Integral Definida 1

COLEGIO DE BACHILLERES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

FASCÍCULO 1. LA INTEGRAL DEFINIDA UNA VISIÓN ESTÁTICA

Autores: Guadalupe Chávez Pérez Sergio Sánchez Carrillo

1

COLEGIO DE BACHILLERES

Colaboradores:

Asesoría Pedagógica:

Revisión de Contenido:

Diseño Editorial: Leonel Bello Cuevas Javier Darío Cruz Ortiz

2

ÍNDICE

5

INTRODUCCIÓN PROPÓSITO CUESTIONAMIENTO GUÍA BOSQUEJO HISTÓRICO

13

CAPÍTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA

15

7 9

1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA

15

1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA

23

1.3 INTEGRAL DEFINIDA

37

1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

40

1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

42

RECAPITULACIÓN

46

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

47

AUTOEVALUACIÓN

49

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

50

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

51

3

4

INTRODUCCIÓN

Antes de estudiar Cálculo Integral podíamos calcular áreas de figuras regulares, como el cuadrado, rectángulo, triángulo, etc., ahora tendrás la posibilidad de calcular el área de figuras irregulares como las siguientes:

Figura 1.

El método para encontrar el área de estas figuras se conoce como método de exahución. Definir el área para figuras geométricas en general, implica un proceso de límite. Obtendrás aproximaciones de los resultados de problemas que impliquen sumas infinitas, calcularás el área exacta bajo una curva para establecer la Integral Definida y concluirás con el Teorema Fundamental de Cálculo.

5

6

PROPÓSITO

El problema básico de la derivación es: dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad, o bien, dada una curva, calcular su pendiente. El problema básico de la integración es el inverso: dada la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria, o bien, dada la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva. Hans Hahn (1897-1934)

El contenido de este fascículo pretende que al finalizar su estudio:

¿QUÉ APRENDERÁS?

A obtener el área bajo la gráfica de una función f(x) en un intervalo de valores [a,b], estimar áreas por métodos numéricos, el concepto de integral definida, sus propiedades y relación con la derivada, además del Teorema Fundamental del Cálculo.

¿CÓMO LO APRENDERÁS?

Por medio del desarrollo y solución de problemas en los que se requiera conocer el resultado acumulado de procesos de cambio y situaciones problemáticas en rectángulos.

¿PARA QUE TE VA A SERVIR?

Para resolver problemas cuya solución esté dada por el cálculo de integrales definidas.

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8

CUESTIONAMIENTO GUÍA

Desde épocas remotas el hombre se enfrentó al problema de la cantidad y la medida, sobre todo de medir longitudes, áreas y volúmenes. Cuando estas longitudes eran segmentos de rectas o una sucesión finita de dichos segmentos, el problema de medir su longitud no representaba gran dificultad. D

B

A

G

E

C F Figura 2.

Análogamente, cuando se quería medir áreas de polígonos, aunque fueran irregulares, el problema se resolvía dividiendo el polígono regular en triángulos –esto demuestra que siempre lo podemos hacer−, y calculada el área de cada triángulo, se decía que el problema estaba resuelto.

Figura 3.

9

De la misma manera, nuestros antepasados podían calcular con extraordinaria exactitud el volumen de cuerpos cuyas fronteras (caras) fueran superficies planas (polígonos), como paralelepípedos, pirámides, etcétera.

Figura 4.

Estos conocimientos se aplicaron de manera excepcional en la construcción de grandes obras que hoy nos sorprenden. Pero no solamente en la construcción se tiene dicho conocimiento sino también en muchas otras ramas del saber humano, como el conocimiento del movimiento de los astros. Sin embargo, calcular la longitud de una línea cuando ésta es curva, o encontrar el área de una región determinada por una curva cerrada o encontrar el volumen de un cuerpo cuya superficie ya no es plana sino curva, constituyó un verdadero reto en la Antigüedad. Un problema famoso característico es encontrar el área del círculo, esto es, aproximarnos al área del círculo por medio de una red de cuadrados cada vez más fina. Esto se consideró imposible, pues por muy fina que fuera la red siempre tendrían el problema del elemento.

Figura 5.

¿Qué significa que un círculo mida x metros cuadrados de área?, ¿Significa que podemos cubrir con x metros cuadrados la superficie del círculo? Para responder resuelve el siguiente ejemplo: 10

Dibuja un círculo con un radio (r) de 20 cm y calcula su área mediante la fórmula A = πr2. Ahora dibuja un cuadrado de 35.449 cm de lado y recórtalo. ¿Cuál es el área de este cuadrado? Después de recortar el cuadrado en partes iguales e irlas acomodando dentro del círculo, hasta llenarlo completamente, ¿qué sucede? Al principio podrás acomodar partes del cuadrado relativamente grandes, pero conforme avances observarás que tienes que ir cortando partes cada vez más pequeñas hasta quedar algunos huecos por llenar y pedazos del cuadrado por acomodar. ¿Qué pasa entonces? ¿Tienen o no el círculo y el cuadrado aproximadamente la misma área? ¿Tenían o no razón en la Antigüedad respecto a la conclusión que llegaron? Este tipo de problemas y otros podrás resolver por medio del estudio de este fascículo.

