𝑛 4 4𝑛 𝜋 𝑛+1 𝜋 𝜋 [𝑠𝑒𝑛 ( ( + 𝑠𝑒𝑛 ( ) − 𝑠𝑒𝑛 ( )] )) 4 𝑛 4 4𝑛 𝑘𝜋 1 ∑ cos ( ) = 𝜋 4𝑛 2 𝑠𝑒𝑛( ) 𝑘=1 4𝑛 𝑛

𝑛

∑ sen ( 𝑘=1

𝑘𝜋 ) = 𝑔(𝑛) 4𝑛

𝑛

𝑛

𝑘=1

𝑘=1

𝑘𝜋 𝜋 1 𝜋(𝑘 − 1) 𝜋(𝑘 + 1) ) − 𝑐𝑜𝑠( )] ∑ sen ( ) sen ( ) = ∑[𝑐𝑜𝑠( 4𝑛 4𝑛 2 4𝑛 4𝑛

1 𝜋 𝑛+1 𝜋 𝜋 − [𝑐𝑜𝑠 ( ( )) + 𝑐𝑜𝑠 ( ) − 𝑐𝑜𝑠 ( ) − 1] 2 4 𝑛 4 4𝑛 𝜋 𝑛+1 𝜋 𝜋 −[𝑐𝑜𝑠 ( ( + 𝑐𝑜𝑠 ( ) − 𝑐𝑜𝑠 ( ) − 1] )) 4 𝑛 4 4𝑛 𝑘𝜋 1 ∑ sen ( ) = 𝜋 4𝑛 2 𝑠𝑒𝑛( ) 𝑘=1 4𝑛 𝑛

𝜋 𝑛+1

𝜋

𝜋

𝜋 [𝑠𝑒𝑛( 4 ( 𝑛 ))+𝑠𝑒𝑛( 4 )−𝑠𝑒𝑛(4𝑛)] A= lim 𝜋 2 𝑛→∞ 4𝑛 𝑠𝑒𝑛( ) 1

𝜋 𝑛+1

+

4𝑛

1

A= lim

𝜋 4

1 𝑛

𝜋 4

[𝑠𝑒𝑛( (1+ ))+𝑠𝑒𝑛( )−𝑠𝑒𝑛(

2 𝑛→∞

𝜋 𝑠𝑒𝑛(4𝑛) 𝜋 4𝑛

𝜋 )] 4𝑛

𝜋

𝜋

𝜋 [𝑐𝑜𝑠( 4 ( 𝑛 ))+𝑐𝑜𝑠( 4 )−𝑐𝑜𝑠(4𝑛)−1] lim 𝜋 2 4𝑛 𝑠𝑒𝑛( ) 4𝑛 𝑛→∞ 1

1

+ lim

𝜋 4

1 𝑛

𝜋 4

[𝑐𝑜𝑠( (1+ ))+𝑐𝑜𝑠( )−𝑐𝑜𝑠(

2 𝑛→∞

𝜋 )−1] 4𝑛

𝜋 𝑠𝑒𝑛(4𝑛) 𝜋 4𝑛

1 1 1 1 + + −1−1 1 √2 √2 √2 √2 [ + ] 2 1 1

𝐴 = √2 − 1

Ejemplo Halla el área de la región R limitada por las gráficas de: 3

𝑦 = 2 √𝑥 𝑦 = 0 ; 𝑥 = 8 utilizando suma de Riemann y un proceso de límite. Solución 3

𝑦 = 2 √𝑥 𝑦

𝑥 = ( )3 …(i) 2

A=Arect – A1

x

A A1 y

Arect = 8y = 8(4) = 32 Reemplazando en (i) 𝑦 3 8=( ) 2 𝑦=4 A1

A1 Ck = yk 𝑓(𝐶𝑘 ) = 𝑓(𝑦𝑘 ) ∆𝑦1 = ∆𝑦2 = ∆𝑦3 = ⋯ = ∆𝑦𝑘 = ⋯ = ∆𝑦𝑛 = y0=0 y1=0+

4

𝑛

y2=0+

8

𝑛 3(4)

y3=0+ . . .

