Integral Def In Ida

La integral definida Luis Ángel Zaldívar Cruz 7 de mayo de 2005

La integral definida1

4. 4.1.

Determinación del área

Para el desarrollo del concepto de integral definida utilizaremos la suma de una cantidad grande de números. Para expresar estas sumas de manera Pn compacta es conveniente utilizar la notación de sumatoria. El símbolo k=1 ak , representa la suma de los números del conjunto {a1 , a2 , . . . , an }; es decir n X

k=1

ak = a1 + a2 + · · · + an

(1)

P La letra griega sigma mayúscula representa la suma y ak representa el késimo término de la suma. La letra k se denomina el índice de la suma y es una variable que adquiere valores enteros sucesivos desde 1 hasta n, los cuales son los valores extremos del índice de la suma. P Ejemplo 1 Calcular 4k=1 k 2 (k − 3).

Solución. En este caso, ak = k 2 (k − 3). Para evaluar la suma sustituimos k por 1, 2, 3 y 4 y sumamos los términos resultantes 4 X

k=1

k2 (k − 3) = 12 (1 − 3) + 22 (2 − 3) + 32 (3 − 3) + 42 (4 − 3) = (−2) + (−4) + 0 + 16 = 10.

Para denotar el índice de la suma se pueden utilizar otras letras. Teorema 1 Si c es una constante cualesquiera

n P

c = nc.

k=1 1 Tomado de Introduction to Analysis. Haaser-LaSalle-Sullivan. Blaisdell Publishing Co. y de Calculus with Analytic Geometry. —4th Edition. E.W. Swokowski. PWS publishers.

1

El dominio del índice de la suma no necesariamente debe comenzar en 1. Por ejemplo, 9 X ak = a5 + a6 + a7 + a8 + a9 . k=5

Ejemplo 2 Evaluar Solución. 3 X

k=0

P3

k=0

2k (k + 1)

2k . (k + 1)

20 21 22 23 + + + (0 + 1) (1 + 1) (2 + 1) (3 + 1)

=

= 1+1+

16 4 +2= . 3 3

Teorema 2 Sea n un entero positivo y sean {a1 , a2 , . . . , an } y {b1 , b2 , . . . , bn } dos conjuntos de números reales. Entonces 1.

n P

(ak + bk ) =

k=1

2.

n P n P

ak +

k=1

cak = c

k=1

3.

n P

µ

n P

ak

k=1

(ak − bk ) =

k=1

n P

k=1

n P

bk

k=1

¶

para todo número real c.

ak −

n P

bk .

k=1

Prueba. Para demostrar (1), desarrollamos la sumatoria n X (ak + bk ) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + (a3 + b3 ) + · · · + (an + bn ).

k=1

Reordenando el lado derecho, obtenemos n X (ak + bk ) = (a1 + a2 + a3 + · · · + an ) + (b1 + b2 + b3 + · · · + bn )

k=1

=

n X

k=1

ak +

n X

bk

k=1

Para demostrar (2), hacemos n X

k=1

cak

= ca1 + ca2 + ca3 + · · · + can = c(a1 + a2 + a3 + · · · + an ) = c 2

à n X

k=1

ak

!

Figura 1: La demostración de (3), es similar a la demostración de (1). La definición de la integral definida está relacionada con el cálculo del área debajo de la gráfica de una función en un intervalo. En particular, sea R una región del plano coordenado acotada por las rectas verticales x = a y x = b, por el eje x y por la gráfica de una función f que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. La figura 1 ilustra una región de este tipo. Como f (x) ≥ 0 para todo x en [a, b], ninguna parte de la gráfica está debajo del eje x. Por conveniencia, se denominará R la región bajo la gráfica de f entre a y b. A continuación definiremos el área de R. Sea n un entero positivo arbitrario. Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos de la misma amplitud (b − a)/n. Esto se hace escogiendo números x0 , x1 , x2 , . . . , xn con a = x0 , b = xn , y xk − xk−1 =

b−a n

para k = 1, 2, . . . , n. Si la amplitud (b − a)/n de los subintervalos se denota por ∆x, entonces para cada k, ∆x = xk − xk−1

y xk = xk−1 + ∆x,

como se ilustra en la figura 2 Nótese que x0 xk

= a, x1 = a + ∆x, x2 = a + 2∆x, . . . , = a + k∆x, . . . , xn = a + n∆x = b.

Como f es continua en cada subintervalo [xk−1 , xk ], f alcanza un mínimo en algún número uk de [xk−1 , xk ]. Para cada k se construye un rectángulo de ancho ∆x = xk − xk−1 y altura igual a la distancia mínima f (uk ) del eje x a la gráfica de f , como se ilustra en la figura 2. El área del k-ésimo rectángulo es f (uk )∆x. La frontera de la región formada por todos estos rectángulos es 3

Figura 2: el polígono rectangular inscrito correpondiente a la subdivisión de [a, b] en n subintervalos iguales. El área de este polígono inscrito es la suma de las áreas de los n rectángulos, es decir, f (u1 )∆x + f (u2 )∆x + · · · + f (un )∆x. Utilizando la notación de sumatoria, el área del polígono regular inscrito es Pn k=1 f (uk )∆x donde f (uk ) es el valor mínimo de f en [xk−1 , xk ]. La figura 3 indica que si n es muy grande o, equivalentemente, si ∆x es muy pequeño, entonces la suma de las áreas de los rectángulos debe ser casi igual al área total de la región R. Desde el punto de vista intuitivo, si existe un número A tal que la P suma nk=1 f (uk )∆x se aproxima a A cuando ∆x tiende a cero (pero ∆x 6= 0), entonces A es el área de R y se puede escribir A = l´ım

∆x→0

n X

f (uk )∆x.

k=1

Para llegar a una definición satisfactoria de A, sea la diferencia A−

n X

f (uk )∆x

k=1

el área de la porción no sombreada que se encuentra bajo la gráfica de f y arriba del polígono rectangular inscrito en las figuras 2 y 3. Este número se puede considerar como el error que se comete al usar el área del polígono rectangular para estimar el área de A. Se ve que tal error puede hacerse tan pequeño como se quiera escogiendo rectángulos de ancho ∆x suficientemente pequeño. Esto motiva la siguiente definición.