11

12

BOSQUEJO HISTÓRICO

Entre los precursores del Cálculo Integral está Arquímedes (287-212 a. C.), quien logró calcular el área de la superficie de un segmento parabólico mediante integraciones y descomponiendo una superficie plana en fajas rectangulares sumamente estrechas. Képler, quien descubrió la ley de las áreas con base en integraciones, también concibió a los sólidos como formados por un número sumamente grande de elementos infinitesimales, ya sean triángulos, rectángulos, discos o conos. Buenaventura Cavalieri (1598-1647), en su Geometría de los Indivisibles calculó la longitud de líneas, áreas de volúmenes, recurriendo a sumas; John Wallis (1616-1703) estableció cuadraturas y curvaturas con base en los descubrimientos de Cavalieri. Puesto que el concepto de integral se deriva de la suma, en un principio se le concibió como la suma de una infinidad de rectángulos con una dimensión infinitesimal. Después de que Barro (1669) descubrió que el problema de calcular el área con arreglo a curva es el inverso del cálculo de la pendiente de la tangente y que Newton y Leibniz reconocieron, a su vez, que la integración y la diferenciación son procesos inversos, se definió la integral de una función de cierta variable independiente por la diferencial de esta variable, como otra función cuya derivada era la función propuesta. Los trabajos de Newton relativos al cálculo son anteriores a los de Leibniz, pero el primero nada publicó en un principio, limitándose a exponer en sus cátedras los descubrimientos que había hecho; no así Leibniz, quien publicó una notación distinta a las de Newton, el cual basó su concepción en la noción de velocidad de partículas, considerando lo que él llamó crecimiento instantáneo, mientras que Leibniz partió del concepto de diferencias sumamente pequeñas. El método de las fluxiones, que concibió Newton a los 20 años y redactó a los 23, se dio a conocer después de su muerte; pero insertó una breve nota que da a conocer este método en sus memorias, Philosophia Naturalis Principia Matemática, en donde utiliza este método, aplicado no sólo a problemas de Matemática pura, sino a fenómenos celestes. Leibniz, durante su primera estancia en París (1692), creó los procedimientos infinitesimales de indiscutible originalidad y admirable potencia, en que destaca la tendencia simbolizadora. Estudió el problema de las tangentes y su inverso.

13

Respecto a la tangente y su inversa, Leibniz introdujo el nuevo signo de la integral, representando con ∫ y la misma cantidad que Cavalieri consideraba como suma de ordenadas y designaba por omn (omnia, o sea, la suma de todas las y). Al ver como en la operación indicada por el signo

∫

se eleva el grado, infirió que la

x , que d luego abandono para adoptar dx, de cuyo significado sólo dio Leibniz esta explicación: diferencia entre dos x próximas. Son suyas las notaciones dx, dy/dx, lo mismo que la palabra derivada.

operación lo rebaja, y como esto suele suceder en la división, creó la notación

Numerosos matemáticos completaron la obra iniciada por Newton y Leibniz. Deben citarse, entre ellos, a Jacobo Bernoulli (1654-1705), quien escribió una carta a Leibniz en 1687 para solicitarle esclareciera la comprensión del nuevo cálculo; pero como Leibniz estaba de viaje la carta le llegó hasta 1690. La tardanza de la respuesta causó que Jacobo Bernoulli se dedicase a la tarea de penetrar los secretos del Cálculo Diferencial, Tanto él como su hermano Juan (1667-1748) dieron muestras de aptitudes excepcionales para la investigación matemática, por lo que Leibniz declaró que ésta era tanto de ellos como suya. El barón Agustín Luis Cauchy (1789-1857) fue el primero en demostrar, de manera rigurosa y plenamente satisfactoria y con base en el método de los límites, la consistencia de sus principios fundamentales. A Jacobo Bernoulli se debe la denominación de Cálculo Integral, sugerida en 1690 y adoptada por Leibniz en 1696. La integración por sustitución fue aplicada por Jacobo Bernolli desde los primeros tiempos del cálculo y la expresión cambio de variable se encuentra en las obras de Cauchy. La integración por partes, consecuencia inmediata de la fórmula de la diferencial de un producto, se encuentra accidentalmente en Brook Taylor, pero la denominación se debe a Silvestre F. Lacroix (1765-1843). La notación

∫

b a

es de José Fourier (1768-1830) y se publicó por primera vez en la

Théorie analytique de la Chaleur, de 1822, innovación que se adoptó de inmediato.

14

CAPÍTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA

1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA Para contestar las preguntas del Cuestionamiento guía, primero calcularemos áreas de rectángulos. Supongamos que tenemos la función constante ƒ(x) = 1. Y

f(x) = 1 1 X

0 Figura 6.

Primero se calcula el área comprendida bajo esta función; entre las rectas x = 0, x = 1 y el eje X, se sabe que el área de un cuadrado es l 2, y como el lado mide 1, entonces el área es 1. Y

f(x) = 1 x=0

x=1 X

0 Figura 7.

Ahora calculemos el área comprendida bajo la misma función; las rectas x = 0,x = 2 y el eje X. 15

Y

f(x) = 1 x=0

x=2 X

0 Figura 8.

Vemos en la figura 8 que se trata de un rectángulo, por lo tanto, el área es 2. Con los mismos datos, sólo variando la recta cuya ecuación al principio fue x = 1 y luego x = 2, ahora por x = 3, tenemos que el área del nuevo rectángulo es 3 y así sucesivamente. Y

f(x) = 1 x=3 X

0

1

3

2 Figura 9.

El valor de la base de los rectángulos la denotaremos como ∆x. Completa la tabla 1. Tabla 1.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

∆x 1 3 4 5

ƒ(x) 1 1 1 1

A1(x) 1 2 3 4

1 7

7 1 1

10 16

10

Se advierte que el cálculo del área nos lleva a obtener una nueva función A1(x); el valor del área A1(x) depende de x. La gráfica de la nueva función queda como sigue: Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

X 1 2

3

4 5

6 7 8 9 10

Figura 10.

Esta función es continua ya que sólo calculamos el valor del área para valores de x enteros positivos, pero también se puede calcular el valor para x en todos los reales 1 1 positivos; por ejemplo, si x = , entonces el área es . 2 2 ¿Cómo se llama la nueva función? Ahora podemos pensar en calcular el área bajo la función identidad (anterior), la recta x = 1 y el eje X. Y

A1(x) = x

1 x=1 0

X

1 Figura 11.

Como se trata de un triángulo rectángulo, el área se obtiene mediante la fórmula base x altura 1 , mas como la base y la altura valen 1, entonces el área es . 2 2 17

Al calcular el área bajo la función identidad, la recta x = 2 y eje X, análogamente nos queda un triángulo rectángulo cuya base y altura valen 2. Y A1(x) = x 2 1

x=2 X

0

1

2

Figura 12.

