Integral Definida

SOBRE EL CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL PORQUE DE ALGUNA DE SUS APLICACIONES b

1.- Ya hemos visto que la Integral Definida

∫ f ( x)dx

es una SUMA DE INFINITOS

a

∞

PRODUCTOS que se abrevia :

∑ f (t )∆x i

i =1

i

3

2.- Así, por ejemplo, la integral definida

∫x

3

dx es igual a

1

∞

∑ (t ) i =1

3

i

∆xi = (t1 ) 3 ∆x1 + (t 2 ) 3 ∆x 2 + (t 3 ) 3 ∆x3 + (t 4 ) 3 ∆x 4 + + + + + +

donde y = x 3 está definida en el intervalo [1,3] . 3.- CALCULO APROXIMADO DE LA INTEGRAL mediante la suma de FINITOS términos. 3

3 Por ejemplo, si pretendemos calcular: ∫ x dx , podemos calcular su valor aproximado 1

calculando la suma de cuatro sumandos, es decir, 4

∑ (t ) i =1

3

i

∆xi = (t1 ) 3 ∆x1 + (t 2 ) 3 ∆x 2 + (t 3 ) 3 ∆x3 + (t 4 ) 3 ∆x 4 .

Para realizar la SUMA lo más conveniente es subdividir, previamente, el intervalo [1,3] en cuatro PARTES IGUALES. Es decir, cuatro subintervalos de igual longitud. Si [ xi −1 , xi ] es el intervalo de orden i para i=1,2,3,4 , se tiene longitud de [ xi −1 , xi ] es longitud [ a, b] 2 1 ∆xi = xi − xi −1 = = = . 4 4 2 Luego los extremos de cada subintervalo son x 0 = 1 , x1 = 1 + x3 = 1 + 3 ⋅

1 5 = , 2 2

x4 = 1 + 4 ⋅

1 3 1 = , x2 = 1 + 2 ⋅ = 2 , 2 2 2

1 =3. 2

Respecto a t i , este es un valor que pertenece al subintervalo [ xi −1 , xi ] . Puede ser cualquier valor, pues estamos calculando un valor aproximado de la Integral. En el caso que estamos calculando podemos considerar los puntos medios de cada subintervalo. Por ejemplo: t1 =

5 , 4

t2 = 4

Luego:

∑ (t ) i =1

i

3

7 , 4

t3 =

9 , 4

t4 =

11 4

.

5 1 7 1 9 1 11 1 1 5 7 9 11 ∆xi = ( ) 3 + ( ) 3 + ( ) 3 + ( ) 3 = (( ) 3 + ( ) 3 + ( ) 3 + ( ) 3 ) 4 4 4 4 2 4 2 4 2 4 2 2 4

4.- REGLA DE BARROW O TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Esta regla es uno de los primeros intentos de calcular el valor de una integral definida b

∫ f ( x)dx

en forma indirecta, es decir, mediante la obtención de un valor equivalente.

a

El teorema nos dice que si y = f (x ) está definida y es continua en el intervalo [a, b] , entonces existe un valor c ∈a, b  tal que: b

∫ f ( x)dx = f (c)( b − a) a

Lo anterior significó una ventaja enorme para lograr la obtención, al menos en forma aproximada, del valor de la Integral Definida.

3

∫x

Ejemplo: Según la regla de Barrow, la integral

3

dx = c 3 (3 −1) con c ∈[1,3]

1

3

Si elegimos, arbitrariamente, c = 2 entonces

∫x

3

dx ≈ 2 3 (3 −1) = 16

1

n

CALCULO DE LA INTEGRAL mediante el cálculo del límite ∑ f (t i )∆xi ,

5.-

cuando n tiende a

i =1

∞

n

Para la obtención de este cálculo se requiere expresar

∑ f (t )∆x i

i =1

i

en función de n, para lo

cual es necesario subdividir el intervalo [a, b] en n partes. Si la subdivisión se realiza en n parte iguales, cada una de estas partes [ xi −1 , xi ] es un intervalo de orden i para i=1,2,3,4 ,,,n, con una longitud igual a es ∆xi = xi − xi −1 = n

∑ f (t )∆x

constante. De tal modo que

i

i =1

n

= ∑ f (t i )

i

i =1

b −a n

b −a longitud [ a, b] siempre = n n

=

b −a n

n

∑ f (t ) . Sólo nos falta i =1

i

n

expresar en función de n la sumatoria

∑ f (t ) lo cual depende en gran medida i =1

i

de la

función y = f (x) y del intervalo [a, b ] en la cual esta función está definida. 2

Para terminar la idea sigamos entonces con el siguiente ejemplo: Calcular la integral

∫ xdx 0

En este caso es necesario subdividir el intervalo [0,2] en n partes iguales , de modo que longitud [ 0,2] 2 ∆xi = xi − xi −1 = = . n n Luego los extremos de n subintervalos son x0 = 0 , x1 = xi = i ⋅

2 2 , x2 = 2 ⋅ , n n

2 2 , ...... x n = n ⋅ = 2 . n n

Respecto a t i , este es un valor que pertenece al subintervalo [ xi −1 , xi ] . Pero como n tiende a ∞ entonces es posible considerar t i = xi . De esta forma: t1 =

2 , n

t2 =

4 , n

.........

ti = i

2 , n

....... .. t n = n ⋅

2 =2 n

.

2 2 n 2 4 n 4 n(n + 1) 4n 2 + 4n = i = i = ∑ ∑ ∑ n 2 ⋅ 2 = 2n 2 n n i =1 n n 2 i =1 i =1 i =1 Finalmente, podemos afirmar que 4 4 n 2 (4 + 2 ) 4+ 2 2 4 n 2 + 4n 4 n n ∫0 xdx = lim n→∞ 2n 2 = limn→∞ 2n 2 = lim n→∞ 2 = 2 = 2 . n

Luego:

n

f (t i )∆xi = ∑ f (t i )

6.- CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA , mediante el Teorema Fundamental del Cálculo (Teorema de Newton). El Teorema dice que si f es una función continua en el intervalo [a, b] , entonces b

∫ f ( x)dx = g (b) − g (a)

, donde

a

PRIMITIVA de y = f (x) .

dg ( x) = f ( x) . Es decir la función y = g (x ) es una dx