Integral Definida

Ing. Luis Di Stefano

Pag. 1

1. Sea f una función definida y P una partción del intervalo [0,3] Calcular:

( x − 2) 2 si 0 ≤ x < 1  f ( x ) ==  x 2 + 2 si 1 ≤ x ≤ 2 4 si 2 < x ≤ 3 

S ( P, f ) s ( P, f )

 1 3 5  P = 0, , , ,3  2 2 2 

y

Las lineas verticales indican la partición Suma Superior

4

S ( P, f ) = ∑ ( ∆xi ).M i i =1

Construimos la siguiente tabla: ( Recomiendo Hacerlo de esta forma) i 1 2 3 4

x (i − 1)

x i

0.00 0.50 1.50 2.50

0.50 1.50 2.50 3.00

∆x i

x max

0.50 1.00 1.00 0.50

M

0.00 1.50 2.00 3.00

i

4.000 4.250 6.000 4.000 4

S ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi = i =1

(∆xi ).(M i ) 2.000 4.250 6.000 2.000 14.250

  3 2  4 2 1 1 S ( P, f ) = ∑ ( ∆xi ).M i =   .(0 − 2) 2 + 1.    + 2  + 1. ( 2 ) + 2 +   (4)  2   i =1 2 2   4 Suma Inferior s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi

(

)

i =1

i 1 2 3 4

x (i − 1)

x i

0.00 0.50 1.50 2.50

0.50 1.50 2.50 3.00

x min

∆x i

0.50 1.00 1.00 0.50

m i

0.50 1.00 2.50 2.50

2.250 3.000 4.000 4.000

(∆x )(mi ) i 1.125 3.000 4.000 2.000

5

s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi = i =1

(

)

4 2 1 1 1 s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi =   .( − 2) 2 + 1. (1) + 2 + (1) (4) +   (4) i =1 2 2 2

10.125

Ing. Luis Di Stefano

Pag. 2

2. Sea f una función definida y P una partción del intervalo [-1,2] Calcular:

− x + 3 si − 1 ≤ x < 0  2 f ( x) ==  x + 1 si 0 ≤ x < 1  3 si 1 ≤ x ≤ 2 

S ( P, f ) s ( P, f )

 −1 1 3  P = −1, , 0, , , 2  2 2 2  

y

Representación Gráfica:

Las lineas verticales indican la partición Suma Superior

5

S ( P, f ) = ∑ ( ∆xi ).M i i =1

Construimos la siguiente tabla: i 1 2 3 4 5

x (i − 1)

x i

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.50

-0.50 0.00 0.50 1.50 2.00

∆x i 0.50 0.50 0.50 1.00 0.50

x max

M

-1.00 -0.50 0.50 1.50 2.00

i

4.000 3.500 1.250 3.000 3.000 5

S ( P, f ) = ∑ (∆xi ).M i = Suma Inferior

(∆xi ).(M i ) 2.000 1.750 0.625 3.000 1.500 8.875

i =1

5

s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi i =1

i 1 2 3 4 5

x (i − 1)

x i

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.50

-0.50 0.00 0.50 1.50 2.00

∆x i

0.50 0.50 0.50 1.00 0.50

x min

m i

-0.50 0.00 0.00 0.50 1.50

3.500 1.000 1.000 1.250 3.000

(∆x )(mi ) i 1.750 0.500 0.500 1.250 1.500

5

s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi = i =1

5.500

Ing. Luis Di Stefano

Pag. 3

3. Sea f una función definida y P una partción del intervalo [-3,2] Calcular:

2 x + 9 si x ≤ −2 f ( x) =  2  x + 1 si x > −2

y

S ( P, f ) s ( P, f )

−5 −1   P =  −3, , −1, ,1, 2  2 4  

Representación Gráfica:

Las lineas verticales indican la partición Suma Superior

5

S ( P, f ) = ∑ ( ∆xi ).M i i =1

Construimos la siguiente tabla: i 1 2 3 4 5

x (i − 1)

x i

-3.00 -2.50 -1.00 -0.25 1.00

-2.50 -1.00 -0.25 1.00 2.00

∆x i 0.50 1.50 0.75 1.25 1.00

x max

M

-2.50 -2.00 -1.00 1.00 2.00

i

4.0000 5.0000 2.0000 2.0000 5.0000 5

S ( P, f ) = ∑ (∆xi ).M i =

(∆xi ).(M i ) 2.0000 7.5000 1.5000 2.5000 5.0000 18.500

i =1

Suma Inferior i 1 2 3 4 5

4

s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi i =1

x (i − 1)

x i

-3.00 -2.50 -1.00 -0.25 1.00

-2.50 -1.00 -0.25 1.00 2.00

∆x i

0.50 1.50 0.75 1.25 1.00

x min

m i

-3.00 -1.00 -0.25 0.00 1.00

3.0000 2.0000 1.0625 1.0000 2.0000

(∆x )(mi ) i 1.5000 3.0000 0.7969 1.2500 2.0000

5

s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi = i =1

8.547

Ing. Luis Di Stefano

Pag. 4

4. Sea f una función definida y P una partción del intervalo [-1,2] Calcular:

 x 2 − 4 x + 3 si x ≤ 0  f ( x) = 3 − x 2 + 2 x si 0 < x < 2  2x −1 si x ≥ 2 

y

S ( P, f ) s ( P, f ) S R ( P, f )