Por consiguiente, el área es 2. para comprenderlo mejor observa la tabla 2. Tabla 2,

x

ƒ(x)

A1(x)

1

1

1

2

1

2

3

1

3

4

1

4

5

1

5

6

1

6

7

1

7

8

1

8

9

1

9

10

1

10

18

A2(x) 1 2 4 2 9 2 16 2 25 2 36 2 49 2 64 2 81 2 100 2

La primera columna de la tabla 2 es el valor de x; la segunda son valores de la función constante, en este caso 1; la tercera es el valor de las áreas de la función constante conforme cambia el valor de x que da como resultado otra función llamada identidad, y la cuarta columna son los valores del área delimitada por la función identidad, el eje X y las rectas que van variando x = 1, x = 2, ..., x = 10. ¿Qué se observa en los resultados de la última columna de la tabla 2? ¿Cuál es el área de la región comprendida debajo de la función identidad, el eje X y la recta x = n cuando n2 . n es número real positivo? Es 2 x2 , lo que 2 nos conduce a otra función que es la mitad de la función cuadrática (figura 13). Podemos generalizar que para cualquier valor de x real positivo el área es

Y 8

A2(x) = 9 2

x2 2

2 1 2 0

1

2

3

4

X

Figura 13.

x2 . ¿Qué función obtuviste? ¿Tiene alguna relación con la 2 función A1(x) = x? Es la misma función y si ahora derivas A1(x) = x obtendrás la función constante 1, que es la función inicial. Deriva la función A2 ( x ) =

¿Pasará siempre lo mismo con cualquier otra función constante? Para contestar veamos otro ejemplo.

19

1 , calculemos las áreas que se forman con ésta función, el eje X, el eje Y y las 2 rectas x = 1, x = 2, x = 3,..., x = 10.

Si f ( x ) =

Y

1

Y

f (x) =

1 2

f (x) =

1

1 2

x=1 X

0

0

X

1

Y

f (x) =

1

1 2

10

0

x = 10 X

Figura 14.

Pon los datos y los resultados de las áreas en los espacios vacíos de la tabla 3. Tabla 3.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ƒ(x)

A1(x)

Ahora podemos ver el área como una función que depende del valor de x, esto es, 1 A1 ( x ) = x , que es una función. Su gráfica es: 2

20

Y A1 ( x ) =

1 x 2

4 3 2 1 X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 15.

En esta gráfica de nuevo podemos calcular el área comprendida entre la función 1 A1 ( x ) = x , el eje X y las rectas x = 1,x =2,x = 3,...,x = 10, respectivamente. 2 Y A1 ( x ) =

Y A1 ( x ) =

1 x 2

1 x 2

2 1 2

1

0

X

0

1

Figura 16.

Haz la gráfica de las áreas para x = 5 y x = 8.

21

X 1

2

3

4

Tabla 4.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ƒ(x) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

A1(x) 1 2

A2(x) 1 4

1

1

3 2

9 4

2

4

5 2

25 4

3

9

7 2

49 4

4

16

9 2

81 4

5

25

La tabla 4 muestra el valor de todos los cálculos de las áreas. De éstas, la columna 4 1 nos induce a otra función, A2 ( x ) = x 2 . Deriva esta función dos veces y observa el 4 resultado en cada caso. Con base en estos ejemplos podemos generalizar, es decir, cualquier función constante al calcular sus áreas parciales nos conduce a una función lineal de la cual también podemos ir calculando las áreas en relación con éstas, que nos lleva a una función cuadrática. ¿El cálculo de las áreas parciales bajo las gráficas de las funciones cuadráticas nos conducirá a una función cúbica? ¿Cómo calcularemos áreas de regiones irregulares?

Llamaremos Integral Definida al valor del área bajo una curva en un intervalo. La integral es la operación inversa de la derivada, lo cual se advierte en los dos ejemplos analizados. 22

1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA Se ha calculado el área bajo la gráfica de ciertas funciones elementales, de cierto modo sencillas, que son de tipo lineal, es decir, son rectas o segmentos de recta y el cálculo de las áreas se reduce a determinar el área de rectángulos o triángulos. Del cálculo del área con base en la gráfica de la función constante f ( x ) = 1 , resulta la función A1 ( x ) = x . Y al calcular el área bajo la gráfica de la función A1 ( x ) = x obtenemos la función A2 ( x ) =

x2 . 2

También vimos que si derivamos la función A2(x) con respecto a x, obtenemos la función A1(x) = x; es decir, dA2 ( x ) = dx

x2 2 = 2x = x dx 2

d

Mas si derivamos la función A1(x) = x con respecto a x, obtenemos f (x ) , esto es: dA1 ( x ) dx = = 1 dx dx Es decir, la función de donde partió el cálculo. Para calcular el área bajo la gráfica de una función que no sea necesariamente lineal, esto es, el área bajo la gráfica de una curva, usaremos el método de exahución, que sirve para determinar áreas de regiones que no sean de tipo poligonal, sino curvo, como el círculo. Para esto usaremos tres resultados elementales. 1. El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura. a = bh. 2. Si tenemos una región conformada por un conjunto de rectángulos adyacentes que no se traslapan, entonces el área de la región es igual a la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos. 23

1

2

3

4

5

6

A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 Figura 17.

3. Si una región R1 está completamente contenida en una región R2, entonces área de R1 ≤ que área de R2.

R2 R1

Figura 18.