4

Figura 3: Definición 1 Sea f una función continua y no negativa en [a, b]. Sean A un número real y f (uk ) el valor mínimo de f en [xk−1 , xk ]. Entonces, A = l´ım

∆x→0

n X

f (uk )∆x

k=1

significa que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < ∆x < δ, entonces A−

n X

f (uk )∆x < ε.

k=1

Si f es continua en [a, b], entonces existe un número A que satisface la definición 1. A este número A se le denomina área bajo la gráfica de f entre a y b. También se puede evaluar el área A utilizando polígonos rectangulares circunscritos, como los que se muestran en la figura 4 . En este caso, se escoge un número vk en el intervalo [xk−1 , xk ] tal que f (vk ) es el valor máximo de f en [xk−1 , xk ].Utilizando la notación de sumatoria, el área del polígono regular Pn circunscrito es k=1 f (vk )∆x donde f (vk ) es el valor máximo de f en [xk−1 , xk ] El límite de esta suma cuando ∆x → 0 se define a continuación. Definición 2 Sea f una función continua y no negativa en [a, b]. Sean A un número real y f (vk ) el valor máximo de f en [xk−1 , xk ]. Entonces, A = l´ım

∆x→0

n X

f (vk )∆x

k=1

significa que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < ∆x < δ, entonces n X

k=1

f (uk )∆x − A < ε.

5

Figura 4: En los ejemplos siguientes que sirven para ilustrar las definiciones del área A, se utilizarán las fórmulas siguientes: 1.

Pn

k=1

Pn

k = 1 + 2 + ··· + n =

n(n + 1) 2

n(n + 1)(2n + 1) 6 ¸2 · Pn n(n + 1) 3 3 3 3 3. k = 1 + 2 + · · · + n = k=1 2 2.

k=1

k 2 = 12 + 22 + · · · + n2 =

Ejemplo 3 Sea f (x) = 16 − x2 . Calcular el área de la región bajo la gráfica de f entre 0 y 3. Solución. Dividiendo el intervalo [0, 3] en n subintervalos iguales y construyendo el polígono rectangular inscrito (véase la figura 5), se tiene que la longitud ∆x de cada subintervalo es 3/n. Utilizando la misma notación que en la figura 2, con a = 0 y b = 3, x0 = 0,

x1 = ∆x,

x2 = 2∆x, . . . , xk = k∆x, . . . , xn = n∆x = 3.

Ya que ∆x = 3/n, 3 3k = . n n Como f es decreciente en [0, 3], el número uk en [xk−1 , xk ] en el que f alcanza su mínimo es siempre el extremo derecho xk del subintervalo, es decir, uk = xk = 3k/n. Por lo tanto, µ ¶2 µ ¶ 3k 9k 2 3k = 16 − f (uk ) = f = 16 − 2 n n n xk = k∆x = k

6

y 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

3.5

Figura 5: y la suma en la definición de área 1 es ¶µ ¶ n µ X 9k 2 3 f (uk )∆x = 16 − 2 n n k=1 k=1 µ ¶ n X 48 27k 2 . = − 3 n n n X

k=1

Con ayuda de los teoremas 1 y 2, esta última suma se puede escribir como sigue: n µ X 48

k=1

n

−

27k 2 n3

¶

n X 48

=

k=1

µ

= Ahora, aplicando la fórmula para n X

k=1

Pn

k=1

f (uk )∆x = 48 − = 48 −

48 n

n ¶

−

n X 27k 2

k=1

n−

n3

n 27 X 2 k . n3 k=1

k2 , obtenemos

27 n3

µ

n(n + 1)(2n + 1) 6

9 [2n3 + 3n2 + n]. 2n3

7

¶

y 20 15 10 5

1

2

3

4

x

Figura 6: Para calcular el área de la región tomamos el límite cuando ∆x → 0. Como ∆x = 3/n, esto puede lograrse haciendo que n → ∞. Así, A = = = = = =

l´ım

∆x→0

n X

f (uk )∆x

k=1

µ ¶ 9 3 2 l´ım 48 − 3 [2n + 3n + n] n→∞ 2n 9 2n3 + 3n2 + n l´ım 48 − l´ım n→∞ 2 n→∞ n3¶ µ 3 9 1 48 − l´ım 2 + + 2 2 n→∞ n n 9 48 − 2 (2 + 0 + 0) = 48 − 9 39.

Por lo tanto, el área de la región mide 39 unidades cuadradas. Ejemplo 4 Sea f (x) = x2 . Calcular el área de la región bajo la gráfica de f entre 1 y 4. Solución. Dividiendo el intervalo [1, 4] en n subintervalos iguales y construyendo el polígono rectangular circunscrito (véase la figura 6), entonces la longitud ∆x de cada subintervalo es 3/n. Utilizando la misma notación que en la figura 4, con a = 1 y b = 3, x0 = 1,

x1 = 1+∆x,

x2 = 1+2∆x, . . . , xk = 1+k∆x, . . . , xn = 1+n∆x = 4.