𝑛

4−0 4 = 𝑛 𝑛

yk=0+

4𝑘 𝑛

𝑓(𝐶𝑘 ) = (

2𝑘 3 ) 𝑛

A1= ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝐶𝑘 ). ∆𝑥𝑘 𝑛

= ∑( 𝑘=1

2𝑘 3 4 ) 𝑛 𝑛 2𝑘

4

𝑛

𝑛

= lim ∑𝑛𝑘=1( )3 ….(ii) 𝑛→∞

𝑛

∑( 𝑘=1

2𝑘 3 2 𝑛(𝑛 + 1) 2 ) = ( )3 ( ) 𝑛 𝑛 2

2(𝑛 + 1)2 = 𝑛 Reemplazando en (ii) 2(𝑛 + 1)2 𝑛2 2𝑛 1 lim . 4 = lim 8( 2 + 2 + 2 ) = 8 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛2 𝑛 𝑛 𝑛 A = 32 – A1 A= 32 – 8 = 24

Ejemplo 0

Calcule ∫−3 (−𝑥 3 + 9𝑥)𝑑 𝑥 por definición de integral definida como un proceso de Límite.

𝑦 = −𝑥 3 + 9𝑥

∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 = ⋯ = ∆𝑥𝑘 = ⋯ = ∆𝑥𝑛 =

X0=0 X1=0 X2=0 X3=0 . . .

3 𝑛 6 𝑛 9 𝑛

𝑦 = −𝑥 3 + 9𝑥

0 − (−3) 3 = 𝑛 𝑛

3𝑘

Xk=0 -

𝑛

A ≈ ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝐶𝑘 )∆𝑥𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 ∑𝑛𝑘=1(−(−

3𝑘 3 ) 𝑛

3𝑘

3

+ 9( 𝑛 ))(𝑛) 𝑘 3 3

𝑘

3

𝐴 = lim ∑𝑛𝑘=1(27 ( ) ( ) − 27 lim ∑𝑛𝑘=1 ( ) ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛→∞

𝐴= 𝐴=

81

𝑛→∞

lim

𝑛2 (𝑛+1)2 𝑛4

4 𝑛→∞

𝑛2

81

−

2𝑛

81

lim

81

𝐴=−

𝑛2

2 𝑛→∞ 1

lim ( 2 + 2 + 2 ) − 𝑛 𝑛 𝑛

4 𝑛→∞

A= 4 −

𝑛(𝑛+1)

81

𝑛

1

lim ( + ) 𝑛 𝑛

2 𝑛→∞

81 2

81 4

Ejemplo Calcula

2

𝐿 = lim (

2

𝑛→∞ √(3𝑛+2)2 −9𝑛2 + √(3𝑛+4)2 −9𝑛2

+

2 √(3𝑛+6)2 −9𝑛2

1 ) 2𝑛

+⋯+

Solución: 𝐿 = lim ( 𝑛→∞

𝐿 = lim ( 𝑛→∞

2

√(3𝑛 + 2)2 − 9𝑛2 + √(3𝑛 + 4)2 − 9𝑛2

2 √(3𝑛 +

𝐿 = lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1 𝑛→∞

2

2)2

2 −

2 √(3𝑛+2𝑘)2 −9𝑛2

9𝑛2

+ √(3𝑛 +

= lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1 𝑛→∞

4)2

−

9𝑛2

1

+

+

√(3𝑛 +

6)2

.( ) 𝑛

𝑛

𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1 𝑓(𝑥𝑘 ). ∆𝑥𝑘 𝑛→∞

2

∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 … … = ∆𝑥𝑘 … . . = ∆𝑥𝑛 = 𝑛 2

√(3𝑛 + 6)2 − 9𝑛2

2

2

2

√(3+2𝑘) −9

2

2

𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘(∆𝑥𝑘 ) = 3 + 𝑘 𝑛 → 𝑎 = 3 , 𝑏 = 5 , ∆𝑥𝑘 = 𝑛

−

9𝑛2

+⋯+

+ ⋯+

1 ) 2𝑛

2 √(3𝑛 + 2𝑛)2 − 9𝑛2

)