Ahora calcularemos el valor del área bajo la gráfica de una parte de parábola, aproximando el área de la región por medio de una sumatoria de áreas de rectángulos construidos de tal manera que se aproximen cada vez más al área de la región deseada. Sea R la región comprendida entre la gráfica de la función ƒ(x) = x2, el eje X y la recta x = 2, construyamos los rectángulos de la siguiente manera: 1. Dividimos el intervalo [0, 2] en 4 subintervalos de igual longitud. ∆x =

2−0 2 = 4 4

Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2, x3, x4} con x0 = 0

24

x 1 = x 0 + ∆x = 0 +

2 2 = 4 4

x 2 = x 1 + ∆x =

2 2 4 + = 4 4 4

x 3 = x 2 + ∆x =

4 2 6 + = 4 4 4

x 4 = x 3 + ∆x =

6 2 8 + = 4 4 4

 2 que nos determinan los 4 subintervalos; 0,  ,  4

2 4 4 , 4 ,  

4 6 4 , 4 ,  

6 8 4 , 4 .  

2. En cada subintervalo construimos un rectángulo con base igual a la longitud del 2 y la altura igual al valor máximo que toma la función en dicho subintervalo ∆x = 4 subintervalo. Como la función es continua, entonces ésta alcanza su valor máximo en algún punto del intervalo cerrado [a, b]; además, como la función ƒ(x) = x2 es una función creciente, toma el valor máximo en el extremo derecho del subintervalo. ¿Por qué? Y

f(x) = x2

0

1 2

2 2

3 2 Figura 19.

25

4 2

X

Estos rectángulos adyacentes así construidos forman un polígono rectangular circunscrito P, cuya área es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que lo conforman. El área de cada rectángulo es igual a: 2

 1  1  1 A1 = f ( x 1 )∆x = f  ∆x =     2   2 2 2

2  2  1 A2 = f ( x 2 )∆x = f  ∆x =     2   2 2 2

3  3   1 A3 = f ( x 3 )∆x = f  ∆x =     2 2 2 2

4  4   1 A4 = f ( x 4 )∆x = f  ∆x =     2 2 2 El área del polígono rectangular P es: 2

2

2

2

 1  1 2  1 3  1  4  1 P = A1 + A 2 + A 3 + A 4 =     +     +     +     2 2 2 2 2 2 2 2

Tras factorizar y asociar términos tenemos: 3

[

]

30  1  1 AP =   12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =  (1 + 4 + 9 + 16) = = 3.75 8 2 8 Como el polígono rectangular contiene a la región R, entonces tenemos que área de R es ≤ que área de P = 3.75. Si dividimos el intervalo [0,2] en 8 subintervalos, con base en el mismo procedimiento tenemos: 2 1 ∆x = = 8 4  1 2 3 4 5 6 7 8 que determina el conjunto de puntos 0, , , , , , , ,  y los subintervalos:  4 4 4 4 4 4 4 4  1  1 1  1 3   3  0, 4  ,  4 , 2  ,  2 , 4  ,  4 ,1 ,        

 5  5 3  3 7  7  1, 4  ,  4 , 2  ,  2 , 4  ,  4 ,2 .        

Nuestro conjunto de rectángulos lo construiremos con base en la longitud del intervalo y como altura el valor máximo que alcanza la función ƒ(x) = x2 en cada subintervalo.

26

Y

f(x) = x2

0

1 2 3 4 5 6 7 8 4 4 4 4 4 4 4 4

X

Figura 20.

2 , 8 donde 2 es la longitud del intervalo que estamos partiendo y 8 es el número de subintervalos que estamos tomando.

Antes de continuar analicemos más de cerca nuestro procedimiento. Tenemos ∆x =

x0 = 0 x1 = x0 + ∆x = 0 +

x2 = x1 + ∆x =

2 2 = 8 8

2 2  2 + = 2  8 8  8

 2 2  2 x3 = x2 + ∆x = 2  + = 3  8 8 8  2  2 2 x4 = x3 + ∆x = 3  + = 4  8 8 8    2  2 2 x5 = x4 + ∆x = 4  + = 5  8 8 8  2  2 2 x6 = x5 + ∆x = 5  + = 6  8 8 8  

27

2 2 2 x 7 = x 6 + ∆x = 6  + = 7  8 8 8 2 2 2 x 8 = x 7 + ∆x = 7  + = 8  8 8 8 El área de cada rectángulo formado es: 2

3

( )

2 2 2 A1 = f ( x 1 )∆x =     =   12 8 8 8 2

3

( )

2

3

( )

2

3

( )

2

3

( )

2

3

( )

2

3

( )

2

3

( )

  2   2  2 A2 = f ( x 2 )∆x = 2    =   2 2 8 8 8     

  2   2  2 A3 = f ( x 3 )∆x = 3    =   3 2 8 8 8     

  2   2  2 A4 = f ( x 4 )∆x = 4    =   4 2 8   8   8    2   2  2 A5 = f ( x 5 )∆x = 5    =   5 2 8   8   8 

  2   2  2 A6 = f ( x 6 )∆x = 6    =   6 2 8 8 8        2   2  2 A7 = f ( x 7 )∆x = 7    =   7 2 8 8 8        2   2  2 A8 = f ( x 8 )∆x = 8    =   8 2 8   8   8 

Por lo tanto, el área del nuevo polígono rectangular P será: AP = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8. Factorizando y asociando términos tenemos: 3

[

]

 23  2 A P =   12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 =  3  (204 ) = 3 .1875 8 8 

De esta expresión vemos que la suma de las áreas de los rectángulos construidos es igual a la longitud del subintervalo (∆x) elevado al cubo, multiplicada por la suma de los cuadrados de los ocho primeros números naturales. 28

Si partimos ahora el intervalo [0,2] en n = 16 subintervalos tendremos: 3

(

)

 2  1  ∴ AP =   12 + 2 2 + 3 2 + .... + 15 2 + 16 2 =  (1496) = 2.9218  16   512 

2 ∆x = 16

Si lo dividimos en n = 32 subintervalos tendremos: ∆x =

2 32

∴

3

(

)

 2  2  1  AP =   1 + 2 2 + 3 2 + .... + 312 + 32 2 =  (11440 ) = 2 .7929 32    4096 

Si dividimos en n = 64 subintervalos tendremos: ∆x =

2 64

∴

3

(

)