Ya que ∆x = 3/n, xk = 1 + k∆x = 1 + k 8

3 3k =1+ . n n

Como f es creciente en [1, 4], el número vk en [xk−1 , xk ] en el que f alcanza su máximo es siempre el extremo derecho xk del subintervalo, es decir, vk = xk = 3k/n. Por lo tanto, ¶ µ ¶2 µ 3k 3k 6k 9k 2 = 1+ f (vk ) = f 1 + =1+ + 2 n n n n y la suma en la definición de área 2 es ¶µ ¶ 3 f (vk )∆x = n k=1 k=1 µ ¶ n X 3 18k 27k 2 . = + 2 + 3 n n n n µ X

n X

6k 9k 2 1+ + 2 n n

k=1

Con ayuda de los teoremas 1 y 2, esta última suma se puede escribir como sigue: n µ X 3

k=1

n

+

18k 27k2 + 3 n2 n

¶

n n n X 3 X 18k X 27 2 + k + n n2 n3 k=1 k=1 k=1 µ ¶ n n 18 X 27 X 2 3 n+ 2 = k+ 3 k . n n n

=

k=1

Ahora, aplicando la fórmula para n X

f (vk )∆x = 3 +

k=1

Pn

k=1

ky

Pn

k=1

18 n(n + 1) 27 + 3 n2 2 n

k=1

k 2 , obtenemos

µ

n(n + 1)(2n + 1) 6

¶

9 9 (n + 1) + 3 [2n3 + 3n2 + n] n 2n 45 9 = 21 + . + 2n 2n2

= 3+

Para calcular el área de la región tomamos el límite cuando ∆x → 0. Como ∆x = 3/n, esto puede lograrse haciendo que n → ∞. Así, A =

l´ım

∆x→0

n X

f (vk )∆x

k=1

µ ¶ 45 9 21 + + 2 n→∞ 2n 2n 45 9 = l´ım 21 + l´ım + l´ım n→∞ n→∞ 2n n→∞ 2n2 = (21 + 0 + 0) = 21.

=

l´ım

Por lo tanto, el área de la región mide 21 unidades cuadradas.

9

4.1.1.

Ejercicios 1

En los ejercicios siguientes calcule la suma: P5 1. k=1 (3k − 10) P4 2 2. j=1 (j + 1) 3.

4. 5. 6. 7.

P5

k=0

P8

i=1

P50

k=1

P6

k(k − 1)

2i 10

k=1 (5/k)

P10

n=1 [1

+ (−1)n ]

Calcule el área bajo la gráfica de f entre a y b usando (a) rectángulos inscritos, (b) rectángulos circunscritos. Trace la gráfica y unos rectángulos típicos y marque las dimensiones con los nombres adecuados, como en las figuras 5 y 6. 8. f (x) = 2x + 3; a = 0, b = 4 9. f (x) = 3x2 + 5; a = 1, b = 4 10. f (x) = 4x2 + 3x + 2; a = 1, b = 5 11. f (x) = x3 + 1; a = 1, b = 2 12. f (x) = 4x + x3 ; a = 0, b = 2

4.2.

La integral definida

En la sección anterior definimos el área bajo la gráfica de una función f entre a y b como un límite de la forma l´ım

∆x→0

n X

f (wk )∆x.

k=1

Restringiendo f y ∆x como sigue: 1. La función f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. 2. f (x) es no negativa para todo x en [a, b]. 3. Todos los subintervalos [xk−1 , xk ] tienen la misma longitud ∆x. 4. El número wk se escoge de manera que f (wk ) es siempre el mínimo (o el máximo) de f en [xk−1 , xk ].

10

Hay muchas aplicaciones de estos límites en los que no se satisfacen algunas de estas condiciones. Es conveniente permitir los siguientes cambios en 1-4: 1. La función f puede ser discontinua en algunos puntos de [a, b]. 2. f (x) puede ser negativa para algunos puntos x en [a, b]. 3. La amplitud de los subintervalos [xk−1 , xk ] puede ser diferente. 4. El número wk puede ser cualquier punto de [xk−1 , xk ]. Para comenzar introducimos una nueva notación y terminología. Una partición P de un intervalo cerrado [a, b] es cualquier división de [a, b] en subintervalos en la forma [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . . , [xn−1 , xn ] donde n es un entero positivo y los número xk son tales que a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b. La amplitud del k-ésimo subintervalo [xk−1 , xk ] se denotará por ∆xk , es decir, ∆xk = xk − xk−1 . El mayor de los números ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn se denomina la norma de la partición P y se denota por kP k. El siguiente concepto, denominado suma de Riemann, en honor del matemático G.F.B. Riemann, es de importancia fundamental para la definición de la integral definida. Definición 3 Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y sea P una partición de [a, b]. Una suma de Riemann de f (o de f (x)) para la partición P , simbolizada RP , es una expresión de la forma RP =

n X

f (x∗k )∆xk

k=1

donde

x∗k

es un número en [xk−1 , xk ] y k = 1, 2, . . . , n.

En esta definición 3, f (x∗k ) no es necesariamente el máximo o el mínimo de f en [xk−1 , xk ]. Si se construye el rectángulo de altura f (x∗k ) y ancho ∆xk , como se muestra en la figura 7, éste puede no estar inscrito ni circunscrito. Además, como f (x) puede ser negativo para algún número x, algunos de los términos de la suma de Riemann pueden ser negativos. Por lo tanto, RP no siempre representa una suma de áreas de rectángulos. Sin embargo, geométricamente, podemos interpretar la suma de Riemann de la definición 3 como sigue. Para cada subintervalo [xk−1 , xk ] se construye un rectángulo, obteniéndose así un conjunto de rectángulos. Si f (x∗k ) es positivo, el rectángulo se encuentra arriba del eje x y el producto f (x∗k )∆xk es el área del 11

Figura 7: rectángulo. Si f (x∗k ) es negativo, el rectángulo se encuentra debajo del eje x y el producto f (x∗k )∆xk es el negativo del área del rectángulo. Entonces, RP es la suma de las áreas de los rectángulos que están arriba del eje x menos la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran debajo del eje x. Ejemplo 5 Sea f (x) = 8 − 12 x2 y sea P una partición de [0, 6] en cinco subintervalos determinados por x0 = 0, x1 = 1,5, x2 = 2,5, x3 = 4,5, x4 = 5 y x5 = 6. Calcule la norma de la partición y la suma de Riemann RP para x∗1 = 1, x∗2 = 2, x∗3 = 3,5, x∗4 = 5 y x∗5 = 5,5. Solución. La gráfica de f se muestra en la figura 8. Entonces, ∆x1 = 1,5,

∆x2 = 1,

∆x3 = 2,

∆x4 = 0,5,

∆x5 = 1.

