Integral Definida

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

3 3.1 DEFINICIÓN 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8

PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD INTEGRAL

DE DE DE DE DE DE DE DE

LINEALIDAD ADITIVIDAD COMPARACIÓN ACOTAMIENTO SUSTITUCIÓN SIMETRÍA PERIODICIDAD LA DERIVADA DE UNA

Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule integrales definidas aplicando teoremas y propiedades

43

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap 3 La Integral Definida

3.1 DEFINICIÓN Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación del área bajo una curva y = f (x ) .

El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a esta problemática. Dividiendo la región en " n " rectángulos. Observe la figura:

Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha denotado como x . El área del primer rectángulo sería A1 = f ( x1 ) ∆x1 , el área del segundo rectángulo sería A2 = f ( x 2 )∆x2 ; y así , el área del n-ésimo rectángulo sería An = f ( x n ) ∆xn .

xn

44

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Observe que si tomamos x1 = x1 , x 2 = x2 , x 3 = x3 , …, x i = xi , se tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma x1 = x0 , x 2 = x1 ,

x 3 = x2 , …, x i = xi −1 se tendrían rectángulos inscritos. La suma de las áreas de los n rectángulos sería:

( )

( )

( )

( )

f x1 ∆x1 + f x 2 ∆x2 + f x 3 ∆x3 + K + f x n ∆xn Que de manera abreviada tenemos:

∑ f (x )∆x n

i

i

i =1

Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por:

∑ ( )

⎡ n ⎤ A = lím ⎢ f x i ∆xi ⎥ n →∞ ⎣ i =1 ⎦ De aquí surge la definición de Integral Definida.

Sea f una función que está definida en el intervalo [a, b] . ⎡ f (x i )∆x ⎤ se le denomina la integral definida (o Al lím ∑ i n →∞ ⎢ ⎥⎦ ⎣ i =1 integral de Riemann) de f de " a " a " b " y se denota de la n

b

siguiente manera: ∫ f ( x)dx . a

Además, si existe este límite decimos que f es integrable en [a, b] . Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando una función es integrable.

45

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

Si f es acotada en [a, b] y si f es continua a excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable [a, b] . En particular si f es continua en todo [a, b] entonces es integrable en [a, b] Ejemplo Hallar el área bajo la curva f ( x ) = x en 2

[1,3]

SOLUCIÓN: Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene: n

A = lím

n →∞

∑ f ( x )∆x = lím [ f ( x )∆x + f ( x )∆x i

i =1

i

n→∞

1

2

1

2

+ f ( x 3 ) ∆x3 + K + f ( x n )∆xn ]

PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS. Escogemos x 1 = x1 , x 2 = x 2 , x 3 = x3 , …, x i = xi Representando la región, tenemos:

y = x2

x 0 x1 x 2 {{ ∆x

∆x

xn

{ ∆x

Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos

∆x = y

46

b − a 3 −1 2 = = n n n

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ x0 = a = 1 x1 = x 0 + ∆x = 1 +

2 n

4 ⎛2⎞ x 2 = x1 + ∆x = x 0 + 2∆x = 1 + 2⎜ ⎟ = 1 + , n n ⎝ ⎠

6 ⎛2⎞ x 3 = x 2 + ∆x = x 0 + 3∆x = 1 + 3⎜ ⎟ = 1 + n ⎝n⎠ M ⎛2⎞ x i = x 0 + i∆x = 1 + i∆x = 1 + i ⎜ ⎟ ⎝n⎠ Entonces:

A = lím [ f (x1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + L f (x n )∆x ] n →∞

n

= lím

n →∞

= lím

n →∞

∑ f ( x )∆x i

i =1 n

∑ i =1

2 n →∞ n

= lím

2

2⎞ 2 ⎛ ⎜1 + i ⎟ n⎠ n ⎝

n

∑ ⎛⎜⎝1 + i n4 + i

2

i =1

4 ⎞ ⎟ n2 ⎠

n n n ⎤ 2 ⎡⎢ 4 4 i+ 2 i2 ⎥ 1+ n →∞ n ⎢ ⎥ n n i =1 i =1 ⎣ i =1 ⎦ 2⎡ 4 n(n + 1) 4 n(n + 1)(2n + 1) ⎤ = lím ⎢n + + 2 ⎥ n →∞ n ⎣ n 2 6 n ⎦