1 5   −3 P = −3, , −1, 0, ,1, 2, , 4  2 2 2  

Las lineas verticales indican la partición 8

S ( P, f ) = ∑ ( ∆xi ).M i

Suma Superior

i =1

Construimos la siguiente tabla: i 1 2 3 4 5 6 7 8

x (i − 1)

x i

-3.00 -1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 2.00 2.50

-1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 2.00 2.50 4.00

∆x i 1.50 0.50 1.00 0.50 0.50 1.00 0.50 1.50

x max -3.00 -1.50 -1.00 0.50 1.00 1.00 2.50 4.00

M

i

(∆xi ).(M i )

24.000 11.250 8.000 3.750 4.000 4.000 4.000 7.000

8

8

S ( P, f ) = ∑ (∆xi ).M i =

S ( P, f ) = ∑ (∆xi ).M i = i =1

i =1

(1.50)[(−3) 2 − 4( −3) + 3] + (0.50)[( −3 ) 2 − 4(−3 ) + 3] + (1)[(−1) 2 − 4(−1) + 3] 2 2 2 2 + (0.50)[ −( 1 ) + 2( 1 ) + 3] + (0.50)[−(1) + 2(1) + 3] + (1)[−(1) 2 + 2(1) + 3] 2 2 5 + (0.50)[2( ) − 1] + (1.50)[2(4) − 1] 2

36.000 5.625 8.000 1.875 2.000 4.000 2.000 10.500 70.000

Ing. Luis Di Stefano

Pag. 5

4

s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi

Suma Inferior

i =1

i 1 2 3 4 5 6 7 8

x (i − 1)

x i

-3.00 -1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 2.00 2.50

-1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 2.00 2.50 4.00

x min

∆x i

1.50 0.50 1.00 0.50 0.50 1.00 0.50 1.50

m i

-1.50 -1.00 0.00 0.00 0.50 2.00 2.00 2.50

11.250 8.000 3.000 3.000 3.750 3.000 3.000 4.000

(∆x )( mi ) i 16.875 4.000 3.000 1.500 1.875 3.000 1.500 6.000

5

s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi = i =1

37.750

8

s ( P, f ) = ∑ (∆xi ).mi = i =1

(1.50)[(−3 ) 2 − 4(−3 ) + 3] + (0.50)[(−1) 2 − 4(−1) + 3] + (1)[(0) 2 − 4(0) + 3] 2 2 2 + (0.50)[(0) − 4(0) + 3] + (0.50)[−( 1 ) 2 + 2( 1 ) + 3] + (1)[2(4) − 1] 2 2 + (0.50)[2(4) − 1] + (1.50)[2( 5 ) − 1] 2 Suma de Riemann

4

S R ( P, f ) = ∑ (∆xi ).wi

wi =

i =1

i 1 2 3 4 5 6 7 8

x (i − 1)

x i

-3.00 -1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 2.00 2.50

-1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 2.00 2.50 4.00

∆x i 1.50 0.50 1.00 0.50 0.50 1.00 0.50 1.50

xi −1 + xi 2 w i

f (w ) i

-2.25 -1.25 -0.50 0.25 0.75 1.50 2.25 3.25

17.063 9.563 5.250 3.438 3.938 3.750 3.500 5.500 4

S R ( P, f ) = ∑ (∆xi ).wi = i =1

(∆xi ).( wi ) 25.594 4.781 5.250 1.719 1.969 3.750 1.750 8.250 53.063

Ing. Luis Di Stefano

Pag. 6

A partir de la propiedad de acotación para integrales definidas, determinar un intervalo cerrado al cual pertenezca la integral indicada. 3

1.

∫

x3 3x dx

La función es continua en el intervalo.

−2

m(b − a ) ≤

∫

b

f ( x)dx ≤ M (b − a)

a

f ( x) = 3x .3x + x3 .3x.ln(3) = 0 obtenemos Puntos Críticos '

2

3x (3x 2 + x3 .ln(3)) = 0

3x ≠ 0

3 x 2 + x3 .ln(3) = 0 x 2 (3 + x.ln(3)) = 0 −3 x=0 x= = −2.73 ln(3) Evaluamos la función en los Puntos Críticos f (0) = 0

f (−2) = −0.888 f (3) = 729 m = f (−2) = −0.888 M = f (3) = 729 3

∫

−0.888 [5] ≤

x3 3x dx ≤ 729 [5]

−2

3

−4.444 ≤

∫

x3 3x dx ≤ 3645

I = [−4.444,3645]

−2

2

2.