La norma kP k de la partición es ∆x3 = 2. Por la definición 3, RP

= = = =

f (x∗1 )∆x1 + f (x∗2 )∆x2 + f (x∗3 )∆x3 + f (x∗4 )∆x4 + f (x∗5 )∆x5 f (1)(1,5) + f (2)(1) + f (3,5)(2) + f (5)(0,5) + f (5,5)(1) (7,5)(1,5) + (6)(1) + (1,875)(2) + (−4,5)(0,5) + (−7,125)(1) 11,625.

No siempre se especifica el número n de subintervalos de una partición P de [a, b]. En este caso la suma de Riemann de la definición 3 se escribe X RP = f (x∗k )∆xk k

12

y 7. 5

5

2. 5

-2

2

4

6

x

-2 .5

-5

-7 .5

-1 0

Figura 8: y se supone que los términos de la forma f (x∗k )∆xk se suman sobre todos los subintervalos [xk−1 , xk ] de la partición. Se puede definir X l´ım f (x∗k )∆xk = I kP k→0

k

donde I es un número real. Intuitivamente, este límite significa que si la norma kP k de la partición P está suficientemente cerca de cero, entonces cualquier suma de Riemann para P está cerca de I. Definición 4 Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y sea I un número real. Entonces X l´ım f (x∗k )∆xk = I kP k→0

k

significa que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si P es una partición de [a, b] con kP k < δ, entonces ¯ ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ∗ f (xk )∆xk − I ¯ < ε ¯ ¯ ¯ k

para cualquier elección de números x∗k en los subintervalos [xk−1 , xk ] de P . El número I se denomina límite de las sumas de Riemann.

13

Nótese que para todo δ > 0 hay una infinidad de particiones P con kP k < δ. Además, para cada partición P hay una infinidad de elecciones posibles de los números x∗k en [xk−1 , xk ]. Por lo tanto, hay un número infinito de sumas de Riemann diferentes asociadas a cada partición. Si el límite I existe, entonces para todo ε > 0, si la norma de la partición es suficientemente pequeña, cualquier suma de Riemann dista de I menos que ε unidades. A continuación se define la integral definida como un límite de las sumas de Riemann. Definición 5 Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b]. La inRb tegral definida de f entre a y b se denota por a f (x)dx y está dada por Z

b

f (x)dx = l´ım

a

kP k→0

X

f (x∗k )∆xk

k

siempre y cuando este límite exista. Si existe la integral definida de f entre a y b (o de a a b), entonces se dice Rb que f es integrable en [a, b] y que la integral a f (x)dx existe. Determinar el número representado por el límite se llama evaluar la integral. Los números a y b se llaman extremos (o límites) de integración, siendo a el extremo inferior y b el extremo superior. En este contexto, cuando se usa el término límite se refiere a uno u otro extremos del intervalo [a, b] y no tiene ninguna relación con las definiciones de límite que se han R dado. La expresión f (x) que aparece a la derecha del símbolo de integración se llama integrando. El símbolo diferencial dx que está a continuación de f (x) está relacionado con el incremento ∆xk de una suma de Riemann de f . Esta relación se aprovechará más adelante en las aplicaciones. Cuando se usa un intervalo [a, b] se supone que a < b. Por lo tanto, la definición 5 no toma en cuenta los casos en que el extremo inferior de integración es mayor que o igual al extremo superior. Se puede extender la definición para incluir estos casos como sigue. Rc Rd Definición 6 Si c > d, entonces c f (x)dx = − d f (x)dx.

La definición 6 dice: Intercambiar los límites de integración equivale a cambiar el signo de la integral. Al considerar el Teorema Fundamental del Cálculo, se entenderá una de las razones por las que se da la definición 6 en esta forma. El caso en que el extremo inferior es igual al extremo superior de integración queda cubierto por la siguiente definición. Ra Definición 7 Si f (a) existe, entonces a f (x)dx = 0.

Si f es integrable, entonces el límite en la definición 5 existe independientemente de cómo se elige x∗k en [xk−1 , xk ]. Esto permite tomar valores especiales para x∗k si así se desea. Por ejemplo, siempre puede elegirse x∗k como el extremo izquierdo xk−1 del subintervalo, como el extremo derecho xk o como el punto 14

medio, o como un número en donde la función alcanza su máximo o su mínimo en [xk−1 , xk ], etcétera. Además, como el extremo es independiente de las particiones P de [a, b] (siempre y cuando kP k tienda a cero), se pueden tomar siempre las particiones correspondientes a subintervalos [xk−1 , xk ] de la misma longitud ∆x. Una partición de este tipo se denomina partición uniforme. Si una partición uniforme de [a, b] tiene n subintervalos, entonces ∆x = (b − a)/n. En este caso, el símbolo kP k → 0 es equivalente a ∆x → 0 o bien n → ∞, y la definición 5 toma la forma Z

b

f (x)dx = l´ım

n→∞

a

n X

f (x∗k )∆x.

k=1

El teorema siguiente es una primera aplicación de estas sumas de Riemann especiales. Teorema 3 Si f es una función integrable y f (x) ≥ 0 para todo x en [a, b], entonces el área A de la región bajo la gráfica de f entre a y b es A=

Z

b

f (x)dx.

a

P Prueba. El área A es el límite de las sumas k f (uk )∆x, para el mínimo f (uk ) de f en [xk−1 , xk ] (véase la definición 1). Como estas son sumas de Riemann, la conclusión se deduce de la definición 5. El teorema siguiente afirma que las funciones que son continuas en intervalos cerrados, son integrables. Este resultado desempeña un papel importante en la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo. Teorema 4 Si una función f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. 4.2.1.