 2  2  1  AP =   1 + 2 2 + 3 2 + .... + 63 2 + 64 2 =  (89440 ) = 2 .7294  64   32768 

De la operación anterior uno de los factores es la suma de los cuadrados de los 64 primeros números naturales. Como este proceso es muy laborioso, ¿qué ocurre al hacer la siguiente operación? 64(64 + 1)[2(64) + 1] . 6 Compara este resultado con el que ya teníamos. De aquí en adelante usaremos una operación similar para cada uno de los siguientes casos. Si dividimos en n = 128 subintervalos tendremos: ∆x =

2 128

∴ 3

(

)

1  2  2   AP =  (707264) = 2.6979  1 + 2 2 + 3 2 + .... + 127 2 + 128 2 =   128   262144  Si dividimos n = 256 subintervalos tendremos: ∆x =

2 256

∴ 3

(

)

1  2  2   AP =   1 + 2 2 + 3 2 + .... + 255 2 + 256 2 =  (5625216) = 2.6823 256 2097152     Si dividimos en n = 512 subintervalos tendremos: 29

∆x =

2 512

∴ 3

(

)

1  2  2   AP =   1 + 2 2 + 3 2 + .... + 5112 + 512 2 =  (44870400) = 2.6744 512 16777216     Si dividimos en n = 1024 subintervalos tendremos: ∆x =

2 1024

∴ 3

(

)

1  2  2   AP =   1 + 2 2 + 3 2 + .... + 10232 + 10242 =  (358438400) = 2.6705  1024   134217728 Ahora calcularemos el área bajo la gráfica de la misma función ƒ(x) = x2, comprendida entre el eje X y la recta x = 3. Mediante el mismo procedimiento tendremos, para una partición en n = 4 subintervalos. 3

 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 3 3 ∴ AP =   12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 3 3  4 43 4  3 ∴ Si n = 8 ; ∆x = 8 ∆x =

3

(

)

 12 + 2 2 + .... + 8 2 3 AP =   12 + 2 2 + .... + 8 2 = 3 3  83 8 

(

)

Si n = 16 ; ∆x = 3

 27(204)  = = 10.7578  512 

3 ∴ 16

 12 + 2 2 + .... + 16 2  3  AP =   12 + 2 2 + .... + 16 2 = 3 3  16 3  16  

(

Si n = 32 ; ∆x = 3

)

 27(1496)  = = 9.8613  4096 

3 ∴ 32

 12 + 2 2 + .... + 32 2  3  AP =   12 + 2 2 + .... + 32 2 = 3 3  32 3  32  

(

Si n = 64 ; ∆x =

 27(30)  = = 12.6562  64 

)

3 ∴ 64

30

  = 9.4262  

3

 12 + 2 2 + .... + 64 2  3  AP =   12 + 2 2 + .... + 64 2 = 3 3  64 3  64  

(

)

Si n = 128 ; ∆x = 3

  = 9.2120  

3 ∴ 128

 12 + 2 2 + .... + 128 2  3  2 AP =   1 + 2 2 + .... + 128 2 = 3 3  128 3  128  

(

)

Si n = 256 ; ∆x = 3

3 ∴ 256

 12 + 2 2 + .... + 256 2  3  2 AP =   1 + 2 2 + .... + 256 2 = 3 3  256 3  256  

(

)

Si n = 512 ; ∆x = 3

  = 9.0528  

3 ∴ 512

 12 + 2 2 + .... + 512 2  3  2 AP =   1 + 2 2 + .... + 512 2 = 3 3  512 3  512  

(

)

Si n = 1024 ; ∆x = 3

  = 9.1057  

  = 9.0263  

3 ∴ 1024

 12 + 2 2 + .... + 1024 2  3  2 AP =   1 + 2 2 + .... + 1024 2 = 3 3  1024 3  1024  

(

)

  = 9.0131  

Al generalizar nuestro procedimiento, se observa que cuanto mayor es el número de subintervalos en que dividimos el intervalo inicial, menor es el área que resulta de sumar las áreas de los rectángulos construidos. Para explicarlo analicemos qué sucede en un subintervalo cualquiera, dada una participación. Tenemos:

31

Y

X

0 Figura 21.

Al duplicar en cada paso el número de subintervalos, significa que para la siguiente participación el intervalo [xk−1,xk] lo dividimos en 2; y al construir los nuevos rectángulos eliminaremos una parte original. En la siguiente partición el intervalo queda dividido en 4 subintervalos, con lo cual al construir los nuevos rectángulos eliminamos otra parte del área original. Al dividir nuevamente el intervalo en 8 subintervalos y construir los rectángulos eliminamos otra parte del área original. Por lo tanto, para cada nueva partición del área del polígono rectangular construido se va reduciendo, ajustándose al área que deseamos calcular. Cuando el número de subintervalos es muy grande (n muy grande) entonces el área del polígono rectangular, así construido, es prácticamente igual al área bajo la gráfica de la función. Si calculamos ahora el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = x2, el eje X y la recta x = b, tenemos:

32

Y

f(x) = x2

x=b R

X

0 Figura 22

1. Dividimos el intervalo [0,b] en n subintervalos ∆x = partición {x 0 , x 1,....., x n } con. x0 = 0 b b = n n b b x 2 = x 1 + = 2  n n . . . b b x n = x n −1 + = n  = b n n x1 = x 0 +

Y las áreas de los rectángulos son: 2

b3 b b A1 = f ( x 1 )∆x =     = 3 n n n 2

b3  b b A2 = f ( x 2 )∆x =  2    = 2 2 3 n  n n 33

b . Esto nos proporciona la n

2

b3  b b A3 = f ( x 3 )∆x =  3    = 3 2 3 n  n n . . . 2

b3  b b An = f ( x n )∆x =  n    = n 2 3 n  n n

Sumando estas áreas y factorizando tenemos:

(

A = A1 + A2 + A3 + ... + An =

b3 2 1 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 n3

 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 A = b 3  n3 

   

)