∫

x+2 dx ex

La función es continua en el intervalo.

−2

m(b − a ) ≤

∫

b

f ( x)dx ≤ M (b − a )

a

1.e − ( x + 2)e x obtenemos Puntos Críticos e2 x 1.e x − ( x + 2)e x 1.e x − xe x − 2e x − x − 1 = = =0 ex ≠ 0 e2 x e2 x ex x = −1 f ' ( x) =

x

− x −1 = 0

Ing. Luis Di Stefano

Pag. 7

Evaluamos la función en los Puntos Críticos y Extremos −2 + 2 f (−2) = −2 = 0 m = f (−2) = 0 e −1 + 2 1 f (−1) = −1 = −1 = e M = f (−1) = e e e 2+2 4 f (−2) = 2 = 2 e e (b − a) = 4 2

∫

0(4) ≤

x+2 dx ≤ e(4) ex

I = [0, 4e]

−2

3.

4

∫

 x 2 − 4 x + 3 si x ≤ 0  f ( x ) = 3 − x 2 + 2 x si 0 < x < 2  2x −1 si x ≥ 2 

f ( x )dx

−3

4

∫

0

f ( x)dx =

−3

∫

2

( x 2 − 4 x + 3)dx

+

−3

∫

4

(3 − x 2 + 2 x) dx

0

+

∫

(2 x − 1) dx

2

La función es continua en cada intervalo. Obtenemos los puntos críticos en cada intervalo:

[−3, 0] f ' ( x) = 2 x − 4 2 x − 4 = 0 x = 2 ∉ [−3, 0] (0, 2) f ' ( x ) = −2 x + 2 − 2 x + 2 = 0 x = 1 ∈ (0, 2) [2, 4] f ' ( x ) = 2 ∀ x ∈ R f ' ( x) ≠ 0 Evaluamos la función en los puntos críticos y en los puntos extremos:

x = −3 x = 0 x = −3 f ( −3) = 24

x =1 x = 2 x = 4 x = 0 f (0) = 3

x = 1 f (1) = 4 x = 2 f (2) = 3 x = 4 f (4) = 7 M = 24 m=3 (b − a ) = 7 4

∫

7(3) ≤

−3

f ( x)dx ≤ 7(24)

I = [21,168]

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Pag. 8

3

Para cada función en el intervalo indicado, determinar si es aplicable el teorema de valor medio de integrales en caso afirmativo calcular el valor promedio de f(x) y los valores de x que satisfacen dicho teorema.

1.

f ( x) = 2 x 2 + 3 x + 3

Intervalo

[1, 4]

La función es continua en el intervalo. b

_ f  x =  

∫ f ( x)dx

a =1

a

b−a 4

b

∫ f ( x)dx =∫ a

1

b=4

b−a =3

4

4

 x3  x2 f ( x )dx = (2 x + 3 x + 3)dx =  2 + 3 + 3 x  = 2  3 1 1

∫

2

 128 2   48 3  = −  +  −  + (12 − 3) = 73.50  3 3  2 2 b

_

f  x =  

∫ f ( x)dx a

b−a

=

73.50 = 24.50 3

Para ubicar los puntos que satisfacen este valor, intersectamos la función

_ f ( x) = f  x    2

_ _ 2  x  + 3  x  + 3 = 24.5     2

_ _ 2  x  + 3  x  − 21.5 = 0      _  3 ± 9 + 172  x = 4   _

x1 = 2.61341 ∈ [1, 4] _

x2 = −4.11341 ∉ [1, 4]

Solución:

_ f  x  = 24.5  

_

x1 = 2.61341

f ( x)

con

_ f  x  

Ing. Luis Di Stefano

2.

Pag. 9

2 x + 9 si x ≤ −2 f ( x) =  2  x + 1 si x > −2

[−3, 2]

Intervalo

La función es continua en cada intervalo. 2

∫

−3

−2

2

2

 x3  28 40 f ( x)dx = (2 x + 9)dx + ( x − 1) dx = x + 9 x +  + x  = 4 + = = 13.333 −3 3 3 3   −2 −3 −2

∫

∫

2

(

2

)

−2

2

∫ f ( x)dx 40   f  x  = −3 = = 2.6667 [2 + 3] 15   _

_ f ( x) = f  x    Intervalo [ −3, 2] _

2 x + 9 = 2.6667 _ 2.6667 − 9 x1 = = −3.16665 2 _

x1 = −3.16665 ∉ Intervalo

[ −3, −2]

[ −2, 2]

Solución:

2

_  x  + 1 = 2.6667   _

x = 2.6667 − 1 = ±1.2910

_ f  x  = 2.6667   _

_

x2 = 1.2910

_

x3 = −1.2910

x2 =+ 1.2910 ∈ [−2, 2] x3 =− 1.2910 ∈ [−2, 2]

_