Ejercicios 2

En los ejercicios siguientes, los números {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } determinan una partición P del intervalo [a, b]. Encuentre ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn y la norma kP k de la partición. 1. [0, 5]; 2. [−3, 1];

{0, 1,1, 2,6, 3,7, 4,1, 5} {−3, −2,7, −1, 0,4, 0,9, 1}

En los ejercicios 3 y 4, calcule la suma de Riemann RP de f correspondiente a la partición uniforme de P de [1, 5] en los cuatro subintervalos determinados por x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4, x4 = 5, eligiendo (a) x∗k como el extremo derecho xk de [xk−1 , xk ]. (b) x∗k como el extremo izquierdo xk−1 de [xk−1 , xk ]. 15

(c) x∗k como el punto medio de [xk−1 , xk ]. 3. f (x) = 2x + 3 4. f (x) = 3 − 4x 5. Sea f (x) = 8− 12 x2 . Calcule la suma de Riemann RP de f para la partición uniforme P de [0, 6] en los seis subintervalos iguales determinados por x0 = 1, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6, x∗k como el punto medio de [xk−1 , xk ]. 6. Sea f (x) = x3 y P la partición de [−2, 4] en los cuatro subintervalos determinados por x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 y x4 = 4. Calcule la suma de Riemann RP de f para x∗1 = −1, x∗2 = 1, x∗3 = 2, x∗4 = 4. En los ejercicios 7 y 8, utilice la definición 5 para expresar cada límite como una integral sobre el intervalo [a, b]. Pn 7. l´ımkP k→0 k=1 (3wk2 − 2wk + 5)∆xk ; [−1, 2] P 8. l´ımkP k→0 nk=1 2πwk (1 + wk3 )∆xk ; [0, 4] R4√ R1√ 9. Suponiendo que 1 xdx = 14 xdx. 3 , calcule 4 R2 R1 10. Suponiendo que 1 (5x4 − 1)dx = 30, calcule 2 (5x4 − 1)dx.

En los ejercicios siguientes, calcule la integral definida considerándola como el área bajo la gráfica de la función f . R2 11. −3 (2x + 6)dx R3√ 12. 0 9 − x2 dx

4.3.

Propiedades de la integral definida

Esta sección contiene algunas propiedades fundamentales de la integral definida. Teorema 5

Rb a

cdx = c(b − a) donde c es una constante.

Prueba. Sea f la función constante definida por f (x) = c para todo x en [a, b] y sea P una partición de [a, b]. Entonces, para todas las sumas de Riemann de f, X X f (x∗k )∆xk = c∆xk k

k

= c

X

∆xk

k

= c(b − a), 16

P puesto que la suma k ∆xk es el ancho del intervalo [a, b]. Por lo tanto, ¯ ¯ ¯ ¯X ¯ ¯ ∗ f (xk )∆xk − c(b − a)¯ = |c(b − a) − c(b − a)| = 0, ¯ ¯ ¯ k

que es menor que cualquier número positivo ε independientemente de la magnitud de kP k. Entonces, por la definición 4, con I = c(b − a), X X l´ım f (x∗k )∆xk = l´ım c∆xk kP k→0

kP k→0

k

k

= c(b − a).

De acuerdo con la definición 5, esto significa que Z

b

f (x)dx =

a

Ejemplo 6 Evaluar

R4

−1

Z

b

a

cdx = c(b − a).

9 dx.

Solución. Utilizando el teorema 5, Z 4 9 dx = 9[4 − (−1)] = 9(5) = 45. −1

Cuando c = 1 en el teorema 5, la integral definida queda así: Z

a

b

dx = (b − a).

Si una función f es integrable en [a, b] y c es un número real, entonces por el Teorema 2, una suma de Riemann de la función cf se puede escribir X X cf (x∗k )∆xk = c f (x∗k )∆xk . k

k

Se puede demostrar que el límite de las sumas del lado izquierdo es igual a c multiplicado por el límite de las sumas en el lado derecho. Esto conduce al siguiente teorema. Teorema 6 Si f es integrable en [a, b] y c es un número real arbitrario, entonces cf es integrable en [a, b] y Z

b

cf (x)dx = c a

Z

a

17

b

f (x)dx.

Prueba. Si c = 0, el resultado se deduce del teorema 5. Supongamos entonces Rb que c 6= 0. Como f es integrable, a f (x)dx = I para algún número I. Si P es una partición de P [a, b], entonces cada suma de Riemann RP para la función cf tiene la forma k cf (x∗k )∆xk , de manera que para cada k, x∗k está en el k-ésimo subintervalo [xk−1 , xk ] de P . Se quiere demostrar que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que cuando kP k < δ, entonces ¯ ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ∗ (2) cf (xk )∆xk − cI ¯ < ε ¯ ¯ ¯ k

para todo x∗k en [xk−1 , xk ]. Tomando ε0 = ε/ |c|, como f es integrable existe un δ > 0 tal que cuando kP k < δ, ¯ ¯ ¯X ¯ ε ¯ ¯ f (x∗k )∆xk − I ¯ < ε0 = . ¯ ¯ ¯ |c| k

Multiplicando por |c| ambos lados de la desigualdad se llega a 2. Por lo tanto, l´ım

kP k→0

X

cf (x∗k )∆xk

= cI = c

k

Z

b

f (x)dx. a

A veces el teorema 6 se enuncia diciendo que un factor constante del integrando se puede sacar del signo de integral. No se pueden sacar expresiones con variables del símbolo de integración. Si f y g son dos funciones definidas en [a, b], entonces por el inciso (1) del teorema 2, una suma de Riemann de f + g se puede escribir X X X [f (wk ) + g(wk )]∆xk = f (wk )∆xk + g(wk )∆xk . k

k

k

Puede demostrarse que si f y g son integrables, entonces el límite de las sumas del lado izquierdo de la expresión es igual a la suma de los límites de las dos sumas a la derecha de la expresión. Este hecho se demuestra en el siguiente teorema. Teorema 7 Si f y g son integrables en [a, b], entonces f + g y f − g son integrables en [a, b] y 1. 2.