= lím

∑ ∑

∑

2(n + 1)(2n + 1) ⎤ 2⎡ n + 2(n + 1) + ⎢ ⎥ n →∞ n ⎣ 3n ⎦

= lím

2⎡ 4n 2 + 6n + 2 ⎤ + + n 3 2 ⎢ ⎥ n →∞ n ⎢ 3n ⎣ ⎦⎥

= lím

= lím

n →∞

2⎡ 4n 2⎤ 3n + 2 + +2+ ⎥ 3 3n ⎦ n ⎢⎣

4 ⎤ ⎡ 8 8 = lím ⎢6 + + + 2 ⎥ n →∞ ⎣ n 3 3n ⎦ 26 A= 3 SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS. Escogemos x 1 = x 0 , x 2 = x1 , x 3 = x 2 , …, x i = x i −1 Representando la región, tenemos:

47

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

y = x2

x 0 x1 x 2 {{ ∆x

∆x

xn −1 x n { ∆x

Ahora, igual que el método anterior:

∆x = Entonces:

2 n

⎛2⎞ x i = 1 + i⎜ ⎟ ⎝n⎠

y

A = lím [ f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + L f (xn −1 )∆x ] n →∞

n −1

= lím

n →∞

= lím

n →∞

= lím

n →∞

∑

f ( xi )∆x

∑

2⎞ 2 ⎛ ⎜1 + i ⎟ n⎠ n ⎝

i =0 n −1

i =0 n −1

2 n

∑ i =0

⎡ 2 = lím ⎢ n →∞ n ⎢ ⎣⎢

2

4 2 4 ⎞ ⎛ ⎜⎜1 + i n + i 2 ⎟⎟ n ⎠ ⎝

n −1

n

i =0

4 n

⎤

n

∑ ∑ ∑ 1+

i+

i =1

4

n2

i =1

i

2⎥

⎥ ⎦⎥

2⎡ (n − 1) + 4 (n − 1)(n) + 42 (n − 1)(n)[2(n − 1) + 1]⎤⎥ 2 6 n ⎢⎣ n n ⎦ 2⎡ 2(n − 1)(2n − 1) ⎤ = lím ⎢n − 1 + 2(n − 1) + ⎥ 3n n →∞ n ⎣ ⎦ = lím

n →∞

2⎡ 4n 2 − 6n + 2 ⎤ ⎢3n − 3 + ⎥ n →∞ n ⎢ 3n ⎣ ⎦⎥

= lím

2⎡ 4n 2⎤ −2+ ⎥ 3n − 3 + ⎢ n →∞ n ⎣ 3 3n ⎦

= lím

4 ⎤ ⎡ 10 8 = lím ⎢6 − + + 2 ⎥ n →∞ ⎣ n 3 3n ⎦ 26 A= 3

48

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más engorroso si la función f tuviese regla de correspondencia compleja. El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de una manera muy rápida y sencilla, liberándonos de la ideas de calcular integrales definidas empleando su definición.

3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f continua en [a, b] y sea F cualquier

antiderivada de f en [a, b] entonces: b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a

Demostración: En la expresión F (b) − F ( a ) , haciendo b = x n y a = x0 tenemos: F (b) − F (a) = F ( x n ) − F ( x0 )

Restando y sumando términos, resulta: F (b) − F (a ) = F ( x n ) − F ( x0 ) = [F ( x n ) − F ( x n −1 )] + [F ( x n −1 ) − F ( x n − 2 )] + F ( x n − 2 ) − K − F ( x1 ) + [F ( x1 ) − F ( x 0 )]

∑[ n

=

F ( xi ) − F ( xi −1 )]

i =1

Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a F en el intervalo [xi −1 , xi ]

Como F es continua y diferenciable en [xi −1 , xi ] entonces ∃x i tal que F ´(x i ) = Como F ´(x i ) = f ( x i ) y xi − xi −1 = ∆xi entonces: f (xi ) =

Despejando resulta: F ( x i ) − F (x i −1 ) = f ( x i ) ∆x i .