Para determinar cada valor debemos establecer qué valor toma la cantidad entre paréntesis cuando n es muy grande. n (n + 1) . De 2 acuerdo con esta expresión ¿habrá una expresión general que nos dé la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales?, es decir, 12 + 22 + 32 + ... + n2 = ? Como recordarás de tus fascículos de primer semestre, 1 + 2 + 3 +...+ n =

¡Sí! Esta sumatoria es igual a: 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =

n (n + 1)(2n + 1) 6

Demuestra esta fórmula mediante el método de inducción matemática. Sustituyendo este resultado, tenemos:

 n (n + 1)(2n + 1)  A = b3   6n 3  

Efectuando el producto y la división indicadas nos queda: 1 1  1 A = b3  + +  n 3 2 6n 2  

34

Cuando n es muy grande (n →∞), el segundo y tercer término dentro del paréntesis tienden a ser cero; por consiguiente: b3 A= . 3 1 = 0.3333 ; 3 8 Si b = 2 ; A = = 2.666 ; 3 27 Si b = 3 ; A = = 9.00 . 3 Si b = 1 ; A =

Compara estos valores con los obtenidos. Si b = x, entonces el área es una función de x, esto es, Si ƒ(x) = x2 ; A( x ) =

x3 . 3

Qué obtienes si derivas la función A(x) con respecto de x?

Determinemos por medio del mismo procedimiento el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = x3, el eje X y la recta x = b. 1. Partimos el intervalo [0, b] en n subintervalos: ∆x = Obtenemos la partición: x0 = 0 b n b x 2 = 2  n . . . b x n = n  = b n x1 =

35

b n

2. En cada subintervalo tomemos el valor máximo que alcanza la función ƒ(x) = x3 . Como esta función es creciente, el máximo lo alcanza en el extremo derecho de cada subintervalo. ¿Por qué? Construyamos el conjunto de rectángulos de base igual a la longitud del subintervalo y altura igual al valor máximo de la función en el subintervalo; por consiguiente, sus áreas son: 3

b4 b b A1 = f ( x 1 )∆x =     = 4 n n n 3

b4  b b A2 = f ( x 2 )∆x =  2    = 2 3 4 n  n n 3

b4  b b A3 = f ( x 3 )∆x =  3    = 3 3 4 n  n n . . . 2

b3  b b An = f ( x n )∆x =  n    = n 2 3 n  n n

A = A1 + A2 + A3 + ... + An A=

4 4 4 b4 3 b 3 b 3 b + 2 + 3 + ... + n n4 n4 n4 n4

 13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 A = b 4  n4 

   

Investiga hacia dónde tiende el valor de la cantidad que está entre paréntesis cuando n es muy grande (n → ∞). ¿Hay una fórmula general que nos da la suma de los cubos de los n primeros números naturales 13 + 23 + 33 + ... + n3 =?

36

1.3 INTEGRAL DEFINIDA Ahora calcularemos el área bajo la gráfica respecto de una función ƒ(x) cualquiera. 1. Sea ƒ(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] 2. Tomemos una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual magnitud: ∆x =

b−a n

Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2,...,xn} que conforman un conjunto de intervalos cerrados [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],..., [xn−1,x n]. Con x0 = a x1 = a + ∆x x2 = x1 + ∆x = a + 2∆x . . . b−a =b xn = xn-1 + ∆x = a + n n 3. Construyamos una serie de rectángulos cuya base sea igual a la longitud de los subintervalos y cuya altura sea igual al valor que toma la función en un punto cualquiera vk de cada subintervalo [xk−1, xk]. Y f(x)

X

0

... →∆x← b = xn

X0 = ax1, x2, x3, ... Figura 23

37

Esta serie de rectángulos nos determina un polígono P cuya área será igual a la suma de las áreas de los rectángulos así construidos. A1 = f (v 1 )∆x A2 = f (v 2 )∆x A3 = f (v 3 )∆x . . . An = f (v n )∆x A p = A1 + A2 + A3 + ... + An = f (v 1 )∆x + f (v 2 )∆x + f (v 3 )∆x + ... + f (v n )∆x

4. Tomamos particiones con un número n cada vez más grande de subintervalos; es decir, que sumaremos las áreas de una infinidad de rectángulos con áreas infinitamente pequeñas ya que al incrementarse el número de subintervalos ∆x tiende a ser muy pequeño. Por lo tanto, si

lìm [f (v 1 )∆x + f (v 2 )∆x + f (v 3 )∆x + ... + f (v n )∆x ] n→∞

existe, entonces este límite será igual al área bajo la gráfica de la función ƒ en el intervalo [a, b] y a esta cantidad le llamaremos integral definida de la función ƒ en el Intervalo [a,b]; la denotaremos por

∫

∫

b a

f ( x )dx , es decir,

f ( x )dx = lìm[f (v 1 )∆x + f (v 2 )∆x + f (v 3 )∆x + ... + f (v n )∆x ]

b a

n→∞ ∆x → ∞

Al símbolo

∫

se le llama integral; a, b se conocen como límite inferior y superior

respectivamente.

∫

b a

f ( x )dx se lee, integral de a a b de la función ƒ(x).

dx es la diferencial de x y se considera una cantidad infinitamente pequeña. La diferencia es que ∆x la usamos cuando tenemos sumas finitas y dx cuando tenemos sumas infinitas, es decir, límites. 38

La función ƒ(x) pude tomar valores negativos, entonces ƒ(vk)∆x pueden ser cantidades negativas. Gráficamente esto nos induciría a que el rectángulo construido está por debajo del eje X y el área del rectángulo estaría multiplicando por –1. Esto nos lleva a la siguiente conversión: si la región bajo la gráfica está sobre el eje X [ƒ(x)>0] desde x = a hasta x = c, su área es

∫

c a

f ( x )dx , que es un valor positivo, pero si la

región entre la gráfica y el eje X está por debajo de éste [ƒ(x)<0] desde x = c hasta x = b, el área estará dada por

∫

b c

f ( x )dx . Y

f(x) Área

c

∫ f (x)dx a

x=a a

0

c

b

X x=b Área

Figura 24.