1

𝑓(𝑥𝑘 ) =

1

→ 𝑓(𝑥) = √𝑥 2

√(𝑥𝑘 )2 −9

𝐿 = lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1 𝑛→∞

1

−9 5

2

𝑑𝑥

. (𝑛) = ∫3

2 √(3+𝑘 2 ) −9 𝑛

√𝑥 2 −9

Por cálculo introductorio 5

5 = 𝐿𝑛|𝑥 + √𝑥 2 − 9|| = 𝐿𝑛|5 + √52 − 9| − 𝐿𝑛|3 + √32 − 9| = 𝐿𝑛|3| 3

𝑑𝑥

𝐿 = ∫3

√𝑥 2 −9

𝐿 = lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1 𝑛→∞

5

2 √(3𝑛+2𝑘)2 −9𝑛2

= ∫3

𝑑𝑥 √𝑥 2 −9

= 𝐿𝑛|3|

Ejemplo 1

lim (

𝑛→∞ √4𝑛2 −1

= lim ( 𝑛→∞

1

√4𝑛2

= lim (

1

𝑛→∞ √4𝑛2

= lim (

1

𝑛→∞ √4𝑛2

+ + + +

1 √4𝑛2 −22 1 √4𝑛2 −1 1 √4𝑛2 −1 1 √4𝑛2 −1

+

+ + +

1 √4𝑛2 −32 1

√4𝑛2 −22 1 √4𝑛2 −22 1 √4𝑛2 −22

+ …+

1 √3𝑛2

1

+

√4𝑛2 −32 1

+

√4𝑛2 −32 1

+

√4𝑛2 −32

)

+ …+ + …+ + …+

1 √3𝑛2 1 √3𝑛2 1 √3𝑛2

−

1 √4𝑛2

)

) − lim

1

𝑛→∞ √4𝑛2

)−0

𝑥𝑘 = 𝑘; 𝑎 = 𝑥0 = 0, 𝑏 = 𝑥𝑛 = 𝑛 lim ∑𝑛𝑘=1(

𝑛→∞

𝑛

1 √4𝑛2 −𝑘 2

) = ∫0

𝑛

𝑑𝑥 √(2𝑛)2 −(𝑥)2

0

𝐼 = sin−1 (2𝑛) − sin−1 (2𝑛) 𝐼=

𝜋 6

Ejemplo Calcula: 1 1 1 1 𝐿 = lim ( + + ⋯+ ) 𝑛→∞ √4𝑛 2 − 1 + √4𝑛 2 − 4 √4𝑛2 − 9 √3𝑛2

Solución: 1

𝐿 = lim (√4𝑛2 𝑛→∞

1

𝐿 = lim (√4𝑛2 𝑛→∞

1

1

−1+ √4𝑛2 −4

+ √4𝑛2

1

−1

+ √4𝑛2

1

−9

+ ⋯ + √3𝑛2 )

1

−4

+ √4𝑛2

1

−9

+ ⋯ √4𝑛2

−𝑘 2

1

+ ⋯ + √4𝑛2

−𝑛2

)

1

𝐿 = lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1 √4𝑛2 𝑛→∞

−𝑘 2

1

= lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1

1

2 √4−( 𝑘) 𝑛

𝑛→∞

. (𝑛 )

𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1 𝑓(𝑥𝑘 ). ∆𝑥𝑘 𝑛→∞

𝑓(𝑥𝑘 ) =

1

1

√4−(𝑥𝑘 )2

→ 𝐿 = lim ∑𝐾=𝑛 𝐾=1 𝑛→∞

1

𝐿 = ∫0

𝑑𝑥 √4−𝑥 2

1

→ 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘(∆𝑥𝑘 ) = 0 + 𝑘 𝑛 → 𝑎 = 0 , 𝑏 = 1 , ∆𝑥𝑘 = 𝑛 1

1

1

2 √4−( 𝑘) 𝑛

. (𝑛) = ∫0

𝑑𝑥 √4−𝑥 2

𝑥 1 1 𝜋 = 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (2)| = 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (2) − 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0) = 6 0