F ( xi ) − F (xi −1 ) xi − xi −1

F ( xi ) − F (xi −1 ) ∆xi

49

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

∑[ n

Reemplazando en F (b) − F (a ) =

∑ n

F ( xi ) − F ( xi −1 )] tenemos: F (b) − F (a) =

i =1

f ( x i )∆xi

i =1

Tomando límite queda: lím [F (b) − F (a )] = lím

n →∞

n →∞

n

∑ f ( x ) ∆x i

i

i =1

b

n

F (b) − F (a ) = lím

n →∞

∑

f ( xi )∆xi =

i =1

∫ f ( x)dx a

La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de f en

[a, b] .

b

Por tanto F (b) − F (a ) =

∫

L.Q.Q.D.

f ( x)dx

a

Ejemplo Hallar el área bajo la curva y = x en SOLUCIÓN: 2

[1,3]

3

El área bajo la curva estará dada por A =

∫

x 2 dx , aplicando el teorema fundamental del calculo

1

3

A=

∫ 1

3

⎛ x3 ⎞ ⎛ 33 ⎞ 27 1 26 13 x 2 dx = ⎜⎜ + C ⎟⎟ = ⎜⎜ + C − − C ⎟⎟ = − = 3 3 ⎝ 3 ⎠1 ⎝ 3 ⎠ 3 3

Hemos dado solución a una gran problemática. Observe que

50

a

b

a

a

a

b

∫ f ( x)dx = 0 y ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx ¿Porqué?

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD

Suponga que f y g son integrables en el intervalo [a, b] y sea k ∈ R , entonces: b

b

b

a

a

1. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ [ f ( x)]dx ± ∫ [g ( x)]dx a b

b

a

a

2. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx 3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD

Si f es integrable en un intervalo que contiene a los puntos a, b y c (no importar su orden), entonces: b

∫

c

f ( x)dx =

a

∫

b

f ( x)dx +

a

∫

f ( x)dx

c

Demostración: Por el teorema fundamental del cálculo: c

∫ a

b

f ( x)dx +

∫

b

f ( x)dx = F (c) − F (a ) + F (b) − F (c) = F (b) − F (a ) =

c

∫

f ( x)dx

a

PREGUNTA: ¿Verdadero o falso? 3

∫ 1

5

x 2 dx =

∫ 1

3

∫

x 2 dx + x 2 dx 5

51

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 1 5

Calcular

∫ 1

;x ≥ 3 ⎧2 x − 1 f ( x)dx donde f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x − 3x + 1 ; x < 3

SOLUCIÓN: Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir:

Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos: 5

∫

3

f ( x)dx =

1

∫(

5

)

x − 3 x + 1 dx + 2

1

∫(

2 x − 1)dx

3

3

5

⎛ x 3 3x 2 ⎞ ⎛ 2x 2 ⎞ = ⎜⎜ − + x ⎟⎟ + ⎜⎜ − x ⎟⎟ 2 ⎝ 3 ⎠1 ⎝ 2 ⎠3 ⎡⎛ 27 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞⎤ = ⎢⎜ 9 − + 3 ⎟ − ⎜ − + 1⎟⎥ + [(25 − 5) − (9 − 3)] 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠⎦ ⎣⎝ 38 = 3

Ejemplo 2 4

Calcular

∫

x − 1 − 2 dx

−2

SOLUCIÓN: Para obtener las reglas de correspondencia que definen a

y = x −1 − 2

Entonces:

52

f , obtenemos la gráfica de

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ −1

4

∫

x − 1 − 2 dx =

−2

∫

1

(− x − 1)dx +

−2

∫

3

(x + 1)dx +

−1

−1

∫

4

(− x + 3)dx +

1

∫

(x − 3)dx

3

1

3

4

⎛ x ⎛ x ⎞ ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎞ = ⎜− − x⎟ + 3x ⎟ + ⎜ +⎜ + x⎟ + ⎜− − 3x ⎟ ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ −2 ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ −1 ⎝ ⎠3 ⎡⎛ 1 ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎞⎤ ⎡ ⎛9 ⎞⎤ ⎞ ⎤ ⎡⎛ 9 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 = ⎢⎜ − + 1⎟ − (− 2 + 2)⎥ + ⎢⎜ + 1⎟ − ⎜ − 1⎟ ⎥ + ⎢⎜ − + 9 ⎟ − ⎜ − + 3 ⎟⎥ + ⎢(8 − 12) − ⎜ − 9 ⎟ ⎥ ⎠ ⎠⎦ ⎣ ⎝2 ⎠⎦ ⎠ ⎦ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎣⎝ 2 ⎦ ⎣⎝ 2 =5 2

⎛ x2

2

3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN

Si f y g son integrables en [a, b] y si f ( x) ≤ g ( x) , ∀x ∈ [a, b] ;

b

b

a

a

entonces: ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx

3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO

Si

es integrable en f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] ; entonces: f

m≤

[a, b]

y

si

b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a

3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN

Supóngase que g tiene una derivada continua en [a, b] y sea f continua en el rango de g . Entonces: x =b

t = g (b )

x=a

t=g (a)

∫ f ( g ( x))g´(x)dx = ∫ f (t )dt donde t = g (x)

Ejemplo π2 4

Calcular

∫

π2 9

cos x dx x

SOLUCIÓN:

53

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ Tomando el cambio de variable t =

⎧⎪ x = π

2

⎪⎩ x = π

2

integración ⎨

4

⇒ t = π2

9

⇒ t = π3

por tanto la integral en términos de t sería:

π2

∫

x entonces tenemos dx = 2 x dt , y para los límites de

π2

cos t x

2 x dt = 2

π3

∫

π2

cos tdt = 2 sen t π 3 = 2 sen π2 − 2 sen π3

π3

= 2(1) − 2

3 = 2− 3 2

Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?. 3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA

1. Si

f

es una función PAR entonces: a

a

−a

0

∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx 2. Si

f

es una función IMPAR entonces: a

∫

f ( x)dx = 0

−a

Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma análoga y se recomienda al lector que la realice. DEMOSTRACIÓN 0

a

Aplicando la propiedad de aditividad

∫

f ( x)dx =

−a

∫

a

f ( x)dx +

−a

∫

f ( x)dx

0

Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución: Si tomamos el cambio de variable t = − x entonces dt = − dx y para los límites de integración 0

⎧x = 0 ⇒ t = 0 . Sustituyendo resulta ⎨ ⎩ x = −a ⇒ t = a

∫ a

54

0

f (−t )[− dt ] = −

∫ a

f (−t )dt

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Por hipótesis f es una función par, por tanto se cumple que f (−t ) = f (t ) y además si 0

invertimos los límites de integración, tenemos: −

∫

∫

Finalmente

f ( x)dx =

−a

∫

f (t )dt

f ( x )dx

0

a

∫

∫ 0

∫

f (−t )[− dt ] =

a

a

f (−t )dt =

a a

0

la última integral si t = x queda

a

a

f ( x )dx +

0

∫

a

f ( x )dx = 2

0

∫

f ( x)dx L.Q.Q.D.

0

Ejemplo 5

Calcular

∫ −5

x5 dx x2 + 4

SOLUCIÓN: Obtengamos primero f ( − x ) para f ( x ) =

f (− x) =

x5 x2 + 4

.