39

b

∫ f (x)dx c

1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A partir de la definición de la Integral Definida podemos establecer las siguientes propiedades. Sean ƒ(x) y g(x) funciones integrales en el intervalo [a,b]. a

1.

∫

a

2.

∫

b

b

a

a

f ( x )dx = 0 ; si f(a) existe

cf ( x )dx = c ∫ f ( x )dx

La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 3.

∫ [f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ b

b

a

a

b

f ( x )dx + ∫ g ( x )dx a

La integral de una suma (f + g) de funciones es igual a la suma de las integrales.

4. Sea c un punto entre a y b; a < c < b , entonces

∫

b a

f ( x )dx =

∫

c a

b

f ( x )dx + ∫ f ( x )dx . c

Y

f(x)

0

a

c

b

X

Figura 25.

5.

∫

b a

a

f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx . b

Si cambiamos los límites de la integral entonces el valor de la integral cambiará de signo.

40

Expresando los resultados obtenidos anteriormente en términos de la nueva terminología tenemos: 1. Si f(x) = 1 ; [0,b] ,

2. Si f(x) = x ,

∫

∫

b 0

f ( x )dx =

b 0

f ( x )dx = b

3. Si f(x) = x2 ,

∫

0

4. Si f(x) = x3 ,

∫

0

f ( x )dx =

b

f ( x )dx =

b

b

∫ dx = b . 0

∫ xdx = 0

b

∫

0

∫

0

b

b2 . 2

x 2 dx =

b3 . 3

x 3 dx = ?

Con base en estos resultados y de las propiedades de la integral podemos calcular la integral de la siguiente función: ƒ(x) = 3x2 − 2x + 4, sobre el intervalo [0,2].

∫

b 0

f (x)dx =

2 2 2  23   22  2 2   − 2  + 4(2) = 8 − 4 + 8 = 12 − + = − + = ( 3 x 2 x 4 ) dx 3 x dx 2 xdx dx 3 ∫0 ∫0 ∫0 ∫0 3 2     2

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

1. Interpreta este resultado en cuanto al área bajo la curva, para esto construye la gráfica de ƒ(x). 2. Determina el valor de la integral para la función ƒ(x) = x3 + 3x2 – 5x + 7, sobre el intervalo [0,3].

41

1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Como se advierte, encontrar el valor de una integral mediante sumas es bastante difícil; si la función es polinomial podríamos con dificultad determinar su integral; si la función es más compleja, como ƒ(x) = sen x ó ƒ(x) = x cos x, podríamos auxiliarnos de una computadora para encontrar las integrales de estas funciones. Sin embargo existe una relación entre el concepto de derivada y el de integral que nos permite determinar las integrales de una manera relativamente sencilla. Este método se basa en el teorema fundamental del cálculo. Consideremos una función ƒ(x) definida sobre el intervalo [a,b]. Si F(x) es una función tal dF ( x ) = f ( x ) , entonces F(x) se dice que es una antiderivada o una primitiva de ƒ(x). que dx df ( x ) dc = = 0 , es decir, la derivada de una dx dx constante es igual a cero, pero además el resultado inverso también es cierto: Sabemos que si ƒ(x) = c, entonces

Si

df ( x ) = 0 , entonces f(x) = c dx

La definición de antiderivada y el resultado anterior nos lleva a que si ƒ(x) y g(x) son dos funciones tales que ƒ’(x) = g’(x), o bien ƒ’(x) – g’(x) = 0 equivalente a [ƒ(x) – g(x)]’ = 0, significa que ƒ(x) y g(x) difieren a los más en una constante, es decir, ƒ(x) = g(x) + c. Si ƒ(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función F(x) definida como x

F ( x ) = ∫ f ( x )dx con x ∈ [a,b] a

Y

f(x)

F(x)

0

a

x Figura 26.

42

b

X

es una función continua y derivable y x

dF ( x ) d ∫ a f ( x )dx = = f (x) ; dx dx es decir, F(x) es una antiderivada o función primitiva de ƒ(x), F ’(x) = ƒ(x) . Esto concuerda con los resultados obtenidos en los cálculos que hemos hecho en este fascículo. Sea G(x) una antiderivada de la función ƒ(x), esto es, G’(x) = ƒ(x) , x

Entonces como F(x) = ∫ f ( x )dx es tal que F ’(x) = ƒ(x) , a

tenemos

F ’(x) = G’(x).

Lo anterior implica que F(x) y G(x) son funciones que difieren a lo más de una constante, por lo tanto, F(x) = G(x) + C. a

Como F(a) = ∫ f ( x )dx = 0 (primera propiedad de la integral), entonces a

0 = F(a) = G(a) + C; por lo tanto, G(a) + C = 0; C = G(a); es decir, el valor de la constante C es igual a menos el valor que toma la función primitiva en el punto a y: b

F(b) = ∫ f ( x )dx = G(b ) − G(a ) . a

Si G(x) es una función primitiva de ƒ(x), entonces

∫

b a

f ( x )dx = G(b ) − G(a )

A este resultado, el teorema fundamental del cálculo, llegaron Newton y Leibniz.

43

Este teorema nos facilita el cálculo de la integral de muchas otras funciones, como lo podrás comprobar en los siguientes fascículos. En particular como d

Esto es,

x n +1 n +1−1 n + 1 = (n + 1))x = xn dx (n + 1)

x n +1 es antiderivada de xn, por lo tanto, tenemos: (n + 1)

∫

b a

x n +1 x dx = (n + 1)

b

=

n

a

b n +1 a n +1 − (n + 1) (n + 1)

que es congruente con los resultados obtenidos y que nos permite calcular integrales de funciones tales como ƒ(x) = 5x6 – 7x4 + 2x2 – 5, en el intervalo [−2,3].