Rb a

Rb a

[f (x) + g(x)]dx = [f (x) − g(x)]dx =

Rb a

Rb a

f (x)dx + f (x)dx −

Rb a

Rb a

g(x)dx. g(x)dx.

Prueba. Por hipótesis, existen números reales I1 y I2 tales que Z b Z b f (x)dx = I1 y g(x)dx = I2 . a

a

18

Sea P una partición de [a, b] y sea RP una suma de Riemann arbitraria para f + g correspondiente a P , es decir, X RP = [f (wk ) + g(wk )]∆xk (3) k

donde wk está en [xk−1 , xk ] para todo k. Se quiere demostrar que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que cuando kP k < δ, entonces |RP − (I1 + I2 )| < ε. Usando el inciso (1) del teorema 2, la suma de Riemann (3) se puede escribir en la forma X X RP = f (wk )∆xk + g(wk )∆xk . k

k

Ordenando los términos y aplicando la desigualdad del triángulo, ¯Ã ! à !¯ ¯ X ¯ X ¯ ¯ f (wk )∆xk − I1 + g(wk )∆xk − I2 ¯ |RP − (I1 + I2 )| = ¯ ¯ ¯ k ¯Ã k !¯ ¯Ã !¯ ¯ X ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (wk )∆xk − I1 ¯ + ¯ g(wk )∆xk − I2 ¯ .(4) ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k

k

Como f y g son integrables, si ε0 = ε/2, entonces existen números δ 1 > 0 y δ 2 > 0 tales que cuando kP k < δ 1 y kP k < δ 2 , ¯Ã !¯ ¯ ¯ X ¯ ¯ f (wk )∆xk − I1 ¯ < ε0 = ε/2, (5) ¯ ¯ ¯ k

y

¯Ã !¯ ¯ ¯ X ¯ ¯ g(wk )∆xk − I1 ¯ < ε0 = ε/2 ¯ ¯ ¯

(6)

k

para todo wk en [xk−1 , xk ]. Si δ = m´ın{δ 1 , δ 2 }, entonces cuando kP k < δ, las desigualdades (5) y (6) se satisfacen y por tanto, de (4), |RP − (I1 + I2 )| < (ε/2) + (ε/2) = ε, que es lo que queríamos demostrar. El inciso (1) del teorema 7 se puede extender a sumas de cualquier número finito de funciones. Así, si f1 , f2 , . . . , fn son funciones integrables en [a, b], entonces también lo es la suma y Z

b a

[f1 (x)+f2 (x)+· · ·+fn (x)]dx =

Z

b

f1 (x)dx+

a

Z

a

b

f2 (x)dx+· · ·+

Z

b

fn (x)dx. a

Si f es continua en [a, b] y f (x) ≥ 0 para todo x en [a, b], entonces por el teorema Rb 3, la integral a f (x)dx es el área bajo la gráfica de f entre a y b. Análogamente, Rc Rb si a < c < b, entonces las integrales a f (x)dx y c f (x)dx son las áreas bajo 19

fH xL

‡

c

f H x L dx

‡

a

a

b

f H x L dx

c

c

b

x

Figura 9: la gráfica de f entre a y c y entre c y b, respectivamente, como se ilustra en la figura 9. Como el área entre a y b es la suma de las dos áreas menores, se tiene Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a

a

c

El siguiente resultado muestra que la igualdad es válida considerando una hipótesis más general. Teorema 8 Si a < c < b y f es integrable en [a, c] y en [c, b], entonces f es integrable en [a, b] y Z c Z b Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a

a

c

El siguiente resultado es una generalización del teorema anterior, para el caso en que c no está necesariamente entre a y b. Teorema 9 Si f es una función integrable en un intervalo cerrado y a, b y c son tres números del intervalo, entonces Z c Z b Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a

a

c

Prueba. Si a, b y c son todos diferentes, entonces hay seis permutaciones posibles de estos tres números. El teorema se debe verificar para cada uno de estos casos y también para aquellos en que dos o los tres números son iguales. Aquí verificaremos sólo uno de los casos dejando los restantes como ejercicio. Supongamos que c < a < b. Por el teorema 8, Z b Z a Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx c

c

a

20

que también se puede escribir Z

a

b

f (x)dx = −

Z

a

f (x)dx +

c

Z

b

f (x)dx.

c

Por la definición 6, intercambiando los límites de la integral emos la conclusión del teorema.

Ra c

f (x)dx, obten-

Teorema 10 Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≥ 0 para todo x en [a, b], entonces Z b f (x)dx ≥ 0. a

Si f y g son continuas en [a, b] y f (x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x en [a, b], entonces el área bajo la gráfica de f entre a y b es mayor que o igual al área bajo la gráfica de g entre a y b. El siguiente corolario del teorema anterior es una generalización de este hecho. Corolario 1 Si f y g son integrables en [a, b] y f (x) ≥ g(x) para todo x en [a, b], entonces Z b Z b f (x)dx ≥ g(x)dx. a

a

Prueba. Por el teorema 7, f − g es integrable. Además, f (x) − g(x) ≥ 0 para todo x en [a, b]. Entonces por el teorema 10, Z

b

a

[f (x) − g(x)] dx ≥ 0.

Aplicando el teorema 7 se obtiene la conclusión deseada. Supongamos que en el teorema 10 f es continua y además de la condición f (x) ≥ 0 se tiene f (c) > 0 para algún c en [a, b]. En este caso, l´ımx→c f (x) > 0 y existe un subintervalo [a0 , b0 ] de [a, b] donde f (x) es positiva. Si f (u) es el mínimo de f en [a0 , b0 ] (véase la figura 10), entonces el área bajo la gráfica de f entre a y b es mayor que o igual al área f (u)(b0 − a0 ) del rectángulo indicado. Por lo Rb tanto, a f (x)dx > 0. Entonces, como en la demostración del corolario 1, puede demostrarse que si f y g son continuas en [a, b] y f (x) ≥ g(x) en el intervalo [a, b] Rb Rb y si además f (x) > g(x) para algún x en [a, b], entonces a f (x)dx > a g(x)dx. Este hecho se utiliza en la demostración del siguiente teorema. Teorema 11 (Teorema del valor medio para la integral definida) Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b) tal que Z

a

b

f (x)dx = f (z)(b − a).