(− x) 5 (− x) + 4 2

=−

x5 x +4 2

Observe f (− x ) = − f ( x) , por tanto f es una función impar y por la propiedad de simetría, rápidamente concluimos que: 5

∫

x5 x2 + 4

dx = 0

−5

3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD

Si f es periódica con período T , entonces: b +T

∫

a +T

b

f ( x)dx = ∫ f ( x )dx a

DEMOSTRACIÓN b +T

En la integral

∫

f ( x)dx , haciendo cambio de variable t = x − T .

a +T

55

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Del cambio de variable se obtiene x = t + T , dx = dt y los límites para la nueva variable son: ⎧x = b + T ⇒ t = b ⎨ ⎩x = a + T ⇒ t = a b +T

Reemplazando, resulta:

∫

b

f ( x)dx =

a +T

∫

f (t + T )dt y como, por hipótesis, f es una función

a

b

periódica se cumple que f (t + T ) = f (t ) , entonces

∫

b

f (t + T )dt =

a

b +T

Que finalmente, si t = x quedaría

∫

∫

f (t )dt

a

b

f ( x)dx =

a +T

∫

f ( x)dx L.Q.Q.D.

a

3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del Cálculo.

Sea f continua en [a, b] y sea " x " un punto variable de (a, b) . Entonces: d ⎡x ⎤ f (t )dt ⎥ = f ( x) ∫ ⎢ dx ⎣ a ⎦ Ejemplo 1 ⎡x Calcular D x ⎢ ⎢ ⎣2

∫

⎤ dt ⎥ 2 t + 17 ⎥ ⎦ t

3

2

SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que:

⎡x ⎢ Dx ⎢ ⎢ ⎣2

∫

56

⎤ ⎥ dt ⎥ = 2 t + 17 ⎥ ⎦ t

3

2

x

3

2

x + 17 2

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 2 ⎡2 Calcular D x ⎢ ⎢ ⎣x

∫

⎤ dt ⎥ 2 t + 17 ⎥ ⎦ t

3

2

SOLUCIÓN: Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que:

⎡ ⎢ D x ⎢− ⎢ ⎣

x

∫ 2

⎤ 3 ⎥ x 2 dt ⎥ = − t 2 + 17 ⎥ x 2 + 17 ⎦ t

3

2

La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera: ⎡u ( x ) ⎤ du d ⎢ f (t )dt ⎥ = [ f (u )] ⎥ dx dx ⎢ ⎢⎣ a ⎥⎦

∫

Ejemplo 3

⎡x ⎢ Calcular D x ⎢ ⎢⎣ 2

3

∫

⎤ dt ⎥ 2 t + 17 ⎥ ⎥⎦ t

3

2

SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad, concluimos que:

⎡ x3 ⎢ Dx ⎢ ⎢ ⎢⎣ 2

∫

⎤ ⎥ dt ⎥ = t 2 + 17 ⎥ ⎥⎦ t

3

2

(x ) (3x ) = (x ) + 17 3

3

2

2

3 2

3x

13

2

x 6 + 17

Ejemplo 4 3 ⎡x ⎤ t 2 ⎢ Calcular D x dt ⎥ 2 ⎢ t + 17 ⎥ ⎣⎢ x 2 ⎦⎥ 3

∫

SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que:

⎡ x3 ⎢ Dx ⎢ ⎢ ⎣⎢ x 2

∫

⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ t dt ⎥ = D x ⎢ 2 ⎢ t + 17 ⎥ ⎢⎣ x 2 ⎦⎥ 3

2

∫

t

3

x3

2

t 2 + 17

dt +

∫ 0

⎤ ⎥ dt ⎥ 2 t + 17 ⎥ ⎦⎥ t

3

2

Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta:

57

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ ⎡0 ⎢ Dx ⎢ ⎢ ⎣⎢ x 2

∫

t

3

⎤ ⎡0 ⎥ ⎢ t dt ⎥ = D x ⎢ 2 t + 17 ⎥ ⎢ ⎣ x2 ⎦⎥

x3

2

t 2 + 17

dt +

∫

3

0

∫

2

⎡ ⎢ = D x ⎢− ⎢ ⎢⎣

∫

⎤ ⎥ dt ⎥ = t 2 + 17 ⎥ ⎥⎦ t

3

2

∫

⎤ ⎥ dt ⎥ t 2 + 17 ⎥ ⎦⎥

x2

⎡ x3 ⎤ ⎢ ⎥ t dt ⎥ + D x ⎢ ⎢ t 2 + 17 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎤ ⎥ dt ⎥ t 2 + 17 ⎥ ⎥⎦