∫

3 −2

f (x)dx =

∫

3 −2

(5x6 − 7x4 + 2x2 − 5)dx

3

3

3

3

−2

−2

−2

−2

= 5 ∫ x 6 dx −7 ∫ x 4 dx + 2∫ x 2 dx − 5 ∫ dx  x 2 +1   x 4 +1   x 6 +1    + 2  − 7 = 5  2 + 1 − 5x  4 + 1       6 + 1

=

=

5 x 7 7 x 5 2x 3 − + − 5x 7 5 3

3

−2

3

−2

 5( −2) 7 7( −2) 5 2( −2) 3  5(3) 7 7(3) 5 2(3) 3 − + − 5(3) −  − + − 5( −2) 7 5 3 5 3  7 

= 1562.14 − 340.2 + 18 − 15 + 91.42 − 44.8 + 21.33 − 10 = 1282.89

44

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Calcula la integral de las siguientes funciones en los intervalos indicados. 1. ƒ(x) = 4x2 – 5x + 2 ; [–4,5] 2. ƒ(x) = 3x3 – 2x ; [–3,3] 3. ƒ(x) = 2x4 – 7x2 + 2 ; [–4,4] 4. ƒ(x) = 5x4 – 3x3 + 2x2 – 5x ; [1,2] 5. ƒ(x) = 6x6 – 4x4 + 2x3 – 3x ; [–1,1]

45

RECAPITULACIÓN

El siguiente esquema te proporcionará los elementos necesarios para elaborar una Recapitulación.

Área bajo la gráfica de una recta Área

Área bajo la gráfica de una curva

Integral Definida Área bajo la gráfica de una curva

46

ACTIVIDAD DE CONSOLIDACIÓN

1. Calcula el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = 2 sobre el eje X, entre el eje Y y las rectas x = 1, x = 2, x = 3, ... , x = 10. 2. Calcula por el método de exahución el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = 25 – x2; sobre el eje X, entre el eje Y y la recta x = 4. Para construir los rectángulos toma el valor mínimo de la función en cada subintervalo. 3. Calcula por medio del método de exahución el área de la región determinada por la gráfica de la función ƒ(x) = x3; el eje X y las rectas x = –2 y x = 2. Y

f(x) = x3

-2

-1 1

0

Figura 26.

47

2

X

En los siguientes ejercicios utiliza las propiedades de la integral, el Teorema

∫

Fundamental del Cálculo y el resultado

b a

x n dx =

x n +1 n +1

b

para determinar el valor de la a

integral que se te pide. 4. Sea ƒ(x) = 3x2 – 2x + 1 ; [0,5] 5. Sea ƒ(x) = 4x5 – 6x3 + 3x ; [–2,2] 6. Sea ƒ(x) = −x7 + 8x4 − 3x2 + 5 ; [–1,2]

7. Sean ƒ(x) = 3x – 2 y g(x) = 2x − 3 ;

∫ [f ( x ) + g ( x )] dx = 5

0

 x 2 si 0 ≤ x ≤ 2 8. Sea f ( x ) =  calcula el área bajo la función ƒ(x), sobre el eje X  b si 2 < x ≤ 4 y la recta y = 4. Y

4

0

2

4

Figura 27.

48

X

AUTOEVALUACIÓN

Con la intención de corroborar tu aprovechamiento se te proporcionan algunas respuestas a las Actividades de consolidación. 1. Ya que ƒ(x) = 2 es una función constante, ¿puedes tomar el extremo derecho de cada subintervalo para tener la altura de los rectángulos? ¿Cuál es la altura de éstos?, ¿cuál es su base?, ¿sucede lo mismo para las rectas x = 2, x = 3, ..., x = 10? Abreviando el desarrollo: Para x = 1 el área es A1 = 2 u2 x = 2 el área es A2 = 4 u2 x = 3 el área es A3 = 6 u2 . . . x = 10 el área es A10 = 20 u2. 2. ¿Se llegará al mismo resultado si tomamos los máximos de la función en cada uno de los subintervalos? 3. Como ƒ(x) = x3 toma valores negativos en el intervalo [−2,0]; el valor de la integral será negativo. Además, por la simetría de la gráfica, el área por arriba del eje X es igual al área por abajo del eje X. Entonces, ¿Cuál es el valor de la integral? ¿Cómo puede determinarse el área verdadera? ¿cuál es la propiedad de la integral que te permite lograr esto? Después de haber realizado tu desarrollo, conforme a lo anterior, compara tu resultado con: Área = 8 u2. 4. 105 u2

5. 0

6.

1077 2 u 40

49

7.

75 2 u 2

8.

32 2 u 3

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

Se recomienda visitar el Museo de las Ciencias “Universum”, donde encontrarás diferentes apoyos para la comprensión analítica de las cuestiones básicas de las Matemáticas. También te sugerimos ver la película con ganas de triunfar (que se proyecta en varios planteles del Colegio de Bachilleres) para tener actitud crítica y reflexiva en cuestiones relacionadas con el cálculo.

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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

ANFOSSI, A. Y Fores Meyer M. A. Cálculo Diferencial e Integral, 9ª. Ed. Progreso, México, 1954. BOSCH, Guerra, Hernández y Oteyza. Cálculo Diferencial e Integral. Publicaciones Cultural, México, 1995. CRUSE, A.B. y Lehman M. “Introducción a la Integral”, en Lecciones de Cálculo 2. Fondo Educativo Interamericano, México, 1982. GÓMEZ, José Luis. Introducción al Cálculo Diferencial e Integral, 2ª. Ed. Limusa, México, 1987. HOCKETT, Shirley O. y Sternstein Martín. Cálculo por objetivos y aplicaciones. CECSA, México, 1985. LARSON, Hostetler. Cálculo y Geometría Analítica. McGraw-Hill, México, 1986. SALAS, S.L. y Hille E. Cálculos de una y varias variables, 2ª. Ed. Reverté, España, 1982. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo con Geometría Analítica. Iberoamérica, México, 1979. WENZELBURGER, E. Cálculo Integral. Módulo introductorio. Universidad Iberoamericana, México, 1985. Revista del Seminario de Enseñanza y Titulación, año II, núm. 6, diciembre de 1985.

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