21

y

fHuL a

a' b'b

x

Figura 10: Prueba. Si f es una función constante, entonces f (x) = c para algún número c y por el teorema 5, Z b Z b f (x)dx = c dx = c(b − a) = f (z)(b − a) a

a

para cualquier número z en (a, b). Supongamos ahora que f no es una función constante y que m y M son respectivamente el mínimo y el máximo de f en [a, b]. Sean u y v dos números en [a, b] tales que f (u) = m y f (v) = M . Esto se ilustra en la figura 11 para el caso en que f (x) es positiva en todo [a, b].Como f no es una función constante, m < f (x) < M para algún x en [a, b], y por el comentario anterior al teorema, Z

b

m dx <

a

Z

b

f (x)dx < a

Z

b

M dx.

a

Aplicando el teorema 5, m(b − a) <

Z

b a

f (x)dx < M (b − a).

Dividiendo entre b − a y como m = f (u) y M = f (v), se obtiene f (u) <

1 b−a

Z

b

f (x)dx < f (v).

a

Rb 1 Como b−a f (x)dx es un número entre f (u) y f (v), del teorema del valor a intermedio se deduce que existe un número z, con u < z < v, tal que Z b 1 f (x)dx. f (z) = b−a a 22

y fHvL=M

fHuL=m

a

v

ub

x

Figura 11: y

PHz,fHzL

a

z

b

x

Figura 12: Multiplicando ambos lados por b − a se obtiene la conclusión del teorema. El número z del teorema del valor medio para la integral definida no es necesariamente único; sin embargo, el teorema garantiza que la igualdad se satisface para algún número z. El teorema del valor medio para la integral definida tiene una interpretación geométrica interesante para el caso en que f (x) ≥ 0 en [a, b]. En este caso Rb f (x)dx es el área bajo la gráfica de f entre a y b. Si se traza una recta a horizontal que pase por el punto P (z, f (z)), como en la figura 12, entonces el área del rectángulo acotado por esta recta, por el eje x y por las rectas x = a y x = b, es f (z)(b − a) que, según el teorema del valor medio para la integral definida, es igual al área bajo la gráfica de f entre a y b.

23

y

‡ fHtLdt x

a

a

x

b

t

Figura 13:

4.4.

Teorema fundamental del cálculo

Esta sección contiene uno de los teoremas más importantes. Además de que sirve para evaluar integrales definidas, el teorema muestra la relación entre la derivada y la integral. Justamente llamado Teorema Fundamental del Cálculo fue descubierto independientemente por Isaac Newton (1642-1727) en Inglaterra y por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en Alemania. Es principalmente por este descubrimiento que se considera a estos hombres como los inventores del cálculo. Para evitar confusiones en esta sección, se utiliza t como la variable indeRb pendiente y se denota la integral definida de f entre a y b por a f (t)dt. Si f es continua en [a, b] y a ≤ x ≤ b, entonces f es continua en [a, x] y, por el teorema 4, f es integrable en [a, x]. Por lo tanto, la expresión Z x f (t)dt G(x) = a

determina una función G con dominio [a, b] que asocia a cada número x en [a, b] un número único G(x). Para obtener una interpretación geométrica de G(x), supongamos que f (t) ≥ 0 para todo t en [a, b]. En este caso, del teorema 3 se ve que G(x) es el área bajo la gráfica de f entre a y x (véase la figura 13).Como ejemplo específico, consideremos f (t) = t3 con a = 0 y b > 0 (véase la figura 14). Se puede demostrar que el área bajo la gráfica de f entre 0 y b es 14 b4 . Entonces, el área entre 0 y x es Z x 1 G(x) = t3 dt = x4 . 4 0 Esto da una forma explícita para la función G cuando f (t) = t3 . Nótese que en este caso, µ ¶ d 1 4 0 G (x) = x = x3 = f (x). dx 4 24

y

‡ t3dt x

a

a=0

xb

t

Figura 14: Es decir, G es una antiderivada de f . Esto no es una casualidad. La parte I del siguiente teoremaR enuncia el hecho de que si f es cualquier función continua, x entonces G(x) = a f (t)dt es una antiderivada de f (x). La parte II del teorema Rb indica cómo se puede usar cualquier antiderivada para evaluar a f (x)dx. Teorema 12 Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Parte I. Si la función G está definida por Z x G(x) = f (t)dt a

para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b]. Parte II. Si F es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces Z

a

b

f (x)dx = F (b) − F (a).

Prueba. Para probar la parte I se debe verificar que si x está en [a, b] entonces G0 (x) = f (x), es decir, l´ım

h→0

G(x + h) − G(x) = f (x). h

Antes de dar una demostración formal, consideremos algunos aspectos geométricos de este límite. Si f (x) ≥ 0 en todo [a, b], entonces G(x) es el área bajo la gráfica de f entre a y x, como se ilustra en la figura 15. Si h > 0, entonces G(x + h) − G(x) es el área bajo la gráfica de f entre x y x + h, el número h es la amplitud del intervalo [x, x + h]. Se demostrará que G(x + h) − G(x) = f (z) h 25

y GHx+hL−GHxL

GHxL

a

x

z x+h

x

b

Figura 15: para algún número z entre x y x + h. Aparentemente, si h → 0, entonces z → x y f (z) → f (x), que es lo que se quiere demostrar. A continuación se da una demostración rigurosa de que G0 (x) = f (x). Si x y x + h están en [a, b], entonces usando la definición de G, la definición 6 y el teorema 8, resulta Z x Z x+h G(x + h) − G(x) = f (t)dt − f (t)dt = =