∫

2

3

0

∫

2

3

2

3

2

2 2

3x

13

2

2

3 2

−

x 6 + 17

3

2x 4 x 4 + 17

Ejemplo 5 ⎡x ⎤ ⎢ Calcular D x xtdt ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦

∫

SOLUCIÓN: x

Observe que

∫ 1

x

xtdt = x

∫

tdt por tanto:

1

⎡ ⎡x ⎤ ⎛ ⎜ ⎢ ⎢ ⎥ Dx ⎢ xtdt ⎥ = Dx ⎢(x ) • ⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎣1 ⎦ ⎝

∫

⎛ ⎜ = ( Dx x ) • ⎜ ⎜⎜ ⎝

x

∫ 1

x

∫ 1

⎞⎤ ⎟⎥ tdt ⎟⎥ ⎟⎟⎥ ⎠⎥⎦

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ tdt + (x ) • ⎜ Dx ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

x

= 1•

=

2

t 2

2

∫

tdt

+

1 x

+ x2 1

x 1 − + x2 2 2 3 2 1 = x − 2 2 =

58

t

3

t

2

3

2

(x ) (2 x) + (x ) (3x (x ) + 17 (x ) + 17

=− ⎡ x3 ⎢ FINALMENTE: D x ⎢ ⎢ ⎢⎣ x 2

⎡ x3 ⎤ ⎢ ⎥ t dt ⎥ + D x ⎢ ⎢ t 2 + 17 ⎥ ⎦ ⎣⎢ 0 3

x • (x )

x

∫ 1

⎞ ⎟ tdt ⎟ ⎟⎟ ⎠

2

)

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Ejemplo 6 x

∫

Calcular lím

1 − t 2 dt

0

x →0

x

SOLUCIÓN: 0 0

La expresión presenta una indeterminación de la forma: Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos:

⎡x ⎤ ⎢ ⎥ 2 1 − t dt ⎥ Dx ⎢ ⎢ ⎥ 1− x 2 1− 02 ⎣0 ⎦ lím = lím = =1 x →0 x →0 1 1 D x [x ]

∫

Ejercicios Propuestos 3.1 1.

Calcular 3

∫

a.

1

10

f (x )dx , si

f.

−2

∫

g.

∫(

x−

5

[ x ])dx

l.

0

4

b.

π2

∫

x − 1 dx

h.

0 4

c.

∫

3 x − 1 dx

d.

∫(

)

3 x − 1 + 2 − x dx

j.

−2 5

e.

∫

∫

x

cos

m.

dx

x

∫(

)

x 2 − 2 x + 3 ln (x )dx

1 1

9

∫( 0 1

9 − x 2 dx

e

4

1

i.

−2 4

∫ 0

∫

π2

∫ sen (2 π x )dx 0

0 4

⎧⎪2 x 2 , − 2 ≤ x ≤ 1 f (x ) = ⎨ ⎪⎩1 − 2 x, 1 < x ≤ 3

k.

x dx

2

x+2

x2 + 4x + 1

n.

)

2

1+ x2

dx

[3 x + cos (3 x − 3 )]dx

∫(

x3

−1 100

o.

∫

)

4

dx

(

)

x 2 sen 97 x 3 − 3 x dx

− 100

0

x − 1 − 2 dx

−2

2.

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa de un contraejemplo. b

[

]

Si f (x ) ≤ g (x ) en a , b ,

a.

∫

b

f (x )dx ≤

a

99

b.