𝐾=𝑛

𝐿 = lim ∑ 𝑛→∞

𝐾=1

1

1

=∫

√4𝑛2 − 𝑘 2

0

𝑑𝑥 √4 − 𝑥 2

=

𝜋 6

Propiedades de la integral definida Sean las funciones f(x) , g(x) y = K (constante) integrables en el segmento [a,b] b

1.-



dx  b  a

b

kdx  k (b  a)

a



2.-

a b

b

3.-



4.-

 

a

k f ( x)dx  k  f ( x)dx a

b

n

a

k 1

b

b

b

a

a

a

f k ( x)dx   f1 (x)dx   f 2 (x)dx  .......   f n (x)dx

5.- Si , b  a , entonces,



a

b

b

f ( x)dx   f ( x)dx a

6.- Si “a” está en el dominio de f, entonces



a

a

f ( x)dx  0

7.- Si f es integrable en los sub intervalos [a,c] , [c,b] entonces b



a

c

b

a

c

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

8.  Si f ( x)  g ( x) en a; bentonces  f ( x)dx   g ( x)dx

9.- Si f ( x)  0 ena; b entonces



b

a

b

b

a

a

f ( x)dx  0 x  a; b

10.- Si m  f ( x)  M en a; b , entonces b

m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) a

11.- Si f es integrable en a; b entonces



b

f ( x)dx  

a

b

f ( x) dx

a

12.- Se verifica 13.- Se verifica



f ( x)dx  



bq

f ( x  q)dx

aq

a

b

f ( x)dx  

bq

aq

a



14.- Se cumple 15.- Se cumple

b

b

f ( x)dx 

a

b



a

f ( x  q)dx

,q Q ,q Q

1 kb x f ( )dx , k  Q  ka k k bk 1

f ( x)dx  k 

ak 1

f (kx)dx , k  Q

16.- Si f es una función continua en [0, c] entonces se verifica:



c 0

f ( x)dx  

c 0

f (c  x)dx

17.- Si f es continua y función par en el intervalo simétrico alrededor del origen [-c;c] entonces se Verifica:



c

c

c

f ( x)dx  2 f ( x)dx 0

𝑓(𝑥) =

16 +4

𝑥2

√12

√12 16 16 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 2 𝑥2 + 4 −√12 𝑥 + 4 0

∫

18.- Si f es continua y función impar en el intervalo simétrico [-c,c] entonces se verifica:



c

c

f ( x)dx  0

𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 9𝑥

3

∫−3 (−𝑥 3 + 9𝑥)𝑑𝑥 = 0 Ejemplo

2 4

2 4

𝑓(𝑥) = 𝑥 → ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 −2

−2

Ejemplo

𝑔(𝑥)

2

∫−2 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 0 19.- Sea f una función definida y acotada en [a,b] cuya regla de correspondencia de f es:  f1 ( x)   f ( x) f ( x)   2  f3 ( x)  f ( x)  4

, ,

a  x  c1 c1  x  c2 c2  x  c3

, ,

c3  x  b

Si

ck , son puntos de discontinuidad donde k=1 ,2,3;entonces se verifica: 

b

c1

c2

c3

b

a

c1

c2

c3

f ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx   f3 ( x)dx   f 4dx

a

 a

c2

c1

b

20.-



t 2( x) c3

b

b

a

a

f ( x) g ( x)dx   f ( x)dx  g ( x)dx

a

b

21.-



b

a

b

f ( x) dx  g ( x)

 f ( x)dx  g ( x)dx a b a

Ejercicios 1.-Calcula sin integrar 8

∫0 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 Si la función se define por: − √4 − 𝑥 2 ; −2 ≤ 𝑥 ≤ 0 𝑔(𝑥) = { |𝑥 − 2| − 2 ;0 < 𝑥 ≤ 4 4𝑠𝑔𝑛(𝑥 − 4) ; 4 < 𝑥 ≤ 8 𝑅 = 12 − 𝜋 1.-Calcula sin integrar 15

∫−3 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 Si la función se define por:

2

− 3 √9 − 𝑥 2

; −3 ≤ 𝑥 ≤ 0 𝑔(𝑥) = { −|𝑥 − 5| + 5 ; 0 < 𝑥 ≤ 10 |𝑥 − 10| + |𝑥 − 15| ; 10 < 𝑥 ≤ 15