Integral Definida 1

Integral definida Uno de los problemas del hombre, fue el cálculo de áreas de regiones curvas. Consideremos la grafica de la función y = f(x), continua en [a , b ]

y

∆ x

a = x0

x1

x 2 ......

x i−1

    f (xi )    xi x n− i

b = xn

El área bajo la curva, se divide en “n” franjas de anchos iguales: ∆x =

x

b −a n 1

Una aproximación de la i-esima franja, con un rectángulo de ancho ∆x y altura f que es el valor de la función en los puntos extremos de la derecha.

f (xi )

El área bajo la curva se aproxima a la suma de las áreas de los rectángulos

A = f ( x 1 ) ∆x + f ( x 2 ) ∆x + f ( x 3 ) ∆x + . . . + f ( x n ) ∆x y

∆ x

    f (xi )   

a = x0

x1

x 2 ......

x i− 1

xi

x n− i

x b = xn 2

Cuando el número de rectángulos se incrementa, la aproximación del área bajo la curva, va mejorando, es decir cuando n → ∞ , por lo tanto se define el área bajo la ,curva de la siguiente manera.

A = Lím [ f ( x 1 ) ∆x + f ( x 2 ) ∆x + f ( x 3 ) + . . . + f ( x n )∆x ] n →∞

Se obtiene lo mismo con los puntos extremos de la izquierda

A = Lím [ f ( x 0 )∆x + f ( x 1 )∆x + f ( x 2 ) + . . . + f ( x n −1 )∆x ] n→∞

En lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se puede tomar la altura del i-ésimo rectángulo, como el valor de la función f en cualquier número x i en el i-ésimo subintervalo [ x i −1 , x i ] .Los puntos x *1 , x 2* , x 3* , . . . , x n* Son llamados puntos muestras.

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y

∆ x

    *  f (x i )    0

x

a= x

x1 x *1

x 2 ...... x 2*

x 3* . . .

x i− 1

xi

b = xn

x n− i x *i

x n*

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El área bajo la curva, en una forma más general es:

A = Lím [ f ( x *1 ) ∆x + f ( x 2* ) ∆x + f ( x 3* ) ∆x + . . . + f ( x n* ) ∆x ] n →∞

Utilizando la notación sigma, se tiene: n

∑

i =1

f ( x i )∆x = f ( x 1 )∆x + f ( x 2 ) ∆x + f ( x 3 )∆x + . . . + f ( x n )∆x

Por lo tanto el área bajo la curva se puede expresar:

A = Lím

n →∞

n

∑ f (x

i =1

* i

)∆x

En la notación del cálculo Integral, se escribe:

A = Lím

n→∞

n

∑ f ( x )∆x

i =1

* i

b

=

∫

f ( x) dx

Se denomina suma de Riemann

a

b

A=

∫

f ( x) dx = F (b) − F (a)

Teorema fundamental del cálculo

a

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