∫(

)

ax 3 + bx 2 + cx dx = 2

− 99

∫

g (x )dx

a

99

∫

bx 2 dx

0

59

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

b +T

c.

b

∫

Si f es periódica con período T, entonces:

∫

f (x )dx =

a +T

∫

,

a

−a

b

d. ∀ f

f (− x )dx =

∫

f (x )dx

−b

a

a

e.

f (x )dx

Si f es una función par ∀x ∈ [− a , a ] , entonces

a

∫

f (x )dx = 2

−a

Si f (x ) ≤ g (x ) en [a, b ] , entonces

g. h.

Si F ′(x ) = G ′(x ) ∀x ∈ a, b ,

[ ]

∫

f ( x ) dx

0

b

f.

∫

b

∫

f (x ) dx ≤

a

g (x ) dx

a

F (b ) − F (a ) = G(b ) − G(a )

Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f . Entonces

∫ f (g (x))g′(x)dx = F (g (x)) + C 3.

Encuentre f ′ si f toma las siguientes reglas de correspondencia: x 3 + sen x

sen x ln x

∫

a.

1 dt 1− t

∫

d.

0

b.

x

1 − t dt 5

∫ (

e.

ln x tanx

ln x

ex3x

∫

c.

1 dt 2−t

6 log

x

2

+1

x

2

2

)

)

dt

1− t3 cos t − sen t

1 + sen t 1−

cos

dt t

Determine: x

a.

∫ lim

( )dt

sen t

0

x3

x→ 0

x

b.

∫ lim +

x→1

∫

2

c.

x

60

3

∫

f.

e ln x sec x

4.

t5 − 1

2

x 3 sen (tanx

2 x 3 sec x 3

∫

2t 4

sent dt

d.

1

x −1

lim

1 + e − t dt

1

x→ ∞

x

⎡ x2 d ⎢ dt ⎢ dx ⎢ 1 − 5t 2 0 ⎣

∫

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

2

dt

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Misceláneos 1.

A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su respuesta. a) Si f ´ es una función continua en el intervalo [a , b ] entonces b

∫

2 f ( x ) f ´( x ) dx =

[ f ( b ) ]2

[ f ( a ) ]2

−

a

b

∫

f ( x ) dx = 0 entonces f ( x ) = 0 para ∀ x ∈ [a , b ]

b)

Si

c)

Si f es una función continua en IR , entonces:

a

⎛ arctgx ⎜ d ⎜ f ( x ) dx dx ⎜ ⎜ 2 ⎝ x

∫

n +1

d)

∫[

⎞ ⎟ ⎟ = f (arctgx ⎟ x2 +1 ⎟ ⎠

)−

( )

f x2

n (n + 1 ) ; n ∈ IN 2

]

x dx =

0

e)

Si f y g son funciones impares y continuas en IR , entonces 5

∫(

f o g

)(x )dx

= 0

−5

⎡x ⎢ Dx⎢ ⎢ ⎢ 4 ⎣

2

f)

∫

4

1+ t

⎤ ⎥ dt ⎥ = 2 x 1 + x 4 ⎥ ⎥ ⎦

2

g)

∫

⎡ x2 4 − x3 ⎢ 5 x + xe ⎣

⎤ 1 + x 4 ⎥ dx = 64 ⎦

−2

h)

Si f y g son funciones continuas en el intervalo [0 ,1 ] entonces 1

∫

1

f (x )g (1 − x )dx =

0

∫

f (1 − x )g (x )dx

0

b

i)

Si

∫

f ( x ) dx ≥ 0 entonces f ( x ) ≥ 0 para ∀ x ∈ [a , b ]

a

π

2π

j)

∫

senx dx = 4

2

2

∫

senxdx

0

3

k)

Si

∫

f ( x ) dx = 3 y

0

∫ 0

∫ 0

f ( x ) dx = 7

entonces

∫

f ( x ) dx = − 4

4

1

1

l)

3

4

xdx ≥

∫

1 + x 2 dx

0

61

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ m)

Si

es una función continua en

f

2 x1

∫

2 x1

f (t )dt =

−x

n)

IR tal que para cualquier número real x ,

∫

f (t )dt = 0 entonces f es una función impar.