Z

Z

a

a

x+h

f (t)dt + a

Z

a

f (t)dt

x

x+h

f (t)dt. x

Por lo tanto, si h 6= 0, G(x + h) − G(x) 1 = h h

Z

x+h

f (t)dt. x

Para h > 0, por el teorema del valor medio para la integral definida, existe un número z en el intervalo abierto (x, x + h) tal que Z x+h f (t)dt = f (z)h x

y por tanto, G(x + h) − G(x) = f (z). h Como x < z < x + h, de la continuidad de f se deduce que l´ım f (z) = l´ım+ f (z) = f (x)

h→0+

z→x

26

y, así, G(x + h) − G(x) = l´ım+ f (z) = f (x). h h→0 Si h < 0 se puede demostrar de manera análoga que l´ım

h→0+

G(x + h) − G(x) = f (x). h

l´ım

h→0−

Los dos límites laterales implican que l´ım

h→0

G(x + h) − G(x) = f (x). h

Esto completa la demostración de la Parte I. Para probar la parte II, sea F cualquier antiderivada de f y sea G la antiderivada especial definida en la Parte I. Como F 0 = G0 , resulta que F y G difieren en una constante; es decir, existe un número C tal que G(x) − F (x) = C para todo x en [a, b]. Si se toma x = a y se usa el hecho de que se obtiene 0 − F (a) = C. Por lo tanto, Z x f (t)dt − F (x) = −F (a).

Ra a

f (t)dt = 0,

a

Como esta es una identidad para todo x en [a, b], se puede sustituir x por b y al hacerlo se obtiene Z b

a

o

Z

f (t)dt − F (b) = −F (a)

b a

f (t)dt = F (b) − F (a).

La diferencia F (b) − F (a) se denota por el símbolo F (x)|ba o por el [F (x)]ba . La Parte II del Teorema Fundamental del Cálculo se puede expresar en esta notación como sigue. Corolario 2 Si f es continua en el intervalo [a, b] y F es cualquier antiderivada de f , entonces Z b b f (x)dx = F (x)|a = F (b) − F (a). a

La fórmula de este corolario 2 también se cumple si a ≥ b. Si a > b entonces por la definición 6, Z a Z b f (x)dx = − f (x)dx a

b

= − [F (a) − F (b)] = F (b) − F (a). 27

Si a = b entonces por la definición 7, Z a f (x)dx = 0 = F (a) − F (a). a

El corolario 2 permite evaluar integrales definidas muy fácilmente si se conoce alguna antiderivada del integrando. El siguiente ejemplo ilustra este corolario. R3 Ejemplo 7 Evaluar −2 (6x2 − 5)dx. Solución. Primero hallamos una antiderivada del integrando: Z F (x) = (6x2 − 5)dx = 2x3 − 5x.

Aplicando el corolario 2, Z 3 £ ¤3 (6x2 − 5)dx = 2x3 − 5x −2 −2 £ ¤ £ ¤ = 2(3)3 − 5(3) − 2(−2)3 − 5(−2) = 45.

Ejemplo 8 Evaluar

R4 1

µ ¶ √ 32 5x − 2 x + 3 dx. x

Solución. Integrando, obtenemos Z

4 1

µ −2 ¶¸4 µ ¶ · µ 2¶ µ 3/2 ¶ √ 32 x x x + 32 5x − 2 x + 3 dx = 5 −2 x 2 3/2 −2 1 ¸4 · 5 2 4 3/2 16 = x − x − 2 2 3 x 1 ¸ · · ¸ 16 5 4 5 2 4 3/2 = (4) − (4) − − − 16 − 2 3 (4)2 2 3 259 . = 6

Rx Si f es una función continua en [a, b] y G(x) = a f (t)dt para a ≤ x ≤ b, entonces G es una antiderivada de f , es decir, G0 (x) = f (x). Esto puede enunciarse con una integral como sigue: Z x d f (t)dt = f (x). dx a Esta expresión se generaliza en el siguiente teorema. 28

Teorema 13 Sea f continua en [a, b]. Si a ≤ c ≤ b, entonces para todo x en [a, b], Z x d f (t)dt = f (x). dx c Prueba. Si F es una antiderivada de f , entonces Z x d d f (t)dt = [F (x) − F (c)] dx c dx d d F (x) − F (c) = dx dx = f (x) − 0 = f (x).

Ejemplo 9 Sea G(x) =

Rx 1 dt y x > 0. Obtener G0 (x). 1 t

Solución. Para resolver este problema, aplicaremos el teorema 13 con c = 1 y f (x) = 1/x. Si escogemos a y b de manera que 0 < a ≤ 1 ≤ b, entonces f es continua en [a, b]. Por el teorema 13, para todo x en [a, b], Z x 1 d 1 0 G (x) = dt = . dx 1 t x

4.4.1.

Ejercicios 3

Evalúe la integral definida: R4 1. 1 (x2 − 4x − 3)dx R 12 2. 7 dx R2 5 dx 1 8x6 R9 t−3 4. 4 √ dt t ³ ´ √ R8 3 2 s + 2 ds 5. −8 3.

6.

7. 8.

R1 0

R0

(2x − 3)(5x + 1)dx

−1

(2w + 3)2 dw

R 2 x2 − 1 dx 3 x−1 29

R 3 2x3 − 4x2 + 5 dx 1 x2 R6 10. −3 |x − 4| dx 9.

11. Verifique la identidad Rusando primero el Teorema Fundamental del cálculo √ √ x y luego derivando:Dx 0 (t3 − 4 t + 5)dt = x3 − 4 x + 5, si x ≥ 0.

11. Encuentre: Dx

Rx 0

1 dt. t+1

12. Sea f (x) = x2 + 1. Halle el área de la región bajo la gráfica de f entre 1 y 3. ib h Rb x −1 13. Verifique la fórmula por derivación: a 2 dx = , n 6= 2 2 n 2n(x +c ) (x + c2 )n+1 a 0. 14. Encuentre un número que satisfaga R 4 √la conclusión del teorema del valor medio para la integral definida: 0 ( x + 1)dx.

30