x

Si F es una antiderivada de la dunción f , entonces F (2 x + 1) =

∫

f (2 x + 1)dx

5

o)

Si

es una función continua en el intervalo

f

[2,5]

y

∫

f ( x )dx = 7

entonces

2

−5

∫

f ( x )dx = −7

−2

x2

∫

p)

Si f es una función tal que 2 f ( x) + 3 cos t dt = 0 entonces f ´(x) = −3 x cos x

q)

Si

0

y g

f

son funciones tales que

f ( x ) = xe

x

y

f ( x ) ≥ g ( x ) para todo

1

x ∈ [0 ,1 ] entonces

∫

g (x )dx ≤ 1 .

0

2

r)

[ ]

Si ∀x ∈ 0,2 ,

0 ≤ f ( x) ≤ 1 entonces 0 ≤

∫

f ( x)dx ≤ 1

0

s)

Si f es una función continua en el intervalo [0,10 ]

x ∈ [0,10] entonces f ´(1) = 2π

t)

∫

senx dx =

w)

62

lim

n → +∞

lim

p →0

Si

3 3 e . 5

∫

cos x dx

2

∑ n

v)

∫

2π

2

u)

⎞ ⎛ 3x 2 ⎟ ⎜ et ⎜ y f ( x ) = Dx ⎜ dt ⎟⎟ para 2 ⎜⎜ t + 1 ⎟⎟ ⎠ ⎝ 0

i =1 n

∑ i =1

π n

⎛ πi ⎞ cos⎜ ⎟ = π ⎝n⎠

cos 2 xi =

π 2

donde p = max.{∆xi } p es una partición del intervalo [0, π ] .

2

2

−1

−1

∫ (2 f (x) + x2 )dx = 1 , entonces ∫ f (x)dx = −1

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

x

x)

∫ 0

lim

x→ 0

⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎜ tg ⎜ x 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

+

n

y)

lim

n →∞

( )

sen t 2 dt

∑

n

i =1

∫

∀a, b ∈ R,

b + 2π

senx dx =

a

2.

1 3

⎛ 2i ⎞ ⎜⎜1+ ⎟⎟ 2 e⎝ n ⎠ = e 2 − 1

a + 2π

z)

=

∫

cos xdx

b

Calcular x

4

∫(

1 − cos t )dt

a.

0

lim

x→ 0

j.

∫(

1

)3 2

6 − x2

1

dx

π

∫

l.

2

∫

3 x

2

+ 2x + 2

e.

∫

∫

12 e

x→ 0

m.

( )

)

2 x − 1 − 3 dx

∫

2 x + 3 dx

∫

1 + cos x dx 2

2 x2

∫

6

3

f.

∫(

2x −

[ x ])dx

n.

0

∫

(x x + 1 − x − 2 )dx

−2 5

h.

∫

lim

sen (t ) t2 +1

dt

0

x→ 0

x3

4

3

g.

dt

π

sen t 2 dt

x

+ 16

∫(

0

lim

2t

−2 2π

dx

1

x2

dx

−2 3

cos 2 xsen 3 xdx

0

d.

x − 4 x3 − x

ln 2 21

k.

2

c.

∫

2 ln 5

x3

2

b.

i.

o.

∫

1

p. dx

− 2 x−3

dx

−3 2

2 + x −1

e

∫

−2

( )

⎛ sen x 3 x ⎜ +e ⎜ x2 + 1 ⎝

⎞ ⎟dx ⎟ ⎠

1

63

Cap 3 La Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

3

3.

)

∫(

9t 2 − 48t + 56 e −3t dt ,

Si f es una función tal que f ( x) =

x ∈ IR . Determine los intervalos donde el

x

gráfico de f es cóncava hacia arriba. 4

4.

Si f y g son funciones tales que

∫ 1

1

el valor de

∫[

5 f ( x) + g ( x)]dx

7

64

7

f ( x ) dx = 3 ,

∫ 4

7

f ( x)dx = −2 y

∫ 1

3 g ( x ) dx = 6 , entonces calcule